Uma Caracterização das Unidades Centrais Triviais em Anéis de Grupos sobre os Inteiros

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Uma Caracteriza¸

c˜

ao das Unidades Centrais Triviais

em An´

eis de Grupos sobre os Inteiros

Carlos Henrique Pereira do Nascimento

Orientador: Adilson Gon¸calves

Rio de Janeiro, RJ - Brasil

(2)

em An´

eis de Grupos sobre os Inteiros

Carlos Henrique Pereira do Nascimento

Orientador: Adilson Gon¸calves

Disserta¸cão submetida ao Departamento de Matemática Pura do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários para obten¸cão do grau de Mestre em Ciências.

Rio de Janeiro, RJ - Brasil

(3)

ii

Aos meus pais ´

Edio e Maria, `

as minhas irmãs Eva, Célia e Dulcy, e à minha esposa Vânia.

(4)

`

A DEUS, por esta vitória! À minha fam´ılia, pelo amor e carinho! Aos amigos, pelo companheirismo de sempre! Aos professores, pela dedica¸cão no ensino! Em especial, agrade¸co ao professor Guilherme Leal pelo incentivo, ao meu orientador Adilson Gon¸calves, pelo apoio desde o in´ıcio, orientando e dando for¸ca para que pudéssemos chegar ao final deste trabalho e, ao amigo André Luiz, que muito ajudou para que chegássemos até aqui. Ao CNPq, pelo apoio financeiro.

(5)

iv

Uma Caracteriza¸c˜

ao das Unidades Centrais Triviais em An´eis de

Grupos sobre os Inteiros

Carlos Henrique Pereira do Nascimento

Orientador: Adilson Gon¸calves

Um dos problemas da teoria dos Anéis de Grupos é determinar as unidades deste anel. Em 1940, Higman demonstrou um importante teorema que classifica os anéis de grupos ZG que têm somente unidades triviais. Neste trabalho, apresentamos um teorema provado em 1990 por Jurgen Ritter e Sudarshan K. Sehgal que nos dá condi¸cões necessárias e suficientes para que um anel de grupo ZG tenha somente unidades centrais triviais. Na demonstra¸cão utilizaremos, por exemplo, resultados da Teoria dos Anéis, Representa¸cão de Grupos, Inteiros Algébricos e Ordem.

(6)

A Characterization of the Trivial Central Units in Group Rings over

Integers

Carlos Henrique Pereira do Nascimento

Adviser: Adilson Gon¸calves

One of the problems of the theory of the Group Rings is to determine the units of this ring. In 1940, Higman demonstrated an important theorem that classifies the group rings ZG that have only trivial units. In this work, we presented a theorem proven in 1990 for J¨urgen Ritter and Sudarshan K. Sehgal that gives us necessary and sufficient conditions so that a group ring ZG has only trivial central units. In the demonstration we will use, for example, results of the Theory of the Rings, Representation of Groups, Algebraic Integer and Order.

(7)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Resultados B´asicos 3

1.1 M´odulos e ´Algebras . . . 3

1.2 Extens˜oes de Corpos e Teoria de Galois . . . 6

1.3 Representa¸c˜ao de Grupos . . . 9

1.4 Caracteres . . . 12

2 Anéis de Grupos e Ordem 18 2.1 Anéis de Grupos: Fatos Básicos . . . 18

2.2 Inteiros Alg´ebricos . . . 30

2.3 Ordem . . . 36

3 Unidades em RG 40 3.1 Unidades de Tor¸c˜ao . . . 40

3.2 Unidades Unipotentes, C´ıclicas e Bic´ıclicas . . . 43

3.3 O Teorema de Higman . . . 47

(8)

4 Uma Caracteriza¸c˜ao das Unidades Centrais Triviais em An´eis de Grupos

sobre os Inteiros 53

4.1 Introdu¸c˜ao . . . 53

4.2 Preliminares . . . 54

4.3 O Teorema Principal . . . 58

(9)

Introdu¸

c˜

ao

O conceito de Anel de Grupo é relativamente antigo e foi introduzido explicitamente por T. Molien em 1897, mas veio a adquirir grande importância por causa de suas aplica¸cões `

a teoria de representa¸cões de grupos, a partir dos trabalhos de E. Noether, R. Brauer e I. Schur. Em 1940 G. Higman publicou o primeiro trabalho diretamente relacionado com o chamado problema do isomorfismo, que é o seguinte: dados dois grupos G e H e um anel R, será que a existência de um isomorfismo RG ' RH implica que G ' H? Por exemplo, se G e H são grupos abelianos finitos da mesma ordem, mesmo não sendo isomorfos, suas álgebras de grupo s˜_{ao isomorfas sobre o corpo C dos números complexos.} Mais recentemente, em 2001, a questão do isomorfismo para álgebras de grupos sobre os inteiros Z foi respondida negativamente por Martin Hertweck. Ele provou que existem dois grupos não isomorfos, de mesma ordem 221_.9728_{, com isomorfas Z-álgebras de grupos.}

Outro problema a ser considerado na teoria dos an´eis de grupo ´e o estudo do grupo U (RG) das unidades deste anel, onde

U (RG) = {x ∈ RG : (∃y ∈ RG)xy = yx = 1}.

Várias pesquisas, desde a década de setenta, têm mostrado que esse grupo tem uma estru-tura muito complicada. Isto se deve, entre outras coisas, ao fato de que, em muitos casos, ele contém um subgrupo livre de pôsto 2.

Surge ent˜ao de maneira natural a quest˜ao de classificar os grupos cujo anel de grupo RG tem somente unidades triviais. Em particular, tomando-se G finito e R = Z, as

(10)

unidades do anel de grupo ZG tˆem sido objeto de estudo de relevantes pesquisadores.

Em 1940 G. Higman provou o seguinte resultado:

Se G é um grupo de tor¸c˜_{ao, todas unidades de ZG são triviais se e somente se} i) G é abeliano com expoente um divisor de 4 ou 6, ou

ii) G = K8× E, onde K8 é o grupo dos quatérnios de ordem 8 e E é um 2-grupo abeliano.

O resultado principal deste trabalho foi provado em 1990 por Jurgen Ritter e Su-darshan K. Sehgal. O teorema ´e o seguinte:

(??) Se G ´_{e um grupo finito, todas as unidades centrais de ZG s˜ao triviais se e somente} se, para todo x ∈ G e todo n´umero natural j tal que (j, |G|) = 1, xj ∼ x ou xj _{∼ x}−1_{, onde}

∼ denota a conjuga¸c˜ao em G.

A disserta¸c˜ao est´a dividida em quatro cap´ıtulos, da seguinte forma:

No primeiro cap´ıtulo apresentamos, sem demonstra¸cão, algumas defini¸cões e resul-tados básicos de Módulos e Álgebras, Teoria de Galois, Representa¸cões e Caracteres, que serão utilizados ao longo dos demais cap´ıtulos.

No segundo, apresentamos um resumo da teoria dos Anéis de Grupos, com resul-tados como o Teorema de Maschke e o Teorema de Perlis Walker, também omitindo a maioria das demonstra¸cões. Depois, abordaremos a teoria dos inteiros algébricos, provare-mos que o anel OK dos inteiros algébricos de um corpo K é a única ordem maximal em

K e demonstraremos um corolário do Teorema da Unidade de Dirichlet, que será muito importante na demonstra¸cão do teorema principal deste trabalho.

No terceiro, faremos um estudo das unidades de tor¸c˜ao, unipotentes, bic´ıclicas e c´ıclicas de Bass, e provaremos o Teorema de Higman, citado acima.

Por fim, no ´ultimo cap´ıtulo apresentamos a demonstra¸c˜ao do teorema (??), dada por Jurgen Ritter e Sudarshan K. Sehgal em 1990.

(11)

Cap´ıtulo 1

Resultados B´

asicos

1.1 M´

odulos e ´

Algebras

Come¸camos com algumas defini¸cões e importantes resultados que serão utilizados nos cap´ıtulos seguintes. Não apresentamos as demonstra¸cões, estas podem ser encontradas em [12] ou [16]. Sempre que nos referirmos a um anel R, este será um anel com unidade.

Defini¸cão 1.1.1 Seja R um anel. Dizemos que um conjunto não vazio M é um R-módulo (à esquerda) sobre R se (M, +) é um grupo abeliano e está definida uma lei de composi¸cão externa que a cada par (r, m) ∈ R × M associa um elemento rm ∈ M e tal que, para todos r, s ∈ R e todos m, n ∈ M , são válidas as seguintes condi¸cões:

i) (r + s)m = rm + sm; ii) r(m + n) = rm + rn; iii) r(sm) = (rs)m; iv) 1m = m.

Exemplos 1.1.2 (a) Todo espa¸co vetorial sobre um corpo K é um K-módulo; (b) Todo anel pode ser considerado como um módulo sobre si mesmo;

(12)

(c) Todo grupo abeliano G pode ser considerado como um m´_{odulo sobre o anel Z dos} n´umeros inteiros, definindo o produto de um inteiro n por um elemento g ∈ G do seguinte modo: ng =          g + · · · + g (n vezes), se n > 0 (−g) + · · · + (−g) (|n|vezes), se n < 0 0, se n = 0

Defini¸cão 1.1.3 M é dito ser um R-módulo livre se ele possui uma base, isto é, se existem m1, . . . , ms ∈ M tal que cada elemento x ∈ M pode ser escrito de modo único como:

x = r1m1+ · · · + rsms,

onde r1, . . . rs∈ R.

Defini¸cão 1.1.4 Seja R um anel comutativo e A um anel que é um R-módulo. A é dito ser uma R-álgebra se satisfaz a seguinte condi¸cão:

r(ab) = (ra)b = a(rb), ∀r ∈ R e ∀a, b ∈ A.

Exemplos 1.1.5 (a) Se A é uma R-álgebra, então o centro Z(A) de A também é uma R-álgebra;

(b) Mn(Q) ´e uma Q-´algebra.

Defini¸cão 1.1.6 Seja M um módulo sobre um anel R. Um subconjunto não vazio N ⊂ M ´

e dito ser um R-submódulo de M se as seguintes condi¸cões são válidas: i) ∀x, y ∈ N , temos que x + y ∈ N .

ii) ∀r ∈ R e ∀n ∈ N , temos que rn ∈ N .

