O Teorema Principal

Enfim, estamos prontos para demonstrar o teorema a que nos propomos. Denote- mos por ∼ a conjuga¸c˜ao em G : g1 ∼ g2 ⇔ ∃x ∈ G tal que g1 = x−1g2x.

Teorema 4.3.1 Seja G um grupo finito de ordem n. Todas unidades centrais de ZG s˜ao triviais se e somente se ∀x ∈ G e ∀j ∈ N tal que (j, n) = 1, xj ∼ x ou xj _{∼ x}−1_.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, lembramos que pelo corol´ario 3.1.3, todas unidades centrais de ZG, de ordem finita, s˜ao triviais. Portanto, qualquer subgrupo finito do grupo das unidades centrais de ZG possui apenas unidades centrais triviais. Por outro lado, se todas as unidades centrais de ZG s˜ao triviais, segue que o n´umero destas deve ser finito, pois G ´

e finito.

Assim, para provarmos o teorema, ´e ent˜ao suficiente provarmos que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

i) ZG possui somente um n´umero finito de unidades centrais;

ii) O corpo Q(χ) de cada caracter absolutamente irredut´ıvel χ de G ´e, ou Q ou um corpo imagin´ario quadr´atico, isto ´_{e, da forma Q(}√d), onde d ´e um inteiro negativo, livre de quadrados;

iii) ∀x ∈ G e ∀j ∈ N tal que (j, n) = 1, xj ∼ x ou xj _{∼ x}−1_.

(1) - Vamos provar primeiro que (i) e (ii) s˜_{ao equivalentes. Seja QG = ⊕}s_i=1Ai,

4.3 O Teorema Principal 59

centro Z(Ai) de Ai ´e isomorfo sobre Q ao corpo Q(χi), i = 1, · · · , s, onde s ´e o n´umero de

componentes simples na decomposi¸c˜_{ao de QG, e tamb´em ´e igual ao n´umero de caracteres} irredut´ıveis de G. Segue que Z(QG) ' ⊕si=1Q(χi). Al´em disso, pela proposi¸c˜ao 4.2.1,

sabemos que o centro Z(ZG) de ZG ´e uma ordem no centro Z(QG) de QG.

Seja Oχi o anel dos inteiros alg´ebricos do corpo Q(χi). Pela proposi¸c˜ao 2.3.10,

temos que Oχi ´e a ´unica ordem maximal em Q(χi). Seja M = ⊕

s

i=1Oχi. Vimos nos

exemplos 2.3.5 e 2.3.9 que M ´_{e uma ordem maximal em Z(QG). ´}E f´acil ver tamb´em que M ´e a ´_{unica ordem maximal em Z(QG). De fato, suponhamos que N seja uma outra} ordem maximal em Z(QG). Ent˜ao, N = ⊕s

i=1Ni, onde cada Ni ´e uma ordem maximal em

Qχi. Mas Oχi ´e a ´unica ordem maximal em Q(χi) e portanto, Ni = Oχi. Assim, M = N

´

e a ´_{unica ordem maximal em Z(QG) e com isso, obtemos que Z(ZG) ⊂ M .}

Assim, pelo lema 2.3.7, temos que o grupo das unidades de Z(ZG) ´e de ´ındice multiplicativo finito no grupo das unidades de ⊕χi(Oχi)

×_{. Obtemos ent˜ao que o grupo das}

unidades centrais de ZG ´e finito se e somente se U(Oχi) ´e finito, ∀i ∈ {1, . . . , s}. Mas,

pelo corol´ario 2.2.12 do Teorema de Dirichlet, temos que U (Oχi) ´e finito se e somente se

Q(χi) = Q ou Q(χi) = Q(

√

d), onde d ´e um inteiro negativo, livre de quadrados.

Logo, (i) e (ii) s˜ao equivalentes.

(2) - Agora vamos provar que (iii) implica em (ii). Seja σ um automorfismo de Q(χ)/Q. Observamos que Q(χ) ⊂ Q(ζ), onde ζ ´e uma raiz n-´esima da unidade (n = |G|), pois como vimos na se¸c˜_{ao anterior, existe uma base de CG tal que χ ´e soma de ra´ızes} n-´esimas da unidade. Pela proposi¸c˜ao 1.2.7 podemos estender σ a um automorfismo σ de_b Q(ζ), tal que σ : ζ 7−→ ζb

j_{, para algum j, (j, n) = 1. Assim,}

χσ(g) = σ(χ(g)) = σ(trρ(g)) = σ(ζ1+· · ·+ζm) = σ(ζ1)+· · ·+σ(ζm) = ζ1j+· · ·+ζ j m = χ(g j_), onde ζn i = 1, i = 1, . . . , m.

