S OBRE A IDENTIFIDAÇÃO DE FRAÇÕES COMO REPRESENTAÇÃO QUE PODE ESTAR ASSOCIADA A DIFERENTES SIGNIFICADOS

Os PCNs orientam os professores a apresentar situações-problema cujas soluções não se encontram no campo por números naturais a fim de possibilitar a aproximação da noção de número racional pela compreensão de alguns de seus significados: quociente, parte/todo e razão.

A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre a situações em que está implícita a relação parte-todo; é o caso das tradicionais divisões de um chocolate, ou de pizza, em partes iguais.

A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando um todo se divide em partes (equivalentes em quantidade de superfície ou de elemento). A fração indica a relação que existe entre um número de partes e o total de partes

Outro significado das frações é o de quociente; baseia-se na divisão de um natural por outro (a:b = a/b; b≠0). Para o aluno ela se diferencia da interpretação anterior, pois dividir um chocolate em 3 partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 chocolates para 3 pessoas. No entanto, nos dois casos, o resultado é representado pela mesma notação: 2/3.

Uma terceira situação, diferente das anteriores, é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja, quando é interpretada como razão. Isso ocorre, por exemplo, quando se lida com informações do tipo “2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes”.

(Brasil, 1997, p.68)

A presente pesquisa optou por tratar apenas dos dois primeiros significados de fração pelo fato do currículo de algumas escolas apresentar o conteúdo de razão apenas na 6ª série ou 7º ano.

A primeira questão do questionário I sobre Números Racionais que foi respondido por 10 alunos pretendeu verificar se eles sabem representar a parte pintada da figura por meio de uma fração que expresse a relação parte/todo em uma superfície. Já a segunda questão trabalhou a mesma habilidade de forma invertida, ou seja, os alunos tinham que representar com figura as frações pedidas.

A primeira figura se tratava de uma fração própria:

9 alunos representaram a parte pintada da figura com a fração “ 6 5 ”; 1 aluno escreveu a fração “ 6 1

” como representação da figura.

Da mesma forma, os alunos não tiveram problema em representar a fração 5 2

por meio de uma figura. Todos o fizeram corretamente e utilizaram diferentes tipos de figura.

A figura do segundo item da primeira questão trazia uma figura que representa a idéia de fração imprópria.

Diferentemente do primeiro item, os alunos mostraram bastante dificuldade em representar a parte pintada dessa figura. Apenas 1 aluno a representou com a fração “

4 5

”; 3

alunos consideraram o inteiro como sendo as 8 partes e escreveram a fração “ 8 5

alunos tentaram representar a parte pintada da figura por meio de um número misto, mas não o fizeram de forma correta, um aluno apresentou a escrita “

1 4 2 ” e os demais “ 4 1 4 ”.

O item c) da segunda questão que apresentou a fração 3 4

para ser representada por meio de uma figura não foi realizada de forma correta por nenhum aluno. 6 alunos representaram uma figura que equivalia à fração

4 3

e 4 alunos não representaram qualquer figura.

O item d) dessa mesma questão solicitou que os alunos representasse por meio de uma figura o número misto

2 1

2 . Diferentemente do resultado do item anterior, 5 alunos representaram o número de forma correta.

Entretanto, alguns alunos cometeram erros nas representações.

OBSERVAÇÃO: os alunos parecem estar familiarizados apenas com frações próprias e não validam as frações impróprias talvez por não aceitarem que a “parte possa ser maior que o todo”; esse obstáculo pode ter origem didática caso ao aluno não seja solicitado associar números racionais escritos na forma de fração imprópria e de númer os mistos à representação em figuras.

Ainda na primeira questão do questionário I sobre números racionais foi apresentada uma figura referente a um inteiro.

Todos os alunos representaram a figura com a fração “ 4 4

”, entretanto apenas 3 alunos

associaram a unidade à representação.

O item b) da questão 2 solicitou que os alunos representassem a fração 3 3

por meio de uma figura. Todos os alunos representaram o inteiro de forma correta

A questão 10 do questionário I sobre Números Racionais apresentou ainda o significado de fração com parte/todo, entretanto, o todo envolvido era contínuo e representado por um segmento de reta.

A questão 10 trouxe um segmento que representava uma estrada de 200 km e a respeito da situação foram feitas algumas perguntas.

Imagine que o segmento abaixo represente uma estrada de 200km:

a) Quando o carro estiver no ponto B, que fração da estrada terá percorrido? b) Se ele tiver percorrido 3

5 da estrada, em que ponto estará?

c) Quando o carro estiver no ponto D, que fração do percurso terá feito? d) Quantos quilômetros terá percorrido até A?

e) E até C?

Apenas 2 dos 13 alunos conseguiram indicar que se o carro estivesse no ponto B do segmento ele teria percorrido

5 2

da estrada. 4 alunos perceberam que se o carro tivesse

percorrido 5 3

da estrada estaria no ponto C do segmento. Somente 3 alunos reconheceram

que se o carro estivesse no ponto D, teria percorrido 5 4

do percurso.