Se R é comutativo e M é uma R-álgebra, dizemos que N é uma R-subálgebra de M se ele ´

(13)

1.1 M´odulos e ´Algebras 5

Defini¸cão 1.1.7 Um R-módulo M é dito ser semisimples se todo submódulo de M é um somando direto, isto é, se N é um R-submódulo de M , então existe um R-submódulo W de M tal que M = N ⊕ W . Um anel R é semisimples se é semisimples como um módulo sobre si mesmo.

Defini¸cão 1.1.8 Um R-módulo (respectivamente um anel R) é dito ser simples se os seus ´

unicos R-submódulos são os triviais (respectivamente se os únicos ideais bilaterais são (0) e R).

Teorema 1.1.9 Seja R = ⊕s_i=1Ai, decomposi¸c˜ao de um anel semisimples como soma

di-reta de ideais minimais bilaterais. Ent˜ao, existe uma fam´ılia {e1. . . , es} de elementos de

R tal que:

i) ei 6= 0 ´e um idempotente central, 1 ≤ i ≤ t.

ii) se i 6= j, ent˜ao eiej = 0.

iii) 1 = e1+ · · · + et.

iv) ei n˜ao pode ser escrito como e0i+ e00i, com ei0, e00i idempotentes centrais tal que e0i, e00i 6= 0

e e0_ie00_i = 0, 1 ≤ i ≤ t.

Defini¸c˜ao 1.1.10 Os elementos {e1. . . , es} do teorema s˜ao chamados idempotentes

cen-trais primitivos de R.

Lema [Schur] 1.1.11 Sejam R um anel e M, N R-módulos simples. Seja f : M −→ N um homomorfismo não nulo. Então, f é um isomorfismo.

Corolário 1.1.12 Se R é um anel e M, N são R-módulos simples, então: i) Se M 6' N , então HomR(M, N ) = (0).

ii) HomR(M, M ) ´e um anel com divis˜ao.

Teorema [Vedderburn-Artin] 1.1.13 Um anel R é semisimples se e somente se é iso-morfo à soma direta de anéis de matrizes sobre anéis com divisão:

(14)

1.2 Extens˜

oes de Corpos e Teoria de Galois

Apresentamos aqui algumas defini¸cões e resultados básicos da teoria de Galois. As demonstra¸cões, bem como maiores detalhes, podem ser encontrados em [5] ou [7].

Defini¸c˜_{ao 1.2.1 Sejam K, L corpos tais que Q ⊂ K ⊂ L ⊂ C. Consideremos L como} espa¸co vetorial sobre K. Dizemos que L ´e uma extens˜ao (finita) de K de grau [L : K] = n, quando uma (e logo toda) base do K-espa¸co L tiver n elementos.

Notemos que se Q ⊂ K ⊂ L ⊂ C, ent˜ao [L : Q] = [L : K].[K : Q] e [L : K] = 1 se e somente se L = K.

Defini¸cão 1.2.2 Dizemos que α ∈ L é algébrico sobre K se existe g(x) ∈ K[X] − {0} tal que g(α) = 0. Se ∀α ∈ L, α é algébrico sobre K, então L ⊃ K diz-se uma extensão algébrica. O único polinômio mônico f (x), de menor grau tal que f (α) = 0, é dito ser o polinômio minimal de α sobre K.

Proposi¸cão 1.2.3 Se K ⊂ L e α ∈ L é algébrico sobre K, então [K(α) : K] = ∂f , onde K(α) é o menor corpo que contém K e α, e ∂f é o grau de f (x), polinômio minimal de α sobre K.

Defini¸cão 1.2.4 Seja f (x) ∈ K[X] um polinômio. Chamamos corpo de decomposi¸cão de f (x) sobre K, que denotaremos por L = Gal(f, K), ao menor subcorpo de C que contém K e todas as ra´ızes de f (x) em C. Tal subcorpo existe e é igual à interse¸cão de todos os subcorpos de C contendo K e todas as ra´ızes de f (x) em C.

Proposi¸cão 1.2.5 Sejam L ⊃ K, Aut(L/K) o grupo dos automorfismos de L que induzem a identidade sobre K, f (x) ∈ K[X] e α ∈ L uma raiz de f (x) em L. Se σ ∈ Aut(L/K), então σ(α) também é uma raiz de f (x) em L.

(15)

1.2 Extens˜oes de Corpos e Teoria de Galois 7

Defini¸cão 1.2.6 Dizemos que uma extens˜_{ao finita L ⊃ Q é uma extensão galoisiana se} existe f (x) ∈ Q[X] tal que L = Gal(f, Q) e dizemos que uma extensão algébrica L ⊃ K é normal se ∀g(x) ∈ K[X], irredut´ıvel sobre K e tal que g(x) possui uma raiz em L, então todas as ra´ızes de g(x) estão em L.

Proposi¸c˜_{ao 1.2.7 Seja M ⊃ Q uma extensão galoisiana e L um subcorpo de M contendo} Q. Se σ é um automorfismo de L, então existe bσ ∈ Aut(M/Q) tal que bσ

_L= σ.

Teorema 1.2.8 Seja L ⊃ K uma extensão finita. Então, as seguintes condi¸cões são equivalentes:

i) L ⊃ K ´e galoisiana; ii) L ⊃ K ´e normal; iii) [L : K] = |Aut(L/K)|.

Proposi¸c˜ao 1.2.9 Se a ∈ K, L = Gal(xn_{− a, K) e K cont´}_{em uma raiz primitiva n-´}_esima

da unidade, ent˜ao o grupo Aut(L/K) ´e abeliano.

Defini¸cão 1.2.10 Seja M ⊃ K uma extensão finita. Dizemos que L é um corpo inter-mediário de M ⊃ K se L é um subcorpo de M contendo K, isto é, M ⊃ L ⊃ K.

Seja G = Aut(M/K). Definimos:

L(M, K) = {L : L é corpo intermediário de M ⊃ K} e F (G) = {H : H é subgrupo de G}.

Se H ∈ F (G), então L = {a ∈ M : γ(a) = a, ∀γ ∈ H} é um corpo intermediário de M ⊃ K, o qual chamaremos de corpo fixo de H.

Consideremos agora as seguintes correspondˆencias: L(M, K)−→ F (G)ψ

L 7−→ ψ(L) = Aut(M/L) e F (G)−→ L(M, K)θ

(16)

Teorema [Fundamental da Teoria de Galois] 1.2.11 Se M ⊃ K ´e galoisiana, ent˜ao: i) ∀L ∈ L(M, K) tem-se [M : L] = |ψ(L)| e [L : K] = (G : ψ(L)), o ´ındice de ψ(L) em G; ii) ∀H ∈ F (G) tem-se [M : θ(H)] = |H| e [θ(H) : K] = (G, H), o ´ındice de H em G; iii) ψ ◦ θ = I, identidade em F (G), e θ ◦ ψ = I, identidade em F (M, K);

iv) ∀L ∈ F (M, K), L ⊃ K ´e galoisiana se e somente se ψ(L) = Aut(M/L) for um subgrupo normal de G;

v) seja L ∈ F (M, K). Se L ⊃ K ´e galoisiana, ent˜ao [L : K] = |Aut(L/K)| e G/ψ(L) ' Aut(L/K).

Exemplo 1.2.12 M = Gal(x7 _{− 1, Q). Se ζ ´e uma raiz primitiva 7-´esima da unidade,} temos:

M = Q(ζ) e [M : Q] = 6. Portanto, se G = Aut(M/Q), temos que |G| = 6. Como G ´

e abeliano, segue que G ' Z6, grupo c´ıclico de ordem 6. Assim, G possui 4 subgrupos:

{e}, G, A e B, onde |A| = 3 e |B| = 2 e teremos: L(M, Q) = {M, Q, θ(A), θ(B)}.

Como G ´_{e abeliano, todos os corpos L ∈ L(M, Q) s˜ao normais sobre Q. Os} e-lementos de G ficam determinados por: Id : ζ 7−→ ζ, σ1 : ζ 7−→ ζ2, σ2 : ζ 7−→ ζ3,

σ3 : ζ 7−→ ζ4, σ4 : ζ 7−→ ζ5 e σ5 : ζ 7−→ ζ6. Os subgrupos A e B s˜ao:

A = {Id, σ1, σ3} e B = {Id, σ5},

e finalmente, os elementos de L(M, Q) s˜ao Q = θ(G), M = θ({e}), θ(A) = Q(u) onde u = ζ + ζ2_{+ ζ}4_{, e θ(B) = Q(v) onde v = ζ + ζ}6_. Q(ζ) 3 xxxxxx xx 2 F F F F F F F F Q(u) Q(v) Q 2 GGGG_GGGG G 3_wwww w w w w w

(17)

1.3 Representa¸c˜ao de Grupos 9

1.3 Representa¸

c˜

ao de Grupos

Nesta se¸cão destacaremos alguns fatos básicos da teoria de representa¸cão de grupos. Maiores detalhes podem ser encontrados em [6] ou [12].

Defini¸cão 1.3.1 Sejam G um grupo, R um anel comutativo com unidade e V um R-módulo livre de dimensão finita n. Uma representa¸cão de G em V é um homomorfismo de grupos ϕ : G −→ GL(V ). O posto de V é dito ser o grau da representa¸cão ϕ, denotado por gr(ϕ).

Fixando uma R-base em V , podemos definir um isomorfismo Φ : GL(V ) −→ GL(n, R), o grupo das matrizes invert´ıveis n × n com coeficientes em R, o que sugere a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 1.3.2 Sejam G um grupo e R um anel comutativo com unidade. Uma repre-senta¸cão matricial de G de grau n é um homomorfismo de grupos ϕ : G −→ GL(n, R).

Defini¸cão 1.3.3 Se ϕ é um isomorfismo de grupos, ϕ é dita uma representa¸cão fiel.

Observamos que o isomorfismo Φ : GL(V ) −→ GL(n, R) depende da escolha da base de V . Assim, dada uma representa¸cão de G, podemos obter várias representa¸cões matriciais e portanto, introduzimos a no¸cão de representa¸cões matriciais equivalentes.

Defini¸cão 1.3.4 Duas representa¸cões matriciais A : G −→ GL(n, R) e B : G −→ GL(n, R) de um grupo G sobre o mesmo anel R são ditas equivalentes se existe uma matriz U ∈ GL(n, R) tal que A(g) = U B(g)U−1, ∀g ∈ G.

Exemplo 1.3.5 Dados um grupo finito G de ordem n e um anel R comutativo, definimos uma representa¸c˜ao de G sobre R, do seguinte modo: para cada elemento g ∈ G, associamos

(18)

a aplica¸cão linear Tg que age na base por multiplica¸cão à esquerda, isto é, Tg(gi) = ggi.

