Nesta se¸c˜ao vamos definir uma classe especial de suban´eis da ´algebra de grupo QG que ser´a muito importante nos cap´ıtulos posteriores.
2.3 Ordem 37
de A ´e chamado uma Z-ordem, ou simplesmente uma ordem em A, se ele ´e finitamente gerado como um Z-m´odulo e QR = A.
Exemplo 2.3.2 O anel OK ´e uma ordem em K.
Exemplo 2.3.3 Seja ζ ´e uma raiz n-´esima da unidade. Ent˜ao, Z[ζ] ´e uma ordem no corpo ciclotˆomico Q(ζ).
Exemplo 2.3.4 Seja R uma ordem em uma Q-´algebra A. Ent˜ao, Mn(R) ´e uma ordem
em Mn(A).
Exemplo 2.3.5 Seja A uma Q-´algebra. Suponhamos que A = ⊕Ai´e uma decomposi¸c˜ao de
A como soma direta de componentes simples e seja M um subanel de A com decomposi¸c˜ao M = ⊕Mi, Mi ⊂ Ai. Ent˜ao, M ´e uma ordem em A se e somente se Mi ´e uma ordem em
Ai.
Suponhamos inicialmente que Mi seja uma ordem em Ai. Como M = ⊕Mi e cada
Mi ´e um Z-m´odulo finitamente gerado, segue que M tamb´em ´e um Z-m´odulo finitamente
gerado. Al´em disso, QM = Q(⊕Mi) = ⊕QMi = ⊕Ai = A. Portanto, M ´e uma ordem em
A.
Agora, suponhamos que M seja uma ordem em A. Ent˜ao sabemos que QM = A. Assim, ⊕Ai = A = QM = Q(⊕Mi) = ⊕QMi e portanto, reordenando os ´ındices se
necess´ario, obtemos que Ai = QMi. Logo, Mi ´e uma ordem em Ai.
Lema 2.3.6 Sejam R1 ⊂ R2 ordens em uma Q-´algebra A. Ent˜ao, existe um inteiro d tal
que dR2 ⊂ R1. Al´em disso, o ´ındice [R1 : dR2] como grupos aditivos, ´e finito.
Demonstra¸c˜ao: Por hip´otese, R2´e finitamente gerado como um Z-m´odulo. Seja {γ1, . . . , γt}
um conjunto de geradores para R2. Como A = QR1, podemos encontrar um n´umero
finitamente gerado como um grupo abeliano, segue do teorema fundamental dos grupos abelianos que o ´ındice aditivo [R2 : dR2] ´e finito. Logo, [R1 : dR2] ≤ [R2 : dR2] ´e tamb´em
finito.
Lema 2.3.7 Sejam R1 ⊂ R2 duas ordens em uma Q-´algebra A. Ent˜ao:
i) Se U (R1) e U (R2) s˜ao os grupos das unidades de R1 e R2, respectivamente, ent˜ao o
´ındice (U (R2) : U (R1)) (como grupos multiplicativos) ´e finito.
ii) Se u ∈ R1 ´e invert´ıvel em R2, ent˜ao u−1 ∈ R1.
Demonstra¸c˜ao: De acordo com o lema 2.3.6, existe um natural d tal que dR2 ⊂ R1 e o
´ındice [R1 : dR2] como grupos aditivos ´e finito. Para provar que o ´ındice multiplicativo
(U (R2) : U (R1)) ´e tamb´em finito, mostraremos que este n´umero ´e limitado por [R1 : dR2].
De fato, sejam x, y ∈ U (R2) tal que x + dR2 = y + dR2. Ent˜ao, temos que
y−1x − 1 ∈ dR2 ⊂ R1, donde y−1x ∈ R1. De modo similar, obtemos que x−1y ∈ R1.
Portanto, y−1x ∈ U (R1), o que mostra que x ∈ yU (R1). Este argumento mostra que
se dois elementos pertencem `a mesma classe aditiva m´odulo dR2, ent˜ao eles pertencem `a
mesma classe multiplicativa m´odulo U (R1). Logo, as classes multiplicativas de U (R1) s˜ao
uni˜oes disjuntas das classes aditivas de dR2, o que prova (i).
