Sétima atividade

A sétima atividade da terceira fase da sequência didática buscou construir um losango a partir de dois de seus vértices opostos, sendo necessário o emprego das propriedades das diagonais do losango. Nesse sentido, a atividade pediu, inicialmente, que os estudantes criassem dois pontos T e C, e em seguida, outros dois pontos I e A, de forma que TICA seja um losango. Após a construção desse losango, os alunos deveriam mover os seus pontos e analisar se a figura permanecia sendo um losango. Caso contrário, deveriam refazer a construção. A atividade ainda orientava que os estudantes deveriam justificar por que a figura permanecia como losango, quando seus vértices eram deslocados, e também por que sua figura era um losango.

No item 5.5.3 dessa dissertação, podemos consultar as possibilidade de resolução para essa atividade no GeoGebra, em relação a teoria de Van-Hiele.

Em um primeiro momento, realizando a análise das produções das duplas de alunos desenvolvidas no mencionado software, verificamos que nenhuma dupla da turma investigada construiu o losango por meio de suas propriedades, que é uma característica do segundo nível de pensamento geométrico de Van-Hiele.

Cinco duplas (D01, D05, D10, D12 e D14) fizeram uso da definição usual do losango em sua construção. Na Figura 74 podemos encontrar uma ilustração para esse caso, com a produção da dupla D01.

Pela produção, podemos perceber que D01 fez uso da definição usual do losango, compreendida com uma figura que apresenta todos os lados de medidas

iguais (congruentes entre si).

Nove duplas (D02, D03, D04, D06, D08, D09, D11, D13 e D15) demostraram o pensamento geométrico típico do primeiro nível vanhieliano, porque construíram o losango a partir de sua aparência física, como exemplificado na Figura 75.

Figura 74 – Losango TICA construído pela dupla D01

Fonte: Dados da pesquisa

Figura 75 – Losango TICA construído pela dupla D13

Pela Figura 75, percebemos que D13 construiu um losango em desacordo com a definição usual desse quadrilátero notável, pois os lados da figura produzida não são iguais entre si. Além disso, a propriedade do losango de que os lados

opostos são congruentes também não se verifica na produção.

Ainda, identificamos uma dupla (D07) que ao invés de um losango, produziu um paralelogramo (não losango), como ilustrado na Figura 76.

Figura 76 – Paralelogramo TICA considerado losango pela dupla D07

Fonte: Dados da pesquisa

Apesar da facilidade com a malha quadriculada no GeoGebra, que poderia ajudar na construção do losango, D07 acabou produzindo um paralelogramo, que não se configura como um losango, pois os lados não são congruentes entre si.

Em um segundo momento, analisamos as justificativas dos estudantes, quando questionados se a figura construída permanecia como um losango ao ter seus pontos deslocados, e ainda por que a figura se configurava como um losango.

Uma dupla (D09) fez referência apenas à propriedade de um tipo de losango, demostrando, assim, o pensamento geométrico do segundo nível de Van-Hiele:

“Tem dois ângulos agudos e dois obtusos” (D09). No entanto, na construção no GeoGebra, essa dupla produziu um losango a partir de seu aspecto global, que é uma característica do primeiro nível vanhieliano. Esses indícios evidenciam que para a atividade analisada, D03 estava atuando na transição entre os dois níveis.

Uma dupla (D02) parece ter estabelecido a relação entre as propriedades do losango e do quadrado, que é uma característica do terceiro nível de Van-Hiele: “porque um losângulo é um quadrado” (D02). Aqui chamamos atenção para o fato de que apenas um tipo de losango, com ângulos de medidas iguais, é considerado um quadrado.

Logo, os losangos com ângulos obtusos e agudos não se configuram como um quadrado. Todavia, todo quadrado é losango.

Outra dupla (D14) também demonstrou o pensamento geométrico característico do terceiro nível de Van-Hiele, no qual, ocorre a ordenação das propriedades das figuras geométricas: “Ele permanece um losango, pois um

quadrado é um losango, um retangulo e um quadrado ao mesmo tempo. Um quadrado é um losango, mas um losango não é obrigatoriamente um quadrado. losango: um polígono diverso que pode ter angulos diversos com 4 lados” (D14).

Pela justificativa apresentada por D14, observamos que essa dupla conseguiu perceber que o losango e o quadrado apresentam propriedades em comum, o mesmo pode ser verificado com o retângulo e o quadrado. Esses dados mostram que esses estudantes avançaram significativamente em seu pensamento geométrico por meio da sequência didática.

Três duplas (D06, D07 e D12) mencionaram somente a definição usual do losango em suas explicações: “Sim porque um losango ele tem 4 lados iguais, tem 4

vértices e todos os seus lados são retos” (D06); “Possui 4 lados e é um polígono”

(D07); “Todos seus lados são iguais” (D12). Aqui chamamos atenção para o fato de que nas produções desenvolvidas no GeoGebra, D06 fez o losango a partir de sua aparência física, D07 construiu um paralelogramo (não losango) e D12 construiu um losango com base em sua definição usual.

Seis duplas (D01, D03, D05, D10, D11 e D13) se basearam na definição e em uma das propriedades do losango, caracterizando o segundo nível de pensamento geométrico de Van-Hiele: “Porque ainda era um quadrilátero com os lados iguais e,

no mínimo, 2 ângulos iguais” (D01); “É um losango pois tem ângulos de 90º e lados de medida igual” (D03); “Sim. Pois ele continua tendo 4 lados e possui 2 ângulos agudos e 2 obtusos” (D05); “A figura é um losango porque todos os seus lados são iguais e seus angulos opostos são iguais e não são retos” (D10); “Sim. Porque tem 4 ângulos de 90º e todos os lados iguais” (D11); “Porque é um quadrilátero de lados iguais, mas ângulos diferentes” (D13).

Nesse caso, D03 e D11 em suas produções mencionaram o losango com ângulos de medidas iguais (que também é um quadrado), enquanto que as demais duplas referendaram o losango com ângulos não retos (não quadrado).

É importante destacar que no GeoGebra, D03, D11 e D13 construíram o losango a partir da aparência global da figura, enquanto D01, D05 e D10 apelaram pela sua definição. Esses indícios parecem mostrar que essas duplas estavam trabalhando na transição dos níveis iniciais, no período da pesquisa, para a atividade verificada.

Das oito duplas de alunos que fizeram referência ao comportamento da figura, quando seus pontos eram descolados, sete (D01, D02, D04, D06, D07, D13 e D15) perceberam que a figura continuava um losango: “Fizemos o losango TICA e

movemos seus pontos e ele continuou um losango” (D01), “[ao] se mover os quatro pontos continua um losangulo” (D02), “movendo de uma forma correta para continuar a figura continua um losango” (D04), “quando nos mechemos no losango ele continua normal” (D06), “Sim. Pois se movermos a figura continua com 4 lados e um polígono” (D07), “Sim. Porque nós utilizamos a opção polígono rígido” (D13),

“Sim. Pois mesmo se os forem movidos os pontos continua um losango, sendo

diferente” (D15); e uma dupla (D09) verificou que a figura deixava de ser um

losango: “ele deixa de ser um losangulo” (D09).