Nos itens d) e e), ao serem questionados sobre quantos quilômetros o carro terá percorrido até o ponto A ou até o ponto C, os alunos mostraram dificuldade e não conseguiram responder; somente 1 aluno percebeu que o ponto A equivalia a “40 km” e o ponto C a “120 km”.

A análise dos resultados obtidos nessa questão permite afirmar que possivelmente os alunos não desenvolveram a idéia de fração como parte de um todo contínuo e linear ou ainda que podem não associar a escrita fracionária a uma representação em segmento de reta.

OBSERVAÇÃO: os alunos não dão significado a frações que representam parte de um todo contínuo representado como um segmento de reta; pode ser que a predominância de frações como parte de um todo de superfície (como as barras do exercício 1) em livros didáticos e salas de aula se constitua como origem didática desse obstáculo.

A questão 11 do mesmo questionário apresentou o significado de fração como parte de um todo discreto. Aos alunos foi solicitado que calculassem frações de uma dada quantidade.

Uma escola com 500 alunos resolveu fazer uma festa para comemorar o Final do Ano. A organização sugeriu que os alunos trouxessem os comes e bebes da seguinte maneira:

1

2 dos alunos deveria trazer doces 2

5 dos alunos trariam salgados 1

10 dos alunos traria refrigerantes

Calcule a quantidade de alunos que levaram para a festa:

a) Doces b) Salgados c) Refrigerantes

O item a) foi resolvido de forma correta por apenas 6 dos 10 alunos que responderam ao questionário. Este resultado surpreende, pois a idéia da metade geralmente parece ser intuitiva. Apenas 3 alunos conseguiram calcular

5 2 de 500 e 10 1 de 500. Este resultado também surpreende, pois este tipo de questão costuma aparecer com freqüência nos livros didáticos.

A questão seguinte, a de número 12, trouxe o significado de fração como parte de um todo discreto de forma diferente de exercícios que tradicionalmente aparecem nos livros didáticos.

Acompanhe o diálogo a seguir e depois responda à questão: Andréia: - Comi 1

4 dos bombons de uma caixa, ou seja, 6 bombons

Cláudio: - Também comi 1

4 dos doces de uma caixa. Ao todo comi 8 doces.

É possível acontecer um diálogo semelhante a esse? Por que?

O objetivo desta questão era verificar se os alunos reconhecem que o “resultado” de uma fração depende do todo do qual estamos tratando, além de verificar se os alunos calculam o valor de uma fração de um todo discreto. Nenhum aluno escreveu que era possível pelo fato do “tamanho” do todo ser diferente. Este resultado pode mostrar que os alunos não percebem que a fração é a representação da parte de um todo e que este todo “interfere” no resultado. Talvez a dificuldade nesta questão possa residir no fato de que os alunos talvez não aceitem que o mesmo “número” (no caso a fração) possa ter valores diferentes. Não podemos descartar, entretanto, a hipótese dos alunos terem interpretado que Andréia e Cláudia falavam da mesma caixa.

Este resultado pode evidenciar ainda, uma falha na concepção de frações que poderá interferir num outro significado de fração que aparece no Ensino da Matemática além dos outros três já discutidos, o de operador.

Trata-se do significado da fração como operador, ou seja, quando ela desempenha um papel de transformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica.

(Brasil, 1997, p.68)

OBSERVAÇÃO: os alunos não conseguem calcular parte de um todo discreto; talvez eles acreditem que uma fração representa sempre o mesmo valor, não percebendo que o “tamanho” do todo “interfere” no resultado da fração.

O questionário I sobre Números Racionais apresentou na questão 4 a idéia de fração como quociente entre inteiros. Foi solicitado que os alunos classificassem algumas frações quanto ao valores que elas representam.

Veja o quadro e escreva o que se pede: 1 5 8 8 10 5 4 9 7 6 12 12

a) Quais dessas frações podem representar um inteiro?

b) Quais dessas frações representam quantidades menores que um inteiro?

c) Quais dessas frações representam quantidades maiores que um inteiro?

O objetivo desta questão foi verificar se os alunos reconhecem a fração como uma quantidade. Todos os alunos associaram corretamente as frações

8 8 e 12 12 a um inteiro.

Entretanto, 7 alunos classificaram a fração 9 4

como uma quantidade menor que um inteiro e 8

colocaram a fração 5 1

nesta categoria. O que chama atenção neste segundo item é o fato de 6

alunos escreverem também a fração 6 7

. Talvez não possamos afirmar que os alunos associam à idéia de fração a uma parte de uma unidade ou se reconhecem uma fração própria, já que outras frações apareceram classificadas como representação de quantidades menores que um inteiro.

Como representação de quantidades maiores que um inteiro, 7 alunos identificaram a fração

5 10

e apenas 3 alunos escreveram a fração 6 7

. Parece que os alunos não estão familiarizados com o significado de fração imprópria como um quociente entre números inteiros que representa um número maior que um inteiro.