Notemos que Tg ´e de fato uma representa¸c˜ao de G: Tgh(y) = (gh)y = g(h(y)) = TgTh(y).

Veremos no cap´ıtulo seguinte que, se RG denota o anel de grupo de G sobre R, ent˜ao G pode ser visto como uma base de RG sobre R. Enumerando os elementos de G: G = {1 = g1, . . . , gn}, podemos ver que na correspondente representa¸c˜ao matricial com

respeito à base G de RG, a imagem de cada elemento g ∈ G é uma matriz de permuta¸cão. Esta representa¸cão é chamada representa¸cão regular de G sobre R. Como estamos usan-do a multiplica¸cão à esquerda, poder´ıamos também chamá-la de representa¸cão regular à esquerda.

Como ilustra¸c˜ao, consideremos G = {1, a, a2_{}, um grupo c´ıclico de ordem 3, cujos}

elementos est˜ao enumerados como: g1 = 1, g2 = a, g3 = a2. Para encontrar a imagem de

a, calculando ag1 = g2, ag2 = g3, ag3 = g1, temos que

Ta(g1) = g2, Ta(g2) = g3, Ta(g3) = g1 .

Consequentemente, a matriz associada com Ta na base dada ´e:

ρ(a) = ρ(g2) =      0 0 1 1 0 0 0 1 0      .

Da mesma forma, obtemos

ρ(a2) = ρ(g3) =      0 1 0 0 0 1 1 0 0      . Exemplo 1.3.6 Representa¸c˜ao de D4:

Lembremos que D4 = {1, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b}. Para dar uma representa¸c˜ao matricial

A : D4 → GL(n, K) sobre um corpo K, ´e suficiente determinar as matrizes A(a) e A(b)

(19)

1.3 Representa¸c˜ao de Grupos 11

diferentes representa¸c˜oes de D4 de grau 1 sobre K de caracter´ıstica diferente de 2, que

s˜ao:

A(a) = 1 A(b) = 1 B(a) = 1 B(b) = −1 C(a) = −1 C(b) = 1 D(a) = −1 D(b) = −1

e usando o significado geom´etrico de a e b, podemos determinar uma representa¸c˜ao matri-cial de grau 2 sobre K.

W (a) =   0 −1 1 0   e W (b) =   0 1 1 0  

Exemplo 1.3.7 Soma direta de representa¸c˜oes:

Sejam φ : G → GL(V ) e ϕ : G → GL(W ) duas representa¸cões de um grupo G sobre um anel comutativo R. Vamos definir uma nova representa¸cão de G sobre R com respeito ao espa¸co de representa¸cão V ⊕ W , que será chamado soma direta das dadas representa¸cões e será denotado por φ ⊕ ϕ, onde (φ ⊕ ϕ)g = φg ⊕ ϕg, ∀g ∈ G. Se escolhermos bases

{v1, . . . , vn} e {w1, . . . , wm} de V e W respectivamente e denotarmos por g → A(g) e

g → B(g) as representa¸cões matriciais correspondentes nas bases dadas, então φ ⊕ ϕ com respeito à base {(v1, 0), . . . , (vn, 0), (0, w1), . . . , (o, wm)} de V ⊕ W é dado por:

g →   A(g) 0 0 B(g)  

Defini¸c˜ao 1.3.8 Uma representa¸c˜ao ϕ : G −→ GL(V ) de um grupo G sobre um corpo K ´

e chamada irredut´ıvel se V não é zero e os únicos subespa¸cos de V invariantes por ϕ são {0} e V ; ϕ é redut´ıvel se existe um subespa¸co W não trivial, que é invariante por ϕ. Uma representa¸cão matricial M : G −→ GL(n, K) é chamada redut´ıvel se existe uma matriz U ∈ GL(n, K) tal que, ∀g ∈ G, temos que a matriz U M (g)U−1 é da forma

U M (g)U−1 =   A(g) B(g) 0 C(g)   .

(20)

A proposi¸cão seguinte faz a conexão entre a teoria de representa¸cão de grupos e a teoria das álgebras de dimensão finita. RG denota o anel de grupo de G sobre R e será definido formalmente no cap´ıtulo 2.

Proposi¸cão 1.3.9 Sejam G um grupo e R um anel comutativo com unidade. Então existe uma bije¸cão entre as representa¸cões de G sobre R e os RG-módulos que são livres de posto finito sobre R.

Proposi¸c˜ao 1.3.10 Sejam G um grupo e R um anel comutativo. Ent˜ao:

i)Duas representa¸cões ϕ e φ são equivalentes se e somente se os correspondentes RG-módulos são isomorfos.

ii)Uma representa¸cão ϕ é irredut´ıvel se e somente se o correspondente RG-módulo é irre-dut´ıvel.

1.4 Caracteres

Finalizando o cap´ıtulo, apresentamos a defini¸cão de caracter de um grupo G e alguns resultados, que podem ser encontrados em [6] ou [12]. A teoria de caracteres será de grande importância, e será utilizada no último cap´ıtulo.

Defini¸cão 1.4.1 Sejam G um grupo e V um espa¸co vetorial de dimensão finita sobre um corpo K. Seja ϕ : G −→ GL(V ) uma representa¸cão de G sobre K. Então, o caracter χ de G associado à representa¸cão ϕ é a aplica¸cão χ : G −→ K dada por χ(g) = tr(ϕg), ∀g ∈ G.

Se a representa¸cão ϕ é irredut´ıvel, então χ é dito ser um caracter irredut´ıvel.

Se χ denota o caracter obtido pela representa¸cão ϕ : G −→ GL(V ), então o grau da representa¸cão é também chamado o grau do caracter χ, ou seja, gr(χ) = [V : K].

(21)

1.4 Caracteres 13

Notemos que se caract(K) = 0, ent˜ao χ(1G) = tr(ϕ1G) = tr(I) = [V : K] = gr(χ).

Em particular, se ϕ é representa¸cão regular de G sobre K, então χ(1G) = gr(χ) =| G |.

Observamos ainda que, em geral, um caracter χ não é um homomorfismo. No entanto, se o grau gr(χ) = 1, então χ = ϕ, a representa¸cão associada a ele. Caracteres de grau 1 são chamados caracteres lineares. Quando χ(g) = 1, ∀g ∈ G, χ é chamado caracter principal de G.

Proposi¸cão 1.4.2 (i) Se ϕ e ϕ0 são representa¸cões equivalentes de G sobre K, então elas nos proporcionam o mesmo caracter.

(ii) Caracteres s˜ao constantes nas classes de conjuga¸c˜ao de G.

Defini¸cão 1.4.3 Os caracteres de representa¸c˜_{oes de grupos finitos sobre o corpo C dos} números complexos são chamados de caracteres complexos.

Veremos no cap´ıtulo seguinte que se G é um grupo finito com r classes de con-juga¸cão, então o número de representa¸cões irredut´ıveis n˜_{ao equivalentes de G sobre C é} igual a r. Portanto, o número de caracteres complexos irredut´ıveis de G é também igual a r.

Sejam G um grupo finito e C1, . . . , Cras classes de conjuga¸c˜ao de G. Se escolhermos

xi ∈ Ci, 1 ≤ i ≤ r, ent˜ao os caracteres {χ1, . . . , χr} s˜ao completamente determinados pelos

valores χi(xj), 1 ≤ i ≤ r. Portanto, podemos montar uma tabela contendo todas estas

informa¸c˜oes:

C

1

C

2

. . .

)

)

(22)

Notemos que um desses caracteres é o caracter principal, portanto todas as en-tradas da linha correspondente são iguais a 1. Além disso, uma das classes de conjuga¸cão ´

e {1}, portanto as entradas desta coluna correspondem aos graus das representa¸cões cor-respondentes. Por conven¸cão, a primeira linha será a do caracter principal χ1 e a primeira

coluna ser´a da classe de conjuga¸c˜ao {1}.

Exemplo 1.4.4 Seja G =< x > um grupo c´ıclico de ordem n. Ent˜ao, existem exatamente n classes de conjuga¸c˜ao de G: C1 = {1}, C2 = {x}, . . . , Cn = {xn−1} e portanto, existem

exatamente n caracteres irredut´ıveis de G, todos de grau igual a 1.

Como os graus dos caracteres são todos iguais a 1, as no¸cões de caracter e repre-senta¸cão coincidem. Se ζ é uma raiz complexa primitiva n-ésima da unidade, temos que: χi(x) = ζi−1 = ζi, 1 ≤ i ≤ n. Notemos que χi(xs) = ζis. Podemos então escrever a tabela

de caracteres de G:

< x >

1 x

x

2

. . .

x

n−1

χ

1

1 . . .

1 χ

2

1 ζ

ζ

2

. . .

ζ

n−1

χ

3

n−2

. . .

ζ

Teorema [Primeira Rela¸c˜ao de Ortogonalidade] 1.4.5 Para todo par de caracteres irredut´ıveis χi, χj, temos que

1 |G|

X

g∈G

χi(g)χj(g) = δij,

(23)

1.4 Caracteres 15

Teorema [Segunda Rela¸c˜ao de Ortogonalidade] 1.4.6 Sejam {C1, . . . , Cr} as

classes de conjuga¸c˜ao de um grupo G e ah ∈ Ch, 1 ≤ h ≤ r, um conjunto completo de

representantes destas classes. Ent˜ao: 1 |G| r X h=1 χh(aj)χh(ai) = δij |Ci| ,

onde δij ´e o delta de Kronecker: δii = 1 e δij = 0, i 6= j.

Teorema 1.4.7 Seja N C G. Então, existe uma bije¸cão entre os caracteres de G/N e o conjunto dos caracteres χ de G que satisfazem N ⊂ Ker(χ), ou seja, caracteres irredut´ıveis de G/N correspondem a caracteres irredut´ıveis de G que têm N em seu núcleo.

Corolário 1.4.8 Os caracteres lineares de G são em número |G|/|G0| e são todos os carac-teres induzidos pelos caraccarac-teres irredut´ıveis do grupo abeliano G/G0. Em particular, G = G0 se e somente se o único caracter linear de G é a identidade.

