Métodos de Solução

Diferentes métodos da solução foram empregados em aplicações industriais de DR. Os métodos dependem do tipo de formulação usada na modelagem do problema e muitas vezes exploram algumas características particulares, a fim de alcançar cálcu-

los mais rápidos e eficientes.

Quando o problema de programação matemática resultante é uma estimação de mínimos quadrados ponderados com restrições de lineares ou bilineares, solu- ções analíticas e procedimentos iterativos específicos foram usados (BHAT e SA- RAF, 2004; HOLLY et al., 1989; SÁNCHEZ e ROMAGNOLI, 1996; ZHANG et al., 2001a). No entanto, à medida que mais relações, além das equações gerais de balanço de massa, são necessárias para modelos rigorosos, bem como limites das variáveis e restrições de viabilidade, o uso de tais metodologias é limitado. Além disso, o desenvolvimento de soluções analíticas para problemas lineares e bilineares no con- texto de aplicações reais também pode ser motivado por limitações computacionais e de programação, o que mudou notavelmente com a maior disponibilidade e custo reduzido de computadores de alto desempenho.

Na ausência de restrições de desigualdade g(·), a solução de problemas não linea- res de DR foi obtida pelo uso do método de multiplicadores de Lagrange (EKSTEEN et al., 2002; HU e SHAO, 2006; MEYER et al., 1993), em que as derivadas parciais da função de Lagrange do problema são igualadas a zero e o sistema de equações resultante é resolvido por um algoritmo de resolução simultânea ou pelo método de linearização sucessiva (CHRISTIANSEN et al., 1997; HU e SHAO, 2006; ISLAM et al., 1994; WEISS et al., 1996). Nesse último, aproximações lineares das restrições são obtidas por uma expansão em série Taylor em torno da iteração anterior e uma série de problemas de reconciliação de dados lineares é resolvida, até que se obtenha uma solução que satisfaça as restrições não lineares. Cada solução intermediária é o ponto ótimo para as restrições lineares. A linearização sucessiva apresenta certa simplicidade e cálculos rápidos, embora não seja capaz de lidar com limites nas variá- veis e possa apresentar falhas de convergência (ISLAM et al., 1994; ROMAGNOLI e SÁNCHEZ, 2000).

O método mais amplamente utilizado para resolver problemas de DR não- lineares, como o da Equação (5.1), consiste na aplicação de algoritmos genéricos e bem estabelecidos de NLP. Com efeito, vários trabalhos mostraram que o uso de NLP, em vez de linearização sucessiva, melhorou significativamente os resultados da reconciliação (BARBOSA JR et al., 2000; LIEBMAN e EDGAR, 1988), de modo que as técnicas de programação não-linear emergiram como as mais eficientes. Esse método permite o uso de uma função objetivo geral e não linear, como estimadores robustos, e pode lidar explicitamente com restrições de desigualdade. As restrições de desigualdade, como limites das variáveis, são geralmente necessárias no modelo de DR para garantir estimativas viáveis, como estimativas não negativas para flu- xos ou composições. Além disso, em conjunto com a DR estacionária, métodos que aplicam os algoritmos NLP são usados também na solução de problemas de otimiza- ção dinâmica, como os resultantes da DR dinâmica não linear (MCBRAYER et al.,

1998; SODERSTROM et al., 2000). Assim, o método NLP é capaz de resolver uma formulação mais completa da reconciliação de dados.

ISLAM et al. (1994) testaram os três métodos em um pacote de reconciliação de dados para um reator de pirólise industrial. No entanto, a discussão é limitada à influência da estimativa inicial em cada método. Observou-se que os valores de estimativa inicial longe dos valores de estado estacionário fizeram com que o método de linearização sucessiva falhasse, convergindo para valores de estado estacionário incorretos. O método NLP baseado em programação quadrática sucessiva (SQP), por sua vez, exigiu um maior tempo computacional para obter um resultado com- parável, mas funcionou bem em todos os casos com limites superiores e inferiores para todas as variáveis reconciliadas. O uso de SQP na ausência de limites nas variáveis não foi relatado. WEISS et al. (1996) também avaliou estes três métodos de resolução de reconciliação de dados em um reator industrial de pirólise. Os auto- res observaram resultados semelhantes entre os métodos, o que incentivou o uso da técnica de linearização sucessiva, já que o grande tempo computacional exigido pelo método NLP não pôde ser justificado. No entanto, resultados semelhantes entre os métodos não são observados em outros trabalhos. No trabalho de CHRISTIANSEN et al. (1997), aplicando DR à produção industrial do gás da síntese, a linearização sucessiva foi aplicada somente quando os balanços de massa foram considerados. Para o uso de um modelo mais rigoroso, incluindo o balanço de energia, bem como em estudos para investigar a planta ao longo de um período de tempo, o método de NLP foi acoplado a um algoritmo SQP com limites nas variáveis independentes.

Ambos os métodos de multiplicadores de Lagrange e NLP foram avaliados por EKSTEEN et al. (2002) na DR para um forno de fundição de arco aberto. Desvios sistemáticos foram observados nos resultados, sendo maiores quando o método de multiplicadores de Lagrange foi usado. Entretanto, esta comparação não foi neces- sariamente justa, pois os métodos não foram avaliados para uma mesma formulação do problema; o método de multiplicadores de Lagrange resolveu a minimização do resíduo das equações das equações de balanço de massa ponderadas pela variância, enquanto o método de NLP resolveu a minimização da soma ponderada de erros quadráticos. Em outros trabalhos, os multiplicadores de Lagrange e o método de linearizações sucessivas foram empregados para resolver a DR não linear em uma planta de coqueamento, com base nos balanços de massa por componentes e no ba- lanço de vazões (HU e SHAO, 2006). Argumentou-se que a linearização sucessiva tem a vantagem de ser relativamente simples e permitiu cálculos mais rápidos e que, em geral, o método de multiplicadores de Lagrange tendia a deslocar com maior frequência os valores reconciliados em uma direção.

Mesmo com a maior disponibilidade de computadores de alto desempenho, lidar com o grande número de variáveis de decisão continua a ser um desafio quando

se usam métodos NLP em aplicações industriais, bem como a natureza não linear e não convexa da função objetivo, do modelo do processo e das outras restrições. Observou-se que alguns algoritmos de NLP se tornam ineficientes quando o número de graus de liberdade é alto (LUCIA e XU, 1990; LUCIA et al., 1993) e a dimensão do problema de DR para modelos de grande dimensão pode impedir que técnicas usuais de otimização resolvam corretamente o problema (FABER et al., 2007). Como resultado, muitos autores propuseram abordagens de decomposição do problema, como uma estratégia de solução para superar essa dificuldade ao empregar algoritmos padrão de NLP, ou propuseram algoritmos de otimização adaptados para problemas com muitos graus de liberdade.