Método ISOPE e Suas Extensões

Em resposta às deficiências da abordagem em duas etapas, notadamente com relação à falta de ajuste do modelo para também reproduzir as condições de KKT da planta, uma abordagem em duas etapas modificada foi proposta, recebendo mais tarde o nome de sistema integrado de otimização e estimação de parâmetros (do termo em inglês Integrated System Optimization and Parameter Estimation - ISOPE) (RO- BERTS, 1979, 1995; ROBERTS e WILLIAMS, 1981). O método ISOPE mantém a estrutura em duas etapas, mas utiliza a interação entre os problemas de estimação de parâmetros e otimização econômica para incorporar informação sobre os gradi- entes da planta, i.e., informação sobre o gradiente das variáveis de saída em relação às variáveis manipuladas. Essa informação é introduzida na função objetivo econô-

mica na forma de uma constante, deduzida a partir das condições de otimalidade de primeira ordem para a planta (condições A.8 a A.11), garantindo que o ponto de convergência do algoritmo corresponda a um ponto KKT da planta.

O método ISOPE originalmente proposto não considera restrições que dependam das variáveis de saída y e pode ser considerado como uma simples modificação da abordagem em duas etapas, em que o problema de estimação de parâmetros perma- nece inalterado e a função objetivo do problema de otimização econômica contém termos extras λT

ku (ROBERTS, 1979). Além disso, admite-se que o número de va- riáveis medidas e de parâmetros do modelo seja o mesmo, o que permite determinar parâmetros θk para os quais as respostas do modelo sejam idênticas aos valores medidos, i.e.,

y(uk, θ) = yp(uk)→ θk . (2.13) Essa hipótese representa uma condição de qualificação do modelo (ZHANG e RO- BERTS, 1991), sendo encontrada em toda a literatura relacionada ao método (BRDYŚ e TATJEWSKI, 2005; ROBERTS, 1995). A otimização econômica mo- dificada segue a seguinte formulação:

u∗_k+1 := arg min u

Jopt := φ [u, y (u, θk)] + λTku

sujeito a uL_{≤ u ≤ u}U , (2.14)

em que a variável λk é denominada modificador. Dessa maneira, admitindo que os gradientes experimentais estejam disponíveis, i.e., que seja possível estimar ∂yp(uk)/∂u, o modificador λk é calculado como (MARCHETTI et al., 2009):

λT_k := ∂φ ∂y[uk, y(uk, θk)]  ∂y_p(uk) ∂u − ∂y(uk, θk) ∂u  . (2.15)

Adicionalmente, um filtro exponencial de primeira ordem, similar ao da Equa- ção (2.4), pode ser usado para determinar o próximo ponto de operação uk+1.

Estudos posteriores dedicaram-se a análises de convergência e otimalidade do método (BRDYŚ e ROBERTS, 1987; BRDYŚ et al., 1987), bem como a estender sua formulação para considerar restrições de desigualdade envolvendo as variáveis de saída do processo (BRDYŚ et al., 1986; ZHANG e ROBERTS, 1991).

Embora o método ISOPE seja capaz de determinar o ponto ótimo verdadeiro da planta mesmo na presença de erros estruturais de modelagem, sua utilização somente será possível se os gradientes experimentais da planta puderem ser estimados, o que constitui a principal desvantagem da técnica e uma das maiores dificuldades da sua implementação prática. Por isso, a literatura também dedica bastante esforço ao desenvolvimento e comparação de métodos para a determinação on-line das deriva- das do processo (BUNIN et al., 2013e; FRANÇOIS et al., 2012; GAO e ENGELL,

2005b; MANSOUR e ELLIS, 2003; ZHANG e FORBES, 2006).

A técnica originalmente proposta no método ISOPE para a determinação dos gradientes experimentais envolve a aplicação de métodos de perturbação estacioná- rios, em que pequenas perturbações são realizadas na planta e os dados estacionários obtidos são usados para o cálculo numérico das derivadas (BRDYŚ et al., 1987; RO- BERTS, 1979). Nesse caso, a estratégia mais direta consiste em estimar os gradientes aplicando técnicas de diferenças finitas diretamente na planta, nas quais cada uma das nu variáveis manipuladas deve ser perturbada em torno do ponto operacional. Por exemplo, aplicando a técnica de diferenças finitas progressivas, a derivada da variável de resposta yj com relação a i-ésima variável manipulada ui (na iteração k do RTO) é estimada como (COSTELLO, 2015):

 ∂y_p,j ∂ui  k = yp,j(uk+ δui)− yp,j(uk) kδuik , (2.16)

em que δui é um vetor alinhado com a i-ésima variável de entrada.

