Organização das Unidades Curriculares

Mapa IX - Álgebra Linear e Geometria Analítica C / Linear Algebra and Analytic Geometry C 6.2.1.1. Unidade curricular:

Álgebra Lineare Geometria Analítica C /LinearAlgebra and Analytic Geometry C

6.2.1.2. Docente responsável e respectivas horas de contacto na unidade curricular (preencher o nome completo): Maria Cecília Perdigão Dias da Silva (Responsávele Regente):T -42H;P -56H

6.2.1.3. Outros docentes e respectivas horas de contacto na unidade curricular: Carlos ManuelSaiago:P – 84H

IsabelMaria da Silva CabralInglês Esquivel:P – 140H Reinhard Kahle:T -84H

Carolina Fernandes Nogueira da Costa:P – 28H

6.2.1.3. Other academic staff and lecturing load in the curricular unit: Carlos ManuelSaiago:P – 84H

IsabelMaria da Silva CabralInglês Esquivel:P – 140H Reinhard Kahle:T -84H

Carolina Fernandes Nogueira da Costa:P – 28H

6.2.1.4. Objectivos de aprendizagem (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes): No finaldesta unidade curricularé esperado que os estudantes consigam:

•Operarcom matrizes,calculara inversa de uma matriz.

•Resolvere analisarum sistema de equações aplicando o conhecimento matricialdiscutindo a sua possibilidade de solução.

•Calcularo valordo determinante de uma matriz.

•Identificarvectores linearmente independentes,geradores e bases de um dado espaço vectorial. •Determinara intersecção e a soma de dois subespaços.

•Reconheceraplicações lineares identificando o seu núcleo e imagem. •Construira matriz de uma aplicação lineare matrizes de mudança de base. •Calcularvalores e vectores próprios de matrizes e de endomorfismos. •Identificarmatrizes diagonalizáveis.

•Calcularo produto interno externo e misto de vectores.

•Calculardistâncias e ângulos envolvendo pontos,rectas e planos.

•Determinara posição relativa entre pontos,rectas e planos recorrendo ao conhecimento de análise sobre sistemas de equações.

6.2.1.4. Learning outcomes of the curricular unit:

Atthe end ofthis course is expected thatstudents be able to: •Operate with matrices;compute the inverse ofa matrix.

•Solve and analyze a system ofequations by applying the matrix knowledge discussing the possibility oftheir solution.

•Calculate the value ofthe determinantofa matrix.

•Identify vectors linearly independent,generators and basis ofa given vectorspace. •Determine the intersection and the sum oftwo subspaces.

•Recognize linearmaps and identify its kerneland its range. •Building a linearmap matrix and a change ofbasis matrix.

•Compute eigenvalues and eigenvectors ofa matrix and ofan endomorphism. •Identify diagonalizable matrices.

•Calculate the dotand the cross productofvectors.

•Calculate distances and angles involving points,lines and planes.

•Determine the relative position between points,lines and planes using the knowledge ofanalysis ofsystems of equations.

6.2.1.5. Conteúdos programáticos:

Matrizes,Sistemas de Equações Lineares,Determinantes,Espaços Vectoriais,Aplicações Lineares,Valores e Vectores Próprios,Produto Interno,Externo e Misto,Geometria Analítica.

6.2.1.5. Syllabus:

and eigenvalues,Innerproductand vectorproduct.Analytic geometry.

6.2.1.6. Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objectivos da unidade curricular.

O programa consta de conceitos básicos de Álgebra Lineare Geometria Analítica.São estudados os teoremas mais importantes do cálculo matricial,espaços vectoriais e aplicações lineares bem como vectores e valores próprios.

São ainda explorados os conceitos de produto interno e externo para vectores de R3.

No que diz respeito à Geometria Analítica são estudadas as representações analíticas da recta e do plano,as suas posições relativas e são explorados os problemas métricos de distâncias e ângulos,em R2 e em R3. 6.2.1.6. Demonstration of the syllabus coherence with the curricular unit's objectives.

The program consists on basic concepts ofLinearAlgebra and Analytic Geometry.The main theorems ofmatrix theory,vectorspaces,lineartransformations and eigenvalues and eigenvectors are studied,including

applications.

Furthermore the dotproductand cross productconcepts in R3 are explored.

Analytic representation ofthe straightline and the plane,theirrelative positions and some problems of distances and angles are studied,in R2 and R3.

6.2.1.7. Metodologias de ensino (avaliação incluída):

As aulas teóricas consistem na exposição da matéria,que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas.

Quaisquerdúvidas são esclarecidas no decorrerdas aulas,nas sessões semanais destinadas ao atendimento dos alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Realizam-se dois testes durante o semestre,que dispensam de exame em caso de média positiva.Se não dispensou,o aluno deve apresentar-se a exame.

6.2.1.7. Teaching methodologies (including evaluation):

Theoreticalclasses consistin a theoreticalexposition illustrated by application examples.

Practicalclasses consistin the resolution ofapplication exercises forthe methods and results presented in the theoreticalclasses.

Students can ask questions during the classes,in weekly scheduled sessions orin specialsessions accorded directly with the professor.

