Processos de Crescimento com Obstáculos Paralisantes

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CI ˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

Processos de Crescimento com Obst´

aculos Paralisantes

Pedro Franklin Cardoso Silva

Orientador:

Bernardo Nunes Borges de Lima

Belo Horizonte - MG 2014

(2)

(3)

“Sempre chegamos ao s´ıtio aonde nos esperam.” A viagem do elefante, Jos´e Saramago.

(4)

(5)

Resumo

Considere um sistema que possui substâncias verdes, brancas e verme-lhas. As substâncias verdes são ativas, as vermelhas são paralisantes e as brancas são passivas. As substâncias verdes podem crescer e se juntar a outras substâncias verdes para formar os aglomerados verdes; as substˆ an-cias vermelhas são inativas enquanto isoladas, mas ao primeiro contato com algum aglomerado verde, a substância vermelha invade esse aglomerado pa-ralisando seu crescimento e tornando em seguida todas as suas substâncias verdes em vermelhas. As part´ıculas brancas não crescem e em contato com alguma substância verde transfomam-se também em substâncias verdes. O principal objetivo dessa disserta¸cão é estudar esse modelo. Vamos discutir se o modelo descrito acima está bem definido e se podemos falar alguma coisa da distribui¸cão do tamanho dos aglomerados verdes. Será mostrado que se a densidade inicial das part´ıculas brancas for pequena e a das par-t´ıculas vermelhas for maior que zero, então o modelo estará bem definido e a distribui¸cão do tamanho dos aglomerados verdes possui decaimento ex-ponencial. Para tanto, vamos estudar o artigo Random spatial growth with paralyzing obstacles, escrito por J. van den Berg, Y. Peres, V. Sidoravicius e M. E. Vares.

(6)

(7)

Agradecimentos

A cada um que, à sua maneira, contribuiu para esse trabalho, deixo aqui minha gratidão: aos meus pais, Teresinha e Jaime, e minha irmã, Mariana, muito obrigado pelo eterno apoio; aos meus amigos Kênia Ribeiro, Pedro Daldegan, Sávio Ribas, Henrique Barreto, Marina Muniz, Lorena Oliveira, Gabriela Oliveira, Lilian Batista, Flaviana Mara, Mariana Avelar, Henrique Meckler, Rodrigo Ribeiro, Daniel Ungaretti, Alice Scarpa, Douglas Claiton e Heider Carlos, obrigado pelo companheirismo e pelos ensinamentos; ao professor Roger William obrigado por ter acompanhado e contribu´ıdo signifi-cativamente para a elabora¸cão deste texto; obrigado aos professores Bernardo Nunes e Leonardo Rolla por terem me ensinado tudo o que hoje sei sobre Probabilidade. Agrade¸co também a FAPEMIG por ter financiado meu ori-entador através do edital Programa Pesquisador Mineiro.

(8)

(9)

Sum´

ario

Resumo v Agradecimentos vii Introdu¸c˜ao 1 1 Primeiros Passos 3 1.1 Percola¸c˜ao . . . 4

2 O Princ´ıpio do Transporte de Massa 15 2.1 Medidas invariantes e diagonalmente invariantes . . . 15

2.2 O Princ´ıpio do Transporte de Massa . . . 19

2.3 Um simples exemplo . . . 20

3 Percola¸c˜ao Invasiva 25 3.1 O Processo . . . 26

3.2 Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}2 _{. . . .} ₂₇

3.3 Percola¸c˜ao Invasiva em Grafos Transitivos . . . 33

4 Processos de Crescimento 39 4.1 Definindo o Modelo . . . 40

4.2 Teorema Principal . . . 42

4.3 Regi˜oes Autˆonomas . . . 44

4.4 O Teorema 4.2.1 para o caso pw = 0 . . . 49

4.4.1 Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2.1 para o caso pw = 0. . . 55

4.4.2 Comparando dois processos . . . 62 ix

(10)

4.5 A demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2.1 para o caso pw > 0. . . 70

(11)

Introdu¸

c˜

ao

Seja G = (V, E) um grafo conexo e finito (ou infinito enumerável e local-mente finito). Suponha que cada vértice de G seja inicialmente, independen-temente dos outros vértices, verde, vermelho ou branco com probabilidades pg, pr ou pw respectivamente. Os vértices brancos são passivos: não crescem

e sempre que encontram um vértice verde deixam de ser brancos e passam a agir como vértices verdes. Os vértices verdes são ativos: podem se juntar a outros vértices verdes formando aglomerados verdes. Por fim, os vértices vermelhos são considerados paralisantes: sempre que um aglomerado verde encontra um vértice vermelho, seu crescimento é interrompido e todos os vértices verdes do aglomerado passam a agir como vértices vermelhos. Esse modelo conhecido por Processo de Crescimento com Obstáculos Paralisan-tes e inicialmente introduzido por van den Berg, Peres, Sidoravicius e Vares em [1] é o principal objeto de estudo dessa disserta¸cão. Esse estudo é feito inteiramente no Cap´ıtulo 4. Por sua vez, os três primeiros cap´ıtulos desse texto fornecem as ferramentas necessárias para o desenvolvimento do último cap´ıtulo.

