O SGD e a Prova ou Demonstração Matemática

Existe uma ampla discussão entre educadores matemáticos e matemáticos profissionais, com opiniões nem sempre convergentes, sobre a possibilidade de softwares contribuírem para que estudantes tentem chegar a uma justificativa matemática e façam a ligação entre a exploração indutiva e o desenvolvimento do raciocínio dedutivo. Apesar de ainda existir uma polêmica com relação a este tema, acredito que com estes softwares é possível investigar diferentes variações de uma construção geométrica e, conseqüentemente, inferir propriedades, chegar a generalizações e verificar teoremas. Devido à natureza indutiva do SGD, novas possibilidades experimentais, e teóricas, podem ser exploradas, uma vez que com esta tecnologia a elaboração de conjecturas e suas respectivas justificativas podem ser favorecidas. Desse modo, é possível estabelecer uma importante discussão acerca das possibilidades da inclusão de SGD no contexto educacional em seus diferentes níveis.

Pesquisadores como Christou et al. (2004), por exemplo, buscam formas de mostrar como os SGD podem fornecer não apenas dados a serem confirmados ou

conjecturas a serem testadas, mas, também, podem induzir idéias associadas a uma prova dedutiva.

Com base em estudos sobre funções, e por acreditarem no potencial do uso de SGD, Giraldo et al. (2004) analisaram um estudo de caso, no qual as reações dos estudantes sobre um determinado problema diferiram dos padrões usuais ao observarem um curso para professores. Os autores argumentam que os diferentes backgrounds dos estudantes - no caso, professores - provocaram um conflito entre os significados produzidos, que expandiu a apropriação de conceitos. Estes pesquisadores contrastaram este comportamento com o efeito restritivo da mera aplicação da fórmula, o que tem sido observado em respostas típicas dadas por professores sobre um mesmo problema.

Estes estudantes-professores eram questionados, por exemplo, sobre como encontrar, empiricamente, a área do retângulo com perímetro 40m. No desenvolvimento desta tarefa, utilizando SGD, os participantes notaram que alguns deles apresentavam valores aproximados, gerando, assim, conflitos em relação aos conceitos geométricos produzidos em um ambiente de geometria dinâmica. A partir dessa experiência os autores concluíram que essa limitação do SGD, além de outras possíveis, poderia ser usada "a favor" dos estudantes no momento da investigação e não como um obstáculo, ou seja, esse conflito fazia do SGD uma ferramenta importante no desenvolvimento do raciocínio dedutivo em geometria, levando os professores a sentirem a necessidade de uma prova formal. Nesse caso, o feedback dado pelo SGD pode induzir a uma demonstração.

Demonstração ou prova matemática é um tema que demanda diversas discussões no âmbito da Educação Matemática, levando muitos pesquisadores a investigarem seu papel em diferentes contextos e, assim, identificarem suas várias facetas (HANNA, 2000; MARIOTTI, 2000; LABORDE, 2000, entre outros). Essa discussão passou a ser mais intensa quando os softwares começaram a se tornar realidade na sala de aula, trazendo uma nova perspectiva para a demonstração, colocando “em xeque" o rigor matemático em determinados contextos educacionais. Por que demonstrar, se a construção no software garante e/ou convence?

Lourenço (2002, p.100) considera que "embora a prova em Matemática seja de grande importância, a forma segundo a qual ela tem se reproduzido, sobretudo quando se trata de ensino, deve ser revista". Para este autor, o uso de softwares pode abrir novas perspectivas de investigação e, ainda, segundo ele, "demonstrar é convencer. [...] o convencimento deve se caracterizar pela coerência e compatibilidade com o contexto. O que é necessário num momento talvez seja perfeitamente dispensável em outro momento e outro contexto” (p.108-9).

Hanna (2000, p.13) acredita que os SGD

têm o potencial para encorajar a exploração e a prova, pois eles tornam mais fácil propor e testar conjecturas. Mas, infelizmente, o sucesso do uso destes softwares na exploração tem emprestado apoio à uma visão entre os educadores de que a prova dedutiva em geometria deveria ser menos enfatizada ou abandonada em favor de uma abordagem totalmente experimental para a justificação matemática12.

Essa autora também afirma que a utilização da exploração em matemática não é algo recente e existe muito antes dos computadores terem sido inventados e, usar dessa estratégia, não significava uma incoerência com a visão de Matemática, de ciência e de prova matemática. Para ela, o importante é que meios exploratórios (ou experimentais) e dedutivos (demonstração) sejam ambos considerados, sendo que um complementa o outro. “A exploração induz à descoberta enquanto a demonstração é a confirmação” (p. 14).

De fato, ambientes computacionais interferem nas ações quando se tem que resolver uma atividade ou um problema matemático. No que se refere ao uso dos SGD, diferentes estratégias são utilizadas em complemento ao uso do lápis e papel. Ele afeta, principalmente, o feedback proporcionado ao usuário.

Autores como Cassol e Hammer (2004) acreditam que o SGD não faz demonstrações, mas que a partir de sua utilização elas poderão ser estimuladas. Neste

12 _{Tradução de: has the potential to encourage both exploration and proof, because it makes it so easy to}

pose and test conjectures. But unfortunately the successful use of this software in exploration has lent support to a view among educators that deductive proof in geometry should be downplayed or abandoned

sentido, afirmam, ainda, que ao ser estimulada a demonstração terá um novo sentido para os alunos.

Considerando as diferentes concepções sobre o “demonstrar” em Educação Matemática, observo que estudantes, professores e pesquisadores desenvolvem seus raciocínios matemáticos sob diferentes olhares.

Marrades e Gutierrez (2000) afirmam que as atividades podem induzir os alunos ao processo de demonstração através de perguntas abertas que sejam desafiadoras. Acredito que atividades que tenham como objetivos levantar questionamentos, suscitar discussões e propiciar a produção de conhecimento, por exemplo, com perguntas do tipo: “o que você pode afirmar sobre...? Justifique”, podem orientar os estudantes a uma investigação mais aprofundada podendo chegar, dependendo da concepção de prova, demonstração ou justificativa, a uma formalização matemática.

Zulatto (2002) diz que “‘Justificar’, do ponto de vista teórico matemático, está extremamente ligado à abordagem dedutiva” (p.92). Assim como uma justificativa pode vir a se tornar demonstração, reciprocamente, uma demonstração não deixa de ser uma justificativa. E ela acrescenta ainda que “os softwares auxiliam também na realização de atividades investigativas, proporcionando um ambiente onde os alunos podem levantar conjecturas e testá-las” (p. 93).

Diante disso, as possibilidades de investigação e experimentação dos SGD podem levar estudantes a desenvolverem suas idéias a ponto de criarem conjecturas, validá-las e elaborarem uma demonstração matemática.