No entanto, essas técnicas são custosas, visto que o estado estacionário deve ser atingido a cada perturbação, principalmente em problemas com muitas variáveis (assim como ocorre nos métodos de busca direta discutidos anteriormente). Essa dificuldade motivou o surgimento de propostas que envolvem versões com informa- ções estatísticas e com identificação de modelos dinâmicos. Esse último teve como objetivo incorporar o procedimento de BAMBERGER e ISERMANN (1978) ao al- goritmo ISOPE, de forma que um modelo dinâmico identificado é usado para estimar as derivadas no regime estacionário (ZHANG e ROBERTS, 1990). Não obstante, essas propostas também se mostraram difíceis de implementar, em virtude de limi- tações relacionadas à presença de ruído e à acurácia das informações obtidas a partir das medidas transientes.

Avanços significativos para a estimação dos gradientes experimentais foram al- cançados com o trabalho de BRDYŚ e TATJEWSKI (1994), por meio da proposta do método ISOPE dual. Os autores propuseram uma implementação diferente da técnica de diferenças finitas, estimando os gradientes sem causar perturbações adi- cionais. No método ISOPE dual, o problema de otimização econômica incorpora uma restrição para a região de busca do próximo ponto de operação como estraté- gia para garantir a existência de perturbação suficiente nas variáveis medidas, para a estimação dos gradientes na iteração seguinte, o que resulta em uma estrutura dual (BRDYŚ e TATJEWSKI, 2005; TADEJ e TATJEWSKI, 2001). Desse modo, a geração de perturbações para a determinação dos gradientes experimentais ocorre simultaneamente à atualização do ponto de operação e não se baseia na perturbação das variáveis, mas em dados estacionários anteriores em conjunto com o dado mais recente.

Matematicamente, dado o ponto de operação uk, o número nu de pontos operaci- onais anteriores uk−nu, . . . , uk−1, e os valores correspondentes de medidas da planta

yp(uk−nu), . . . , yp(uk−1), yp(uk), uma estimativa ˆβk do gradiente ∂yp(uk)/∂u pode

ser determinada por (BRDYŚ e TATJEWSKI, 2005): ∂yp(uk) ∂u ≈ ˆβk := Yp(uk) U −1_(u k) (2.17) com U(uk) := [uk− uk−1 . . . uk− uk−nu] T ∈ Rnu×nu (2.18) Y(uk) := [yp(uk)− yp(uk−1) . . . yp(uk)− yp(uk−nu)] T ∈ Rny×nu (2.19)

em que a Equação (2.17) exige a não singularidade da matriz U(uk). Adicional- mente, a introdução de um limite superior κ(u) ao número de condicionamento de U(uk) auxilia o bom desempenho do método, pois força que a inclusão do pró- ximo ponto operacional não resulte em mau condicionamento da matriz na iteração seguinte (MARCHETTI et al., 2010):

κ(u) := %max[U(u)]

%min[U(u)] ≤ δ (2.20)

em que δ ∈ (0; 1) e %max e %min denotam o maior e o menor valor singular de U(u), respectivamente. Assim, a expressão para o cálculo do modificador no método ISOPE dual passa a ser (MARCHETTI, 2009):

λT_k := ∂φ ∂y[uk, y(uk, θk)]  ˆ β_k− ∂y(uk, θk) ∂u  , (2.21)

em conjunto com a seguinte formulação para o problema de otimização econômica: u∗_k+1 := arg min

u

Jopt := φ [u, y (u, θk)] + λTku sujeito a κ(uk−nu+1, . . . , uk, u)≤ δ

u= (I_{− K) u}k+ K u uL_{≤ u ≤ u}U

, (2.22)

em que u corresponde ao valor filtrado das variáveis manipuladas.

A Equação (2.22) pode adicionalmente incorporar na função objetivo um termo de regularização, ρ kuk− uk2 com ρ > 0 (BRDYŚ e TATJEWSKI, 2005), que con- fere propriedades de otimalidade ao método, mesmo para funções objetivo não con- vexas. O método ISOPE com esse termo de regularização foi chamado de ISOPE aumentado (BRDYŚ et al., 1987).

TATJEWSKI (2002), ao mostrar que a condição de qualificação do modelo (Equa- ção 2.13) pode ser satisfeita sem que haja atualização dos parâmetros do modelo. A eliminação da etapa de estimação dos parâmetros é possível com a introdução de um termo de deslocamento ak := yp(uk)− y(uk, θ) no problema de otimização econômica modificado, rescrevendo a Equação (2.14) como (MARCHETTI et al., 2009):

u∗_k+1 := arg min u

Jopt := φ [u, y (u, θ) + ak] + λTku

sujeito a uL_{≤ u ≤ u}U , (2.23) com λT_k := ∂φ ∂y[uk, y(uk, θ) + ak]  ∂y_p(uk) ∂u − ∂y(uk, θ) ∂u  . (2.24)

Por remover a necessidade de ajuste dos parâmetros, essa formulação, que também foi posteriormente usada por GAO e ENGELL (2005b), deixa de ser bem represen- tada pelo nome ISOPE.