2.4 Métodos de Taguchi
2.4.3 Tratamento de Dados
Como é indicado na figura 2.12, para além da análise à média das respostas, também é feita a análise de variância à razão sinal-ruído. A análise das respostas médias é aplicada tanto à
media das respostas como à razão sinal-ruído. No entanto, a análise de variância permite obter resultados com mais fiabilidade, quando se trata da identificação dos factores significativos. Assim, a ANOVA vai ser utilizada para identificar os factores que reduzem significativamente a variabilidade.
À semelhança do que foi feito no estudo R&R, para a análise de variância é necessário calcular a soma dos quadrados dos factores e do erro.
A soma dos quadrados da variação total é dada pela equação seguinte (Fowlkes e Creveling, 1995): SST = N
∑
i=1 (S/Ni− S/N)2 (2.73) onde • N é o número de experiências, i = 1, 2, ..., N; • S/Nié a razão sinal-ruído da experiência i;• S/N é a média das razões sinal-ruído das N experiências. A variação total tem N − 1 graus de liberdade.
A soma dos quadrados de um factor A é obtida utilizando a seguinte equação:
SSA= n1× (S/NA1− S/N)2+ n2× (S/NA2− S/N)2+ ... + na× (S/NAa− S/N)2 (2.74)
onde:
• a representa o número de níveis do factor A;
• narepresenta o número de experiências realizadas com o factor A no nível a;
• S/NAa representa a média das razões sinal-ruído do factor A no nível a.
O factor A tem a − 1 graus de liberdade.
A soma dos quadrados do erro calcula-se pela seguinte equação, quando a matriz é não saturada:
SSerro= SST− (
∑
SS dos factores) (2.75)Os graus de liberdade do erro são obtidos da mesma forma que a soma dos quadrados, sub- traindo os graus de liberdade dos factores aos graus de liberdade totais.
Por vezes todos os graus de liberdade são utilizados para os factores de controlo, o que permite retirar o máximo de informação da matriz ortogonal (Fowlkes e Creveling, 1995). Neste caso, diz-se que a matriz é saturada e é necessário fazer o pooling dos factores com menor contribuição para a razão sinal-ruído global. A soma dos quadrados desses factores passa a pertencer ao erro, e a análise de variância prossegue da mesma forma, até se obter a ANOVA condensada, onde todos os factores são significativos.
Calcula-se também o quadrado médio dos factores, neste caso para um factor A, MSA, a
partir da seguinte equação:
MSA=
SSA
g.l.A
(2.76) A significância de um factor é avaliada a partir da comparação entre o quadrado médio do factor e a variância residual (MSerro), pela seguinte equação (Pereira e Requeijo, 2008):
F0= MSA
MSerro
(2.77) O valor obtido é então comparado com o valor de Fcrítico, para os graus de liberdade do factor
e os graus de liberdade do erro. Taguchi utiliza a percentagem de contribuição de um factor, definida por:
ρA=
SSA− (g.l.)A× MSerro
SST × 100
(2.78) A percentagem de contribuição do erro é obtida pela diferença entre 100% e a soma das per- centagens de contribuição dos factores.
Polinómios Ortogonais A soma dos quadrados dos factores pode ser decomposta em fon- tes de variação mais pequenas, quando em condições experimentais especificas. Se o factor em análise é do tipo contínuo, com incrementos iguais entre níveis e com o mesmo número de observações por nível, então é possível fazer uma decomposição polinomial. Dependendo do número de níveis os efeitos polinomiais podem ser do tipo: 2 níveis - linear; 3 níveis - quadrático; 4 níveis - cúbico (Ross, 1988).
A figura 2.14 representa o exemplo de um factor A com três níveis, onde no caso do factor ter uma componente de variação linear, os valores da resposta seguem uma recta, enquanto que se tiver uma componente de variação quadrática, os valores da resposta seguem uma parábola.
O número de efeitos polinomiais que podem ser estimados é igual a k −1, onde k é o número de níveis do factor. Um factor com dois níveis apenas pode ter efeito linear e um factor com
A1 A2 A3 Linear Quadrática Resposta
Níveis do factor A
Figura 2.14: Componentes de variação linear e quadrática (Adaptado de Ross (1988)) três níveis pode ter efeitos lineares e quadráticos.
Os polinómios ortogonais de Chebyshev utilizam o conceito de constraste e contrastes or- togonais. Segundo Pereira e Requeijo (2008), um contraste é uma função linear dos valores da resposta, onde a soma dos coeficientes da função é nula, tendo em consideração que os co- eficientes não são todos nulos. Assim, considere-se os valores da resposta Y , y1, y2, ..., yn. A
combinação linear:
c1y1+ c2y2+ ... + cnyn (2.79)
é um contraste se c1+ c2+ ... + cn= 0, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.
Dois contraste são ortogonais quando a soma do produto dos coeficientes, de duas combi- nações lineares diferentes, é zero.
Como já foi referido, a soma dos quadrados de um factor pode ser decomposta em k − 1 componentes de variação, com um grau de liberdade cada uma. A variação de cada componente é obtida pela seguinte equação:
SSComponenteν= k ∑ i=1 ciν×Yi. 2 n k ∑ i=1 c2iν (2.80) onde,
• ciνé o coeficiente dos contrastes ortogonais para cada nível i do factor, para a componente
de variação ν (linear ν = 1, quadrática ν = 2, cúbica ν = 3);
• n é o número de observações por cada nível i do factor;
• Yi.representa a soma das n observações para cada nível i do factor.
Os coeficientes ciν dos polinómios ortogonais estão na tabela B.1, no anexo B. A análise
(2.80). Depois de se identificarem os factores significativos, e os melhores níveis dos factores, calcula-se o intervalo de confiança para o valor previsto da resposta. Segundo Ross (1988), o intervalo de confiança para a média é obtido a partir da seguinte equação:
I.C. = ˆµ ± s Fα;1;g.l.MSE× MSE × 1 ne f ectivo +1 c (2.81) onde
• MSE representa a variação do erro (quadrado médio do erro); • ˆµ representa o valor esperado para a resposta;
• ne f ectivo representa o número efectivo de replicações;
• c representa o número de experiências de confirmação realizadas.
O valor esperado da resposta ˆµ é obtido da mesma forma que para o desenho de experiências clássico, somando a média das respostas, com a diferença entre a média dos valores da resposta para o melhor nível de um factor significativo e a média das respostas.
Por exemplo: considere-se um desenho de experiências com três factores, A, B e C, com dois níveis cada; verificou-se que os factores que afectam significativamente a média são B, C e AB; os melhores níveis dos factores são A1B2C2. Assim, para o exemplo, o valor esperador é
obtido da seguinte forma:
ˆµ = Y + (B2−Y ) + (C2−Y ) + (A1B2− A1− B2+Y )
O número efectivo de replicações é obtido pela equação: ne f ectivo=
N
1 + g.l.factores significativos
(2.82) onde N representa o número de experiências. O mesmo procedimento é aplicado ao valor esperado para a razão sinal-ruído, tendo no entanto em consideração que se utilizam os factores que afectam significativamente a razão sinal-ruído.