Exemplo 1.4.9 Seja G = S3 o grupo sim´etrico de ordem 6. Sabemos que G

pos-sui três classes de conjuga¸cão: {(1)}, {(12), (13), (23)} e {(123), (132)}. Além disso, G0 = {(1), (123), (132)}. Portanto, G possui |G/G0| = 2 caracteres lineares e como 12 _{+ 1}2 _{+ n}2

3 + · · · + n2k = 6 = |G|, onde ni ´e o grau do caracter irredut´ıvel χi, segue

que 1 + 1 + 22 _{= 6 ´}_{e a ´}_{unica possibilidade e obtemos n}

3 = 2. Utilizamos aqui a proposi¸c˜ao

2.1.26 que se encontra no cap´ıtulo 2. Obtemos ent˜ao a primeira parte da tabela de carac-teres de S3:

S3 1 (12) (123)

χ1 1 1 1

χ2 1 −1 1

χ3 2 a b

Utilizando agora as rela¸c˜oes de ortogonalidade, temos:

(24)

donde a = 0, e

1.1 + 1.1 + 2.b = 0,

o que implica b = −1.

Assim, podemos escrever a tabela de caracteres de S3:

S3 1 (12) (123)

χ1 1 1 1

χ2 1 −1 1

χ3 2 0 −1

Exemplo 1.4.10 Seja G um grupo de ordem n e CG = {P

g∈Gαgg(somaf inita) : αg ∈

C, g ∈ G}. Veremos no cap´ıtulo seguinte que CG é a álgebra de grupo de G sobre C. Denotemos por ρ : G → C o caracter regular, obtido através da representa¸cão regular de G sobre C. Como CG é uma C-álgebra, o teorema de Wedderburn-Artin nos dá CG ' ⊕r

i=1Mni(C), decomposi¸c˜ao de CG como soma direta de componentes simples. Se Ii ' C

ni

´

e o CG-módulo correspondente à i-ésima componente simples, então, como CG-módulos, temos que Mni(C) ' ni z }| { Ii⊕ · · · ⊕ Ii, e portanto CG ' ni z }| { Ii⊕ · · · ⊕ Ii⊕ · · · ⊕ nr z }| { Ir⊕ · · · ⊕ Ir.

Se Ti denota a representa¸c˜ao irredut´ıvel de G sobre C correspondente a Ii e χi ´e o

correspondente caracter, 1 ≤ i ≤ r, ent˜ao podemos escrever a representa¸c˜ao T de G sobre C como: T = ⊕ri=1niTi.

Calculando os tra¸cos, obtemos ρ =Pr

i=1niχi. Como ni = gr(Ti) = χi(1), podemos

escrever ρ = r X i=1 χi(1)χi.

Como aplica¸c˜ao, calculemos a tabela de caracteres de D4 =< a, b : a4 = b2 =

(25)

1.4 Caracteres 17

{a2_{}, C}

3 = {a, a3}, C4 = {b, a2b} e C5 = {ab, a3b}. Utilizando o exemplo 1.3.6, podemos

escrever a primeira parte da tabela de D4:

D4 1 C2 C3 C4 C5 χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 1 1 -1 -1 χ3 1 1 -1 1 -1 χ4 1 1 -1 -1 1 χ5

Como vimos acima, se ρ denota o caracter regular de G, ent˜ao ρ = Pr

i=1χi(1)χi. Como ρ(1) = |D4| = 8 e ρ(g) = 0 se g 6= 1, temos que Pr i=1χi(1)2 = 8 e Pr i=1χi(1)χi(g) =

0, ∀g ∈ G, g 6= 1. Usando estas rela¸c˜oes podemos completar a tabela de caracteres de D4:

D4 1 C2 C3 C4 C5 χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 1 1 -1 -1 χ3 1 1 -1 1 -1 χ4 1 1 -1 -1 1 χ5 2 -2 0 0 0

Proposi¸c˜ao 1.4.11 Seja G um grupo de ordem ´ımpar.

i) se χ 6= 1G é um caracter irredut´ıvel de G, então χ 6= χ. Em particular, χ não pode ser

admitido por uma R-representa¸c˜ao de G;

ii) ∀i 6= 1, aparece na i-´_{esima linha da tabela de caracteres de G, um complexo α ∈ C tal} que α /_{∈ R.}

(26)

An´

eis de Grupos e Ordem

2.1 An´

eis de Grupos: Fatos B´

asicos

Apresentaremos nesta se¸cão alguns resultados básicos da teoria dos anéis de grupos, omitindo a maioria das demonstra¸cões, as quais podem ser encontradas em [12] ou [16].

Denotemos por RG o conjunto de todas as express˜oes da forma

α =X

g∈G

agg,

onde ag ∈ R e ag 6= 0 somente para um n´umero finito de elementos de G, e onde dois

elementos α =P

g∈Gagg e β =

P

g∈Gbgg s˜ao iguais se e somente se ag = bg, ∀g ∈ G.

Dado um elemento α ∈ RG, definimos o suporte de α como sendo o subconjunto de G cujos elementos tˆem seus respectivos coeficientes diferentes de zero, isto ´e,

sup(α) = {g ∈ G : ag 6= 0} .

Dados α e β em RG, definimos a sua soma por:

(X g∈G agg) + ( X g∈G bgg) = X g∈G (ag + bg)g 18

(27)

2.1 An´eis de Grupos: Fatos B´asicos 19

e o produto por:

αβ = X

g,h∈G

agbhgh.

Com as opera¸c˜oes acima, RG ´e um anel que possui unidade, 1 =P

g∈Gagg, onde

o coeficiente que corresponde `a unidade do grupo ´e igual a 1 e ag = 0 para todo outro

elemento g ∈ G.

Definimos tamb´em o produto de elementos de RG por um elemento λ ∈ R, como:

λ(X g∈G agg) = X g∈G (λag)g .

Pode-se verificar facilmente que RG é um R-módulo e, se R for comutativo, segue que RG é uma álgebra sobre R. Temos então a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 2.1.1 O conjunto RG, com as opera¸cões definidas acima, é chamado de anel de grupo de G sobre R. Se R for comutativo, RG é chamado de álgebra de grupo de G sobre R.

Com a defini¸cão de anel de grupo em mãos, temos algumas observa¸cões a serem feitas. A primeira é que podemos definir uma aplica¸cão i : G −→ RG, associando cada elemento x ∈ G ao elemento i(x) =P

g∈Gagg, onde ax = 1 e ag = 0 se g 6= x. Em outras

palavras, podemos considerar G como um subconjunto de RG e com esta identifica¸cão, G pode ser visto como uma base de RG sobre R. Podemos também considerar a aplica¸cão v : R −→ RG, dada por: v(r) = P

g∈Gagg, onde a1G = r e ag = 0 se g 6= 1G, que ´e um

homomorfismo de anéis e, portanto, podemos considerar R como um subanel de RG. Por fim, com estas considera¸cões, dados r ∈ R e g ∈ G, temos que rg = gr em RG e assim, se R é comutativo, R ⊂ Z(RG).

Defini¸c˜ao 2.1.2 A aplica¸c˜ao ε : RG −→ R dada por ε(P

g∈Gagg) =

P

g∈Gag ´e chamada

de fun¸cão de aumento de RG. ε é de fato um homomorfismo e seu núcleo, denotado por 4(G), é chamado de ideal de aumento de RG.

(28)

Notemos que se um elemento α =P

g∈Gagg pertence a 4(G), ent˜ao ε(

P

g∈Gagg) =

P

g∈Gag = 0. Portanto, podemos escrever α como:

α =P g∈Gagg − P g∈Gag = P g∈Gag(g − 1).

Assim, como todos os elementos da forma g − 1, g ∈ G, pertencem a 4(G), segue que {g − 1 : g ∈ G, g 6= 1} é um conjunto de geradores de 4(G) sobre R. Além disso, os elementos deste conjunto são linearmente independentes. Logo, {g − 1 : g ∈ G, g 6= 1} é uma base de 4(G) sobre R e nós podemos escrever

4(G) =nP

g∈Gag(g − 1) : g ∈ G, g 6= 1, ag ∈ R

o ,

lembrando que apenas um n´umero finito de coeficientes ag s˜ao diferentes de zero. Em

particular, se R é comutativo e G é finito, então 4(G) é um R-módulo livre de posto |G| − 1.

O próximo teorema caracteriza os anéis de grupos quanto à semisimplicidade. Obtemos como corol´_{ario que ZG é semisimples somente no caso em que G é trivial.}

Teorema [Maschke] 2.1.3 Seja G um grupo. Então, o anel de grupo RG é semisimples se e somente se são válidas as seguintes condi¸cões:

i)R ´e semisimples. ii)G ´e finito.

iii)|G| ´e invert´ıvel em R.

Corolário 2.1.4 Sejam K um corpo e G um grupo finito. Então, KG é semisimples se e somente se caract(K) 6 | |G|.

A seguir, enunciamos o teorema de Wedderburn-Artin no contexto das ´algebras de grupo.

(29)

Teorema 2.1.5 Sejam G um grupo e K um corpo tal que caract(K) 6 | |G|. Então: (i) KG é soma direta de um número finito de ideais bilaterais {Bi}1≤i≤r. Cada Bi é um

anel simples.

(ii)Todo ideal bilateral de KG ´e soma direta de alguns membros da fam´ılia {Bi}1≤i≤r.

(iii) Cada componente simples Bi ´e isomorfa a um anel de matrizes da forma Mni(Di),

onde Di é um anel com divisão que contém um corpo isomorfo a K em seu centro, e o

isomorfismo

KG ' ⊕r_i=1Mni(Di)

´

e um isomorfismo de K-´algebras.

(iv) Em cada anel de matrizes Mni(Di), o conjunto

Ii =                        x1 0 . . . 0 x2 0 . . . 0 .. . . .. xni 0 . . . 0         : x1, x2, . . . , xni ∈ Di                ' Dni i ´

e um ideal minimal `a esquerda. (v) Ii 6' Ij se i 6= j.

(vi) Todo KG-m´odulo simples ´e isomorfo a algum Ii, 1 ≤ i ≤ r.

Corol´ario 2.1.6 Sejam G um grupo finito e K um corpo algebricamente fechado tal que caract(K) 6 | |G|. Ent˜ao,

KG ' ⊕r_i=1Mni(K),

e n2

1+ n22+ · · · + n2r = |G|.

Caracterizaremos agora o anel de grupo de um grupo abeliano finito G sobre um corpo K tal que caract(K) 6 | |G|. Tal caracteriza¸c˜ao foi dada por S. Perlis e G. Walker. Iniciemos com o caso em que G ´e c´ıclico.

