O pré-teste e pós-teste

Para analisar como os estudantes avançaram (ou não) nos níveis de pensamento geométrico, aplicamos um pré-teste e um pós-teste. O teste pretendia analisar em que nível de pensamento geométrico estavam os estudantes antes e depois da intervenção pedagógica.

Diferentemente da pesquisa de Câmara dos Santos (2001), na qual o intervalo de tempo entre a aplicação entre o pré-teste e o pós-teste foi de cerca de quatro meses, em nosso estudo, o intervalo foi de três meses. Além disso, o teste é formado por cinco quesitos, que exploram a construção de quadriláteros notáveis.

O primeiro quesito é formado por duas situações. Na primeira situação, pede- se que o estudante produza um retângulo, e em seguida, uma figura que não seja um retângulo (ao lado do retângulo construído inicialmente). Na segunda situação, o estudante é orientado a explicitar sua produção por escrito.

A questão de o estudante ter que construir uma figura que não se constituía um retângulo fundamenta-se na hipótese de que ao se produzir de modo intencional uma figura que não disponha de determinadas propriedades, uma “figura incorreta”, o estudante é movido a justificar sua compreensão dessas propriedades (CÂMARA DOS SANTOS, 2001).

Um estudante que esteja no segundo nível de Van-Hiele, que é capaz de reconhecer as figuras geométricas por suas especificidades (propriedades), poderá construir um losango (Figura 44) e um trapézio (Figura 45) como “não retângulos”. Se analisarmos, por exemplo, as propriedades do retângulo e do losango, veremos que as diagonais do losango são sempre perpendiculares e se cortam em seu ponto médio, o que nem sempre é observado com o retângulo (suas diagonais também podem não ser perpendiculares). Comparando o retângulo com o trapézio, observaremos, por exemplo, que enquanto as diagonais do primeiro quadrilátero notável se cortam em seu ponto médio, esse aspecto não é verificado com as diagonais do segundo (nesse caso, o trapézio).

Entre as possíveis figuras consideradas como “não retângulo” que um aluno do primeiro nível vanhieliano poderá construir, destacamos o quadrado, o retângulo em posição não prototípica23, o paralelogramo, o losango, o trapézio, o triângulo, a circunferência e um polígono de cinco ou mais lados. Aqui destacamos que o parâmetro a ser utilizado na diferenciação das figuras é a sua aparência ou sua forma, ou seja, os alunos consideram que as figuras divergem por apresentarem aparência e formas diferentes.

Figura 44 – Losango considerado como não retângulo

Fonte: Autoria própria

Figura 45 – Trapézio considerado como não retângulo

Fonte: Autoria própria

Na análise das justificativas dos estudantes referentes à segunda situação, utilizaremos a categoria traçada por Câmara dos Santos (2001). Nesse estudo, o pesquisador classificou as explicações dos estudantes em três categorias:

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a) pragmática – o estudante faz uso apenas da forma ou aparência da figura na justificativa (exemplo: o aluno pode afirmar que o retângulo e o quadrado são diferentes, pois possuem formas diferentes);

b) aplicativa – o aluno utiliza a definição comum da figura na explicação (exemplo: o aluno pode argumentar que o retângulo apresenta quatro ângulos internos congruentes e que o losango tem quatro lados congruentes);

c) relacional – o estudante emprega as propriedades das figuras na explicitação (exemplo: o aluno pode dizer que o retângulo e o losango são diferentes, porque as diagonais do primeiro são concorrentes, e as do segundo são perpendiculares).

No segundo quesito é apresentada ao estudante uma relação de onze quadriláteros notáveis distintos (Figura 46) e em posições diferentes. A atividade busca classificar esses quadriláteros notáveis em diversas famílias (retângulos, trapézios, quadriláteros, quadrados, paralelogramos e losangos).

Figura 46 – Quadriláteros utilizados no segundo item no teste

A

Um aluno do segundo nível vanhieliano poderá, por exemplo, apresentar a classificação ilustrada no Quadro 7.

Quadro 7 – Classificação realizada por um aluno do segundo nível

FIGURAS Retângulos C, D, E, F, H, J Trapézios A, I, L Quadriláteros A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L Quadrados C, E Paralelogramos B, C, D, E, F, G, H, J Losangos C, E

Fonte: Autoria própria

Neste tipo de resposta, o estudante buscará características intrínsecas às figuras, bem como de suas propriedades, como parâmetro para a categorização.

Um estudante que esteja no primeiro nível de Van-Hiele poderá classificar os quadriláteros como está delineado no Quadro 8.

