O modelo matemático e a atividade de modelagem matemática

O ato de criar modelos que permitam interpretar fenômenos naturais e sociais pode ser considerado uma atividade inerente ao ser humano, uma vez que a noção de modelo está presente ao seu redor. No entendimento de Ferruzzi (2003) modelo é uma réplica de algo real, elaborado de acordo com regras, que permitem a visualização e compreensão da situação problema ou do objeto estudado baseado em hipóteses, e que não se encerra ao se obter um modelo, mas sim na resolução do problema analisado com base no modelo encontrado.

No desenvolvimento das Ciências percebemos que a Matemática por inúmeras vezes foi e ainda é utilizada na representação de determinada situação problema por sua capacidade de simplificar, de generalizar e de interpretar um dado fenômeno, por meio de sua linguagem simbólica, ou seja, modelos. Com base em Bean (2012) a

[...] construção simbólica expressa principalmente na linguagem matemática, que se refere a algumas relações consideradas pertinentes a uma situação, de modo que auxilie na interpretação, compreensão e/ou tomada de decisão concernentes a tal situação e em outras situações, nas quais se considere adequado aplicar o modelo (p. 5).

Em seu trabalho, Bassanezi (2002) relata que “quando se propõe analisar um fato ou uma situação real cientificamente, isto é, com o propósito de substituir a visão ingênua

desta realidade por uma postura crítica e mais abrangente, deve-se procurar uma linguagem adequada que facilite e racionalize o pensamento” (p. 18).

É possível encontrarmos na “História da Ciência a busca pelo aprimoramento de teorias, com base em modelos da realidade, devido ao desenvolvimento de instrumentos intelectuais e materiais”12 (D’AMBROSIO, 2009). Assim, na intenção de utilizar uma linguagem adequada para representar um determinado fato, fazemos o uso da Matemática, pois ao interpretarmos os dados, refletimos criticamente acerca do problema e encontramos um modelo matemático que pode ser entendido como a representação real do fenômeno ou objeto estudado, baseado em relações matemáticas. Contudo, entendemos que modelo matemático é

[...] um sistema conceitual, descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem ou uma estrutura matemática e que tem por finalidade descrever ou explicar o comportamento de outro sistema, podendo mesmo permitir a realização de previsões sobre esse outro sistema (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 13).

Ou ainda, no mesmo sentido de Borromeo Ferri (2006), “são representações externas de um indivíduo - esboços ou fórmulas matemáticas -, dispondo de procedimentos e conceitos matemáticos”13. Ao analisar uma determinada situação-problemática o indivíduo faz representações internas (mentais) e externas (anotações, rascunhos) da situação dada, de modo a recorrer aos procedimentos e conceitos matemáticos conhecidos.

Nesse sentido, compreendemos que modelo matemático é uma forma de representação, que pode ser realizada por meio de termos matemáticos, que permite analisar, interpretar e refletir sobre um dado fenômeno da realidade14 e que possibilita uma visão particular da situação estudada. Entendemos nesse contexto que a realidade é algo que é construído, percebido ou criado. É um mundo que difere daquele mundo cuja existência está em si, desconexo do humano. Trata-se do mundo no qual vivemos e estabelecemos relações com outras pessoas, principalmente com nossos alunos (BICUDO, 2000). Contudo,

12 “History of Science has been exactly this: to improve theories, based on models of reality, thanks to the

development of new intellectual and material instruments” (D’AMBRÓSIO, 2009, p. 92).

13“(…) make external representations in the sense of sketches or formulae” (BORROMEO FERRI, 2006, p. 92). 14Nossa intensão não é a de discutir sobre o termo “realidade” na Modelagem, pois não se trata de uma pesquisa

de cunho filosófico. Discussões sobre o termo “realidade” em atividades de Modelagem podem ser encontradas nos trabalhos de Anastácio e Doval (2005), Anastácio (2007), Anastácio (2010), Negreli (2008), Araújo (2010), Veleda (2010), Veleda e Almeida (2010) entre outros.

Compreender que a realidade não é matemática significa também compreender que descrevê-la matematicamente constitui uma das inúmeras possibilidades de conhecê-la. E, assim sendo, partir de um problema real para construir modelos que representem aquela situação constitui uma atividade importante e rica. Entretanto, nos abre a vislumbrar outros modos de expressar e descrever a realidade que vivemos (ANASTÁCIO, 2010, p. 8).

Podemos notar que é importante no desenvolvimento de atividades de Modelagem, analisar situações que envolvam problemas da realidade de modo a possibilitar o conhecimento dos fenômenos que nos cercam. Chevallard (2001), quanto a atividades de Modelagem para a elaboração de modelos afirma que

[...] um aspecto essencial da atividade matemática consiste em construir um modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo e interpretar os resultados obtidos nesse trabalho, para responder as questões inicialmente apresentadas. Grande parte da atividade matemática pode ser identificada, portanto, como uma atividade de modelagem

matemática (p. 50).

Com base na afirmação feita pelo autor, podemos dizer que toda e qualquer atividade a respeito de uma determinada situação da realidade em que se busca a análise, a interpretação e a generalização sobre um dado problema por meio da Matemática pode ser considerada uma atividade de Modelagem. Blum e Borromeo Ferri (2009, p. 45) definem, resumidamente, “modelagem matemática como a tradução entre a realidade e a

matemática”15_.

Portanto, entendemos que uma atividade de Modelagem

[...] pode ser descrita em termos de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que representa uma solução para a situação inicial) e de um conjunto de procedimentos e conceitos necessários para

passar da situação inicial para a situação final. [...] O termo “problema” é

entendido aqui como uma situação na qual o indivíduo não possui esquemas a priori para sua solução. Assim, para a resolução de situações problema, de modo geral, não há procedimentos previamente conhecidos ou soluções já indicadas (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 12).

15“[…] requires translations between reality and mathematics what, in short, can be called mathematical modelling” (BLUM; BORROMEO FERRI, 2009, p. 45) (grifo dos autores).

Vertuan (2007) complementa que, em uma atividade de Modelagem, mesmo que a obtenção do modelo matemático seja importante para a conclusão do processo de Modelagem, ele não deve ser considerado como a etapa final da atividade, pois ele possibilita uma análise mais abrangente da situação investigada na busca de uma resposta para o problema. Portanto, em uma atividade de Modelagem temos como ponto de partida uma situação inicial (problemática) pertencente à realidade do aluno, da qual este se utiliza de procedimentos e conhecimentos matemáticos que permitem elaborar estratégias de ação para a obtenção de um modelo matemático (situação final) que represente e solucione a situação analisada com base na linguagem matemática.