Modelos de comportamento dos materiais

Nesta secção faz-se uma revisão dos modelos de comportamentos dos materiais habitualmente usados e apresenta-se uma explicação sobre o modelo de comportamento utilizado neste trabalho.

Na análise sísmica são, na maior parte das vezes, usados materiais com comportamento uniaxial. No entanto são facilmente deriváveis, a partir deste tipo de comportamento, leis de comportamento relativamente complexas, sendo a sua utilização limitada devido ao custo computacional da sua implementação. Assim, são habitualmente usados materiais com comportamento histerético relativamente simples [19]. Quanto maior for a complexidade da lei de comportamento no que toca à relação carga-descarga, maior o número de variáveis internas necessárias.

Na maior parte dos metais, a adopção de um comportamento elasto-plástico com endurecimento é suficiente. Quando o efeito de Bauschinger for negligenciável a representação bilinear do comportamento do material é aceitável. No entanto, quando há alterações nos valores das tensões de cedência, quando é alterado o sentido da solicitação, então este modelo deixa de ser viável, podendo utilizar-se, por exemplo, o modelo de Menegotto-Pinto (1973).

Figura 3.9: Modelo bilinear do comportamento do aço (Fonte: [35])

O principal objectivo da análise sísmica baseada no desempenho da estrutura é poder verificar a sua resposta para vários níveis de exigência. Assim é fundamental desenvolver modelos, com comportamento histerético, que incorporem os fenómenos de degradação do comportamento que condicionam a resposta estrutural.

A necessidade atrás referida de estudar a resposta estrutural em estados, eventualemente não-elásticos, nos quais há degradação da rigidez e alteração da resposta em termos de esforços, levou ao desenvolvimento de vários modelos de comportamento dos materiais.

Segundo [26] os modelos usuais para descrever o comportamento dos materiais devem ter em consideração as várias fontes de degradação das suas propriedades quando sujeitos a

análises sísmicas, nomeadamente a deterioração cíclica do comportamento e "softening"na rigidez pós-cedência, assim como contabilizar os esforços residuais decorrentes da deformação plástica.

Se o comportamento do material se mantivesse inalterável ao longo de uma análise monotónica, a relação constitutiva do material poderia ser descrita através de apenas 3 parâmetros, a rigidez elástica (inicial), Ke, o esforço de cedência, Fy, e a rigidez

pós-cedência, Ks = b × Ke, onde b é o coeficiente de endurecimento ("strain-hardening").

Se forem tidos em consideração os efeitos da degradação na análise então há que acrescentar aos parâmetros atrás referidos o valor da "deformação de pico", δc, valor a

partir do qual a rigidez tem valor negativo. Nesse pico verifica-se o esforço máximo Fc.

A relação entre δce δy (δc/δy) é uma medida da capacidade dúctil do material. Na Figura

3.10 apresenta-se o comportamento genérico de um material histérico, considerando estes parâmetros. Rigidez negativa Resistência residual Regime elástico Endurecimento Ponto máximo

Figura 3.10: Comportamento genérico de um material histerético (Fonte: [26]) A utilização deste modelo numa análise cíclica pode fazer-se desprezando a respectiva degradação existente ao longo dos ciclos, existindo para esse efeito vários modelos disponíveis, com complexidade variável e englobando diferentes fenómenos. O modelo mais simples é o modelo bilinear (modelo que considera o endurecimento pós-cedência) [26]. Este modelo baseia-se nos mesmos princípios do modelo apresentado na Figura 3.10 tendo, no entanto, de se definir um limite de esforço mínimo quando a curva está em fase descendente (Figura 3.11).

Caso este limite não fosse definido, poder-se-iam atingir esforços superiores aos admissíveis num estado de degradação mais avançado [26].