Para provar (ii), notemos que se u ∈ R1 ´e invert´ıvel em R2, ent˜ao R2 = uR2.
Assim, se consideramos os grupos aditivos, temos que [R2 : uR1] = [uR2 : uR1]. Al´em
disso, se r1 ∈ R1 e r2 ∈ R2, ent˜ao r2 ≡ r1(modR1) se e somente se ur2 ≡ ur1(moduR1) e
segue que [uR2 : uR1] = [R2 : R1]. Portanto, [R2 : uR1] = [R2 : R1] e, consequentemente,
uR1 = R1. Segue que u−1 ∈ R1.
Defini¸c˜ao 2.3.8 Uma ordem R ´e uma ordem maximal em A se n˜ao est´a contida propri- amente em uma outra ordem de A.
Exemplo 2.3.9 Vimos no exemplo 2.3.5 que se A = ⊕k
i=1Ai ´e uma decomposi¸c˜ao de
2.3 Ordem 39
decomposi¸c˜ao M = ⊕ki=1Mi, Mi ⊂ Ai, ent˜ao, M ´e uma ordem em A se e somente se Mi ´e
uma ordem em Ai. Vejamos agora que M ´e maximal em A se e somente se Mi ´e maximal
em Ai.
Suponhamos que M seja maximal em A e que para algum j ∈ {1, . . . , k}, Mj n˜ao
seja maximal em Aj, ou seja, existe uma ordem Nj ⊂ Aj tal que Mj ⊂ Nj e Mj 6= Nj.
Consideremos ent˜ao a ordem N = M1⊕ · · · ⊕ Mj−1⊕ Nj⊕ Mj+1⊕ · · · ⊕ Mk. Da´ı, N ⊃ M
e N 6= M , o que contradiz a maximalidade de M . Logo, Mi deve ser necesseriamente
maximal em Ai. De modo an´alogo, obtemos que se cada Mi´e maximal, ent˜ao M ´e maximal
em A.
Proposi¸c˜ao 2.3.10 Seja K um corpo de n´umeros alg´ebricos e OK o anel dos inteiros
alg´ebricos de K. Ent˜ao, OK ´e a ´unica Z-ordem maximal em K.
Unidades em RG
3.1
Unidades de Tor¸c˜ao
Mostraremos nesta se¸c˜ao que as unidades centrais de ordem finita do anel de grupo ZG s˜ao todas triviais. Come¸camos com um grupo G finito e depois passamos ao caso geral, com G arbitr´ario.
Denotemos por U (R) o grupo multiplicativo das unidades de um anel R, ou seja, U (R) = {x ∈ R : (∃y ∈ R)xy = yx = 1}. Em particular, dado um grupo G e um anel R, U (RG) ´e o grupo das unidades do anel de grupo RG. Todo elemento da forma rg, r ∈ U (R), g ∈ G, tem um inverso r−1g−1. Os elementos desta forma s˜ao chamados de unidades triviais de RG. Como caso especial de nosso interesse, os elementos ±g, g ∈ G, s˜ao as unidades triviais de ZG.
Lema 3.1.1 Sejam G um grupo finito, K um corpo, ρ a representa¸c˜ao regular de KG e γ =P
g∈Gγ(g)g ∈ KG. Ent˜ao o tra¸co de ρ(γ) ´e dado por trρ(γ) = |G|γ(1).
Demonstra¸c˜ao: Sabemos que trρ(γ) n˜ao depende da base escolhida. Seja G = {g1, g2, . . . , gn} uma K-base para KG e suponhamos que g1 = 1. Ent˜ao, ρ(γ) =
3.1 Unidades de Tor¸c˜ao 41
ρ(P
g∈Gγ(g)g) =
P
g∈Gγ(g)ρ(g). Agora, para um elemento g 6= 1 em G, temos que
ggi 6= gi, ∀i. Da´ı, as entradas da matriz ρ(g) s˜ao todas iguais a zero. Portanto,
trρ(g) = 0, ∀g 6= 1. Por outro lado, como ρ(1) ´e a matriz identidade, segue que trρ(1) = n. Logo, trρ(γ) =P
g∈Gγ(g)trρ(g) = γ(1)trρ(1) = γ(1)|G|.
