Na dinˆamica descrita na primeira se¸c˜ao, todos os elos do grafo G eram considerados fechados no in´ıcio do processo. Se pelo menos um dos s´ıtios, v ou w, do elo e = hv, wi fosse verde ou se tornasse verde em algum momento, ent˜ao o elo e come¸cava a ficar aberto com taxa 1. Queremos dizer com isso que para cada elo e = hv, wi de G ser´a atribu´ıda uma vari´avel aleat´oria τe, independentemente dos outros elos e das cores iniciais dos s´ıtios, com
distribui¸c˜ao exponencial de m´edia 1. Informalmente, τe ´e uma esp´ecie de
cronˆometro interno do elo e: o cronˆometro ´e ativado quando um dos s´ıtios adjacentes a e ´e verde e permanecer´a ligado enquanto ainda tiver um s´ıtio adjacente verde; caso o cronˆometro atinja o valor τe, o elo ser´a aberto e o que
ocorrer´a em seguida depender´a das cores de v e w. Portanto, se G = (V, E) for finito e se conhecermos as cores iniciais dos s´ıtios de G e os valores das vari´aveis {τe}e∈E, ent˜ao poderemos descrever inteiramente a dinˆamica do
processo da forma que se segue: cada elo e permance fechado at´e o instante de tempo t descrito pelo conjunto,
Lt(e) = {s < t; o elo e possui pelo menos um s´ıtio verde no tempo s}.
(4.2) Se tal instante de tempo t n˜ao existe, e permanece sempre fechado. Isso sempre ocorrer´a, por exemplo, se um elo e possuir as duas extremidades vermelhas. Observe agora que Lt(e) ou ser´a um ´unico intervalo ou ser´a a
uni˜ao de dois intervalos. Se, por exemplo, no instante inicial e possui como s´ıtios finais w vermelho e v verde e a primeira a¸c˜ao a ser observada em e ´e
4.3. Regi˜oes Autˆonomas 45 sua abertura, ent˜ao v se tornaria vermelho e Lt(e), nesse caso, seria um ´unico
intervalo. Mas poderia ocorrer de w ser inicialmente branco e o s´ıtio v tornar- se vermelho antes de e se abrir. Portanto, nesse momento e n˜ao possu´ıria s´ıtios verdes adjacentes e consequentemente teria sua abertura interrompida. Mas ap´os um tempo w poderia se tornar verde. Dessa forma, e come¸caria novamente a ficar aberto. Como um s´ıtio verde s´o pode mudar de cor uma ´
unica vez, no final ou o elo e teria sua abertura interrompida ou se abriria e assim, nesse caso, Lt(e) seria uma uni˜ao disjunta de dois intervalos. Enfim,
o comportamento de cada elo e ´e dado pelo conjunto Lt(e) e caso e chegue
a ficar aberto a mudan¸ca de cores que ocorre em seus s´ıtios adjacentes se d´a como descrito na se¸c˜ao anterior.
Com essa nova roupagem e denotando a partir de agora a cor de um s´ıtio v por c(v), explicitaremos os espa¸cos de probabilidade que ser˜ao considerados no estudo do modelo descrito na Se¸c˜ao 4.1. Seja G = (V, E) um grafo. Naturalmente, o espa¸co das configura¸c˜oes do modelo descrito na primeira se¸c˜ao desse cap´ıtulo para o grafo G ser´a tomado como sendo
(R+)E × {verde, branco, vermelho}V.
A σ-´algebra ser´a a gerada pelos eventos cil´ındricos.
Cada elo tem, independentemente dos outros elos, um tempo de abertura τe que possui distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro 1. Assim, para cada
vari´avel aleat´oria τe ser´a associada uma medida µe tal que
µe(τe ≤ t) = 1 − exp(−t), ∀t ≥ 0.
