SÍNTESE DOS RESULTADOS OBTIDOS N ÚMEROS R EAIS

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Ú ME R O S

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A T U R A IS SOBRE O RECONHECIMENTO E A UTILIZAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E SOBRE O PRINCÍPIO DO VALOR POSICIONAL E DA DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS NAS SUAS

DIVERSAS ORDENS

A idéia de que o zero não possui valor pode interferir na sua interpretação como algarismo utilizado para indicar a ausência de uma ordem inteira no número e se constituir um obstáculo epistemológico para a escrita de números cuja decomposição apresenta ausência de alguma ordem.

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Ú ME R O S

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N T E IR O S SOBRE A LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA E SOBRE O

RECONHECIMENTO E A UTILIZAÇÃO DE ALGUMAS CARACTERÍSTICAS DO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS.

A idéia de que o antecessor e o sucessor de um número natural sempre apresenta uma unidade a menos e a mais, respectivamente, pode se constituir um obstáculo epistemológico na identificação de antecessor e sucessor de números inteiros negativos.

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Ú ME R O S

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A C IO N A IS SOBRE O RECONHECIMENTO DAS REPRESENTAÇÕES DECIMAIS DOS NÚMEROS RACIONAIS COMO UMA EXTENSÃO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

O fato dos conjuntos dos números naturais e dos números inteiros serem conjuntos discretos pode aparecer como obstáculo epistemológico para a compreensão de que entre quaisquer dois números racionais existem infinitos números racionais.

As idéias de sucessor e antecessor no conjunto dos números naturais (e inteiros) podem aparecer como obstáculo epistemológico na concepção dos números racionais, e futuramente nos reais, no que diz respeito à impossibilidade de definir o número racional ou real que vem “logo a seguir” de outro número.

SOBRE A IDENTIFIDAÇÃO DE DIFERENTES

REPRESENTAÇÕES DE UM MESMO NÚMERO RACIONAL

O fato do número natural (e de um inteiro) se apresentarem “prontos” pode ser um obstáculo epistemológico na apropriação de números que possuem símbolo em sua representação, como no caso a divisão em uma fração.

SOBRE A IDENTIFICAÇÃO DA LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS NA RETA

NUMÉRICA

O fato de um natural (e um inteiro) normalmente, utilizando apenas algarismos, ser escrito de uma única maneira pode ser um obstáculo epistemológico para a aceitação de que um número racional pode admitir mais de uma representação

SOBRE A COMPARAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

A idéia de que podemos comparar dois números naturais pela quantidade de algarismos que eles possuem pode se constituir um obstáculo epistemológico na comparação de números racionais escritos na forma decimal que apresente diferentes algarismos após a vírgula.

A idéia de que a comparação entre números naturais é realizada levando-se em consideração apenas o seu valor absoluto pode se constituir em um obstáculo epistemológico na comparação entre frações que apresentam o mesmo numerador e denominadores diferentes.

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Ú ME R O S

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R R A C IO N A IS SOBRE A CONCEPÇÃO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

O fato de um número inteiro se apresentar “pronto” pode ser um obstáculo epistemológico na apropriação de números que possuem algum símbolo em sua representação, como no caso dos irracionais obtidos por raízes quadradas.

CAPÍTULO 5

OUTRA INTERPRETAÇÃO PARA OS

Walderley Moura Rezende, em 2003, escreveu sua tese de doutorado intitulada “O Ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica” tendo como estímulo resultados de pesquisas realizadas a respeito da grande dificuldade que os alunos apresentam na disciplina inicial de Cálculo ao ingressar no Ensino Superior. Em sua dissertação de mestrado o autor havia constatado, por exemplo, que algumas dificuldades de aprendizagem relacionadas às operações de limite estão muito mais associadas às dificuldades em manipulação algébrica do que em sua interpretação analítica e decidiu dar continuidade ao estudo, mapeando as dificuldades de natureza epistemológica do ensino de Cálculo.

Apesar do assunto tratado por Rezende não ser o conjunto dos números reais, o autor traz contribuições no que diz respeito às concepções de certos conteúdos matemáticos que podem ser aproximadas ao nosso objeto de estudo. A principal delas é a explicitação de cinco macro-espaços de dificuldades de aprendizagem epistemológica. Esses macro-espaços podem ser interpretados como eixos de dualidades essenciais do Cálculo tanto na escala histórica quanto na pedagógica. São eles: eixo discreto/contínuo; eixo variabilidade/permanência; eixo finito/infinito; eixo local/global e o eixo sistematização/construção. Podemos aproximar alguns desses eixos à construção dos conjuntos numéricos abordados na Escola Básica, especialmente no nível Fundamental.

O macro-espaço discreto/contínuo tem origem na história nas discussões em torno de problemas relacionados às medidas das grandezas geométricas, como, por exemplo, a incomensurabilidade de certos segmentos geométricos. Na escala pedagógica, a falta de conexão nesse eixo traz como conseqüência um preocupante hiato estabelecido entre a aritmética e a geometria. E com esse hiato a noção fundamental de número fica prejudicada. Tanto que o autor assinala que o cenário pedagógico que temos nas nossas escolas a respeito dos números irracionais se assemelha àquele que se tinha no Renascimento (aproximadamente de 1495 à 1520).

Poucos alunos que responderam ao questionário da 7ª série ou 8º ano mostraram ser capazes de identificar os irracionais, quando escritos na forma decimal, como números com infinitos algarismos depois da vírgula que não possuem um padrão de repetição na sua formação. Apenas 4 alunos, de um total de 20, indicaram que o número 1,310310031000...19 como um número irracional.

Além disso, a grande maioria dos alunos não consegue identificar os números irracionais na reta numerada. Aos 20 alunos da 7ª série ou 8º ano que responderam ao questionário foi solicitado que eles representassem na reta numérica o número irracional 2 . Apenas 1 aluno o representou no intervalo [1,2].

Excetuando os números naturais, que são construídos a partir do problema histórico da contagem, os demais (inteiros, racionais e irracionais) estão associados à “construção da reta numérica”. Os números reais são dessa forma uma “medida” da reta numérica, e as suas representações decimais ou são finitas ou são “aproximadas”: π=3,14; 2 = 1,4 etc. Assim, os números irracionais continuam no processo pedagógico, tal como em seus outros tempos de outrora, “nebulosos”, “surdos”, números que “não dizem nada” e que não possuem uma posição na reta numérica – “estão sempre andando na reta”. Sua existência é assumida apenas potencialmente no universo da “matemática abstrata” (como se pudesse haver uma matemática não-abstrata

(Rezende, 2003, p. 329)

Em sua dissertação de mestrado, Rezende identificou duas definições de número irracional que coexistem na escola: número irracional é aquele que não pode ser escrito na forma de uma fração irredutível entre números inteiros; número irracional é um número decimal (sic) infinito que não possui parte periódica (Rezende, 2003, p.332). Essas definições aparecem nas falas dos alunos ao dizerem que os números irracionais são os reais menos os

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racionais, são números que não são racionais, ou ainda o traduzem como uma seqüência de termos indefinidos.

Nos questionários aplicados na presente pesquisa, a 39 alunos foi solicitado que explicassem com suas palavras o que era um número irracional. Desse total, obtivemos apenas 6 respostas que indicam “idéias vagas”, “nebulosas” características desse tipo de número.

Os alunos que responderam à questão relacionada aos números irracionais não mostraram ter alguma idéia sobre os números irracionais. Dentre os alunos que apresentaram alguma resposta, nenhum recorreu à definição de que é um número que não pode ser escrito em forma de fração ou como sendo um número não racional. A ausência dessas idéias gera dificuldades em construir o conceito de número real que na escola é definido como sendo aquele número que é racional ou irracional.

(...) o domínio numérico da totalidade de nossos alunos se restringe aos racionais. Já com respeito aos números reais (irracionais), podemos dizer, com certas restrições, que apenas a “técnica operatória” é dominada por eles. Não sabem

responder o que um número real é, efetivamente. Isto ocorre, como diria Caraça (1989), porque não conhecem o reagente básico (o conceito de continuidade) que motiva o processo de extensão do conjunto dos números racionais para o conjunto dos números reais.

