3. MODELAGEM MATEMÁTICA COMO SUPORTE PARA AS ATIVIDADES
Neste capítulo, estabeleço a Modelagem Matemática no aspecto da Matemática Aplicada. A minha trajetória descrita no Capítulo 1, seção 1.1., demonstra a importância dessa relação no meu percurso profissional.
Adentro o capítulo apresentando algumas reflexões sobre o processo da escolarização e também considerações sobre a Modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem da Matemática. A minha preocupação aqui é levantar os estudos realizados sobre esse tema e mostrar a importância desse caminho para a Educação Matemática.
Por fim, tento resgatar os trabalhos de Modelagem Matemática relacionados com a Educação Ambiental, nos níveis de Ensino Fundamental e Médio.
3.1. Modelagem e Matemática Aplicada
Desde a antigüidade, a Matemática vem servindo como instrumento para interpretar o mundo. Através da experiência vivida, os homens constroem modelos e fazem uso da Matemática como uma das ferramentas na busca de soluções.
Várias foram as contribuições do uso da Matemática para descrever situações e buscar soluções. Isso vai ao encontro da Modelagem Matemática, cujo objetivo é equacionar uma situação real e auxiliar na tomada de decisão através da utilização de ferramentas matemáticas.
A Modelagem é tão antiga quanto a própria Matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos, cuja habilidade em fazer previsões precisas era uma forma de poder e dominação, estando destinada às elites.
Entretanto, os recursos tecnológicos disponíveis na época eram bastante precários, o que vinha a dificultar o avanço dos modelos, considerando que a grande dificuldade centrava na complexidade numérica. Atualmente, isso tem sido facilitado pelo avanço dos computadores. Além disso, o acesso a esses equipamentos no mercado vem ganhando força.
O século XX, marcado pelo crescimento populacional, a industrialização e a complexidade do sistema produtivo, dificultou a tomada de decisões, que passou a
requerer modelos matemáticos mais complexos. Assim, tiveram início os avanços tecnológicos para a construção de computadores mais eficazes, passando a favorecer a tomada de decisão de situações mais complexas.
Diante da impossibilidade de lidar diretamente com a complexidade do mundo, cada vez mais o homem tem-se tornado mais hábil no tratamento da representação e solução da realidade, que vai ao encontro da Modelagem Matemática.
A Modelagem Matemática pode servir a diferentes áreas, a saber, Biomatemática, que visa a compreender os fenômenos biológicos através da Matemática; a Macroeconomia, Microeconomia e Econometria, que estão relacionadas ao uso da Matemática na economia; Pesquisa Operacional, que utiliza a Matemática para solucionar problemas referentes ao planejamento e controle da produção de companhias. As mais diferentes áreas, seja na economia, na indústria ou na política, requerem modelos matemáticos para subsidiar a tomada de decisões.
Em problemas da área de Biomatemática, três aspectos devem ser considerados: a) formulação do problema a partir do problema biológico; b) análise do modelo e simulação com o modelo; c) interpretação e discussão biológica dos resultados. Um grande destaque nessa área é dado aos problemas que envolvem Dinâmica de Populações, cujos indivíduos podem ser moléculas bioquímicas, bactérias, neurônios, células, insetos, indivíduos infectados, colônias de abelhas, etc. O conceito de dinâmica populacional tem auxiliado muito o desenvolvimento da Biomatemática, alcançando problemas de áreas tão diversas como Imunologia, Epidemiologia, Neurobiologia, Sociobiologia, Ecologia, dentre outras.
Na Macroeconomia, modelos matemáticos podem ser utilizados para fazer análise de equilíbrio: equilíbrio de mercado, equilíbrio de renda, dívida. Podem ser usados também para fazer análise dinâmica de sistemas: modelos de dívida externa, renda familiar, mercado, ciclos de maturação.