Por outro lado, para cada s´ıtio v ser´a associada uma medida ηv tal que
ηv(c(v) = vermelho) = pr, ηv(c(v) = verde) = pg, ηv(c(v) = branco) = pw,
em que pg, pr, pw > 0 e pg+ pr+ pw = 1. E assim, a medida de probabilidade
46 Cap´ıtulo 4. Processos de Crescimento P = Y e∈E µe× Y v∈V ηe.
Portanto, quando no Teorema 4.2.1 dizemos que algum evento ocorrer´a com probabilidade 1, nos refer´ıamos a medida P definida acima. Em alguns casos, ser´a necess´ario utilizarmos o modelo de percola¸c˜ao de elos de Bernoulli com parˆametro p. Quando esse for o caso, a nota¸c˜ao a ser utilizada ser´a a mesma desenvolvida no Cap´ıtulo 1.
Exemplo 4.3.1. Considere o grafo G = (V, E) tal que V = {1, 2, 3}, E = {h1, 2i, h2, 3i}. Suponha que as cores iniciais de 1, 2, 3 sejam, respectiva- mente, vermelha, verde e vermelha e que τh1,2i = 4 = τh2,3i. Portanto, da
dinˆamica do processo, no instante de tempo 4, os dois elos dos grafo G se abririam e os v´ertices 1 e 3 seriam respons´aveis por tornarem o v´ertice 2 ver- melho, ou seja, nesse caso n˜ao existiria um ´unico s´ıtio vermelho respons´avel por deixar 2 paralisado. Isso n˜ao seria um problema?
Isso de fato n˜ao seria interessante, mas observe que esse problema est´a contido em um evento que ocorre com probabilidade zero. Como as vari´aveis τh1,2i e τh2,3i possuem distribui¸c˜ao exponencial, elas particularmente s˜ao va-
ri´aveis aleat´orias cont´ınuas. Consequentemente, τh1,2i e τh2,3i n˜ao assumem
o mesmo valor quase certamente.
Exemplo 4.3.2. Seja G = (V, E) um grafo finito tal que V = {1, 2, 3, 4, 5} e E = {h1, 2i, h2, 3i, h3, 4i, h4, 5i}. Considere que as cores iniciais dos s´ıtios 1, 2, 3, 4, 5 s˜ao, respectivamente, vermelho, verde, branco, verde e vermelho e que os tempos de abertura dos elos e1 = h1, 2i, e2 = h2, 3i, e3 = h3, 4i e
e4 = h4, 5i s˜ao, respectivamente, 6, 3, 4 e 2.
Como todos os elos possuem pelo menos um s´ıtio verde, assim que o processo se inicia, e1, e2, e3 e e4 come¸cam a ficar abertos. At´e imediatamente
antes de t = 2, nada acontece, j´a que todos os tempos de abertura s˜ao maiores ou iguais a 2. No instante de tempo t = 2, o elo e4 se abre e imediamente
ap´os sua abertura o s´ıtio 4 torna-se vermelho em raz˜ao do s´ıtio 5. Portanto, neste exato instante, o elo e3 n˜ao possui mais s´ıtios adjacentes verdes e por
4.3. Regi˜oes Autˆonomas 47
Figura 4.1: Grafo do Exemplo 4.3.2
3, inicialmente branco, transforme-se em um s´ıtio verde em algum tempo t posterior, e3 recome¸car´a a ficar aberto a partir de t. A diferen¸ca que se
deve notar agora ´e que como o processo de abertura de e3 j´a tinha tomado
2 unidades de tempo, e3 s´o precisar´a a partir de t de mais 2 unidades de
tempo para ficar aberto, pois seu tempo inicial de abertura era τe3 = 4. No
instante t = 3, o elo e2 se abre e por isso o aglomerado verde do s´ıtio 2 cresce
incorporando o s´ıtio 3. Logo, neste instante, e3 recome¸ca a ficar aberto.