(Rezende, 2003, p.338)

O autor ressalta ainda que não é por falta de oportunidade que o trabalho no macro- espaço discreto/contínuo não é realizado, e cita como exemplo de lugar para essa discussão o estudo das dízimas periódicas e progressões aritméticas e geométricas. Rezende assinala, ainda, que escondemos dos alunos os problemas motivadores e as dificuldades intrínsecas à construção do significado de número e com isso, o hiato entre o discreto e o contínuo torna-se inevitável no campo pedagógico (Rezende, 2003). Ele não pretende que haja uma antecipação das discussões de continuidade que garantiriam a superação desse obstáculo e sim propiciar situações em que os alunos identifiquem as dificuldades intrínsecas de certos conceitos.

O macro-espaço finito/infinito nasce com o início da noção do infinito há aproximadamente 25 séculos, segundo Morris (1997, apud Rezende), quando Zenão de Eléia propõe com seus paradoxos o problema de como definir o infinito. Entretanto, a idéia do infinito na Matemática se consolida somente na Idade Média (séculos X ao XV). Na escala pedagógica, Rezende traz alguns resultados obtidos em sua dissertação de mestrado, quando identificou certas concepções de infinito dos estudantes. Segundo o autor, podemos encontrar quatro posições definidas: infinito como “algo que não tem fim”, como “algo incontável”, como “algo ilimitado” e como “forma indeterminada”.

Algumas dessas posições podem ser encontradas em respostas dadas a diversas questões sobre os conjuntos numéricos apresentadas aos alunos. Ao serem questionados sobre a veracidade da sentença “O conjunto dos números naturais é infinito”, 31 alunos da 4ª série ou 5º ano, em um total de 36, a classificaram como verdadeira. As justificativas dadas

caminham ao encontro de algumas das posições relacionadas ao infinito encontradas por Rezende.

Segundo Rezende (2003) essas posições sobre a idéia do infinito não são excludentes e trazem à tona a possível dificuldade dos alunos em ampliar os conjuntos numéricos.

O macro-espaço local/global tem sua origem com a introdução do cálculo infinitesimal quando aparecem os primeiros teoremas gerais sobre as curvas algébricas e a “solidariedade” que existe entre a sua estrutura local e global (Petitot, 1985, apud Rezende p.375). Na escala pedagógica da escola básica, excetuando os tópicos referentes a “conjuntos” e “noções de lógica”, a oposição local/global passa desapercebida pelos alunos e pelos seus professores de matemática dos ensinos médio e fundamental (Rezende, 2003). Entretanto, os livros didáticos

atuais e os currículos escolares não incluem mais esses tópicos dentre os conteúdos a serem trabalhados no Ensino Fundamental.

Em sua tese, o autor identificou que a dificuldade de aprendizagem de natureza epistemológica no que diz respeito ao Cálculo é a omissão/evitação das idéias básicas e dos problemas construtores do Cálculo no ensino de Matemática em sentido amplo.

Podemos incorporar sua conclusão à nossa pesquisa e questionar se o Ensino de Matemática tem omitido ou evitado algumas noções básicas a respeito dos números e, com isso, cooperado para o aumento e não superação das dificuldades dos nossos alunos.

(...) no Ensino Médio e Fundamental de Matemática consegue-se, em geral, dissimular as dificuldades de aprendizagem através da assimilação das “regras do jogo” pelo aluno. (..) o estudante desenvolve sua aprendizagem em Matemática nos níveis fundamental e médio ignorando completamente aquilo que ficou escondido.

(Rezende, 2003, p. 323)

Na pesquisa realizada, observamos que, infelizmente, muitos alunos têm apenas vagas lembranças das “regras” da Matemática. Muitos deles até tentam reproduzi-las e quando não conseguem acabam mesmo criando outras “inspirados” pelas que lhes foram apresentadas, a fim de encontrar uma resposta. Entretanto, essas regras, cujo significado provavelmente tenha ficado “escondido” acabam se constituindo em grande dificuldade na construção do conhecimento dos alunos.

No documento Números reais no ensino fundamental: alguns obstáculos epistemológicos (páginas 144-155)