Quarta atividade

A quarta atividade da terceira fase da sequência didática teve por finalidade construir um quadrado a partir da construção de circunferência e de paralelas e perpendiculares. Dessa forma, em um primeiro momento, a atividade solicitava que os estudantes criassem um segmento de reta MN, e a partir dele, construíssem um quadrado MNPQ. Depois, eles deveriam deslocar os pontos M, N, P e Q e verificar se a figura permanece um quadrado, caso contrário, deveriam refazer a atividade. Em um segundo momento, os alunos foram orientados a explicitarem porque a figura produzida se configurava como um quadrado.

Os percursos de solução para essa atividade no GeoGebra em relação aos níveis vanhielianos podem ser observadas no capítulo V, item 5.5.3.

Analisando as produções dos estudantes desenvolvidas no software GeoGebra, notamos que apenas duas duplas de alunos (D03 e D12) apresentaram o pensamento geométrico típico do segundo nível de Van-Hiele, isto é, fizeram uso das propriedades do quadrado em suas produções. No entanto, essas duplas não fizeram uso dos conceitos de circunferência e de paralelas e perpendiculares. Na Figura 63 podemos encontrar uma ilustração para esse caso (com a dupla D03).

Assim, constatamos que apesar da dupla D03 não terem mobilizado os conceitos de circunferência e de paralelas e perpendiculares (trabalhados nas fases anteriores da sequência didática) conforme antecipado no item 5.5.3, ela fez uso de duas propriedades do quadrado na construção: (i) dois lados opostos paralelos

congruentes e (ii) ângulos internos opostos congruentes. Tal fato é uma

característica do segundo nível de pensamento geométrico vanhieliano.

Notamos dez duplas (D01, D04, D05, D07, D09, D10, D11, D13, D14 e D15) demonstrando o pensamento geométrico característico do primeiro nível de Van- Hiele, pois fizeram uso apenas do aspecto global do quadrado em suas construções. A Figura 64 apresenta um exemplo desse fenômeno (com D01).

Nesse segundo caso, verificamos que a dupla D01 fez uso apenas da aparência física do quadrado na construção, logo, desconsideraram as propriedades desse quadrilátero notável, que corresponde à característica do primeiro nível de pensamento geométrico de Van-Hiele.

Figura 63 – Quadrado MNPQ produzido pela dupla D03

Fonte: Dados da pesquisa

Figura 64 – Quadrado MNPQ produzido pela dupla D01

Ainda, identificamos três duplas (D02, D06 e D08) que construíram retângulos (não quadrados) ao invés de quadrados. Esse dado nos chamou atenção, pois dificilmente um estudante que esteja atuando no primeiro nível de Van-Hiele, que reconhece as figuras geométricas por meio de sua aparência física, consideraria um retângulo (não quadrado) como um quadrado, o mesmo poderia ser verificado com um aluno que trabalhe no segundo nível de Van-Hiele. A Figura 65 ilustra esse caso, com a produção da dupla D06.

Por apresentarem propriedades em comum, todo quadrado pode ser considerado com um retângulo, mas o inverso nem sempre pode proceder. Nesse sentido, um retângulo que não tenha todos os lados congruentes entre si (com a mesma medida dos comprimentos dos seus lados), mesmo que ele apresente ângulos internos opostos congruentes e diagonais que se cortam ao meio, não pode ser considerado como um quadrado.

Figura 65 – Quadrado MNPQ produzido pela dupla D06

Como observado na Figura 65, apesar da facilidade que a malha quadriculada no GeoGebra poderia proporcionar na construção, a dupla construiu um retângulo (não quadrado) como um quadrado, o que reforça a necessidade de um trabalho sistemático pelo professor de Matemática, de forma que essas dificuldades sejam superadas.

Em seguida, analisamos as explicações dos estudantes registradas nas fichas de atividade, nas quais, deveriam justificar por que sua produção é um quadrado. Novamente, buscamos evidenciar se os alunos se referiam ao aspecto global ou à definição ou às propriedades do quadrilátero notável abordado na atividade.

Apenas uma dupla de alunos (D04) fez referência a uma das propriedades do quadrado em sua construção: “Movendo da forma correta fica com 4 lados iguais e

paralelos” (D04). Essa dupla percebeu que quando os pontos do quadrado são

deslocados, ele (o quadrado) continua com quatro lados paralelos iguais, que é uma das propriedades desse quadrilátero notável.

Aqui chamamos atenção para o fato de que no GeoGebra, D04 construiu o quadrado a partir do seu aspecto global. Todavia, ao justificar sua construção, a dupla fez referência a uma das propriedades do quadrilátero notável. Essas evidências indicam que esses alunos estão atuando na transição dos níveis iniciais de pensamento geométrico de Van-Hiele, isso para a atividade analisada.

Treze duplas (D01, D02, D03, D05, D06, D07, D08, D09, D11, D12, D13, D14 e D15) mencionaram a definição usual do quadrado em suas justificativas: “É um

quadrado porque todos os lados são iguais e têm 4 ângulos retos” (D01); “Porque os quatro lados são iguais” (D02); “A nossa produção é um quadrado porque têm ângulos de 90º e todos os lados de comprimento igual” (D03); “Porque tem 4 lados iguais da mesma forma e tem 4 ângulos de 90º” (D05); “Porque ela tem 4 lados, 4 vertices” (D06); “Porque ele tem 4 lados iguais e é um polígono” (D07); “Porque tem quatro lados iguais” (D08); “Porque os quatro lados são iguais e apresentam ângulos de 90º” (D09); “Porque tem todos lados iguais” (D11); “Porque todos os seus lados são iguais” (D12); “Porque todos os lados são iguais” (D13); “Quadrado: é um

polígono onde tem todos os 4 lados iguais, e todos os ângulos retos” (D14); “Pois tem os 4 lados iguais” (D15).

Mais uma vez, chamamos atenção para as justificativas das duplas D02, D06 e D08 que construíram um retângulo (não quadrado) ao invés de um quadrado no ambiente do GeoGebra. As explicações de D02 e D08 apresentam elementos da definição usual do quadrado, enquanto que a justificativa de D06 pode ser utilizada como definição mais geral para os quadriláteros notáveis.

Nessa atividade, não foram identificadas duplas fazendo uso da aparência global do quadrado em suas justificativas, que pode representar um avanço no pensamento geométrico desses estudantes.

Além disso, seis duplas (D01, D02, D06, D10, D11 e D14) observaram se a figura construída permanecia quadrado (ou não), quando seus pontos eram movimentados: “Criamos o quadrado MNPQ, movemos os pontos e continuou um

quadrado” (D01); “Não permanece” (D02); “qualquer movimento de qualquer vértice ele se matém sendo um quadrado” (D06); “Quando movemos vértices a figura continua um quadrado” (D10); “Quando movemos permanece um quadrado” (D11);

“Após a construção de um segmento M e N, para produzir um quadrado MNPQ, que

permaneça um quadrado quando movemos os vértices fizemos um polígono regular, usando o segmento” (D14).