Suponhamos que G =< a : an _{= 1 > e que K seja um corpo tal que caract(K) 6 |}

(30)

Temos que ψ ´e um epimorfismo e portanto,

KG ' K[x] Ker(ψ), onde Ker(ψ) = {f ∈ K[X] : f (a) = 0}.

Como K[X] é um dom´ınio principal, Ker(ψ) é o ideal gerado pelo polinômio mônico f0, de menor grau, tal que f0(a) = 0. Notemos que neste isomorfismo, o elemento a é levado

na classe X + (f0) ∈ K[X]_(f

0) . Al´em disso, como a

n _{= 1, segue que X}n_{− 1 ∈ Ker(ψ). Sabemos}

ainda que, se f =Pr

i=0kiXi ´e um polinˆomio de grau r < n, temos que f (a) =

Pr

i=0kiai 6=

0, pois os elementos {1, a, a2, . . . , ar} s˜ao linearmente independentes sobre K. Portanto, Ker(ψ) = (Xn_{− 1) e}

KG ' K[X] (Xn_{− 1)}.

Seja Xn_{− 1 = f}

1f2· · · ft a decomposi¸c˜ao de Xn− 1 como produto de polinˆomios

irredut´ıveis em K[X]. Como caract(K) 6 | n, o polinômo é separável e portanto, fi 6= fj,

se i 6= j. Assim, usando o Teorema Chinˆes dos Restos, podemos escrever:

KG ' K[X] (f1) ⊕K[X] (f2) ⊕ · · · ⊕ K[X] (ft) .

Neste isomorfismo, o gerador a ´e levado no elemento (X + (f1), . . . , X + (ft)). Agora, se ζi

denota a raiz de fi, 1 ≤ i ≤ t, obtemos que K[X]/(fi) ' K(ζi) e consequentemente,

KG ' K(ζ1) ⊕ K(ζ2) ⊕ · · · ⊕ K(ζt).

Como todos os elementos ζi, 1 ≤ i ≤ t, s˜ao ra´ızes de Xn− 1, o que foi visto acima mostra

que KG é isomorfo à soma direta de extensões ciclotômicas de K e neste isomorfismo, o elemento a é levado em (ζ1, ζ2, . . . , ζt). Vejamos um exemplo:

Exemplo 2.1.7 Seja G =< a : a7 _{= 1 > e K = Q. Neste caso, a decomposi¸c˜ao de X}7− 1 em Q[X] ´e X7_{− 1 = (X − 1)(X}6_{+ X}5_{+ X}4_{+ X}3 _{+ X}2_{+ X + 1). Portanto, se ζ ´}_{e uma}

raiz primitiva da unidade de ordem 7, temos que

(31)

Para dar uma descri¸cão mais precisa de KG no caso em que G é c´ıclico de ordem n e K é um corpo arbitrário tal que caract(K) 6 | |G|, lembremos que, para um inteiro positivo d, o polinômio ciclotômico de ordem d, denotado por Φd, é o produto Φd =

Q

j(X − ζj),

onde ζj percorre todas as ra´ızes primitivas d-´esimas da undade. Al´em disso, sabemos que

Xn − 1 = Q

d|nΦd, o produto de todos polinômios ciclotômicos Φd em K[X], onde d é

um divisor de n. Para cada d, seja Φd =Qa_i=1d fdi, decomposi¸c˜ao de Φd como produto de

polinˆomios irredut´ıveis em K[X]. Podemos ent˜ao decompor KG como:

KG ' ⊕d|n⊕ai=1d

K[X] (fdi)

' ⊕d|n⊕ai=1d K(ζdi),

onde ζdi ´e a raiz de fdi, 1 ≤ i ≤ ad. Para cada d fixo, todos os elementos ζdi s˜ao ra´ızes

primitivas d-´esimas da unidade e portanto, todos os corpos da forma K(ζdi), 1 ≤ i ≤ ad,

s˜ao iguais uns aos outros e por isso podemos escrever:

KG ' ⊕d|nadK(ζd),

onde ζd´e uma raiz primitiva da unidade de ordem d e adK(ζd) denota a soma direta de ad

diferentes corpos, todos isomorfos a K(ζd).

Como ∂fdi = [K(ζd: K)], temos tamb´em que todos os polinˆomios fdi, 1 ≤ i ≤ ad,

tˆem o mesmo grau. Portanto,

φ(d) = ad[K(ζd) : k],

onde φ é a fun¸cão de Euler. Como G é c´ıclico de ordem n, o número de elementos de ordem d em G, que denotaremos por nd, é precisamente φ(d). Assim, podemos escrever:

ad =

nd

[K(ζd) : K]

.

Exemplo 2.1.8 Seja G =< g : gn _{= 1 > um grupo c´ıclico de ordem n e K = Q. O}

polinômio Xn_{−1 pode ser decomposto em Q[x] como um produto de polinômios ciclotômicos} Xn_{− 1 =} Q

d|nΦd(x), e estes s˜ao irredut´ıveis. Portanto, Q < g > pode ser decomposto

como:

(32)

Vejamos agora um teorema que mostra que a descri¸cão obtida acima pode ser extendida a anéis de grupos de grupos abelianos finitos arbitrários.

Teorema[Perlis-Walker] 2.1.9 Seja G um grupo abeliano finito, de ordem n, tal que caract(K) 6 | n. Ent˜ao,

KG ' ⊕d|nadK(ζd),

onde ζd ´e uma raiz primitiva da unidade de ordem d e ad = _[K(ζn_dd_):K]. Nesta f´ormula, nd

denota o n´umero de elementos de ordem d em G.

Corolário 2.1.10 Suponhamos que G seja um grupo abeliano de ordem n e K um corpo tal que caract(K) 6 | n. Se K contém uma raiz primitiva da unidade de ordem n, então

KG ' K ⊕ · · · ⊕ K | {z }

n

.

Se G e H são grupos isomorfos, então as álgebras de grupos RG e RH sobre o anel R também são isomorfas. No entanto a rec´ıproca nem sempre é verdadeira. Por exemplo, se G e H são grupos abelianos não isomorfos de mesma ordem n e K é um corpo que contém uma raiz primitiva da unidade e caract(K) 6 | n, então o corolário acima mostra que

KG ' K ⊕ · · · ⊕ K | {z }

n

' KH .

Vejamos: se C2 e C4 representam grupos c´ıclicos de ordem 2 e 4, respectivamente, ent˜ao a

´

algebra de grupo sobre o corpo C dos complexos tem a seguinte forma:

C(C2× C2) ' C ⊕ C ⊕ C ⊕ C ' CC4 ,

e nós sabemos que C2× C2 6' C4. Como dissemos na introdu¸cão, este problema é chamado

problema do isomorfismo.

Até aqui, os exemplos que vimos foram obtidos através de grupos abelianos. Para ver um exemplo com grupo não abeliano, necessitamos de mais alguns resultados.

(33)

Defini¸c˜ao 2.1.11 Seja G um grupo, R um anel comutativo e {Ci}i∈I o conjunto das

classes de conjuga¸cão de G que contém somente um número finito de elementos. Para cada ´ındice i ∈ I, seja γi = bCi =

P

x∈Cix. Estes elementos s˜ao chamados somas de classes

de G sobre R.

Teorema 2.1.12 Seja G um grupo e R um anel comutativo. Ent˜ao, o conjunto {γi}i∈I

de todas somas de classes formam uma base de Z(RG), o centro de RG, sobre R.

Demonstra¸cão: Notemos primeiramente que, dado um elemento g ∈ G arbitrário, temos que g−1γig = P_x∈C_ig−1xg. Como conjuga¸cão por g é um automorfismo de G que fixa

as somas de classes, ou seja, C_ig = Ci, ∀i ∈ I, temos que

P

x∈Cig

−1_{xg =} P

y∈Ciy = γi.

Portanto, γig = gγi, ∀g ∈ G, o que mostra que γi ∈ Z(RG), ∀i ∈ I.

Para mostrar que estes elementos s˜ao linearmente independentes, suponhamos que P

iriγi = 0. Podemos escrever estas equa¸c˜oes como

P

iri

P

x∈Cix = 0 e, como somas de

classes diferentes tˆem suporte disjunto, a independˆencia linear dos elementos em G mostra que deve ser ri = 0, ∀i ∈ I.

Por fim, suponha que α = P

g∈Gagg ∈ Z(RG). Mostremos que se g ∈ sup(α),

então qualquer outro elemento h na classe de conjuga¸cão de g também pertence a sup(α) e ag = ah. De fato, seja h ∈ G tal que h = x−1gx para algum x ∈ G. Como α é central,

temos que α = x−1αx, ou seja, X g∈G agg = X g∈G agx−1gx.

Comparando o coeficiente de h em ambos os lados dessa equa¸c˜ao, obtemos que ah = ag.

Isso mostra que podemos escrever

α =X

i

aiγi.

Portanto, {γi}i∈I, ´e tamb´em um conjunto de geradores para Z(RG).

Proposi¸cão 2.1.13 Seja G um grupo finito e K um corpo algebricamente fechado tal que caract(K) 6 | |G|. Então, o número de componentes simples de KG é igual ao número de classes de conjuga¸cão de G.

(34)

Demonstra¸cão: Pelo teorema acima, é suficiente mostrar que a dimensão de Z(KG) sobre K é igual ao número de componentes simples de KG. Nós sabemos que KG ' ⊕r

i=1Mni(K)

e portanto, Z(KG) ' ⊕r_i=1Z(Mni(K) ).

Para o anel de matrizes Mn(K), podemos ver que Z(Mn(K) ) = {αI : α ∈ K} e

da´ı, Z(Mn(K) ) ' K. Portanto, Z(KG) ' K ⊕ · · · ⊕ K

| {z }

r

e consequentemente, [Z(KG) :

K] = r.

Defini¸cão 2.1.14 Um corpo K é dito ser um corpo de decomposi¸cão para um grupo finito G se a álgebra de grupo KG é isomorfa à soma direta de anéis de matrizes sobre K.

Teorema 2.1.15 Se K ´e um corpo de caracter´ıstica 0, ent˜ao KSn ' Mn1(K) ⊕ · · · ⊕

Mns(K), onde Sn é o grupo simétrico das permuta¸cões de n elementos.

Corol´_{ario 2.1.16 O corpo Q ´e corpo de decomposi¸c˜ao para S}n.

Notemos que todo corpo algebricamente fechado é corpo de decomposi¸cão para qualquer grupo finito G e a proposi¸cão 2.1.13 continua válida no caso em que K é um corpo de decomposi¸cão para G.