Como (j, n) = 1, temos por hip´otese que gj _{∼ g ou g}j _{∼ g}−1_{. Da´ı, como caracteres}

s˜ao constantes nas classes de conjuga¸c˜ao de G, obtemos que

ou

χσ(g) = χ(gj) = χ(g−1) = χ(g), onde χ(g) ´e o conjugado complexo de χ(g).

Mas a aplica¸c˜ao α 7−→ α ´_{e um automorfismo de Q(ζ) e portanto, comuta com σ.} Segue ent˜ao que (χ + χ)σ _{= χ}σ_{+ χ} σ _{= χ}σ_{+ χ}σ_{, donde}

χ + χ = χσ + χσ.

Segue ent˜ao que χσ _{= χ ou χ}σ _{= χ. De fato, isto decorre da independˆencia linear}

dos caracteres irredut´ıveis, visto que χ, χ, χσ _{e χ}σ _{s˜ao irredut´ıveis. Como χ+χ = χ}σ_+χσ_,

pelo menos dois deles devem ser iguais. Temos ent˜ao as seguintes possibilidades:

• se χ = χ, ent˜ao χσ _{= χ}σ_{, donde χ}σ _{= χ;}

• χ = χσ _{ou χ = χ} σ _{= χ}σ_{, ou seja, χ}σ _{= χ;}

• χ = χσ _{ou χ = χ} σ _{= χ}σ_{, donde χ = χ}σ_;

• χσ _{= χ} σ _{se e somente se χ}σ _{− χ} σ _{= 0 se e s´o se (χ − χ)}σ _{= 0. Como σ ´e um}

automorfismo, segue que χ − χ = 0 e assim, χ = χ.

Portanto, deve ser χσ _{= χ ou χ}σ _{= χ e temos duas op¸c˜oes a analisar:}

Aut(Q(χ)/Q) = Id, isto ´e, σ = Id, ∀σ ∈ Aut(Q(χ)/Q), ou Aut(Q(χ)/Q) = {Id, σ}, σ = conjugado complexo, donde |Aut(Q(χ)/Q)| = 2 e neste caso, Q(χ) 6⊂ R. Como no exemplo 1.2.12, o grupo Aut(Q(ζ)/Q) ´e abeliano, donde a extens˜ao Q(χ) ⊃ Q ´e galoisiana e |Aut(Q(χ)/Q)| = [Q(χ) : Q]. Assim, temos:

• se |Aut(Q(χ)/Q)| = [Q(χ) : Q] = 1, temos que Q(χ) = Q;

• se |Aut(Q(χ)/Q)| = [Q(χ) : Q] = 2, obtemos que Q(χ) = Q(α), para algum α /∈ R, sendo o polinˆomio minimal de α um polinˆ_{omio de grau 2 e portanto, Q(χ) = Q(}√d), para algum inteiro negativo d, livre de quadrados.

4.3 O Teorema Principal 61

(3) - Por fim, provaremos que (ii) implica em (iii). Para cada g ∈ G, vamos definir uma fun¸c˜_{ao do conjunto dos caracteres irredut´ıveis de G em C, T}g : Irr(G) −→ C,

pondo:

Tg(χ) = χ(g).

Segue das rela¸c˜oes de ortogonalidade dos caracteres que estas fun¸c˜oes s˜ao linear- mente independentes, se tomadas em classes de conjuga¸c˜ao diferentes. De fato, se G possui r clases de conjuga¸c˜ao, Tg pode ser vista como um vetor de Cr, na coluna da tabela de

caracteres de G:

(Tg(χ1), . . . , Tg(χr)) = (χ1(g), . . . , χr(g)).

Agora, se g1 e g2 est˜ao em classes de conjuga¸c˜ao distintas, ent˜ao

< (χ1(g1), . . . , χr(g1)), (χ1(g2), . . . , χr(g2)) >= r

X

i=1

χi(g1)χi(g2) = 0,

pela segunda rela¸c˜ao de ortogonalidade.