Na Pesquisa Operacional, são várias as ramificações: Programação Linear, Programação Linear Inteira, Programação Não-Linear, Programação Dinâmica, Programação Estocástica, Simulação, Heurística, entre outras. Em 1947, Dantzig, inspirado pelos problemas causados pela II Guerra Mundial1, aliados ao
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desenvolvimento de computadores eletrônicos em larga escala, cria uma ferramenta matemática e um método computacional, o algoritmo simplex, dando importante contribuição à Programação Linear.
A Programação Linear acomoda várias aplicações e é de fácil entendimento. Por exemplo, é possível se trabalhar com a Programação Linear no Ensino Fundamental, envolvendo apenas duas variáveis através da resolução gráfica. O problema do transporte, que em linhas gerais tem como objetivo enviar um determinado produto de suas origens para os seus destinos, satisfazendo às necessidades de abastecimento dos destinos e também a capacidade de suas origens, com custo total mínimo, consiste em uma das primeiras e mais fecundas aplicações da Programação Linear. Na Programação Linear, as restrições e função objetiva são lineares e as variáveis reais.
Várias aplicações reais podem ser colocadas na forma da Programação Linear Inteira, como, por exemplo, problema de alocação de tarefas às máquinas, problema de corte e empacotamento, carregamento de veículos. A diferença básica entre problemas dessa categoria em relação à Programação Linear é que as variáveis precisam ser inteiras e não apenas reais como na Programação Linear.
Ainda na Pesquisa Operacional, uma outra classe de problemas se enquadra nos chamados problemas de roteamento. Problemas dessa natureza, além de exigirem variáveis inteiras, a solução precisa formar uma rota. Há uma grande variedade de aplicações que podem ser representadas por esse tipo de formulação, tais como, distribuição de diversos produtos: jornais, bebidas, gás, derivados do petróleo, alimentos; transporte escolar; sistemas de transportes de coletivos urbanos; recolhimento de lixo; roteamento em linhas áreas. Os algoritmos usados para resolver tais problemas apresentam grande complexidade.
Além destas, é possível citar a Programação Não-Linear cuja função objetiva é não-linear; a Programação Dinâmica que trabalha com vários estágios do fenômeno; a Programação Estocástica, que faz uso de fatores aleatórios comumente encontrados em processos biológicos.
A difusão do uso de modelos matemáticos para a análise de decisão nas empresas é recente. Hoje, executivos de grandes empresas consideram essencial que, para manter lucros, é necessário melhorar as maneiras tradicionais de coletar e analisar dados. Além disso, na economia de hoje, fatores tecnológicos, ambientais e
competitivos interagem tipicamente de forma complicada, tornando difícil compor uma programação que seja tanto realística como econômica. Ao estabelecer vários fatores complicantes, torna-se premente introduzir a Modelagem Matemática para auxiliar a obter a solução mais conveniente, levando em consideração vários aspectos de interesse.
Muitas vezes, os problemas existentes nas indústrias apresentam dificuldades para serem solucionados, pois, em geral, a literatura não dispõe de modelos apropriados para o tratamento de tais problemas. Para contornar essa situação, tem- se feito uso de heurísticas, ou seja, regras que representam a situação real, fornecendo uma solução aproximada para o problema. Atualmente, vários pesquisadores têm-se envolvido no estudo de algoritmos para a construção de heurísticas.
O mercado atual disponibiliza aplicativos que favorecem a representação do modelo de forma mais interativa com o usuário. Isso é de fundamental importância porque permite a rapidez de possíveis modificações, como, por exemplo, redefinição de variáveis, de dados, ou mesmo de restrições.
Mais recentemente, no campo da Modelagem Matemática, surge a lógica fuzzy2, que fornece uma teoria matemática e uma notação lógica para manipular as incertezas encontradas na linguagem e nos processos naturais. A realidade encontra-se cercada de problemas que envolvem incertezas, assim a lógica fuzzy pode ser encontrada em várias aplicações reais. Pode ser usada para aproximar funções não lineares; como também em controle de processos industriais complexos, por exemplo, controles automáticos das portas de barragens em hidroelétricas, controle eficiente e estável em motores de automóveis, reconhecimento de objetos e da voz, dentre outros.
Assim, pode-se perceber claramente que a Matemática, na perspectiva de Modelagem, se insere em diversas áreas do conhecimento. Pode-se dizer que muitas das decisões econômicas, políticas, dentre outras, são baseadas pelos processos de construção de modelos matemáticos.
A Modelagem Matemática, em geral, pode ser colocada da seguinte forma: entra-se em contato com o problema para o levantamento dos dados e do
problema propriamente dito, definem-se quais são as variáveis e as relações entre as variáveis a serem consideradas. Nesse momento, é comum fazer simplificações do problema, propor hipóteses, pois dificilmente é possível tratar no modelo todas as situações levantadas. Essa fase é denominada de representação do problema real na forma matemática, isto é, equacionamento do problema real, ou seja, a fase da formulação do problema, uma etapa muito importante do processo, pois um problema mal formulado pode implicar conclusões incorretas. Em seguida, procuram-se na literatura algoritmos para a solução do problema matemático. É comum fazer analogias com outras representações, já que muitas vezes situações reais distintas são resolvidas pelo mesmo algoritmo matemático. De posse da solução do modelo, é feita a validação da solução, com o olhar voltado para a situação real inicialmente colocada. Essa fase é também conhecida como fase da interpretação, ou validação do modelo, em que a solução é interpretada e comparada com a realidade; é preciso ter cuidado ao interpretar as soluções e ao comparar os resultados obtidos com os dados observados.
A grande dificuldade é identificar qual é o problema, pois raramente a situação real se encontra bem definida. Além disso, as soluções envolvem muitas habilidades que não estão diretamente relacionadas com a Matemática, o que pode ser contornado através de simplificações do modelo, tornando-o tratável do ponto de vista matemático.
Para Bassanezi (2002, p. 16), “A Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”. E, ainda, “Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências” (BASSANEZI, 2002, p. 24).
Vários são os esquemas para ilustrar o processo de modelagem. A título de exemplo, destaco a Figura 3.1 abaixo.
FIGURA 3.1 - Esquema de Modelagem apresentado por Bassanezi (2002, p. 27).
Bassanezi (2002) apresenta os detalhes desse esquema. Vale salientar que apenas seguir o esquema acima não leva necessariamente a construir um modelo eficaz, serve somente como um guia para a construção de um modelo matemático.
A Modelagem Matemática permite expressar várias situações da realidade de forma organizada, levantando hipóteses e fazendo conjecturas, que poderão ser validadas após a solução do modelo. É um processo contínuo de leitura da solução, considerando as hipóteses aspiradas e a realidade, o que enriquece o entendimento ou provoca mudanças de várias situações. Muitas vezes se faz necessário fazer simplificações para representar o modelo ou mesmo para obter a solução, já que em alguns casos não são encontrados algoritmos apropriados.
Nesse sentido, D’Ambrósio (1999) coloca:
O grande benefício da Modelagem Matemática é poder, através de cálculos validar o modelo, fazer previsões sobre o comportamento do sistema e controlar o sistema. Com o desenvolvimento da computação, a Modelagem Matemática tornou-se o instrumento científico mais poderoso que
Enfim, a Modelagem Matemática auxilia na tomada de decisões, através da representação ou transformação de uma situação real em termos matemáticos, com o objetivo de compreender, analisar e, possivelmente, predizer.
3.2. Modelagem e Educação Matemática
3.2.1. Algumas reflexões sobre o processo de escolarização
Tendo em vista que a Educação é a esperança para o futuro, a escola deve promover um ambiente onde alunos e professores desenvolvam ações de pesquisar, interpretar, relacionar, questionar, analisar. O professor deve oferecer condições para provocar no aluno a curiosidade, de forma a levantar questões, propor soluções, explorar possibilidades, justificar sua forma de pensar e chegar a conclusões, valorizando a criatividade.
Mas, lamentavelmente, a desvalorização da classe do professorado tem proporcionado a perda da qualidade do ensino. Em geral, os professores ministram um número excessivo de aulas e dificilmente se dedicam ao aperfeiçoamento de suas atividades. Muitas vezes, ao preparar as suas aulas, apenas se baseiam em livros-texto.
