O MODELO E A MODELAGEM MATEMÁTICA

Antes de tratar especificamente da Modelagem na Educação Matemática, faz-se necessário efetuar um esforço para compreender os conceitos de Modelo, de Modelagem Matemática e de Matemática Aplicada, os quais não possuem origem na Educação Matemática.

14_{Edgar Morin (Paris, 8 de julho 1921) é um antropólogo, sociólogo e filósofo francês. É pesquisador emérito}

do CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique). Formou-se em Direito, História e Geografia, realizou estudos em Filosofia, Sociologia e Epistemologia. É autor de mais de trinta livros, entre eles: O método (6 volumes), Introdução ao pensamento complexo, Ciência com consciência e Os sete saberes necessários para a educação do futuro.

Quando alguém ouve pela primeira vez o termo “modelagem”, normalmente associa esse termo ao trabalho com “massinhas de modelar”, que tem como objetivo representar em escala um objeto real. Dito de outro modo, o objeto trabalhado é um modelo que representa algo real, que pode ser um animal, uma pessoa ou um objeto qualquer. Essa ideia de modelo está presente em praticamente todas as áreas, na Engenharia, na Física, na Economia, nas Artes, na Moda, na Meteorologia, na Arquitetura e na Matemática (BIEMBENGUT; HEIN, 2005).

Os engenheiros e os arquitetos costumam construir modelos (maquetes), tanto para estudar os efeitos dos ventos e dos movimentos das águas nas estruturas, como a harmonia das construções. Os meteorologistas desenvolvem modelos com objetivo de previsão do tempo. Os economistas precisam dos modelos para maximizar lucros e minimizar custos de uma empresa ou país e prever riscos nos investimentos. Os físicos e astrônomos desenvolvem modelos para estudar a matéria e o movimento dos corpos celestes. E os matemáticos desenvolvem modelos para a própria Matemática e, também, para todas as áreas supracitadas.

Para Bassanezi (1999), na verdade, é consenso, há algum tempo, entre os vários profissionais citados, que as competências necessárias para desenvolver seus modelos estariam aliadas às competências em matemática. Segundo o autor, atualmente, esse padrão de pensamento está sendo aplicado às áreas de conhecimento como a física, a química, a biologia e outras propriamente ditas, isto é, a consistência de uma teoria ou sua própria validação, depende, em grande parte, de interpretação/explicação, em linguagem matemática. O autor afirma ainda que,

Quando procuramos agir/refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, compreender ou modificá-la, o processo usual é selecionar no sistema em estudo, argumentos ou parâmetros considerados essenciais, formalizando-os por meio de um processo artificial denominado modelo. (BASSANEZI, 1999, p. 11).

Os modelos matemáticos podem envolver uma matemática elementar, que resolvem problemas como: determinar a área de um terreno em forma retangular, calcular o volume de água de um reservatório esférico, encontrar o valor dos juros pagos em um financiamento, calcular o tempo para percorrer certa distância com velocidade constante. Porém, também encontramos problemas que necessitam de modelos e análises mais complexas, por conta das muitas variáveis envolvidas. Em muitos casos, os modelos iniciais são inadequados para atingir seus objetivos e devem-se tentar caminhos que permitem construir outros melhores, pois o modelo nunca encerra uma verdade definitiva é sempre uma aproximação da realidade

analisada e, portanto, sujeito a mudanças. Esse processo dinâmico de busca a modelos adequados é o que, segundo Bassanezi (1999), convencionou-se chamar de Modelagem

Matemática.

Para Biembengut e Hein, sob certa óptica,

a Modelagem Matemática, pode ser considerada um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento de matemática, o modelador precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. (BIEMBENGUT; HEIN, 2003, p.12).

Do exposto, é possível depreender que criar modelos matemáticos para resolver problemas é um processo praticado desde os tempos mais remotos. Para Biembengut e Hein, “a modelagem é tão antiga quanto a própria matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos” (BIEMBENGUT; HEIN, 2003, p.8).

No século V a.C., por exemplo, os egípcios, segundo o historiador grego Heródoto15, usavam conceitos de geometria plana para que, após as enchentes do rio Nilo, os agrimensores determinassem a redução sofrida pelo terreno, passando o proprietário a pagar um tributo proporcional ao que restara. Eventos como esse, em que se usa Matemática como ferramenta na solução de algum problema do cotidiano, são comuns na história antiga da Matemática e fazem alusão à construção de Modelos Matemáticos.

Outro exemplo da antiguidade é o tratado Sobre os Corpos Flutuantes, no qual se encontra o que hoje conhecemos como Teorema ou Princípio de Arquimedes16_{. Nesse trabalho,}

ele afirma que “todo corpo mergulhado em um fluido recebe um empuxo, de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado”. Nesse tratado, Arquimedes, “começando com um simples postulado, sobre a natureza da pressão dos fluidos, obtém resultados muito profundos” (BOYER, 1996, p. 84).

São inúmeros modelos importantes que poderíamos citar, trabalhos desenvolvidos pelos Babilônicos (2000 a.C.), Ptolomeu (sec. II), Newton (sec. XVII), Einstein (sec. XX). Nesse sentido, é razoável admitir a presença de Modelos Matemáticos ao longo da história da Humanidade, ainda que não fossem assim denominados em cada período.

15_{Heródoto viveu no século V a.C. e é considerado o Pai da História.}

16_{Arquimedes nasceu em 287 a.C. na cidade de Siracusa, Sicília. É considerado o maior matemático da} Antiguidade.

É importante destacar que a Modelagem, em muitos casos, não se preocupa apenas em elaborar modelos para um caso particular, mas também tem a preocupação de oferecer suporte para outras aplicações e teorias. Como exemplo, podemos citar O Problema das Pontes de

Königsberg, resolvido pelo matemático Leonhad Euler. Ao elevar a charada matemática a um

grau de problema de matemática, Euler, como de costume, não se contentou em simplesmente resolvê-lo, deu também um rigor à solução. Rigor em matemática relaciona-se com definições, postulados ou axiomas e, principalmente, com teoremas. O resultado, formulado nos dias atuais com maior elegância, é conhecido como Teorema de Euler e é considerado como marco inicial da Teoria dos Grafos (SILVEIRA, 2013).