Exemplo 2.1.17 Seja S3 o grupo das permuta¸cões de três elementos, isto é S3 =

{I, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} e C o corpo dos números complexos. Sabemos que duas permuta¸cões são conjugadas se e somente se elas têm a mesma estrutura de ciclos. No caso de S3, podemos dar suas classes de conjuga¸cão explicitamente:

C1 = {I}

C2 = {(1 2), (1 3), (2 3)}

C3 = {(1 2 3), (1 3 2) }

Portanto, CS3 contém três componentes simples que são anéis da forma Mn(C).

(35)

Assim, se para um dos somandos tivermos que n > 1, ent˜ao s´_{o pode ser CS}3 ' C ⊕ C ⊕

M2(C).

Lembremos que se e é um idempotente central em um anel R, podemos decompor R como soma direta de anéis bilaterais: R = Re ⊕ R(1 − e). O Lema a seguir nos dá uma maneira de construir idempotentes em um anel de grupo RG utilizando os subgrupos do grupo G dado.

Lema 2.1.18 Sejam R um anel com unidade e H um subgrupo de um grupo G. Se |H| é invert´ıvel em R, então eH = _|H|1 H ´b e um idempotente de RG. Além disso, se H / G, então eH é central.

Defini¸c˜ao 2.1.19 Dados um grupo G e H um subgrupo de G, chamaremos de 4R(G, H)

o ideal `a esquerda de RG gerado pelo conjunto {h − 1 : h ∈ H}, isto ´e,

4R(G, H) =

P

h∈Hah(h − 1) : ah ∈ RG .

Como estamos trabalhando com um anel R fixo, usaremos simplesmente 4(G, H) ao inv´es de 4R(G, H). Notemos ainda que o ideal 4(G, G) coincide com o ideal 4(G)

definido em 2.1.2.

Proposi¸c˜ao 2.1.20 Sejam R um anel, G um grupo e H / G. Se |H| ´e invert´ıvel em R e eH = _|H|1 H, temos a seguinte soma de an´b eis: RG = RGeH ⊕ RG(1 − eH), onde

RGeH ' R(G/H) e RG(1 − eH) = 4(G, H).

Corolário 2.1.21 Seja R um anel e G um grupo finito tal que |G| é invert´ıvel em R. Então, podemos escrever RG como soma direta de anéis:

RG ' R ⊕ 4(G) .

Esse corolário nos diz que álgebras de grupos semisimples sempre contém uma componente simples que é isomorfa ao anel R dos coeficientes. Enunciamos abaixo um teorema que será utilizado na se¸cão 3.1 do cap´ıtulo seguinte.

(36)

Teorema [Kaplansky] 2.1.22 Sejam G um grupo arbitr´ario e K um corpo de carac-ter´ıstica zero. Seja e = e2 ₌_{P e(g)g ∈ KG um idempotente. Ent˜}_ao:

(i) 0 ≤ e(1) ≤ 1.

(ii) e(1) = 0 se e somente se e = 0 e e(1) = 1 se e somente se e = 1.

Lema 2.1.23 Seja R um anel comutativo e I um ideal de uma álgebra de grupo RG. Então o anel quociente RG/I é comutativo se e somente se 4(G, G0) ⊂ I.

Proposi¸cão 2.1.24 Sejam RG uma álgebra de grupo semisimples e G0 o subgrupo dos comutadores de G. Então, RG = RGeG0⊕ 4(G, G0), onde RGe_G0 ' R(G/G0) é a soma de

todas componentes simples comutativas de RG e 4(G, G0) ´e a soma das componentes n˜ao comutativas.

Utilizamos novamente o S3 para dar mais um exemplo, mas agora descreveremos

QS3, a ´algebra de grupo sobre o corpo dos racionais, ao inv´es de CS3.

Exemplo 2.1.25 Para utilizar o que foi visto acima, primeiro notemos que S₃0 = {I, (1 2 3), (1 3 2)} e portanto, | S3/S30 |= 2. Consequentemente, Q(S3/S30) tem dimens˜ao

2 sobre Q. Como vimos que neste caso a álgebra de grupo sempre contém uma compo-nente isomorfa a Q, QS3 contém duas componentes simples comutativas, isomorfas a Q.

Como a dimensão de 4(S3, S30) é menor que 4 e a dimensão da álgebra de grupo sobre Q

´

e | S3 |= 6, temos que

QS3 ' Q ⊕ Q ⊕ B,

onde B ´e componente simples de dimens˜_{ao 4 sobre Q. Como QS}3 cont´em elementos

nilpo-tentes (tome γ = (1 − (1 2) )(1 2 3)(1 + (1 2) e note que γ2 _{= 0), QS}

3 n˜ao pode ser soma

direta de an´eis com divis˜ao. Logo, temos que

QS3 ' Q ⊕ Q ⊕ M2(Q) .

Antes de terminar esta se¸cão, voltamos a falar de representa¸cões. Pelo teorema de Maschke, sabemos que se G é um grupo finito e K um corpo tal que caract(K) 6 | |G|, então

(37)

KG é um anel semisimples e portanto, todo KG-módulo é também semisimples. Assim, todo KG-módulo que é de dimensão finita sobre K pode ser escrito como soma direta de módulos irredut´ıveis. Em termos de representa¸cões, obtemos que toda representa¸cão de G sobre K é soma direta de representa¸cões irredut´ıveis.

Agora, do teorema de Wedderburn-Artin, sabemos que o número de KG-módulos irredut´ıveis não isomorfos é precisamente o número de componentes simples de KG. Em particular, se escrevermos KG como

KG ' ⊕r_i=1Mni(Di),

onde Di, 1 ≤ i ≤ r são anéis com divisão contendo K em seus centros, e calculando a

dimens˜ao de ambos os lados, obtemos:

|G| =

r

X

i=1

n2_i[Di : K].

Sabemos também que o módulo irredut´ıvel Ii, correspondente à componente simples

Mni(Di), ´e isomorfo a D

ni

i . Como o grau da correspondente representa¸c˜ao ϕi ´e dado pela

dimens˜ao deste m´odulo sobre K, temos:

gr(ϕi) = [Dnii : K] = ni[Di : K],

podemos escrever ent˜ao

|G| = r X i=1 nigr(ϕi) = r X i=1 n2_i[Di : K].

Por fim, pela proposi¸cão 2.1.13 temos que, se K é um corpo de decomposi¸cão para G, então Di = K, 1 ≤ i ≤ r, e o número de componentes simples de KG é igual ao número

de classes de conjuga¸c˜ao de G. Neste caso, obtemos o seguinte resultado:

Proposi¸cão 2.1.26 Sejam G um grupo finito e K um corpo de decomposi¸cão para G. Então,

KG ' ⊕r_i=1Mni(K),

onde ri é o número de classes de conjuga¸cão de G. Portanto, o número de representa¸cões

irredut´ıveis, n˜ao equivalentes, de G sobre K ´e igual a r e |G| =Pr

i=1n 2 i.

(38)

2.2 Inteiros Alg´

ebricos

Nesta se¸cão mostraremos que os inteiros alg´_{ebricos de um corpo K ⊃ Q formam} um subanel de K, e que esse anel é maximal em K. Apresentaremos também o Teorema de Dirichlet, sem demonstra¸cão, e demonstraremos um corolário seu, que será importante no último cap´ıtulo.

Um corpo K ⊂ C é dito ser um corpo de números algébricos se K for uma extensão finita do corpo Q dos racionais e, neste caso, todo elemento α ∈ K é algébrico sobre Q, ou seja, satisfaz uma equa¸cão da forma:

αn+ an−1αn−1+ · · · + a0 = 0, ai ∈ Q.

Um elemento β ∈ K é dito ser um inteiro algébrico se ele satisfaz uma equa¸cão mˆ_{onica em Z[X]:}

βn+ bn−1βn−1+ · · · + b0 = 0, bi ∈ Z.

Introduziremos a defini¸c˜ao num contexto mais geral, mas o nosso interesse ser´a, de fato, quando R = Z:

Defini¸cão 2.2.1 Sejam S um anel e R um subanel de S. Diremos que um elemento α ∈ S é inteiro sobre R se existir um polinômio mônico F ∈ R[X] tal que F (α) = 0. Em particular, todo elemento de R é inteiro sobre R.

Denotemos por IS(R) o conjunto dos elementos de S que s˜ao inteiros sobre R. Para

mostrar que IS(R) ´e um subanel de S, utilizaremos as condi¸c˜oes equivalentes do teorema

a seguir.

Teorema 2.2.2 Para qualquer α ∈ S, s˜ao equivalentes: i) α ´e inteiro sobre R;

(39)

2.2 Inteiros Alg´ebricos 31

ii) R[α] ´e um R-m´odulo finitamente gerado;

iii) Existe um subanel S0 de S que é um R-módulo finitamente gerado e tal que α ∈ S0. Demonstra¸cão:

(i)⇒(ii): Se α é inteiro sobre R, então α é raiz de um polinômio F [X] = Xn_{+ a}

n−1Xn−1+

· · · + a0 ∈ R[X]. Seja M = R + R.α + · · · + R.αn−1. Temos que M ⊂ R[α]. Agora,

suponhamos que 1, α, . . . , αn−1+r _{∈ M , o que ´e trivial para r = 0. Como α}n_{+ a}

n−1αn−1+

· · · + a0 = 0, segue que αn = −an−1αn−1− · · · − a0, donde αn+r = −an−1αn−1+r− · · · −

a0αr∈ M . Logo, αn+r ∈ M e M = R[α].

(ii)⇒(iii): S0 = R[α] tem a propriedade desejada.

(iii)⇒(i): Como S0 ´e um R-m´odulo finitamente gerado, podemos escrever S0 =Pn

i=1Rβi,

βi ∈ S0. Como S0 ´e um anel e α ∈ S0, segue que cada αβi ∈ S0. Portanto,

αβi = n

X

j=1

aijβj, i = 1, . . . , n, aij ∈ R.

Podemos escrever estas equa¸c˜oes como:

n

X

j=1

(αδij− aij)βj = 0, i = 1, . . . , n,

onde δij ´e o delta de Kronecker: δii= 1 e δij = 0, i 6= j.

Seja d = det(αδij − aij) ∈ S0. Pela f´ormula de Cramer, temos que d.βj = 0, j = 1, . . . , n.

Portanto, obtemos que d.S0 = 0 e como S0 é um anel com unidade, conclu´ımos que d = 0. Assim, α é raiz do polinômio mônico det(Xδij − aij) ∈ R[X], donde α é inteiro sobre R.

Corolário 2.2.3 Se α1, . . . , αm ∈ S forem inteiros sobre R, então R[α1, . . . , αm] será um

R-m´odulo finitamente gerado.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que Rk = R[α1, . . . , αk], como um R-m´odulo, possua um

sistema finito de geradores β1, . . . , βs, o que ´e trivial para k = 0.

Como αk+1 ´e inteiro sobre Rk, o anel Rk+1 = Rk[αk+1], considerado como Rk

-m´odulo, possui um sistema finito de geradores γ1, . . . , γt. Logo, considerado como

(40)

Assim, por indu¸cão, conclu´ımos que Rm é um R-módulo finitamente gerado.

Corolário 2.2.4 i)IS(R) é um subanel de S que contém R.

ii) Todo subanel S0 de S que é um R-módulo finitamente gerado, está contido em IS(R).

Demonstra¸c˜ao: i)Obviamente R ⊂ IS(R) ⊂ S. Sejam α, β ∈ IS(R). Ent˜ao, α − β, α.β ∈

R[α, β] e R[α, β] ´e um R-m´odulo finitamente gerado, por 2.2.3. Logo, α − β, α.β ∈ IS(R),

por 2.2.2. Portanto, IS(R) ´e subanel de S.

ii) Segue diretamente do teorema 2.2.2.

O item (ii) desse corolário será de grande importância na próxima se¸cão, bem como na demonstra¸cão do teorema principal deste trabalho. Vamos nos restringir agora ao caso R = Z. Seja K uma extensão finita de Q, como no in´ıcio desta se¸cão, e denotemos por OK

o subanel IK(Z) dos inteiros alg´ebricos de K.

Lema 2.2.5 OK ´e finitamente gerado como um Z-m´odulo e K = QOK.

Demonstra¸c˜_{ao: Como [K : Q] ´e finito, segue que O}K ´e finitamente gerado como um grupo

abeliano, ou equivalentemente, como um Z-m´odulo.

Agora, se α ∈ K, ent˜ao α satisfaz uma equa¸c˜ao

αn+ an−1αn−1+ · · · + a0 = 0, ai ∈ Q,

e portanto, satisfaz

cnαn+ cn−1αn−1+ · · · + c0 = 0, ci ∈ Z, cn6= 0.

Assim, γ = cnα satisfaz a equa¸c˜ao mˆonica

γn+ cn−1γn−1+ · · · + cn−1n c0 = 0, ci ∈ Z,

donde cnα ∈ OK. Da´ı, cnα = δ ∈ OK e portanto, α = c−1n δ ∈ QOK.

(41)

Defini¸c˜_{ao 2.2.6 i) Um subcorpo K ⊂ C é dito ser um corpo quadrático se [K : Q] = 2;} ii) Um número inteiro d é dito ser livre de quadrados se não é divis´ıvel pelo quadrado de nenhum número primo.

Se [K : Q] = 2, então K = Q(α), onde α é um inteiro algébrico, raiz de um polinômio da forma t2_{− at + b, a, b ∈ Z. Portanto,}

α = −a ±p(a

2_{− 4b)}

2 .

Seja a2_{− 4b = r}2_{d, onde r, d ∈ Z e d ´e livre de quadrados. Ent˜ao}

α = −a ± r √

d 2 ,

portanto Q(α) = Q(√d), isto é, os corpos quadráticos são exatamente os corpos da forma Q(

√

d), onde d ´e um inteiro livre de quadrados.

Defini¸cão 2.2.7 Um corpo quadr´_{atico Q(}√d) é dito ser real se d é positivo e imaginário se d é negativo.

Exemplo 2.2.8 Se d é um inteiro livre de quadrados, o anel dos inteiros algébricos de Q( √ d) é da forma: (a) Z[√d], se d 6≡ 1(mod 4); (b) Z[12 + 1 2 √ d], se d ≡ 1(mod 4).

Seja α ∈ Q(√d). Então α é da forma α = r + s√_{d, r, s ∈ Q. Podemos então} escrever

α = a + b √

d c ,

onde a, b, c ∈ Z, c > 0 e a, b e c não têm fator primo comum. Agora, α é um inteiro algébrico se e somente se os coeficientes do polinômio

t − a + b √ d c !! t − a − b √ d c !!

(42)

s˜ao inteiros. Portanto,

a2_{− b}2_d

c2 ∈ Z, (2.1)

2a

c ∈ Z. (2.2)

Se a e c têm um fator primo p em comum, então, como d é livre de quadrados, 2.1 implica que p também divide b, o que não é poss´ıvel. Portanto, por 2.2 nós temos que c = 1 ou c = 2. Se c = 1, α = a + b√d, e (a) ou (b) é válido. Suponhamos c = 2. a e b devem ser então ´ımpares, e (a2_{− b}2_{d)/4 ∈ Z. Portanto, a}2 _{− b}2_{d ≡ 0(mod 4). Agora, um}

´ımpar 2k + 1 tem quadrado 4k2+ 4k + 1 ≡ 1(mod 4), portanto a2 ≡ 1 ≡ b2_{(mod 4) e isto}

implica que d ≡ 1(mod 4). Reciprocamente, se d ≡ 1(mod 4), então, para a e b ´ımpares, temos que valem 2.1 e 2.2 e assim α é um inteiro algébrico.

Resumindo: se d 6≡ 1(mod 4), ent˜ao c = 1 e portanto (a) vale; se d ≡ 1(mod 4), podemos ter tamb´em c = 2, com a e b ´ımpares, e neste caso temos que vale (b).

Defini¸c˜_{ao 2.2.9 Sejam K = Q(ζ) ⊃ Q uma exten¸c˜ao de grau n e} σ1, . . . , σn os

monomorfismos (mergulhos) de K em C. Para α ∈ K, definimos a norma de α em K como NK(α) = N (α) = n Y i=1 σi(α).

Observamos que N (αβ) = N (α)N (β) e se α 6= 0, então N (α) 6= 0. Além disso, se α é um inteiro algébrico, ent˜_{ao N (α) ∈ Z ([23], p.54).}

Defini¸c˜_{ao 2.2.10 Sejam K = Q(ζ) ⊃ Q extens˜ao de grau n e σ}1, . . . , σn o conjunto de

todos os mergulhos (monomorfismos) de K em C. Se σi(ζ) ⊂ R, dizemos que σi ´e real;

caso contr´ario, dizemos que σi ´e complexo.

Como conjuga¸c˜ao complexa ´_{e um automorfismo de C, segue que σ}i´e um

monomor-fismo de K em C, igual a σj, para algum j. Agora, σi = σi se e somente se σi ´e real,

e σi = σi, portanto os monomorfismos complexos vˆeem em pares conjugados. Assim,

(43)

Por fim, enunciamos o Teorema da Unidade de Dirichlet e destacamos um corolário seu, o qual será fundamental na demonstra¸cão do teorema que generaliza o Teorema de Higman e que será apresentado no último cap´ıtulo. A demonstra¸cão pode ser encontrada em [23].

Teorema [Dirichlet] 2.2.11 Seja K ⊃ Q uma extens˜ao finita de grau n = n1 + 2n2,

onde n1 e 2n2 denotam o n´umero de mergulhos reais e complexos de K, respectivamente.

Seja OK o anel dos inteiros alg´ebricos de K e U = U (OK) o grupo das unidades de OK.

Então, U é um grupo abeliano finitamente gerado. Além disso, U = C × F , onde C é um grupo c´ıclico finito e F é livre de tor¸cão, de posto ρ = n1+ n2− 1.

Corol´_{ario 2.2.12 Seja K ⊃ Q uma extens˜ao finita de grau n = n}1+ 2n2, onde n1 e 2n2

denotam o n´umero de mergulhos reais e complexos de K, respectivamente. Ent˜ao, U (OK)

´

e finito se e somente se K = Q ou K é imaginário quadrático, isto é, K = Q(√d), onde d é um inteiro negativo, livre de quadrados.

Demonstra¸c˜_{ao: i) Suponhamos inicialmente que K = Q ou K = Q(}√d), onde d é um inteiro negativo, livre de quadrados. Se K = Q, o anel OQ dos inteiros algébricos é igual

a Z e, portanto, U(OQ) = {1, −1}, finito. Se K = Q(

√

d), dividimos em trˆes casos: (a) se d = −1, ent˜ao U (OK) = {±1, ±i};

(b) se d = −3, ent˜ao U (OK) = {±1, ±ζ, ±ζ2}, onde ζ = e2πi/3;

(c) para qualquer outro d < 0, U (OK) = {±1}.

Seja α uma unidade no anel dos inteiros alg´_{ebricos de Q(}√d) com inverso β. Ent˜ao, αβ = 1, e portanto, N (α)N (β) = 1. Como N (α) e N (β) s˜ao inteiros, temos que N (α) = ±1. Escrevendo α = a + b√_{d, a, b ∈ Q, temos que N (α) = a}2 _{− db}2 _´_{e positivo, para d}

negativo. Portanto, N (α) = 1 e obtemos a equa¸c˜ao

a2− db2 _{= 1.}

Se a, b ∈ Z, ent˜ao para d = −1, ficamos com a equa¸c˜ao

(44)

que tem solu¸cões a = ±1 e b = 0, ou a = 0 e b = ±1. Isto nos dá (a). Para d < −3, a equa¸cão 2.3 implica que deve ser b = 0 e as solu¸cões inteiras são a = ±1 e b = 0.

Se d 6≡ 1(mod 4), ent˜_{ao a, b ∈ Z e as solu¸cões são somente as já encontradas.} Se d ≡ 1(mod 4), devemos considerar a possibilidade a = A/2 e b = B/2, onde A, B são inteiros ´ımpares. Neste caso, ficamos com a equa¸cão A2 _{− dB}2 _{= 4. Para d < −3,}

deduzimos que B = 0 e não temos solu¸cões adicionais, o que completa (c). Para d = −3, temos as solu¸cões A = ±1, B = ±1. O caso A = 1, B = 1 nos dá

α = 1 2(−1 +

√

−3) = ζ,

onde ζ = e2πi/3_{. Os outros trˆ}_{es casos nos d˜}_{ao −ζ, ζ}2_{, −ζ}2_{, o que completa (b).}

Assim, conclu´ımos que se K é imaginário quadr´_{atico ou K = Q, o grupo das} unidades dos inteiros algébricos de K é finito.

ii) Suponhamos agora que o grupo U (OK) das unidades dos inteiros alg´ebricos de

K seja finito. Pelo Teorema de Dirichlet, sabemos que U (OK) = C × F , onde C ´e um

grupo c´ıclico finito e F ´e livre de tor¸c˜ao, de posto ρ = n1+n2−1, ou seja, F ' Z × · · · × Z

| {z }

n1+n2−1

.

