Percola¸c˜ ao Invasiva em L 2

∞ toque algum aglomerado p-aberto infinito, Cp,

pela primeira vez no (n+1)-´esimo passo de invas˜ao, ou seja, os elos e1, e2, ..., en

não encontraram vértices de aglomerados p-abertos infinitos e no instante em que o processo invadir o elo en+1, um vértice final de en+1tocará algum vértice

y de Cp. Denote agora os elos que não estão em Inx mas que são adjacentes

com algum elo de Ix

n por ∂Inx. Como o elo a ser escolhido no passo (n+1) ´e

en+1, temos que

τ (n + 1) ≤ τe, para todo e ∈ ∂Inx.

Por outro lado, como en+1 ∈ C/ p, temos necessariamente que

τ (n + 1) ≥ p, e das duas rela¸c˜oes acima

τ (j) ≥ p, para todo ej ∈ ∂Inx\{en+1}

Observe agora que podemos escrever o conjunto ∂Ix

n+1 como a uni˜ao de trˆes

subconjuntos disjuntos. O primeiro subconjunto é formado por elos que já estavam em ∂I_nx, o segundo é formado por elos que são adjacentes com o s´ıtio y e que não estão em Cp e o terceiro é constitu´ıdo por elos adjacentes

a y e que s˜ao p-abertos. Portanto, como todo elo de Cp ´e p-aberto, I∞x

invadir´a no passo (n+2) um elo da forma hy, zi que est´a em Cp. Mas como

Cp ´e infinito e ∂In+1x \Cp possui exclusivamente elos p-fechados, I∞x passar´a a

invadir somente elos p-abertos ap´os o passo (n + 2).

3.2 Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}

Considere o grafo L2 _{e seja LR(l) o evento em que existe um cruzamento}

aberto da esquerda para a direita na caixa

28 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva

Figura 3.1: O processo de invasão encontra um aglomerado p-aberto infinito no (n + 1)-ésimo passo. Os elos representados por linhas cont´ınuas estão no conjunto I_n0; os elos representados por linhas tracejadas estão no conjunto ∂I0

Figura 3.2: Uma representa¸c˜ao para o evento LR(3l, l).

ou seja, um caminho aberto que conecta o lado esquerdo da caixa R(l) ao seu lado direito. Seja tamb´em LR(kl, l) o evento em que existe um cruzamento aberto da esquerda para a direita na caixa R(kl, l) = [−l, (2k − 1)l] × [−l, l]. Por fim, consideraremos A(l) como o anel R(3l)\R(l) e O(l) como sendo o evento em que existe um circuito aberto no anel A(l) contendo a origem em seu interior (ver Figura 3.3). Lembrando que em L2 temos pc= 1₂, enunciemos

a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 3.2.1 ([3], se¸cão 11.7). Para qualquer número natural l temos que P1 2(LR(l)) ∈ [ 1 4, 3 4].

3.2. Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}2 29

Figura 3.3: Um circuito aberto no anel A(l) = R(3l)\R(l) e que cont´em a origem em seu interior.

há uma probabilidade significativa de existir um cruzamento aberto na caixa R(l), então há também uma probabilidade significativa de existir um circuito aberto em volta da origem no anel A(l).

Teorema 3.2.2 (Teorema de Russo-Seymour-Welsh (RSW),em [3], Teorema 11.70). Se Pp(LR(l)) = τ , ent˜ao

Pp(O(l)) ≥ {τ (1 −

√

1 − τ )4}12_.

Com os dois resultados acima em mãos, segue a essência que fundamen- tará o principal teorema dessa se¸cão:

Corol´ario 3.2.3. Para todo natural l, existe δ > 0 que n˜ao depende de l tal que,

30 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva Portanto, como P1

2(O(l)) ´e uniformemente limitado em l por uma constante

positiva, segue do Lema de Borel-Cantelli o seguinte resultado:

Corol´ario 3.2.4. Para todo p ≥ pc(L2) = 1₂, a origem ´e circundada por

infinitos circuitos p-abertos com probabilidade Pp igual a 1. Particurlamente,

como θ(1₂) = 0, a origem ´e circundada por infinitos circuitos abertos disjuntos P1

2-q.c.

Todas as ferramentas desenvolvidas até aqui foram apresentadas para nos auxiliar a responder sobre quais condi¸cões a região invadida Ix

∞ intercepta

algum aglomerado p-aberto infinito. Estamos prontos para lidar com esse problema em L2_.

Teorema 3.2.5. Considere a origem de L2 _{e sua regi˜}_{ao invadida I}0

∞. Ent˜ao,

para qualquer p > pc, I∞0 intercepta algum aglomerado p-aberto infinito quase

certamente.

Demonstra¸c˜ao. Fixe algum p > pc. Ent˜ao, existe com probabilidade Pp

igual a 1 um ´unico aglomerado Cp p-aberto infinito (ver [3], Teorema 8.1).

Por outro lado, o Corol´ario 3.2.4 afirma que existem infinitos circuitos p- abertos ao redor da origem. Logo,

P(algum circuito p-aberto ao redor da origem intercepta Cp) = 1. (3.1)

Mas se γ ´e um circuito p-aberto que intercepta Cp, ent˜ao γ ⊂ Cp. Por fim,

como I0

∞ ´e uma subgrafo conexo infinito, I∞0 intercepta qualquer circuito p-

aberto que circunda a origem, particularmente γ, ou seja, I0

∞ intercepta Cp,

ou seja, o evento {algum circuito p-aberto ao redor da origem intercepta Cp}

est´a contido no evento {I0

∞ intercepta algum aglomerado p-aberto infinito}.

Assim, da rela¸c˜ao (3.1),

P(I∞0 intercepta algum aglomerado p-aberto infinito) = 1.

O grafo L2_´_{e transitivo e, portanto, o resultado acima n˜}_{ao ´}_{e v´}_{alido somente}

3.2. Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}2 31 Corol´_{ario 3.2.6. Considere o grafo L}2_{. Sejam x ∈ Z}2 _{e I}x

∞ a regi˜ao invadida

de x. Ent˜ao, para qualquer p > pc, I∞x intercepta o aglomerado p-aberto

infinito P-q.c.

Relembre agora que τ (n) denota o valor do n-ésimo elo invadido. O Teorema 3.1.1 e o Corolário 3.2.6 acima afirmam que se p > pc então, Pp-q.c,

existe um n´umero natural n0 suficientemente grande, tal que

τ (n) ≤ p, para todo n ≥ n0, (3.2)

ou seja, o conjunto {τe; e ∈ I∞0 } ´e limitado superiormente. Na verdade, vale

algo muito mais forte do que isso.

Teorema 3.2.7. Em L2, as rela¸c˜oes abaixo s˜ao equivalentes:

(i) I_∞0 intercepta o aglomerado p-aberto infinito quase certamente para qualquer p > pc;

(ii) lim sup_n→∞τ (n) = pc quase certamente.

Demonstra¸cão. Primeiro vamos mostrar que (i) implica (ii). Vejamos: Dado > 0 pequeno, temos por hipótese e da rela¸cão (3.2) que existe um número natural n0() tal que,

τ (n) ≤ pc+ , para todo n ≥ n0(),

consequentemente,

lim sup

n→∞

τ (n) ≤ pc+ , (3.3)

e como a rela¸cão acima é válida para todo > 0, temos que lim sup

n→∞

τ (n) ≤ pc. (3.4)

Por outro lado, caso fosse

lim sup

n→∞

32 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva ent˜ao, para qualquer p ∈ (˜p, pc) existiria um n1 suficientemente grande tal

que,

τ (n) < p, para todo n ≥ n1,

ou seja, existiria um aglomerado p-aberto infinito com p < pc. Como isso

ocorre com probabilidade zero, lim sup

n→∞

τ (n) ≥ pc, P-q.c. (3.5)

Portanto, das rela¸c˜oes (3.4) e (3.5), temos que, quase certamente,

lim sup

n→∞

τ (n) = pc.

Agora, vamos assumir que (ii) ´e verdade para provarmos (i). Vejamos: se pc= lim supn→∞τ (n), ent˜ao dado p ∈ (pc, 1), existe n0(p) suficientemente

grande tal que,

τ (n) ≤ p, para todo n ≥ n0(p),

e portanto, a partir do n0(p)-´esimo elo invadido, I∞0 \In00(p)−1 est´a contido em

algum aglomerado p-aberto infinito. Como isso ´e v´alido para todo p > pc e

como para cada parâmetro p da fase supercr´ıtica existe e é único o aglomerado p-aberto infinito, temos que, quase certamente, I0

∞ intercepta o aglomerado

p-aberto infinito para qualquer p > pc.

Note que os Teoremas 3.2.5 e 3.2.7 afirmam que P − q.c., lim sup

n→∞

τ (n) = pc (3.6)

Considerando ainda a região invadida I_∞0 , sabemos que não pode ser τ (n) < pc(repare que isso é mais forte do que afirmar que lim supn→∞τ (n) ≤

pc) para todo natural n, pois se fosse, a origem pertenceria a um aglomerado

pc-aberto infinito, o que ocorre com probabilidade zero. Logo, quase cer-

3.3. Percola¸c˜ao Invasiva em Grafos Transitivos 33

No documento Processos de Crescimento com Obstáculos Paralisantes (páginas 37-43)

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Percola¸c˜ao Invasiva em L

Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}