Seja j ∈ N tal que (j, n) = 1, onde n = |G|, e ζ uma raiz n-´esima da unidade. Temos ent˜ao que σ0 _{: Q(ζ) −→ Q(ζ), σ}0(ζ) = ζj_{, ´e um automorfismo de Q(ζ). Seja σ a}

restri¸c˜_{ao desse automorfismo a Q(χ). Por hip´otese, Q(χ) = Q ou Q(χ) ´e corpo imagin´ario} quadr´atico, isto ´_{e, Q(χ) = Q(}√_{d), d um inteiro negativo, livre de quadrados. Se Q(χ) = Q,} ent˜ao χσ(g) = χ(g), ∀g ∈ G, pois o ´_{unico automorfismo de Q ´e a identidade. Suponhamos} agora Q(χ) = Q(√d). O polinˆomio minimal de√_{d sobre Q ´e p(x) = x}2_{−d, cujas ra´ızes s˜ao}

±√d. Portanto, os ´_{unicos automorfismos de Q(χ) s˜ao a identidade e conjugado complexo,} donde

χσ(g) = χ(g) ou χσ(g) = χ(g) = χ(g−1). Temos ent˜ao que:

(χ(g))σ + (χ(g−1))σ = χ(g) + χ(g−1) = Tg(χ) + Tg−1(χ)

Por outro lado,

Assim,

T_gj(χ) + T_g−j(χ) = T_g(χ) + T_g−1(χ),

para todo caracter χ irredut´ıvel de G. Segue ent˜ao que

Tgj+ T_g−j = T_g+ T_g−1.

Desta forma, o conjunto {Tgj, T_g−j, T_g, T_g−1} n˜ao pode ser linearmente indepen-

dente, ou equivalentemente, g, g−1, gj_{, g}−j _{n˜ao podem estar cada um numa classe de con-}

juga¸c˜ao distinta de G. Assim temos:

• g ∼ g−1_{se e somente se g}j _{∼ g}−j_{, visto que (j, n) = 1. Desta forma, se g ∼ g}−1_{, ent˜ao}

T_gj = T_g, ou equivalentemente, χ(gj) = χ(g) para todo caracter irredut´ıvel de G.

Assim, se χ1, . . . , χrs˜ao os caracteres irredut´ıveis de G, ent˜ao

Pr

i=1χi(gj)χi(g) 6= 0, o

que garante que gj _{e g n˜ao podem estar em diferentes classes de conjuga¸c˜ao. Portanto,}

gj ∼ g;

• g ∼ g−j _{se e somente se existe x ∈ G tal que g = x}−1_g−j_{x, donde g}−1 _{= x}−1_gj_{x e}

gj ∼ g−1_;

• da mesma forma, g−1 _{∼ g}−j _{implica em g}j _{∼ g.}

Logo, deve ser gj _{∼ g ou g}j _{∼ g}−1_{, o que conclui a demonstra¸c˜ao do teorema.}

Corol´_{ario 4.3.2 Seja G um grupo tal que ZG tenha somente unidades centrais triviais} e seja H uma imagem homomorfa de G. Ent˜_{ao todas as unidades centrais de ZH s˜ao} triviais.

Demonstra¸c˜ao: Se ϕ : G −→ H ´e um homomorfismo (sobrejetor), basta considerar o quociente G/Ker(ϕ) e utilizar o teorema 1.4.7.

4.3 O Teorema Principal 63

Exemplo 4.3.3 G = Sn, grupo das permuta¸c˜oes de n elementos. Como vimos no corol´ario

2.1.16, Q ´e corpo de decomposi¸c˜ao para Sn, ou seja, QSn ' Mn1(Q) ⊕ · · · ⊕ Mns(Q). Como

Z(Mni(Q)) ' Q e Q(χi) ' Z(Mni(Q)), temos que o corpo caracter Q(χi) de todo caracter

irredut´ıvel de Sn ´e igual a Q. Por exemplo, vimos no exemplo 1.4.9 do cap´ıtulo 1 que a

tabela de caracteres de S3 ´e dada por:

S3 1 (12) (123)

χ1 1 1 1

χ2 1 −1 1

χ3 2 0 −1

Exemplo 4.3.4 Seja G um grupo n˜ao abeliano de ordem 27. Como |G| = 27 = 33_{, temos}

que G0 = Z(G) e |G0| = |Z(G)| = 3 e, portanto, |G/G0_{| = 9.}

Sabemos que QG ' Q(G/G0) ⊕ QG(1 − cG0_{). Analisemos cada uma destas componentes:}

Q(G/G0) tem dimens˜_{ao 9 sobre Q. Pelo teorema de Perlis Walker (G/G}0 ´e abeliano), temos que Q(G/G0) ' ⊕d|9adQ(ζd), onde ζd ´e uma raiz primitiva da unidade de ordem d e

ad = _[Q(ζn_dd_):Q], sendo nd o n´umero de elementos de ordem d em G/G0. Assim, se ζ3 ´e uma

raiz c´ubica primitiva da unidade, temos:

Q(G/G0) ' Q ⊕ 4Q(ζ3).

QG(1−cG0_{) tem dimens˜ao 18 sobre Q. Temos ent˜ao duas possibilidades, mas em ambas,}

obtemos que as componentes simples que aparecem na decomposi¸c˜_{ao de Z(QG) s˜ao Q ou} Q(ζ3):

• QG(1 − cG0_{) ' 2M}

3(Q), ou

• QG(1 − cG0_{) ' M}

3(Q(ζ3)).

Sabemos que se Ai ´e componente simples na decomposi¸c˜ao de QG ent˜ao Z(Ai) '

Q(χi). Portanto, pelo item (ii) do teorema anterior, todas as unidades centrais de ZG s˜ao

QG(1 − cG0) possui elemento central n˜ao trivial cuja ordem ´e 3 e portanto, ´e de fato isomorfo a M3(Q(ζ3)).

Exemplo 4.3.5 Seja G um grupo tal que G =< x, y : x7 = y3 = 1, xy = x2 >. Temos que G tem ordem 21 e, como xy _{= y}−1_{xy = x}2_{, segue que x ∈ G}0 _{e portanto, < x >= G}0 _e

|G0_{| = 7. Ent˜ao, o n´umero de caracteres irredut´ıveis lineares de G ´e |G/G}0_{| = 3 e}

1 + 1 + 1 + n2₄+ · · · + n2_k = 21,

onde ni ´e o grau do caracter χi. Desta forma, a ´unica possibilidade ´e a existˆencia de mais

dois caracteres irredut´ıveis, com graus n4 = 3 e n5 = 3.

As classes de conjuga¸c˜ao de G s˜ao as seguintes: C1 = {1};

C2 = {x, x2, x4};

C3 = {x3, x5, x6};

C4 = {y, xy, x2y, x3y, x4y, x5y, x6y};

C5 = {y2, y2x, y2x2, y2, x3, y2x4, y2x5, y2x6}.

Como esperado, obtemos 5 classes de conjuga¸c˜ao para G.

Lembramos que os caracteres lineares de G s˜ao induzidos pelos caracteres de G/G0 _{' Z}3. Se ζ ´e uma raiz c´ubica primitiva da unidade, podemos ent˜ao montar a

primeira parte da tabela de caracteres de G:

G 1 x x3 y y2 χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 1 1 ζ ζ2 χ3 1 1 1 ζ2 ζ χ4 3 a c e g χ5 3 b d f h

4.3 O Teorema Principal 65 dos caracteres: _|G|1 P5 r=1χr(gj)χr(gi) = δij |Ci|. Assim, 1 + ζζ + ζ2ζ2_{+ ee + f f = 1 + ζζ}2_{+ ζ}2_{ζ + ee + f f = 3 + ee + f f = 3,} donde ee + f f = 0,

o que implica que e = f = 0. Da mesma forma, g = h = 0 e obtemos mais uma parte da tabela: G 1 x x3 _{y y}2 χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 1 1 ζ ζ2 χ3 1 1 1 ζ2 ζ χ4 3 a c 0 0 χ5 3 b d 0 0

Pela proposi¸c˜ao 1.4.11 sabemos que, sendo G um grupo de ordem ´ımpar, devemos ter χi 6= χi, ∀i 6= 1, e al´em disso, ∀i 6= 1, aparece na i-´esima linha da tabela de caracteres

de G, um complexo α ∈ C tal que α /∈ R. Devemos ter ent˜ao χ5 = χ4 e podemos ent˜ao

supor a ∈ C\R, b = a.

Usando novamente a rela¸c˜ao de ortogonalidade, temos:

3 + aa + bb = 3 + 2aa = 7 ⇒ aa = 2

e

3 + 3a + 3b = 3 + 3a + 3a = 0 ⇒ a + a = −1. Se a = z + iw, segue ent˜ao que:

a + a = (z + iw) + (z − iw) = −1 ⇒ z = −1/2 e aa = z2− w2 _{= 2 ⇒ w = ±} √ −7 2 . Portanto, a = −1₂ +i √ 7 2 , b = − 1 2 − i√7

G

1

x

x

3

y

y

2

χ

1

1

1

1

1

1

χ

2

1

1

1

ζ

ζ

2

χ

3

1

1

1

ζ

2

ζ

χ

4

3 −

1₂

+

i √ 7 2

−

1 2

−

i√7 2

0

0

χ

5

3 −

1₂

−

i √ 7 2

−

1 2

+

i√7 2

0

0

Assim, conclu´ımos que:

Q(χ1) ' Q, Q(χ2) ' Q(χ3) ' Q(ζ), Q(χ4) ' Q(χ5) ' Q(i

√ 7),

ou seja, Q(χi) ´e isomorfo a Q ou a um corpo imagin´ario quadr´atico e, portanto, segue do

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No documento Uma Caracterização das Unidades Centrais Triviais em Anéis de Grupos sobre os Inteiros (páginas 66-76)