There are two mid-term tests thatcan substitute the finalexam in case ofapproval.Otherwise the studentmust obtain approvalin the finalexam.

6.2.1.8. Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objectivos de aprendizagem da unidade curricular.

Nas aulas teóricas procede-se à exposição da matéria,ilustrada com exemplos.Em geral,os resultados são explicados e exemplificados,sem demonstração formal.No entanto,são feitas algumas demonstrações, especialmente quando estas são úteis para a melhorcompreensão da matéria.

Para obteraprovação,o aluno deve assistira,pelo menos,dois terços das aulas práticas.Esta prática tem-se revelado útil,especialmente para os alunos de primeira inscrição na Universidade,impedindo a abstenção às aulas e respectivas consequências.

6.2.1.8. Demonstration of the coherence between the teaching methodologies and the learning outcomes.

In theoreticalclasses matters are explained and illustrated with examples.In general,results are explained and exemplified,withouta formalproof.Nevertheless,some proofs are given,especially when they are usefulto understanding the matter.

In orderto succeed the studentmustattend,atleast,two thirds ofthe classes.Such practice has revealed to be useful,mainly to the firstyearstudents.

6.2.1.9. Bibliografia principal:

ISABEL CABRAL,CECÍLIA PERDIGÃO,CARLOS SAIAGO,Álgebra Linear,EscolarEditora,2010 (2ªEdição Revista e Actualizada)

T.S.BLYTH e E.F.ROBERTSON,Essentialstudentalgebra.Volume two:Matrices and VectorSpaces,Chapman and Hall,1986.

T.S.BLYTH e E.F.ROBERTSON,Basic LinearAlgebra (Springerundergraduate mathematics series),Springer, 1998.S.J.LEON,LinearAlgebra with Applications,6th Edition,Prentice Hall,2002.

J.V.DE CARVALHO,Apontamentos da disciplina de Álgebra Lineare Geometria Analítica,Departamento de Matemática,Universidade Nova de Lisboa (ano lectivo 2000/2001)

Mapa IX - Análise Matemática I C / Mathematical Analysis I C 6.2.1.1. Unidade curricular:

Análise Matemática IC /MathematicalAnalysis IC

6.2.1.2. Docente responsável e respectivas horas de contacto na unidade curricular (preencher o nome completo): Bento José Carrilho Miguens Louro (apenas responsável,não tem horas de contacto)

6.2.1.3. Outros docentes e respectivas horas de contacto na unidade curricular: Ana Luísa da Graça Batista Custódio (Regente):T -84H;P -42H;OT -21H Graça Maria Marques da Silva Gonçalves:P – 84H

João Nuno Gonçalves Faria Martins:T -84H

Maria IsabelAzevedo Rodrigues Gomes:P – 42H;OT -21H Maria Paula da Costa Couto:P – 126H;OT -21H

Teresa Maria Jerónimo Sousa:P – 126H;OT -21H Bruno ManuelAscenso da Silva Simões:P – 84H Rita Alexandra Gonçalves Ferreira:P – 126H;OT -21H Repetição (2.ºsemestre)

Ana Luísa da Graça Batista Custódio (Regente):T -84H Teresa Maria Jerónimo Sousa:P – 42H;OT -21H Bruno ManuelAscenso da Silva Simões:P – 126H Rita Alexandra Gonçalves Ferreira:P – 126H;OT -21H

6.2.1.3. Other academic staff and lecturing load in the curricular unit:

Ana Luísa da Graça Batista Custódio (Regente):T -84H;P -42H;OT -21H Graça Maria Marques da Silva Gonçalves:P – 84H

João Nuno Gonçalves Faria Martins:T -84H

Maria IsabelAzevedo Rodrigues Gomes:P – 42H;OT -21H Maria Paula da Costa Couto:P – 126H;OT -21H

Teresa Maria Jerónimo Sousa:P – 126H;OT -21H Bruno ManuelAscenso da Silva Simões:P – 84H Rita Alexandra Gonçalves Ferreira:P – 126H;OT -21H Repetição (2.ºsemestre)

Ana Luísa da Graça Batista Custódio (Regente):T -84H Teresa Maria Jerónimo Sousa:P – 42H;OT -21H Bruno ManuelAscenso da Silva Simões:P – 126H Rita Alexandra Gonçalves Ferreira:P – 126H;OT -21H

6.2.1.4. Objectivos de aprendizagem (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes): No finaldesta unidade curricularo estudante terá adquirido conhecimentos,aptidões e competências que lhe permitam:

-Trabalharcom noções elementares de topologia na recta real(vizinhança,aberto,fechado,etc.); -Fazerpequenas demonstrações porindução;

-Compreendera noção rigorosa de limite (de sucessões,de funções de variávelreal)e calcularlimites. -Compreendera noção rigorosa de continuidade de funções de variávelreale respectivos resultados fundamentais.

-Conhecera noção de diferenciabilidade,os teoremas de Rolle,Lagrange e Cauchy e aplicações ao cálculo de limites;

-Conhecero desenvolvimento de Taylore aplicações ao estudo de funções; -Conhecera noção de primitiva e respectivas técnicas de cálculo;

-Conhecera noção de integralde Riemann,respectivas técnicas de cálculo e algumas aplicações; -Sercapaz de estudara convergência de integrais impróprios.

6.2.1.4. Learning outcomes of the curricular unit:

Atthe end ofthis course the studentmusthave acquired knowledge,skills and powers to: -Work with elementary notions oftopology on the realline (neighborhood,open,closed,etc.). -Make smallproves by induction;

-Understand the conceptand definition oflimit(sequences,functions ofrealvariable)and calculate limits. -Understand the definition ofcontinuity offunctions ofone realvariable and the fundamentalresults.

-Understand the notion ofdifferentiability,the theorems ofRolle,Lagrange and Cauchy and theirapplications to the calculation oflimits;

-Understand the Taylordevelopmentand its applications to the study offunctions; -Understand the notion ofindefinite integraland perform calculations;

-Understand the notion ofRiemann integral,the techniques ofcalculation and some applications; -Be able to study the convergence ofimproperintegrals.

6.2.1.5. Conteúdos programáticos:

1.Topologia -Indução Matemática – Sucessões:Topologia elementarda recta real.Relação de ordem na recta real.Princípio de indução matemática.Generalidades sobre sucessões.Noção de convergência de uma sucessão e propriedades do cálculo de limites.Subsucessões.Teorema de Bolzano-Weierstrass. 2.Limites e Continuidade:Limite segundo Cauchy e Heine.Propriedades de cálculo.Continuidade de uma função num ponto.Propriedades das funções contínuas.Teorema do valorintermédio.Teorema de Weierstrass.Continuidade e bijecções recíprocas.

3.Diferenciabilidade:Generalidades.Teoremas fundamentais:Rolle,Lagrange e Cauchy.Cálculo prático de limites.Desenvolvimento de Taylore aplicações.

4.Primitivação:Introdução.Primitivação porpartes.Primitivação porsubstituição.Primitivação de funções racionais.

5.Integração de Riemann:Introdução.Teoremas fundamentais.Integração porpartes e integração por substituição.Aplicações diversas.Integrais impróprios.

6.2.1.5. Syllabus:

1.Topology -MathematicalInduction – Sequences:Basic topology ofthe realnumbers.Orderrelation.

Mathematicalinduction.Generalities aboutsequences.Convergence ofa sequence and properties forcalculus oflimits.Subsequences.Bolzano-Weierstrass theorem.

2.Limits and Continuity:Convergence according to Cauchy and Heine.Calculus properties.Continuity ofa function ata given point.Properties ofcontinuous functions.Bolzano theorem.Weierstrass theorem.Continuity and reciprocalbijections.

3.Differentiability:Generalities.Fundamentaltheorems:Rolle,Lagrange and Cauchy.Calculus techniques for limits.Taylorformula and applications.

4.Indefinite Integration:Introduction.Indefinite integration by parts.Indefinite integration by substitution. Indefinite integration ofrationalfunctions.

5.Riemann Integration:Introduction.Fundamentaltheorems.Definite integration by parts and by substitution. Some applications.Improperintegration.

6.2.1.6. Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objectivos da unidade curricular.

O capítulo 1 é dedicado às noções topológicas,indução matemática e sucessões de números reais.Cobrem-se, assim os dois primeiros objectivos enunciados e parte do terceiro.

O capítulo 2 é dedicado aos limites e continuidade de funções reais de variávelreal,cobrindo parte do terceiro objectivo e o quarto.

O capítulo 3 é dedicado ao estudo do cálculo diferencialde funções reais de variávelreale resultados

fundamentais,cobrindo o quinto objectivo.O estudo da fórmula de Taylore aplicações cobre o sexto objectivo. O capítulo 4 é dedicado ao estudo das primitivas e respectivas técnicas de cálculo,cobrindo o sétimo objectivo. O capítulo 5 é dedicado ao estudo do integralde Riemann e dos integrais impróprios,cobrindo os oitavo e nono objectivos.

6.2.1.6. Demonstration of the syllabus coherence with the curricular unit's objectives.

Chapter1 is devoted to topologicalnotions,mathematicalinduction and sequences ofrealnumbers.Itcovers the firsttwo objectives and partofthe third.

Chapter2 is devoted to the study oflimits and continuity ofrealfunctions ofone realvariable,covering partof the third and the fourth objective.

Chapter3 is devoted to the study ofdifferentialcalculus ofrealfunctions ofone realvariable and main results, covering the fifth objective.The study ofTaylorformula and its applications covers the sixth objective.

Chapter4 is devoted to the study ofindefinite integrals and theircalculation techniques,covering the seventh objective.

objectives.

6.2.1.7. Metodologias de ensino (avaliação incluída):

As aulas teóricas consistem na exposição da matéria,que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas.

Quaisquerdúvidas são esclarecidas no decorrerdas aulas,nas sessões semanais destinadas ao atendimento dos alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

O estudante deve assistira todas aulas práticas,com possívelexcepção de três.