Como U (OK) ´e finito, devemos ter ent˜ao n1+ n2 − 1 = 0, ou equivalentemente, n1 = 1 e

n2 = 0, ou n1 = 0 e n2 = 1. No primeiro caso, obtemos [K : Q] = 1 e K = Q. No segundo,

[K : Q] = 2 e como n2 denota o n´umero de mergulhos complexos de K, conclu´ımos que K

´

e imagin´ario quadr´atico, o que completa a prova.

2.3 Ordem

Nesta se¸cão vamos definir uma classe especial de subanéis da ´_{algebra de grupo QG} que será muito importante nos cap´ıtulos posteriores.

(45)

2.3 Ordem 37

de A ´_{e chamado uma Z-ordem, ou simplesmente uma ordem em A, se ele ´e finitamente} gerado como um Z-m´odulo e QR = A.

Exemplo 2.3.2 O anel OK ´e uma ordem em K.

Exemplo 2.3.3 Seja ζ é uma raiz n-ésima da unidade. Ent˜_{ao, Z[ζ] é uma ordem no} corpo ciclotˆ_{omico Q(ζ).}

Exemplo 2.3.4 Seja R uma ordem em uma Q-álgebra A. Então, Mn(R) é uma ordem

em Mn(A).

Exemplo 2.3.5 Seja A uma Q-álgebra. Suponhamos que A = ⊕Aié uma decomposi¸cão de

A como soma direta de componentes simples e seja M um subanel de A com decomposi¸cão M = ⊕Mi, Mi ⊂ Ai. Então, M é uma ordem em A se e somente se Mi é uma ordem em

Ai.

Suponhamos inicialmente que Mi seja uma ordem em Ai. Como M = ⊕Mi e cada

Mi é um Z-módulo finitamente gerado, segue que M também é um Z-módulo finitamente

gerado. Al´_{em disso, QM = Q(⊕M}i) = ⊕QMi = ⊕Ai = A. Portanto, M ´e uma ordem em

A.

Agora, suponhamos que M seja uma ordem em A. Ent˜_{ao sabemos que QM = A.} Assim, ⊕Ai = A = QM = Q(⊕Mi) = ⊕QMi e portanto, reordenando os ´ındices se

necess´ario, obtemos que Ai = QMi. Logo, Mi ´e uma ordem em Ai.

Lema 2.3.6 Sejam R1 ⊂ R2 ordens em uma Q-´algebra A. Ent˜ao, existe um inteiro d tal

que dR2 ⊂ R1. Al´em disso, o ´ındice [R1 : dR2] como grupos aditivos, ´e finito.

Demonstra¸cão: Por hipótese, R2é finitamente gerado como um Z-módulo. Seja {γ1, . . . , γt}

um conjunto de geradores para R2. Como A = QR1, podemos encontrar um n´umero

(46)

finitamente gerado como um grupo abeliano, segue do teorema fundamental dos grupos abelianos que o ´ındice aditivo [R2 : dR2] é finito. Logo, [R1 : dR2] ≤ [R2 : dR2] é também

finito.

Lema 2.3.7 Sejam R1 ⊂ R2 duas ordens em uma Q-´algebra A. Ent˜ao:

i) Se U (R1) e U (R2) s˜ao os grupos das unidades de R1 e R2, respectivamente, ent˜ao o

´ındice (U (R2) : U (R1)) (como grupos multiplicativos) ´e finito.

ii) Se u ∈ R1 ´e invert´ıvel em R2, ent˜ao u−1 ∈ R1.

Demonstra¸c˜ao: De acordo com o lema 2.3.6, existe um natural d tal que dR2 ⊂ R1 e o

´ındice [R1 : dR2] como grupos aditivos ´e finito. Para provar que o ´ındice multiplicativo

(U (R2) : U (R1)) é também finito, mostraremos que este número é limitado por [R1 : dR2].

De fato, sejam x, y ∈ U (R2) tal que x + dR2 = y + dR2. Ent˜ao, temos que

y−1x − 1 ∈ dR2 ⊂ R1, donde y−1x ∈ R1. De modo similar, obtemos que x−1y ∈ R1.

Portanto, y−1x ∈ U (R1), o que mostra que x ∈ yU (R1). Este argumento mostra que

se dois elementos pertencem à mesma classe aditiva módulo dR2, então eles pertencem à

mesma classe multiplicativa m´odulo U (R1). Logo, as classes multiplicativas de U (R1) s˜ao

uni˜oes disjuntas das classes aditivas de dR2, o que prova (i).

Para provar (ii), notemos que se u ∈ R1 ´e invert´ıvel em R2, ent˜ao R2 = uR2.

Assim, se consideramos os grupos aditivos, temos que [R2 : uR1] = [uR2 : uR1]. Al´em

disso, se r1 ∈ R1 e r2 ∈ R2, ent˜ao r2 ≡ r1(modR1) se e somente se ur2 ≡ ur1(moduR1) e

segue que [uR2 : uR1] = [R2 : R1]. Portanto, [R2 : uR1] = [R2 : R1] e, consequentemente,

uR1 = R1. Segue que u−1 ∈ R1.

Defini¸cão 2.3.8 Uma ordem R é uma ordem maximal em A se não está contida propri-amente em uma outra ordem de A.

Exemplo 2.3.9 Vimos no exemplo 2.3.5 que se A = ⊕k

i=1Ai ´e uma decomposi¸c˜ao de

(47)

2.3 Ordem 39

decomposi¸cão M = ⊕k_i=1Mi, Mi ⊂ Ai, então, M é uma ordem em A se e somente se Mi é

uma ordem em Ai. Vejamos agora que M ´e maximal em A se e somente se Mi ´e maximal

em Ai.

Suponhamos que M seja maximal em A e que para algum j ∈ {1, . . . , k}, Mj n˜ao

seja maximal em Aj, ou seja, existe uma ordem Nj ⊂ Aj tal que Mj ⊂ Nj e Mj 6= Nj.

Consideremos ent˜ao a ordem N = M1⊕ · · · ⊕ Mj−1⊕ Nj⊕ Mj+1⊕ · · · ⊕ Mk. Da´ı, N ⊃ M

e N 6= M , o que contradiz a maximalidade de M . Logo, Mi deve ser necesseriamente

maximal em Ai. De modo análogo, obtemos que se cada Mié maximal, então M é maximal

em A.

Proposi¸cão 2.3.10 Seja K um corpo de números algébricos e OK o anel dos inteiros

algébricos de K. Então, OK é a única Z-ordem maximal em K.

(48)

Unidades em RG

3.1 Unidades de Tor¸

c˜

ao

Mostraremos nesta se¸cão que as unidades centrais de ordem finita do anel de grupo ZG são todas triviais. Come¸camos com um grupo G finito e depois passamos ao caso geral, com G arbitrário.

Denotemos por U (R) o grupo multiplicativo das unidades de um anel R, ou seja, U (R) = {x ∈ R : (∃y ∈ R)xy = yx = 1}. Em particular, dado um grupo G e um anel R, U (RG) ´e o grupo das unidades do anel de grupo RG. Todo elemento da forma rg, r ∈ U (R), g ∈ G, tem um inverso r−1g−1. Os elementos desta forma s˜ao chamados de unidades triviais de RG. Como caso especial de nosso interesse, os elementos ±g, g ∈ G, s˜_{ao as unidades triviais de ZG.}

Lema 3.1.1 Sejam G um grupo finito, K um corpo, ρ a representa¸c˜ao regular de KG e γ =P

g∈Gγ(g)g ∈ KG. Ent˜ao o tra¸co de ρ(γ) ´e dado por trρ(γ) = |G|γ(1).

Demonstra¸cão: Sabemos que trρ(γ) não depende da base escolhida. Seja G = {g1, g2, . . . , gn} uma K-base para KG e suponhamos que g1 = 1. Então, ρ(γ) =

(49)

3.1 Unidades de Tor¸c˜ao 41

ρ(P

g∈Gγ(g)g) =

P

g∈Gγ(g)ρ(g). Agora, para um elemento g 6= 1 em G, temos que

ggi 6= gi, ∀i. Da´ı, as entradas da matriz ρ(g) s˜ao todas iguais a zero. Portanto,

trρ(g) = 0, ∀g 6= 1. Por outro lado, como ρ(1) ´e a matriz identidade, segue que trρ(1) = n. Logo, trρ(γ) =P

g∈Gγ(g)trρ(g) = γ(1)trρ(1) = γ(1)|G|.

Lema 3.1.2 Sejam G um grupo finito e γ =P

g∈Gγ(g)g uma unidade de ordem finita em

ZG. Suponhamos que γ(1) 6= 0. Ent˜ao, γ = γ(1) = ±1.

Demonstra¸c˜ao: Seja |G| = n e suponhamos que γm _{= 1 para algum inteiro positivo m. Seja}

ρ a representa¸c˜ao regular da ´_{algebra de grupo CG e consideremos ZG como um subanel} de CG. Pelo lema anterior, temos que trρ(γ) = nγ(1).

Como γm _{= 1, temos que (ρ(γ))}m _{= ρ(γ}m_{) = I. Segue que ρ(γ) ´}_{e uma raiz do}

polinômio Xm − 1, cujas ra´ızes são todas distintas. Isto implica que existe uma base de CG tal que a matriz de ρ(γ) é diagonal, da forma:

A =         ξ1 ξ2 . .. ξn         , ξm_i = 1. Ent˜ao, trρ(γ) =Pn i=1ξi e portanto, nγ(1) = Pn

i=1ξi. Segue que

|nγ(1)| = | n X i=1 ξi| ≤ n X i=1 |ξi| = n .

Como |nγ(1)| = n|γ(1)| ≤ n, temos que |γ(1)| = 1 e |Pn

i=1ξi| =

Pn

i=1|ξi|. Mas isso

acontece se e somente se ξ1 = ξ2 = · · · = ξn.

Logo, nγ(1) = nξ1 e consequentemente, γ(1) = ξ1 = ±1. Assim, ρ(γ) = ±I e

portanto, γ = ±1.

Corol´ario 3.1.3 Suponha que γ =P

g∈Gγ(g)g ´e uma unidade central de ordem finita em