No Cap´ıtulo 1 é feita uma breve exposi¸cão sobre percola¸cão. Alguns resul-tados dessa área são demonstrados enquanto outros são apenas mencionados. A referência fundamental para essa parte do texto é o livro Percolation de Grimmett ([3]). O modelo de percola¸cão consistirá a base dos Cap´ıtulos 3 e 4 e alguns dos teoremas apresentados nesse cap´ıtulo inicial serão requeridos em cap´ıtulos futuros (como o caso do teorema 1.1.6 utilizado no lema 3.1.10). O Cap´ıtulo 2 discute o princ´ıpio do transporte de massa, uma espécie de lei sobre conserva¸cão de energia. Além do mais, são apresentados dois tipos de grafos especiais: os grafos vértice transitivos e os grafos de Cayley.

(12)

O primeiro tipo é importante para a se¸cão 3.1.2, enquanto que o segundo é importante para o principal teorema a ser demonstrado nessa disserta¸cão. O principal resultado desse cap´ıtulo se baseia no princ´ıpio do transporte de massa para grupos enumeráveis apresentado por Lyons e Peres em [8].

O Cap´ıtulo 3 discute o processo de percola¸cão invasiva, processo intro-duzido por Wilkinson e Willemsen (ver [11]) e que será fundamental para a demonstra¸cão do Teorema 4.2.1. A Se¸cão 3.2 apresenta o processo para a rede hipercúbica em dimensão dois e o principal resultado dessa se¸cão é uma consequência do teorema de Russo-Seymour-Welsh (ver Se¸cão 11.7 em [3]). Detalhes adicionais sobre percola¸c˜_{ao invasiva em L}2 podem ser encontrados em [2]. Já a Se¸cão 3.3 estuda o processo em grafos transitivos e tem como referência um trabalho de Häggström, Peres e Schonmann (ver [5]).

Por fim, o cap´ıtulo 4 apresenta rigorosamente o processo de crescimento com obstáculos paralisantes. Estaremos particularmente interessados em sa-ber se o modelo está bem definido e se alguma coisa pode ser dita sobre a distribui¸cão do tamanho de um aglomerado verde imediatamente antes dele se tornar vermelho. O Teorema 4.2.1 lida com essas perguntas e sua de-monstra¸cão será feita em duas partes. A primeira parte, um caso particular, assume que o grafo G = (V, E) não possui vértices brancos. Já a segunda parte utiliza da constru¸cão de regiões autônomas desenvolvidas na primeira parte da demonstra¸cão para tratar dos casos em que pw > 0.

(13)

Cap´ıtulo 1

Primeiros Passos

Livros e artigos sobre percola¸cão costumam, em geral, abrir suas exposi¸cões com um clássico exemplo: pedra porosa imersa em um recipiente cheio de ´

agua. Justifica-se. O exemplo, por ser muito didático, ajuda o estudante que se inicia na área a familiarizar-se com o assunto. Suponha que uma grande pedra seja imersa em um recipiente com água. Essa pedra é constitu´ıda por pequenos poros e canais. Por fatores externos, por exemplo, alguns canais (ou poros) podem estar obstru´ıdos (fechados) e por isso não permitem a passagem da água. Já os canais restantes, aqueles desobstru´ıdos (abertos), permitem a passagem do fluido. Observe então que o estado de um canal, aberto ou fechado, pode ser visto como um evento aleatório, ou seja, poder´ıamos dizer que cada canal, independente dos demais, está aberto com probabilidade p e fechado com probabilidade 1 − p. Nasce da´ı nosso interesse: qual a probabilidade do fluido atingir o centro da pedra? Equivalentemente, existe um caminho de canais abertos conectando o centro do material poroso à sua superf´ıcie? Se a resposta for afirmativa, diremos que há percola¸cão. Na única se¸cão deste cap´ıtulo, formalizaremos esses conceitos e discutiremos alguns resultados essenciais para a compreensão dos próximos cap´ıtulos desse texto.

(14)

4 Cap´ıtulo 1. Primeiros Passos

1.1 Percola¸

c˜

ao

A pedra, os canais e os poros darão lugar a um grafo, elos e s´ıtios (também chamados de vértices) respectivamente. Um grafo G é um par ordenado (V, E), em que V é um conjunto enumerável de pontos, chamados s´ıtios, e E ⊂ V × V é um conjunto de pares não ordenados de s´ıtios, chamados elos. Se um elo e possuir como extremidade os s´ıtios x, y denotaremos e por hx, yi e diremos que os s´ıtios x e y são adjacentes. Elos que possuem um vértice em comum serão chamados de elos adjacentes.

Na introdu¸cão desse cap´ıtulo mencionamos nosso interesse na existência de determinados caminhos. Um caminho γ em um grafo G é um conjunto de elos {e1, e2, ..., en}, ej = hxj, xj+1i, tal que todos os s´ıtios xj, j = 1, 2, ..., n, n+

1 s˜ao distintos. Se x1 = xn+1, γ ser´a chamado um circuito. Se um caminho γ

possuir k elos, diremos que γ é um caminho de tamanho k (nota¸cão: |γ| = k). Dois s´ıtios x, y estão ligados se existir um caminho γ = {e1, e2, ..., en}, ej =

hxj, xj+1i tal que x = x1 e y = xn+1. A distˆancia d(x, y) em G entre dois

v´ertices x, y ´e definida por

d(x, y) := inf{|γ|; γ liga x a y}.