A degradação do comportamento do material é outro factor de grande importância, nomeadamente quando o material é sujeito a acções cíclicas. Este fenómeno foi estudado Rahnama e Krawinkler [44], que desenvolveram métodos para quantificar este fenómeno, testando posteriormente essas regras em alguns casos práticos. Uma das regras que desenvolveram, baseada na energia dissipada durante o carregamento cíclico, é dada por:

βi =  Ei Et−P Ej c (3.52)

3.5. DEFINIÇÃO DOS MODELOS ESTRUTURAIS 55

Esforço Limite

Envelope

Figura 3.11: Modelo de comportamento bilinear (Fonte: [26])

onde Eié a energia dissipada no presente ciclo, P Ej é a energia dissipada durante todos

os ciclos anteriores (positivos e negativos), Eté a capacidade de dissipação de referência:

Et = γ × Fy × δy [26], γ representa a capacidade de dissipação de energia como função

da energia de deformação elástica na cedência (Fy × δy) e c é o expoente que define o

coeficiente de degradação. Rahnama e Krawinkler [44] sugerem que c tome valores entre 1.0 e 2.0.

Ao longo de toda a análise os valores de β devem situar-se entre 0.0 e 1.0. Se βi∈]0; 1]/

então assume-se a ocorrência de colapso: γ × Fy× δy−

X

Ej < Ei (3.53)

Com base no parâmetro βi obtido na Equação 3.52, são definidos em [26]

os modelos de degradação específicos utilizados nos modelos de comportamento do material. Nomeadamente, a redução do esforço de cedência, a deterioração do ramo de endurecimento, a alteração do valor máximo do esforço plástico, a alteração da rigidez de descarga (diminuição do declive) e o aumento do deslocamento máximo que se verificou em ciclos anteriores (e que nos modelos em questão constitui o deslocamento objectivo aquando da recarga), ou seja, a diminuição da rigidez da recarga. Todos os modos de degradação à excepção do último podem ser descritos por:

Xi= (1 − βi) × Xi−1 (3.54)

onde Xi é o parâmetro a ser actualizado no instante i. A actualização do deslocamento

máximo pode ser feito por:

δi= (1 + βi) × δi−1 (3.55)

onde δié o deslocamento máximo, positivo ou negativo consoante o sentido da solicitação,

que se verificou nos ciclos até ao instante i.

Este método e respectivos parâmetros foram testados e calibrados para vários tipos de materiais, sendo os diversos parâmetros exaustivamente discutidos em [26].

Neste trabalho usou-se um modelo que não engloba todos os modos de degradação atrás referidos. Este modelo de comportamento, designado modelo de Guiffré-Menegotto-Pinto, foi inicialmente desenvolvido por [37] e posteriormente modificado por Filippou [19]. Não tem em consideração a degradação da rigidez ao longo da análise. O comando disponível

no OpenSees tem ainda parâmetros opcionais que permitem ter em consideração alguns dos fenómenos atrás abordados, como a alteração dos valores máximos dos esforços plásticos. Estes parâmetros opcionais não foram utilizados, resumindo-se a definição da relação constitutiva aos parâmetros: tensão de cedência, Fy, módulo de elasticidade, E, coeficiente

de endurecimento (relação entre rigidez pós-cedência e elástica), b = Ep

E = 0.015 e três

parâmetros que controlam a transição da fase elástica para a fase plástica, R0 (valores

recomendados entre 10 e 20), cR1= 0.925 e cR2= 0.15.

Segundo [8] o coeficiente de endurecimento b e o módulo de elasticidade pós-cedência são independentes do tipo de perfil e do aço utilizado. Após o desenvolvimento de várias análises experimentais e da adaptação de um modelo teórico que permita estudar o efeito do endurecimento no comportamento de estruturas porticadas, concluiram que a fase de endurecimento ocorre aproximadamente para uma extensão de 6 vezes a extensão de cedência. Já o módulo de elasticidade nesta fase (assumindo que há também aqui uma relação linear, o que não é completamente certo) pode ser considerado como 2700 N/mm2_,

quer para o S275 ou S355, os dois tipos testados. Assim considera-se o parâmetro b com valor 1.5%.

Com este modelo, a relação tensão-extensão obtida através de uma análise dinâmica é do tipo da que se apresenta na Figura 3.12, obtida na execução deste trabalho.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 x 10−3 −400 −350 −300 −250 −200 −150 −100 0 100 150 200 250 300 Extensão Tensão [kPa]

Figura 3.12: Relação tensão-extensão, para o modelo de comportamento do material usado, obtida numa das análises efectuadas