A preocupação principal fica centrada no treinamento dos alunos em exercícios com respostas prontas, ou seja, o aluno adquire um conhecimento mecânico. Nesta abordagem pedagógica, que se limita à transmissão de informação e ensino programado, os alunos devem fazer os exercícios apenas repetindo as regras, isto é, reproduzindo o conhecimento que lhes foi transmitido. Sobre o modo como o professor deve atuar, Freire (2001, p. 52) assinala: “Quando entro em uma sala de aula devo estar sendo um ser aberto a indagações, à curiosidade, às perguntas dos alunos, às suas inibições; um ser crítico e inquiridor [...]”.
Educação é muito mais do que transmitir conhecimento. Além de adquirir conhecimento matemático, os alunos devem ter uma noção de responsabilidade em relação aos outros e com a sociedade, e também adquirir, através da formação escolar, habilidades para um contínuo aprendizado.
O processo educacional deve considerar que nem todos os alunos estão inseridos num mesmo contexto sociocultural. No entanto, “[...] ainda se insiste em colocar crianças em séries de acordo com a idade, em oferecer o mesmo currículo
numa mesma série, chegando ao absurdo de se proporem currículos nacionais” (D’AMBRÓSIO, 2001, p. 61). Isso vai ao encontro de Bishop (1988, p.97): “[...] em diferentes países e em diferentes sociedades é esperado encontrar-se também diferentes currículos de Matemática, refletindo as diferenças de suas necessidades sociais e ambientais”.
A atenção do professor deve estar voltada para o nível de desenvolvimento de cada um de seus alunos, respeitando as soluções diferenciadas e, ao mesmo tempo, estabelecendo uma intensa troca de idéias entre eles. É fundamental sempre valorizar a capacidade de discernimento, de iniciativa, de tomada de decisão por parte dos alunos.
Um obstáculo à aquisição do conhecimento pelo educando muitas vezes é proveniente da resistência do professor em respeitar a leitura de mundo com que o educando chega à escola. Essa leitura revela a inteligência do mundo que vem cultural e socialmente se constituindo. “Como ensinar, como formar sem estar aberto ao contorno geográfico, social dos educandos?” (FREIRE, 2001, p. 145).
O mundo clama por cidadãos que sejam reflexivos e críticos. A escola deve ter a preocupação de mobilizar o aluno para se tornar um aprendiz, construindo mais competências e menos acúmulo de conhecimentos, como, por exemplo, ajudá-lo a usar a Matemática como um instrumento de interpretação da realidade. Sobre isso, D’Ambrósio (1993, p. 35) esclarece: “Há uma necessidade de os novos professores compreenderem a Matemática como uma disciplina de investigação. Uma disciplina em que o avanço se dá como conseqüência do processo de investigação e resolução de problemas”. Contudo, tal disciplina é tratada como algo pronto, alienada da evolução do mundo.
É preciso ajudar os alunos a ver criticamente a realidade cultural, social e política em que vivem. O desejável é substituir o acúmulo de conteúdo pelo questionamento, pela validação das informações, pelo desenvolvimento de atitudes críticas em relação ao conhecimento, auxiliando na formação de um cidadão consciente, crítico e participativo.
Com maior razão, os alunos das camadas populares, que freqüentam as escolas da periferia, que muitas vezes dependem da escola para adquirir conhecimento, serão fortes candidatos a fracassos e alienação ao persistir no
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de Matemática, cujo objetivo é auxiliar o professor nas reflexões e discussões do cotidiano escolar, colocam que:
[...] é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares (BRASIL, 1997, p. 29).
Ainda sugerem que a organização do conhecimento escolar seja feita em torno de áreas e temas transversais. Em relação aos temas transversais, são eleitos ética, saúde, meio ambiente, pluralidade cultural e orientação sexual, por envolverem problemáticas sociais atuais e urgentes, consideradas de abrangência nacional e, até mesmo, de caráter universal. Também sugerem que sejam eleitos temas locais, ou seja, questões consideradas de relevância para a comunidade (BRASIL, 1997).