Quadro 8 – Classificação realizada por um aluno do primeiro nível

FIGURAS Retângulos D, J Trapézios A, D, F, J Quadriláteros A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L Quadrados C Paralelogramos B Losangos G, E

Fonte: Autoria própria

Podemos perceber nesse tipo de resposta que o aluno se baseia fortemente na percepção global da figura. Além disso, no caso das figuras que foram categorizadas em outras famílias, como alguns retângulos classificados como trapézios, tal fato ocorre, pois o aluno ainda não é capaz de reconhecer as figuras pelas suas aparências.

No terceiro quesito, o estudante é orientado a produzir dois quadrados diferentes entre si. A finalidade dessa atividade é analisar se os estudantes mobilizam as propriedades das duas figuras para distingui-las.

Um aluno do segundo nível de Van-Hiele poderá distinguir as duas figuras pelo seu posicionamento na folha de papel, a exemplo de produzir um losango (Figura 47) e considerá-lo um quadrado em posicionamento distinto.

Figura 47 – Losango considerado um quadrado em posição diferente

Fonte: Autoria própria

Um estudante do primeiro nível vanhieliano poderá diferenciar as duas produções apenas pelo seu tamanho. Ele também poderá produzir outros tipos de quadriláteros notáveis, a exemplo do paralelogramo, do trapézio e do retângulo, mas, considerando-os diferente do quadrado por apresentarem aparências diferentes. Tal fato exige um estudo mais aprofundando, que busque compreender os reais motivos que levam o estudante a essas produções.

É importante ressaltar que todo quadrado se configura como um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado. Nesse sentido, se a questão solicitasse que o aluno produzisse dois retângulos diferentes e na construção, ele fizesse um retângulo “padrão” e um quadrado, seria uma evidência de que o aluno era capaz de reconhecer um quadrado como um retângulo.

Esse fenômeno representaria um avanço em seu pensamento geométrico, pois o aluno seria capaz de perceber que as propriedades das figuras se deduzem umas nas outras (característica do terceiro nível vanhieliano).

No caso específico do quesito proposto (produzir dois quadrados diferentes), se o aluno criar um quadrado e um retângulo “padrão”, tal produção não seria

adequada, logo, esse estudante ainda não é capaz de articular as propriedades desses quadriláteros notáveis.

No quarto quesito é pedido que o aluno construa um losango ABCD, dados dois pontos A e B indicados em dois nós de uma malha quadriculada, como ilustrado na Figura 48. Essa tarefa objetiva analisar os critérios utilizados pelo aluno, e se ele faz uso das propriedades das diagonais do losango na produção.

Figura 48 – Vértices A e B marcados na malha quadriculada A

B

Fonte: CÂMARA DOS SANTOS, 2009, p.208.

Um estudante do segundo nível de Van-Hiele utilizará as propriedades das diagonais do losango na construção da figura. Nesse sentido, partindo dos vértices

A e B, ele estabelecerá as diagonais, que são perpendiculares, e chegando à

definição do seu ponto médio, o ponto E, o estudante estabelecerá os simétricos dos vértices disponibilizados na questão (A e B). Para finalizar, ele ligará os pontos A, B,

C e D, formando o losango ABCD (Figura 49).

Um aluno do primeiro nível de Van-Hiele responderá a questão fazendo uso de sua percepção sobre a aparência do losango, como exibido na Figura 50.

Além do losango, o aluno poderá produzir outras figuras, como o trapézio, o paralelogramo, o retângulo e o triângulo. Essas construções constituem uma forte constatação de que o aluno apresenta dificuldades em entender o que é um losango, e ainda, de suas características, o que necessita uma pesquisa mais aprofundada.

Figura 49 – Losango ABCD

Fonte: Autoria própria

Figura 50 – Losango ABCD construído pela percepção

Fonte: Autoria própria

O sexto quesito exibe um losango que teve um pedaço apagado (Figura 51), e o aluno deverá analisar se é possível reconstituí-lo (ou não). Além disso, ele deverá explicitar sua resposta. O objetivo da atividade foi verificar se o aluno mobiliza as propriedades das diagonais do losango na construção.

Figura 51 – Losango ABCD com um pedaço apagado

A

B

Um aluno do segundo nível vanhieliano fará uso das propriedades das diagonais do losango na produção da figura, como desenhado na Figura 52. Dessa forma, pelo ponto médio das diagonais já disponibilizado no problema, o aluno definirá os simétricos dos vértices A e B, que são os pontos C e D, para em seguida, estabelecer o losango ABCD por meio da ligação dos seus vértices.

Figura 52 – Losango ABCD

Fonte: Autoria própria

Um estudante do primeiro nível vanhieliano responderá o problema utilizando a percepção global da figura, como ilustrado pela Figura 53. O estudante poderá também construir outras figuras além do losango, entre elas: o trapézio, o paralelogramo e outros polígonos com cinco ou mais lados. Novamente, esse fato é uma forte evidência de que o estudante apresenta dificuldades em compreender o que é um losango.

Figura 53– Losango ABCD construído por percepção global

CAPÍTULO VI