S OBRE O RECONHECIMENTO E A UTILIZAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS DO S ISTEMA DE N UMERAÇÃO D ECIMAL (D13 – 4 ª SÉRIE ) E S OBRE O PRINCÍPIO DO VALOR

POSICIONAL E DA DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS NAS SUAS DIVERSAS ORDENS (D15-4ª SÉRIE)

A primeira questão do questionário sobre números naturais, ao trabalhar a relação de inclusão entre as ordens, traz à tona duas características fundamentais do Sistema de Numeração Decimal. São elas: o agrupamento de 10 em 10 e a troca na base 10. Os alunos não apresentaram dificuldade em relacionar uma quantidade de unidades com quantidades de demais ordens (dezenas, centenas e unidades de milhar). Entretanto, ao se depararem com uma comparação entre outras ordens os alunos mostraram que não dominam a relação de inclusão entre elas. Por exemplo: apenas 13 alunos (de um total de 36) explicitaram a relação de igualdade entre 8 centenas e 80 dezenas; somente 6 alunos identificaram a equivalência entre 6 milhares e 60 centenas; ou ainda 16 alunos perceberam que 30 dezenas correspondem a 3 centenas. Essa falta de familiarização com a relação de inclusão entre as ordens pode comprometer o cálculo de operações que envolvam reserva (o conhecido “vai 1” em adições e multiplicações), transformações entre as ordens (nos casos de “empréstimo” na subtração) e situações em que é necessário agrupar na divisão. O texto dos PCNs ressalta que:

É provável que ele (o aluno) não tenha desenvolvido plenamente essas noções (sobre o sistema de numeração decimal), tendo em vista a complexidade do

conteúdo, como saber quantos agrupamentos de centenas são necessários para construir uma dezena de milhar – relações de inclusão

(BRASIL, 1998, p.66)

OBSERVAÇÃO: os alunos não reconhecem as relações de inclusão entre dezenas e centenas ou entre dezenas e milhares ou ainda entre centenas e milhares; é possível que os alunos sempre se atenham às unidades ao comparar as ordens e que esse conhecimento se torne um obstáculo à ampliação da relação de inclusão entre as demais ordens; esse obstáculo pode ter origem didática caso o aluno não seja colocado em contato com situações em que seja necessária a comparação entre ordens que não envolva a ordem das unidades.

O reconhecimento da escrita de números naturais e a composição/decomposição em milhares, centenas, dezenas e unidades, considerando seu valor posicional na base decimal foi abordado na questão de número 2. O número “quatro centenas + cinco dezenas + oito unidades” foi escrito corretamente por 26 alunos dos 36. Entretanto, apareceram algumas respostas que evidenciam existirem alunos que não sabem escrever os números.

Ainda nessa questão, apenas 17 alunos, em um total de 36, escreveram corretamente o número “sete unidades de milhar + quatro centenas + uma dezena + cinco unidades”. Da mesma maneira que no item anterior, muitos alunos deram indícios de que podem não ter compreendido o princípio do valor posicional ou da característica aditiva do Sistema de Numeração Decimal.

Os PCNs de Matemática de 1ª a 4ª série antecipam que a justaposição das partes dos números pode ocorrer:

Para produzir escritas numéricas, alguns alunos recorrem à justaposição de escritas que já conhecem, organizando-as de acordo com a fala. Assim, por exemplo, para representar o 128, podem escrever 100208 (cem/vinte/oito)

(BRASIL, 1997, p.97)

OBSERVAÇÃO: os alunos apresentaram dificuldade em escrever números a partir da sua decomposição por extenso; pode ser que a língua natural atrapalhe a compreensão das regras relacionadas à característica aditiva do Sistema de Numeração Decimal.

A questão 2 trouxe ainda outra possível dificuldade dos alunos na escrita dos números que ocorre na ausência de uma das ordens na decomposição dos mesmos. Por exemplo, apenas 18 alunos, de um total de 36, escreveram de forma correta o número “uma unidade de milhar + sete unidades”. Neste item apareceram diversas escritas que evidenciam não só o problema da justaposição como outro problema dos alunos em escrever números com essas características.

Um outro item da mesma questão mostrou que apenas 15 alunos, dos 36, escreveram o número “nove centenas + sete dezenas” corretamente. Apareceram respostas como:

Podemos afirmar, então, que os alunos podem não conhecer o significado do algarismo 0 na escrita de um número e, dessa forma, não dominam o princípio do valor posicional.

OBSERVAÇÃO: além da questão da justaposição observada anteriormente, os alunos não sabem escrever números cuja decomposição apresenta ausência de alguma ordem; pode ser que os alunos acreditem que os algarismos de um número devam aparecer na sua decomposição em ordens; esse obstáculo pode ter origem epistemológica já que a idéia de que o número 0 não possui valor pode interferir na sua interpretação como um algarismo utilizado para indicar a ausência de alguma ordem inteira no número.

4.1.2 SOBRE A IDENTIFICAÇÃO DA LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS NA RETA

NUMÉRICA (D14–4ª SÉRIE)

A questão 3 apresentou uma reta numérica e perguntas sobre os números naturais que podem ser resolvidas com o auxílio da reta.

A maioria dos alunos, 25 dos 36, soube reconhecer que se um número está à direita de outro, ele é maior que esse número. 30 alunos identificaram o 0 como sendo o menor número natural.

Ao serem questionados sobre qual é o maior número natural que existe, 19 alunos apontaram o número 13, que era o maior indicado na reta do enunciado da questão. 13 alunos explicitaram que não é possível determinar o maior número ou que o conjunto dos naturais é infinito, que não tem fim etc. 6 alunos deixaram a questão em branco.

As idéias de sucessor e antecessor de um número são de conhecimento dos alunos. Dos 36 alunos, 33 indicaram o número 5 como antecessor de 6 e 31 indicaram o número

14 como sucessor de 13. Ao serem questionados sobre o antecessor de 0, 13 alunos , dos 36, responderam que não existe.

Alguns indicaram números “pequenos” como 0,1 ou 0,5. Outros 13 alunos responderam que o antecessor de 0 é ele mesmo, o 0.

Outro item dessa questão abordou a característica que entre dois números naturais consecutivos não existe outro número natural. 14 dos 36 alunos indicaram que não existe outro número natural entre 0 e 1. Entretanto, a análise dessa questão ficou prejudicada porque não era possível saber se os alunos responderam a quantidade de números que acreditavam existir entre 0 e 1 ou se indicaram o número que acreditavam existir nesse intervalo.

A questão 5 trouxe a ampliação das características do conjunto dos número naturais abordadas na questão 3.

Dos 36 alunos, 22 alunos classificaram como verdadeira a sentença que diz que todo número natural tem um sucessor, inclusive o zero.

22 alunos indicaram que a sentença “todo número natural possui um antecessor, inclusive o zero” é falsa e justificaram de forma coerente.

31 alunos afirmaram que o conjunto dos naturais é infinito. Algumas das justificativas apresentadas foram:

4.1.3 SOBRE O CÁLCULO DO RESULTADO DE UMA ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS