NÚMEROS REAIS

Ao final do Ensino Fundamental os alunos já passaram por todos tipos de números que constituem o conjunto dos Números Reais. Entretanto, os alunos ainda costumam apresentar dificuldades referentes a números.

Embora o estudo dos números e das operações seja um tema importante nos currículos do ensino fundamental, constata-se, com freqüência, que muitos alunos chegam ao final desse curso com um conhecimento insuficiente dos números, de como eles são utilizados e sem ter desenvolvido uma ampla compreensão dos diferentes significados das operações.

(Brasil, 1998, p.95)

Segundo os PCNs, a Matemática nesse nível de ensino deve apresentar os diferentes conjuntos numéricos e suas principais características.

Ao longo do ensino fundamental o conhecimento sobre os números é construído e assimilado pelo aluno num processo em que tais números aparecem como

instrumento eficaz para resolver determinados problemas, e também como objeto de estudo em si mesmos, considerando-se, nesta dimensão, suas propriedades, suas inter-relações e o modo como historicamente foram constituídos.

Nesse processo, o aluno perceberá a existência de diversos tipos de números (números naturais, negativos, racionais e irracionais) bem como de seus diferentes significados, à medida que deparar com situações-problema envolvendo operações ou medidas de grandezas, como também ao estudar algumas das questões que compões a história do desenvolvimento do conhecimento matemático.

(Brasil, 1998, p.50)

A questão 2 do questionário sobre Números Reais aplicado a 19 alunos da 8ª série ou 9º ano, abordou a inter-relação entre os conjuntos numéricos. Foi solicitado que os alunos dessem 2 exemplos de números com certas características.

Dê dois exemplos de números que sejam: a) Naturais: _______________________

b) Inteiros, mas que não seja natural: _______________________ c) Racionais, mas que não seja inteiro: _______________________ d) Reais, mas que não seja racional: _______________________

O objetivo da questão era verificar se os alunos sabem dar exemplos de elementos dos tipos de números que são abordados no Ensino Fundamental.

As respostas dadas nessa questão mostram que os alunos conhecem os números naturais e sabem exemplificá-los. Os números inteiros e não naturais, ou seja, os números negativos, foram exemplificados por 15 dos 19 alunos. Apenas 10 alunos souberam exemplificar números racionais que não fossem inteiros, 2 alunos escreveram números inteiros neste item e 7 alunos deram como exemplos números irracionais, o que pode

demonstrar que os alunos confundem a expressão “números racionais” com “números irracionais”. Como exemplo de números reais que não fossem racionais, 11 alunos escreveram números inteiros, 4 escreveram números decimais e 3 representaram dízimas periódicas. Podemos dizer, a partir dos resultados obtidos, que os alunos não conhecem a definição de número irracional e não o reconhecem como um número real que não é racional; além disso, pode ser que os alunos confundam os números racionais com os irracionais.

As questões 1, 3 e 12 abordaram algumas características do conjunto dos Números Reais.

Na questão 1, os alunos deveriam analisar duas sentenças e classificá-las em verdadeiras ou falsas.

Tomando como conjunto universo os números reais, complete com V (verdadeiro) ou F (falso): ( ) 2 é sucessor de 1

( ) 3,9 é antecessor de 4

O objetivo dessa questão foi verificar se os alunos reconhecem que características específicas dos números inteiros não podem ser generalizadas ao conjunto dos reais, como a idéia de sucessor e antecessor de um número. A primeira sentença foi classificada como falsa por apenas 3 alunos, a maioria dos alunos, 16 em um total de 19, afirmou que o número 2 é sucessor de 1 no universo dos números reais. Já a segunda sentença foi classificada como falsa por somente 4 alunos; 14 alunos disseram ser verdadeira a sentença e 1 aluno não respondeu a questão. Como já havíamos constatado com o conjunto dos números racionais, a maioria dos alunos parece transferir os conceitos de sucessor e antecessor do conjunto dos números inteiros para o conjunto dos números reais.

A questão 12 tinha como objetivo verificar se os alunos reconhecem a impossibilidade em definir qual número vem a seguir de outro.

Dado o número 1,5, qual é o próximo?

Apenas 2 alunos reconheceram ser impossível escrever o numero que vem logo depois de 1,5.

A maioria dos alunos tentou encontrar uma resposta; apareceram dois valores com grande freqüência, os números 1,6 e o 2. Um dos alunos escreveu que o próximo número é o 9, ele pode ter pensado na seqüência 1-5, com razão 4 e encontrado o seu terceiro termo.

A questão 3 teve como objetivo verificar se os alunos conhecem o fato de que entre dois números reais distintos existem infinitos números reais. 17 alunos mostraram reconhecer que não é possível indicar quantos números existem nesse intervalo.

Sobre efetuar cálculos co números reais, os PCNs ressalta que:

O importante é superar a mera memorização de regras e algoritmos (“divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima”, “inverte a segunda e multiplica”) e os procedimentos mecânicos que limitam de forma desastrosa, o ensino tradicional de cálculo.

(Brasil, 1998, p.67)

A questão 4 do questionário sobre Números Reais apresentou alguns cálculos com números reais que deveriam ser efetuados pelos alunos.

Efetue os cálculos a) (-4) + (-0,5) b) 1,75 – 2 c)              4 3 2 3 d)       2 5 : 1

O item a) apresentou uma soma de dívidas. Apenas 9 alunos acertaram esse cálculo. 8 alunos talvez tenham usado a regra de sinais da multiplicação para encontrar como resposta o +4,5, ou seja, os alunos podem ter somado os valores absolutos e adequado o resultado com a regra “menos com menos dá mais”, chegando ao resultado +4,5.

O item b) trouxe uma subtração entre números racionais escritos em forma decimal; 14 alunos, de um total de 19, encontraram a resposta correta –0,25; 4 alunos deram como resposta o número 0,25; um aluno encontrou como resposta o número 0,28.

No item c) os alunos deveriam efetuar uma multiplicação de frações. Eles mostraram bastante dificuldade em efetuar essa operação; apenas 6 deles encontraram a resposta correta nesse item.

Apenas 1 aluno conseguiu efetuar a divisão entre números racionais do item d); 5 alunos parecem ter efetuado a multiplicação e encontrado como resposta a fração

2 5  ; 1

aluno deu como resposta a fração 2 5

; 1 aluno encontrou o resultado 0,4; outro aluno escreveu o valor 2,5; 10 alunos não efetuaram o cálculo.

Esses resultados mostram que os alunos apresentam dificuldades em efetuar cálculos com números reais no final do Ensino Médio. Os PCNs orientam que:

É importante salientar que no quarto ciclo (7ª série ou 8º ano e 8ª série ou 9º ano) não se pode configurar o abandono da Aritmética, como muitas vezes ocorre. (...) é desejável que o professor proponha aos alunos a análise, interpretação, formulação e resolução de novas situações-problema, envolvendo números naturais, inteiros e racionais e os diferentes significados das operações, e que valorize as resoluções “aritméticas”.

4.6. SÍNTESE DOS RESULTADOS OBTIDOS