Lema 3.1.2 Sejam G um grupo finito e γ =P
g∈Gγ(g)g uma unidade de ordem finita em
ZG. Suponhamos que γ(1) 6= 0. Ent˜ao, γ = γ(1) = ±1.
Demonstra¸c˜ao: Seja |G| = n e suponhamos que γm = 1 para algum inteiro positivo m. Seja
ρ a representa¸c˜ao regular da ´algebra de grupo CG e consideremos ZG como um subanel de CG. Pelo lema anterior, temos que trρ(γ) = nγ(1).
Como γm = 1, temos que (ρ(γ))m = ρ(γm) = I. Segue que ρ(γ) ´e uma raiz do
polinˆomio Xm − 1, cujas ra´ızes s˜ao todas distintas. Isto implica que existe uma base de CG tal que a matriz de ρ(γ) ´e diagonal, da forma:
A = ξ1 ξ2 . .. ξn , ξmi = 1. Ent˜ao, trρ(γ) =Pn i=1ξi e portanto, nγ(1) = Pn
i=1ξi. Segue que
|nγ(1)| = | n X i=1 ξi| ≤ n X i=1 |ξi| = n .
Como |nγ(1)| = n|γ(1)| ≤ n, temos que |γ(1)| = 1 e |Pn
i=1ξi| =
Pn
i=1|ξi|. Mas isso
acontece se e somente se ξ1 = ξ2 = · · · = ξn.
Logo, nγ(1) = nξ1 e consequentemente, γ(1) = ξ1 = ±1. Assim, ρ(γ) = ±I e
portanto, γ = ±1.
Corol´ario 3.1.3 Suponha que γ =P
g∈Gγ(g)g ´e uma unidade central de ordem finita em
Demonstra¸c˜ao: Seja γ =P
g∈Gγ(g)g uma unidade central de ordem finita m. Suponhamos
que γ(g0) 6= 0, para algum g0 ∈ G. Ent˜ao, γg−10 tamb´em ´e uma unidade de ordem finita
em ZG. Al´em disso, temos que o coeficiente do 1 na express˜ao de γg0−1 ´e γ(g0) 6= 0. Segue
do lema anterior que γg0−1 = ±1 e portanto, γ = ±g0.
Como consequˆencia, obtemos o resultado citado no in´ıcio da se¸c˜ao, para o caso em que G ´e um grupo abeliano finito.
Teorema (Higman) 3.1.4 Seja G um grupo abeliano finito. Ent˜ao, o grupo das unidades de tor¸c˜ao do anel de grupo ZG ´e ±G.
Vimos acima que se G ´e um grupo finito, γ ∈ ZG ´e uma unidade de ordem finita e γ(1) 6= 0, ent˜ao γ = ±1. O pr´oximo teorema mostra que este resultado tamb´em ´e v´alido para grupos infinitos e, como consequˆencia, obtemos que as unidades centrais de ordem finita de ZG, com G arbitr´ario, s˜ao todas triviais.
Teorema 3.1.5 Seja γ =P γ(g)g ∈ ZG satisfazendo γn = 1, para algum inteiro positivo
n. Se γ(1) 6= 0, ent˜ao γ = ±1.
Demonstra¸c˜ao: Seja C[X] o anel de polinˆomios com coeficientes em C. Consideremos o homomorfismo φ : C[X] → C[γ] dado por X 7→ γ. O n´ucleo deste homomorfismo ´e o ideal J = hf (X)i gerado pelo polinˆomio minimal f (X) de γ. Ent˜ao, f (X) ´e um divisor de Xn− 1, o qual tem todas as ra´ızes distintas. Portanto, temos que
C[γ] ' C[X]
J ' C ⊕ C ⊕ · · · ⊕ C ' ⊕iCei,
onde os e0is s˜ao primitivos ortogonais de C[γ]. Podemos ent˜ao escrever γ como γ =P
iξiei,
onde ξi ∈ C, ξin = 1 e eiej = δijej, sendo δij o delta de Kronecker (δii = 1 e δij = 0, se
i 6= j).
Calculando os primeiros coeficientes e utilizando o teorema 2.1.22, temos que:
γ(1) =Xξiei(1) =
X ξi
ri