Portanto, como s´o restavam 2 unidades de tempo para e3 abrir-se (e em
t = 3 ainda restam 3 unidades de tempo para e1 abrir-se), temos que em
t = 5 e3 abre-se e logo em seguida o aglomerado verde formado pelos s´ıtios
2 e 3 torna-se vermelho. Tamb´em neste instante, o elo e1 interrompe sua
abertura e da´ı em diante nada mais acontece em G. Resultado final: o s´ıtio 5 foi respons´avel por tornar os s´ıtios 2 e 3, que eram inicialmente verdes, em s´ıtios vermelhos. Al´em disso, na nota¸c˜ao do Teorema 4.2.1, temos que Cg(2) = {2, 3} e Cg(4) = {4}. Por fim, seguindo a rela¸c˜ao (4.2), temos que
L2(e4) = [0, 2), L5(e3) = [0, 2) ∪ [3, 5), L5(e2) = [0, 5) e L5(e1) = [0, 5).
At´e agora s´o tratamos de grafos particularmente pequenos e para esses casos, como no exemplo acima, descrever a dinˆamica do processo n˜ao ´e t˜ao complicado. Mas se tivermos um grafo G relativamente grande mas finito, ser´a que conseguimos de alguma forma estudar a dinˆamica desse grande grafo
48 Cap´ıtulo 4. Processos de Crescimento olhando somente para subgrafos relativamente pequenos de G? Ou melhor, ´e necess´ario enxergar todo o processo que ocorre no grafo G para podermos saber o que acontece com o passar do tempo em um dado s´ıtio v? Felizmente, existir˜ao casos em que a resposta para essa ´ultima pergunta ´e negativa. Exemplo 4.3.3. Seja G = (V, E) um grafo qualquer e v um s´ıtio de G. Suponha que v seja incidente somente com os elos e1 = hv1, vi, e2 = hv2, vi
e e3 = hv3, vi. Suponha tamb´em que v seja inicialmente verde, que v1 seja
inicialmente vermelho e que os tempos de abertura dos elos satisfa¸cam a rela¸c˜ao: τe1 < τe2 < τe3. Dessa forma, sabemos que no intervalo [0, τe1), o
elo e1 ainda estar´a fechado e o s´ıtio v ainda ser´a verde. Mas em t = τe1, e1 se
abre e neste exato momento v1 ´e respons´avel por tornar v vermelho. Observe
que esse resultado obtido independe tanto das cores dos s´ıtios que est˜ao em V \{v, v1} quanto dos elos que est˜ao em E\{e1, e2, e3}, pois s´ıtios vermelhos
sempre ser˜ao vermelhos e ainda, por hip´otese, vale que τe1 < τe2 < τe3.
O exemplo acima e o par´agrafo que o precede nos motiva definir o que chamaremos, a partir de agora, de conjuntos autˆonomos. Mas, antes disso, precisaremos da seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 4.3.4. Sejam G = (V, E) um grafo e H = (V (H), E(H)) um subgrafo finito de G. A fronteira de H (denotada por ∂H) ´e o conjunto formado por elos de G que n˜ao est˜ao em H mas que possuem exatamente um s´ıtio final incidente em V (H).
Defini¸c˜ao 4.3.5. Sejam G = (V (G), E(G)) um grafo qualquer (finito ou infinito), H = (V (H), E(H)) um subgrafo finito de G e E um conjunto finito de elos que est´a contido na fronteira de H. Assuma que cada s´ıtio v de H j´a possua uma cor inicial c(v) e que cada elo e de E(H) ∪ E j´a possua seu tempo de abertura τe. Seja H = (V (H), E(H)) o subgrafo minimal de
G que cont´em H como subgrafo tal que E ⊂ E(H). Diremos que (H, E) ´e autˆonomo (com respeito as cores c(v) e aos tempos de abertura τe) se para
todo subgrafo finito G0 de G as rela¸c˜oes (1) e (2) abaixo est˜ao satisfeitas: