Otimização sob Incertezas

A terceira abordagem para lidar com as incertezas no sistema RTO contempla tanto a viabilidade da solução quanto a sua utilidade para a melhoria de desempenho econômico, correspondendo à única abordagem que considera explicitamente as in- certezas para a solução do problema de otimização.

Lembrando que tanto os parâmetros θ quanto as variáveis de decisão u são infe- rências dos valores verdadeiros e desconhecidos dessas variáveis com base nos dados medidos, fica evidente que esses elementos também são variáveis aleatórias. Assim, restrições e função objetivo do problema de otimização econômica correspondem a transformações aplicadas sobre a média dessas variáveis aleatórias, i.e.,

Jopt := φ (E [u] , E [θ]) gj(E [u] , E [θ])≤ 0 ,

(2.53)

assumindo, portanto, um caráter igualmente aleatório. Se as funções φ(·) e g(·) consistirem apenas de transformações lineares, então a seguinte expressão é válida:

Jopt := E [φ (u, θ)] E[gj(u, θ)]≤ 0 .

(2.54)

Assim, resolver o problema (2.3) com base nas Equações (2.54) por meio de um algoritmo determinístico (e.g., SQP) garante apenas que cada restrição seja atendida em metade dos casos, o que geralmente não é considerado satisfatório. Além disso, a formulação resultante despreza a distribuição de probabilidades das funções, bem como a faixa de valores possíveis, e não limita a quantidade esperada de violações. Adicionalmente, caso as funções φ(·) e gj(·) correspondam a transformações não lineares, não há formulação analítica prévia que possa indicar as consequências da resolução determinística na otimalidade e viabilidade da solução, comprometendo a confiabilidade dos resultados sugeridos pelo sistema RTO (QUELHAS, 2013).

A abordagem mais rigorosa para considerar explicitamente as incertezas no pro- blema de otimização e impor a viabilidade do problema descrito pela Equação (2.1)

corresponde à otimização sob incertezas, representada pela programação estocástica e pela otimização robusta, que requerem um modelo das restrições e são geralmente aplicados nas fases iniciais de projeto (BEYER e SENDHOFF, 2007). A abordagem padrão é a programação estocástica, que supõe uma distribuição de probabilidade para os possíveis valores de θ e tentam satisfazer a Equação (2.49) com um nível de confiança, enquanto a otimização robusta, seguindo a abordagem do pior caso, busca essencialmente o mesmo objetivo, mas sem admitir hipóteses sobre a distribuição de θ e considerando o nível de confiança 100% (BEN-TAL et al., 2009). A otimiza- ção robusta é geralmente considerada uma abordagem muito conservadora, uma vez que ela considera todos os possíveis desvios, enquanto a programação estocástica é afetada pelas hipóteses necessárias á formulação do problema.

Reformular o problema de otimização econômica como um problema de otimiza- ção sob incertezas implica escrever as restrições levando em conta, explicitamente, sua natureza probabilística e a probabilidade de violação das restrições sob dado nível de confiança α. Dessa maneira, as restrições podem ser definidas como:

JPC: P [gj(u, θ)≤ 0, j = 1, . . . , ng]≤ α , (2.55) ou

IPC: P [gj(u, θ) ≤ 0] ≤ αj, j = 1, . . . , ng . (2.56) A função objetivo também deve ser redefinida, sendo que a formulação comumente adotada consiste em uma combinação linear entre a esperança matemática e a vari- ância da função objetivo (DARLINGTON et al., 1999),

Jopt := w1E[φ (u, θ)] + w2V ar[φ (u, θ)] . (2.57) Assim, o problema de otimização econômica pode ser rescrito como um problema de otimização sob incertezas:

min u J opt _{:= w} 1E[φ (u, θ)] + w2V ar[φ (u, θ)] sujeito a g(x, u, θ)_{≤ 0} ou, P [gj(u, θ)≤ 0, j = 1, . . . , ng]≤ α ou ainda, P [gj(u, θ)≤ 0] ≤ αj, j = 1, . . . , ng . , (2.58)

A formulação apresentada na Equação (2.58) é genérica, sendo tradicionalmente classificada como programação estocástica ou otimização robusta, a depender das características da função objetivo e restrições, e varia de acordo com a estratégia exigida pelo problema para contemplar os efeitos das incertezas. Dentre as caracte-

rísticas mais relevantes, destacam-se:

• A função objetivo apresentada na Equação (2.57) é geralmente usada em pro- blemas de otimização robusta (de acordo com a Equação A.30) e estabelece um critério multiobjetivo entre otimalidade e viabilidade, ponderando o máximo desempenho (valor médio) e a robustez (variância) (MANDUR e BUDMAN, 2014). No entanto, com frequência admite-se que o termo da variância da fun- ção objetivo não muda significativamente no ponto ótimo e a expressão é sim- plificada, contendo apenas o termo da média (KOOKOS, 2003; OSTROVSKY et al., 2010; ZHANG et al., 2002). Adicionalmente, o termo da variância na Equação (2.57) pode não ser uma boa medida de risco, pois exige que a dis- tribuição de probabilidade das variáveis aleatórias seja simétrica em torno do respectivo valor médio (MULVEY et al., 1995). Além disso, no caso especí- fico da otimização econômica, deve-se considerar que a mesma penalização é dada tanto à contribuição da variabilidade, que torna o lucro superior, quanto àquela que torna o lucro inferior.

• O problema de otimização econômica poderia ser reformulado como um pro- blema de programação estocástica, de acordo com a Equação (A.28), para um problema de otimização sujeito a restrições de probabilidade conjunta (JPC); ou, de acordo com a Equação (A.29), para um problema de otimização sujeito a restrições de probabilidade individual (IPC) (KALL e WALLACE, 1994). A formulação das restrições, conforme a Equação (2.55), assegura que os valo- res buscados pelo algoritmo de otimização para as variáveis de decisão sejam capazes de garantir que todas as restrições sejam simultaneamente satisfeitas ao nível de confiança α. Embora mais rigorosa, as dificuldades impostas pela restrição (2.55) à resolução do problema (A.28) fazem com que o problema IPC (Equação A.29) seja mais abordado na literatura (ZHANG et al., 2002). No caso das restrições IPC, representadas pela Equação (2.56), a correlação entre as restrições é ignorada e procura-se garantir a probabilidade de que cada restrição seja atingida isoladamente.

No contexto da otimização sob incertezas, o custo computacional requerido pe- los algoritmos de otimização é, em alguns casos, fator limitante para a resolução do problema. Desse modo, MANDUR e BUDMAN (2014) apresentaram um algoritmo eficiente para solução do problema de estimação de parâmetros, formulado como um problema de otimização robusta, quando incertezas paramétricas são descritas usando o Teorema de Bayes. A dificuldade de resolução do problema consiste na determinação da distribuição de probabilidades que resulta da aplicação do Teorema de Bayes, que exige elevado número de simulações. Assim, uma proposta de me-

elevada acurácia nas regiões do espaço paramétrico em que a probabilidade é re- lativamente alta. A abordagem define diferentes níveis de resolução, em que cada nível é avaliado com o critério de divergência de Kullback-Leibler para selecionar regiões dos parâmetros onde a mudança na distribuição de probabilidades é maior que uma dada tolerância. Assim, no próximo nível de resolução, bases funcionais são adicionadas apenas nessas regiões de elevada probabilidade, resultando em um refinamento adaptativo. Tendo obtido a descrição das incertezas, uma expansão é usada para propagar a incerteza paramétrica estimada na função objetivo. Uma vez que a expansão permite a determinação da média e variância analiticamente, uma redução significativa no tempo computacional é alcançada quando comparada ao método de Monte Carlo.

Na literatura, os estudos de caso apresentados lidam com funções de restrição nas quais a incerteza aparece linearmente (LI et al., 2008; MESFIN e SHUHAIMI, 2010; ZHANG et al., 2002), com exceção do trabalho de KOOKOS (2003). No contexto da otimização em tempo real, ZHANG et al. (2002) desenvolveram uma abordagem para um sistema RTO robusto, que lida efetivamente com incertezas paramétricas. A principal contribuição foi a incorporação da incerteza no problema de otimização econômica, usando métodos de programação estocástica. Por meio de um estudo simulado para o problema de blending da gasolina, o sistema RTO foi implemen- tado para determinar o fluxo de matérias-primas que maximizam a rentabilidade, mas sem violar especificações de qualidade. Ambas as formulações JPC e IPC para as restrições foram avaliadas, mostrando que o uso da formulação IPC para casos com correlação entre as restrições probabilísticas reduz a robustez do sistema RTO. Embora a satisfação das restrições de probabilidade individual na formulação IPC pode ser ajustada para produzir robustez similar à formulação JPC, tal ajuste é arbitrário e pode ser inviável para problemas de elevada dimensão. Além disso, os autores ressaltaram o alto custo computacional requerido para resolver o problema pela formulação JPC, causado principalmente pelas simulações de Monte Carlo ne- cessárias para caracterizar as PDFs conjuntas dos parâmetros e pelo algoritmo de otimização usado para resolver o problema JPC. Nesse caso, algoritmos específicos ao problema, computadores de processamento paralelo e métodos de aproximação das distribuições de probabilidade podem reduzir substancialmente o custo compu- tacional.

Dentro do contexto de otimização da produção, mas sem implementar uma es- tratégia on-line, HANSSEN e FOSS (2015) formularam um problema de otimização para estudos simulados de produção de petróleo, tendo como objetivo maximizar o potencial de óleo para um conjunto de poços entre alguns cenários. O modelo de otimização foi formulado como um problema de programação estocástica em dois estágios linear, cuja solução consiste em uma estratégia de operação dos poços em

lugar de um único setpoint. Resultando em problema de programação linear inteira mista (MILP), o estudo simulado indicou que a abordagem proposta melhorou a expectativa de produção de óleo em 1,5%.

Embora seja o modo que responde de forma mais completa aos efeitos das incer- tezas em um problema de otimização, problemas de otimização estocástica aplicados em sistemas industriais não foram encontrados, provavelmente devido à complexi- dade de implementação e resolução computacional envolvidos (QUELHAS, 2013). Apesar disso, KASSMANN et al. (2000) propuseram um algoritmo MPC robusto em duas camadas com restrições de probabilidade conjunta (JPC), composto por cál- culo de setpoint estacionário seguido por otimização dinâmica, que posteriormente originou uma patente assinada pela Aspen Technology, Inc. (Cambridge, MA, EUA) (KASSMANN et al., 2002). O cálculo do setpoint foi formulado como um problema de programação estocástico linear, considerando incertezas paramétricas na matriz de ganho estático do ponto de operação nominal. Entretanto, tais modelos de ga- nho estacionário podem não representar o processo corretamente quando o ponto de operação nominal muda significativamente. Apesar do controlador permanecer estável para grandes mudanças na operação, os resultados da otimização econômica podem deixar ser ótimos e viáveis (ZHANG et al., 2002).

Enquanto os métodos de otimização sob incertezas são teoricamente plausíveis, existem diversas dificuldades para sua aplicação em sistemas RTO (QUELHAS et al., 2013). A questão imediata que deveria ser considerada consiste na suposição inicial de que a incerteza é unicamente paramétrica, o que não é válido no caso geral. Quando incertezas estruturais de modelagem estão presentes, ambas as abordagens perdem o rigor teórico, em que o grau de perda varia naturalmente com a quantidade de incerteza estrutural (BUNIN et al., 2013b). No entanto, é muito difícil não admitir a priori a hipótese de que o modelo seja perfeito, sobretudo para o trabalho de estimação de parâmetros, pois se erros de modelagem fossem conhecidos e o modelo pudesse ser melhorado, não haveria razão, a princípio, para utilizar um modelo errado (SCHWAAB e PINTO, 2007). Adicionalmente, mesmo quando a suposição de incerteza paramétrica é válida, obter a distribuição de probabilidade ou os limites superior e inferior dos parâmetros para o cenário do pior caso pode ser muito desafiador.

Por fim, o problema pode se tornar computacionalmente intratável, dependendo da distribuição de probabilidades e da maneira com que os parâmetros participam das restrições, o que se torna particularmente problemático quando o número de parâmetros incertos e restrições aumenta. Embora algumas propostas sugiram a solução do problema por linearização das restrições com relação aos parâmetros (ZHANG et al., 2002), podem surgir erros significativos quando o processo é não linear, mesmo se o modelo for perfeito (i.e., não houver incerteza estrutural) (BUNIN

et al., 2013b).