Matemática

Os conhecimentos matemáticos necessários para a solução das questões da área de Matemática do ENEM, encontram-se na Matriz de Referência para o ENEM 2009 divididos em cinco grupos de conhecimentos: (1) numéricos, (2) geométricos, (3) estatística e probabilidade, (4) algébricos e (5) algébricos/geométricos. A matriz de cada um desses conhecimentos estabelece os conhecimentos específicos exigidos e que são descritos15 a seguir:

 Conhecimentos numéricos: operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.

 Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.

 Conhecimentos de estatística e probabilidade: representação e análise de dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.

15 _{As descrições dos conhecimentos necessários para a solução das questões de ―Matemática e suas tecnologias‖}

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 Conhecimentos algébricos: gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

 Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.

É muito importante o entendimento do conhecimento numérico pelo estudante, pois tal conhecimento permite uma compreensão do significado dos números e suas propriedades que influenciam o desenvolvimento de estratégias de solução de problemas mais complexos em Matemática. No ENEM, o estudante precisa do conhecimento numérico para fazer reflexões, análises e relações desse conhecimento com o que é proposto nas questões.

Tratando dos conhecimentos numéricos, os PCNs informam que

Os conhecimentos numéricos são construídos e assimilados por alunos num processo dialético em que intervém como instrumentos eficazes para resolver e como objetos que serão estudados, considerando suas propriedades, relações e modos como se configuram historicamente. (BRASIL, 1997, p.39).

De acordo com os PCNs, tais conhecimentos podem ser desenvolvidos e construídos a partir da participação dos estudantes na definição do que são números de acordo com o que eles já trazem do meio social em que estão inseridos. Essa afirmação parece estar vinculada ao construtivismo piagetiano. No entanto, não é só o ambiente que pode influenciar o conhecimento do estudante e, sim a interação recíproca entre o comportamento, fatores pessoais e o ambiente. Essa interação é tratada por Bandura como agência humana e significa que as pessoas podem transformar e exercer influência sobre o meio e a si mesmo pelo pensamento e ação. A Teoria

Social Cognitiva sugere que uma parte significativa daquilo que o estudante aprende resulta da modelação, isto é, a aquisição de novos comportamentos em decorrência da imitação de algum modelo (COSTA, 2008). Por exemplo, na sala de aula, a conduta do professor ou a postura de um colega podem influenciar a origem de uma aprendizagem modelada.

A partir dessas considerações sobre a aprendizagem, o entendimento e a aprendizagem do conhecimento numérico afetam o desempenho do estudante em Matemática, bem como o desenvolvimento do seu senso numérico.

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Para Corso e Dorneles (2010) o senso numérico se refere à facilidade e à flexibilidade dos indivíduos com números e à sua compreensão; possuir o senso numérico é uma forma de interagir com os números, criando possibilidades ao estudante de lidar com as situações diárias que incluem quantificações e o desenvolvimento de estratégias eficientes. De acordo com as autoras,

possuir senso numérico permite que o indivíduo possa alcançar: desde a compreensão do significado dos números até o desenvolvimento de estratégias para a resolução de problemas complexos de matemática; desde as comparações simples de magnitudes até a invenção de procedimentos para a realização de operações numéricas; desde o reconhecimento de erros numéricos grosseiros até o uso de métodos quantitativos para comunicar, processar e interpretar informação. (CORSO; DORNELES, 2010, p.299)

À medida que o estudante desenvolve sua capacidade numérica, ele é capaz de efetuar cálculos numéricos mais complexos. De acordo com Nunes e Bryant (1997) para que o estudante possa realizar cálculos mais complexos, será necessário um grau de conhecimentos prévios que servirão de base para todo e qualquer outro conhecimento e operação matemática com as quais os estudantes se defrontem posteriormente.

Os conhecimentos geométricos envolvem uma área da Matemática em que os estudantes costumam apresentar interesse de forma espontânea. A aprendizagem de geometria envolve o estabelecimento de relações significativas com os conceitos numéricos o que pode favorecer o desenvolvimento do raciocínio, da criatividade, da lógica e da organização do conhecimento. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, ao tratar do uso de formas geométricas como uma maneira de representação do mundo, chama a atenção para os aspectos de generalização à partir de atividades que envolvam a geometria.

Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para resolução de questões da Matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante deste tema, o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução para problemas. (BRASIL, 1998, p.123)

Para uma compreensão melhor dos aspectos relacionados à geometria é necessário considerar o entendimento da mesma. Freudenthal (1973) definiu a geometria de duas formas diferentes. Em um nível mais avançado a geometria é considerada uma parte da Matemática que está axiomaticamente organizada, enquanto que, em um nível mais elementar, a geometria se constitui em compreender, basicamente, o espaço em que o estudante vive, respira e se move. De acordo com o autor a geometria é uma das melhores oportunidades que existem para aprender

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Matemática aplicada à realidade. De fato, os conteúdos geométricos podem ser trabalhados com aplicações em problemas do cotidiano. Por exemplo, o estudo da geometria espacial pode auxiliar na determinação de quantos litros de água serão necessários para encher completamente uma piscina na forma de paralelepípedo com 5 m de comprimento, 3 m de largura e 1,80 m de altura.

Saraiva (1992) e Lorenzato (1995) em textos sobre o ensino da Matemática salientaram a importância da geometria nas escolas pela possibilidade de sua aplicação em problemas do cotidiano e também na compreensão e solução de problemas de outras áreas do conhecimento; de certa maneira, a geometria propicia a descoberta e a aprendizagem da realidade.

Sherard III (1981) ao tratar da importância da geometria considerou-a como de grande relevância, pois além de ter aplicações em problemas do cotidiano, é usada também em problemas que envolvem outros tópicos da Matemática, como álgebra, aritmética e estatística. Segundo o autor, ―a geometria pode servir de veículo para estimular e exercitar habilidades de pensamento e de solução de problemas, fornecendo aos estudantes oportunidades de olhar, medir, estimar, generalizar e abstrair‖ (SHERARD III, 1981, p. 21).

Como visto, o conhecimento geométrico é importante para o desenvolvimento do raciocínio lógico do estudante, da capacidade de abstração e propicia ao estudante estabelecer relações.

Já os conhecimentos de estatística e probabilidade são importantes ao longo da escolaridade dos estudantes, pois o conhecimento e utilização de conceitos de estatística e suas aplicações proporcionam aos alunos a descrição e interpretação da realidade por meio de análises de tabelas e gráficos. A probabilidade possibilita a compreensão de acontecimentos do cotidiano que são de natureza aleatória, permitindo a identificação de possíveis ocorrências. Lopes (2008) afirmou que o estudo da estatística e da probabilidade é indispensável ao indivíduo, pois o ensino da Matemática não tem o compromisso de apenas ensinar o domínio dos números, mas contribuir também para a organização de dados, leitura de gráficos e análises estatísticas.

O uso da estatística e da probabilidade nas aulas de Matemática, segundo Trompler (1982) pode humanizar a disciplina, pelo fato de estarem ligados a problemas do cotidiano, já que relaciona ciências experimentais, naturais, econômicas e sociais de todos os tipos, como ferramentas de trabalho ligadas à Matemática. Nesse aspecto, o texto relativo ao ENEM, apresenta concordância pois ressalta que

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e procedimentos que permitem aplicar a Matemática em questões do mundo real, mais especialmente aquelas provenientes de outras áreas. Devem ser vistas também como formas de a Matemática quantificar e interpretar conjuntos de dados ou informações que não podem ser quantificados direta ou exatamente. (BRASIL, 1998 p.126)

Em relação aos conhecimentos algébricos, de acordo com Lins e Gimenez (1997), ―a álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade e desigualdade‖ (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 137).

A álgebra é uma importante ferramenta para o estudo da Matemática, pois por meio dela é possível representar termos ou quantidades conhecidas e desconhecidas, estabelecer relações em formas de operações matemáticas, resolver e demonstrar problemas. Além disso, o desenvolvimento da álgebra foi possível devido à busca por generalizações dos problemas aritméticos e geométricos (GARCIA, 1997).

Nas últimas décadas o interesse na discussão da aritmética e da álgebra tem sido muito explorado, por exemplo, nas dificuldades encontradas pelos estudantes e na ideia de que a aritmética e a álgebra podem caminhar conjuntamente.

Em uma investigação a respeito das dificuldades dos alunos no entendimento da álgebra, Ponte (2006) afirmou que os estudantes apresentam dificuldades na transição da aritmética para a álgebra. O autor exemplificou tais dificuldades como: (a) dar sentido a uma expressão algébrica, (b) não ver a letra como representação de um número, (c) atribuir significado concreto às letras, (d) pensar uma variável com o significado de um número qualquer, (e) passar informação da linguagem natural para a algébrica e (f) não distinguir adição aritmética (2 + 5) da adição algébrica (x + 4).

Garcia (1997) em um estudo sobre os aspectos históricos da transição da aritmética para a álgebra considerou que as causas dessas dificuldades podem ter diversas origens e uma delas é a comunicação por meio de uma linguagem estranha para o estudante que está iniciando a aprendizagem em álgebra que é diferente e puramente simbólica.

Nessa mesma direção, Kieran (1990) em um estudo sobre a aprendizagem e o ensino da álgebra afirmou que quando os estudantes iniciam os estudos em álgebra, eles levam consigo concepções geradas a partir das suas experiências na aritmética e essas concepções tendem a ser ampliadas e até modificadas para tratar com as exigências da álgebra. No entanto, existem certos

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aspectos dessa área que não representam uma continuação dos métodos e símbolos aprendidos na aritmética e uma dessas descontinuidades é a introdução de representações formais e métodos para resolver problemas que, até então, tinham sido tratados de forma intuitiva. A autora salientou que a álgebra não deve ser vista apenas como uma generalização da aritmética, levando em consideração a simplicidade do seu método e a sua representação e registros formais.

No que se refere à coexistência da aritmética e da álgebra, Lins e Gimenez (1997) consideraram que a aritmética não deveria necessariamente preceder a álgebra, mas deveriam coexistir, de forma que uma esteja implicada no desenvolvimento da outra. Segundo os autores, ―o que precisamos fazer é entender de que modo álgebra e aritmética se ligam, o que elas têm em comum. Feito isso, teremos encontrado uma verdadeira raiz, o que nos permitirá repensar a educação aritmética e algébrica de forma única‖ (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 113). Assim, a álgebra não deve ser vista como uma generalização da aritmética, pois, sua aprendizagem pode ser considerada muito difícil pelos estudantes. O estudo da álgebra nas atividades escolares é muito importante, pois a educação algébrica contribui para o desenvolvimento de recursos que auxilia o estudante na solução de problemas em Matemática.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, os conhecimentos algébricos/geométricos têm como finalidade abordar algebricamente as propriedades e os elementos geométricos, ou seja, relacionar a álgebra com a geometria. Por exemplo, um estudante do ensino médio pode utilizar conhecimentos algébricos, como solução de equações, para resolver problemas geométricos.

O aluno deve perceber que um mesmo problema pode então ser abordado com diferentes instrumentos matemáticos de acordo com suas características. Por exemplo, a construção de uma reta que passe por um ponto dado e seja paralela a uma reta dada pode ser obtida de diferentes maneiras. Se o ponto e a reta estão desenhados em papel, a solução pode ser feita por meio de uma construção geométrica, usando-se instrumentos. No entanto, se o ponto e a reta são dados por suas coordenadas e equações, o mesmo problema possui uma solução algébrica, mas que pode ser representada graficamente (BRASIL, 1998 p.124).

Assim, os conhecimentos algébricos/geométricos podem auxiliar os estudantes na compreensão de figuras geométricas por meio de equações, e na compreensão de equações por meio de figuras geométricas, permitindo um melhor entendimento da relação entre a álgebra e a geometria.

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