O mundo se encontra imerso em um processo de mudanças e inovações científicas e tecnológicas, assim se faz imperativa a formação de indivíduos que estejam preparados para serem reflexivos e críticos.
Para exercer a cidadania, é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente, dentre outros. Um agente facilitador do exercício da cidadania ocorre quando o professor valoriza a troca de experiências entre os alunos e também respeita o pensamento e a produção dos mesmos.
Vygotsky (1991) considera que a verdadeira trajetória do desenvolvimento do pensamento ativo vai do social para o individual, ou seja, é a partir da fala social, sobre exigências que estimulam o intelecto, que o indivíduo constrói conhecimento. O processo de desenvolvimento ocorre na relação entre o indivíduo e o ambiente sociocultural; a cultura é uma parte da natureza do indivíduo, assim, o processo de aquisição do conhecimento caracteriza-se pela participação ativa do sujeito no meio sociocultural onde vive. O indivíduo só se desenvolve plenamente com o suporte de outros indivíduos da sua cultura, ocupando uma posição de destaque a troca de experiências entre os alunos e, também, entre alunos e professores.
Os ensinamentos de Vygotsky sugerem que se torna necessário focalizar o aluno não como um indivíduo universal, e, sim, partindo sempre de suas experiências de vida, relacionadas com a sua maneira de perceber, vivenciar e interpretar o que está a sua volta. Esse aprendizado não só amplia a sua consciência, como também modifica o seu próprio modo de pensar.
Schutz (1979) toma como base que todo o conhecimento humano tem sua fonte irredutível nas experiências imediatas do indivíduo consciente e ativo, e parece concordar com Vygotsky quando faz a seguinte afirmação:
Somente uma parte muito pequena do meu conhecimento do mundo se origina de minha experiência pessoal. A maior parte é derivada do social, dada por meus amigos, meus pais, meus professores e os professores dos meus professores [...] (SCHUTZ, 1979, p. 96).
A construção de uma visão solidária de relações humanas nas aulas de Matemática contribui para que os alunos valorizem a interação e a troca, superando o individualismo, percebendo que as pessoas se complementam e dependem uma das outras. Ao utilizar a Modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem da Matemática, essas trocas são naturalmente favorecidas, pois a busca da solução para os problemas envolve várias fases, exigindo a participação de indivíduos e a colaboração de pessoas de diversas áreas.
Além da interação entre professor-aluno, a interação entre alunos e também de pessoas externas ao ensino, necessárias para a incorporação da Modelagem, desempenham papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e da inserção social.
3.2.2. Modelagem Matemática como estratégia de ensino-aprendizagem
Devido à crescente preocupação com o ensino-aprendizagem da Matemática no sentido de caracterizar a sua importância aos alunos, temas relativos à Modelagem Matemática têm sido alvo de discussões em vários eventos referentes à Educação desde as primeiras décadas do século XX. Em 1910, Dewey (1959) já enfatizava a necessidade de colocar o aluno diante de situações em que ele
refletisse sobre seus problemas de vida, de modo a promover o desenvolvimento integral e aguçar o espírito crítico e inovador, possibilitando torná-lo um elemento impulsionador de uma sociedade democrática.
Na Educação, a origem da Modelagem se deu nos Estados Unidos na década de 60, através dos problemas do ensino de Ciências, buscando colocar o aluno próximo de situações experimentais semelhantes às vividas pelos cientistas.
Mais tarde, a modernização do ensino da Matemática, aliada ao desenvolvimento do computador, corroboraram para mostrar a importância de aplicações e Modelagem no ensino da Matemática.
Um marco importante se deu em 1968, através do Lausanne Symposium, cujo tema era Como ensinar Matemática de modo que seja útil.
Depois, em 1983, um movimento internacional de Modelagem se configurou nos Estados Unidos através do 1st International Conference on the Teaching of