O Quinto Postulado de Euclides e as Tentativas de Prova

É no primeiro dos treze livros de Os Elementos que se encontram os famosos postulados que deram forma à “Geometria Euclidiana Plana” ou “Geometria Plana”, que são:

I. Pode-se traçar uma (única) reta ligando dois pontos.

II. Pode-se prolongar (de uma única maneira) uma reta finita continuamente em uma linha reta.

III. Pode-se traçar um círculo com centro qualquer e raio qualquer. IV. Todos os ângulos retos são iguais.

V. Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos de um mesmo lado cuja soma é menor que dois retos, então estas duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram naquele lado cuja soma dos ângulos internos é menor que dois retos (BICUDO, 2009, p. 98).

Katz (2011) afirma que o quinto postulado tornou-se o alvo de críticas no tempo de Euclides, principalmente pela falta de simplicidade. Outro fato interessante é que o próprio Euclides aparenta evitar no decorrer de seu trabalho esse postulado. Como relata Brito (1995), Proclo, um grande comentarista de Os Elementos no século V, percebeu que as 28 primeiras proposições do trabalho (de 465 no total) são demonstradas sem empregá-lo, sendo que algumas seriam facilmente demonstradas se o quinto postulado fosse utilizado.

No ano de 1975, John Playfair apresenta, em sua obra Elementos da

Geometria, uma outra forma de enunciar o quinto postulado, que ficou conhecido

como Postulado das Paralelas: por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada (BARBOSA, 2011). Não há problema em assim enunciá-lo, pois essas proposições são equivalentes. E não parou por aí, anterior e posteriormente, esse postulado foi reescrito de diversas formas, mostrando que esse não era óbvio. Todavia, sem ele não apareceriam outras proposições ou conceitos matemáticos, como a da soma dos ângulos internos de um triângulo, a semelhança

de figuras, e, assim sendo, não poderia existir a trigonometria (NASCIMENTO, 2013).

Como já mencionado, o quinto postulado foi enunciado por Euclides da seguinte forma: “Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos de um mesmo lado cuja soma é menor que dois retos, então estas duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram naquele lado cuja soma dos ângulos internos é menor que dois retos” (BICUDO, 2009, p. 98). Esta ideia está apesentada na Figura 2:

Figura 2 - O quinto postulado de Euclides (Postulado das paralelas)

Fonte: Ribeiro (2012, p. 36)

Muitos foram os matemáticos que se dedicaram a tentar provar esse postulado, o que perdurou por cerca de 2000 anos sem nenhum sucesso. Para Mlodinow (2004, p. 46), o postulado das paralelas “não era suficientemente simples para um postulado, e deveria ser demonstrável como um teorema”, assim ele conclui que essa falta de simplicidade deve ter sido um dos principais motivos pelos quais diversos estudiosos tentaram prová-lo. Apresentam-se, a seguir, alguns desses matemáticos.

Ptolomeu I foi um dos matemáticos que enveredaram nesta tentativa, que é citada em um dos comentários de Proclo sobre o livro I de Os Elementos: “ele (o quinto postulado da Geometria Euclidiana) deveria ser retirado completamente da redação dos postulados, pois é um teorema difícil, o qual Ptolomeu propôs-se a demonstrar” (PRESMIC, 2014, p. 12). O principal argumento dele era o de que se

uma reta intercepta outra reta, então ela interceptará todas as retas paralelas a essa.

O matemático, filósofo e historiador Proclo também tentou prová-lo, além de mostrar alguns equívocos nas demonstrações de Ptolomeu I. A fim de realizar tal prova, ele propôs que as retas paralelas fossem equidistantes, mas esse argumento era equivalente ao quinto postulado e por isso não conseguiu (BRITO, 1995).

Muitos árabes também tentaram provar. Dentre eles, destaca-se Nasir Eddin All Tusin, editor de uma das versões em árabe de Os Elementos, que em sua tentativa propôs o seguinte axioma:

Sejam m e n duas retas, A um ponto de m e B um ponto de n, tais que AB é perpendicular à n e forma um ângulo agudo com m. Então as perpendiculares baixadas de m à reta n, do lado do ângulo agudo, são menores do que AB e as que ficam do outro lado são maiores do que AB” (BARBOSA, 1995, p. 21)

Que também é equivalente ao quinto postulado. Uma representação deste axioma está apresentada na Figura 3:

Figura 3 - Representação do axioma proposto por Nasir

Fonte: O Autor

Ele não conseguiu realizar tal prova; porém, a partir de outros estudos e tentativas ele conseguiu provar que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º (BARBOSA, 1995).

Já John Wallis não utilizou a ideia de equidistância entre retas, que foi empregada por outros matemáticos, como Proclo. Ele empregou a seguinte ideia: “dado um triângulo, é possível construir um outro que lhe é semelhante, com lados arbitrariamente grandes” (BARBOSA, 2002, p. 27). Contudo, essa era outra forma de se reescrever o quinto postulado e, por isso, não conseguiu prová-lo.

O padre jesuíta Girolamo Saccheri deu uma grande contribuição para o estudo do postulado das paralelas, suas ideias foram publicadas em um livro

Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclides, sem qualquer falha) no ano 1733. Sua

tentativa de prova teve como base a redução ao absurdo, que consiste em assumir a falsidade da proposição e, caso haja alguma contradição durante a demonstração, conclui-se que proposição é verdadeira. No entanto, ele não conseguiu encontrar contradições e isso lhe causou muita estranheza, mesmo assim ele desconsiderou suas criações. Porém, se ele tivesse percebido que não havia contradições a serem encontradas, teria criado um século antes as geometrias não euclidianas (BARBOSA, 1995). Mais adiante, será tratada tal tentativa.

Adrien Marie Legendre, um matemático francês, também se dedicou a estudar e provar o quinto postulado. Ele tentou realizá-la de várias formas, em uma delas ele utilizou ideias muito parecidas com as de Saccheri, tendo como base a soma dos ângulos internos de um triângulo, considerando três hipóteses: a soma pode ser 180º, maior que 180º ou menor que 180º (NASCIMENTO, 2013).

Esses foram alguns dos inúmeros matemáticos que se dedicaram a esse estudo; porém, todos falharam em suas tentativas. De acordo com Barbosa (2011, p. 33), isso aconteceu pelo fato de que, “em geral, elas utilizavam de argumentos equivalentes ao próprio quinto postulado, tornando as provas inválidas”.

Outro fator a ser considerado é que alguns dos matemáticos deste período, mesmo fracassando em suas tentativas, chegaram à conclusão de que o quinto postulado se tratava de um teorema e não de um postulado, assim Euclides estaria equivocado.

Foram esses alguns dos questionamentos iniciais que culminaram na criação das geometrias não euclidianas.