Se n˜ao existe um caminho que liga x a y, diremos que d(x, y) = ∞. Por fim, um grafo G ´e dito conexo se para quaisquer s´ıtios distintos x, y existir um caminho γ que liga x a y.

Definido nosso ambiente de trabalho, podemos introduzir o modelo de percola¸cão, e por isso queremos dizer que um espa¸co amostral, uma σ-álgebra e uma medida de probabilidade serão explicitados. Inicialmente, a cada elo e do grafo G será atribu´ıda, de maneira aleatória, a condi¸cão aberto ou fechado. Essa caracteriza¸cão será representada pelo espa¸co Ω = {0, 1}E_{. Os elementos}

ω ∈ Ω serão chamados de configura¸cões. Assim, uma confugura¸cão ω pode ser vista como um vetor com infinitas componentes que assumem valores 0 ou 1 em que cada uma dessas componentes é indexada por um elo e ∈ E do grafo G.

A σ-álgebra = a ser considerada será aquela gerada pelos eventos cil´ın-dricos, ou seja, os eventos que dependem somente de um número finito de

(15)

1.1. Percola¸c˜ao 5 elos.

O último passo será definir uma medidade de probabilidade em {Ω, =}. Dada uma configura¸cão ω ∈ Ω, o estado do elo e nessa configura¸cão será representado por ω(e): ω(e) = 1 indica que o elo e está aberto na confi-gura¸cão ω e ω(e) = 0 indica que o elo e está fechado em ω. Em seguida, consideremos uma fam´ılia {Xe; e ∈ E} de variáveis aleatórias independentes

e identicamente distribu´ıdas (i.i.d) que assumem somente os valores 0 e 1 e que possuem distribui¸cão comum de Bernoulli com parâmetro p ∈ [0, 1]. Nesse contexto, Xe = 1 indica que o elo e está aberto e Xe = 0 indica que

o elo e está fechado. Observe, então, que cada variável Xe é justamente a

proje¸c˜ao na coordenada e, ou seja, Xe(ω) = ω(e). Por fim, o parˆametro p

indicar´a a probabilidade de um elo e qualquer estar aberto ou fechado, em outras palavras, o elo e est´a aberto com probabilidade µe(ω(e) = 1) = p e

fechado com probabilidade µe(ω(e) = 0) = 1 − p. Naturalmente, definiremos

a probabilidade Pp no espa¸co {Ω, =} como sendo a medidade produto

Pp =

Y

e∈E

µe. (1.1)

O modelo acima descrito por {ΩE, =, Pp} recebe o nome de percola¸c˜ao

de elos de Bernoulli e foi o primeiro modelo de percola¸cão estudado. Nesse primeiro estudo, o modelo foi formulado considerando-se como grafo a rede hipercúbica de dimensão d.

A rede hipercúbica de dimensão d é um grafo infinito representado por Ld = (Zd, Ed), em que Zd = {x = (x1, x2, ..., xd); xj ∈ Z e j = 1, 2, ..., d} e

Ed _{= {(x, y) ∈ Z}d_{× Z}d; d(x, y) = 1}. A distância considerada aqui é aquela que provém da norma da soma,

d(x, y) =

d

X

j=1

|xj − yj|, em que x, y ∈ Zd. (1.2)

Agora que o modelo de percola¸cão de elos de Bernoulli foi definido, apre-sentaremos nas próximas linhas alguns dos resultados básicos dessa teoria. Em princ´ıpio, trabalharemos com um grafo genérico infinito (ficará claro que grafos finitos não serão de nosso interesse), mas em alguns momentos

(16)

recor-6 Cap´ıtulo 1. Primeiros Passos reremos a rede hiperc´ubica de dimens˜ao d. Assim, a partir de agora, sempre teremos em mente um grafo infinito G = (V, E) e o espa¸co de probabilidade {ΩE, =E, Pp}, como descrito acima, associado a esse grafo.

Dada uma configura¸c˜ao ω ∈ ΩE, um caminho γ em ω ser´a dito aberto se

todos os seus elos forem abertos. Dois s´ıtios x, y ∈ V estão conectados em ω se existe um caminho aberto γ que liga x e y e, nesse caso, representaremos essa situa¸cão pela nota¸cão x ←→ y. Assim, dados quaisquer x, y, z ∈ V e uma configura¸cão ω, temos que:

1. x ←→ x;

2. se x ←→ y, ent˜ao y ←→ x;

3. se x ←→ y e y ←→ z, ent˜ao x ←→ z.

Ou seja, em cada configura¸cão do espa¸co amostral a condi¸cão estar co-nectado define uma rela¸cão de equivalência. As classes de equivalência pro-venientes da rela¸cão ←→ serão chamadas de aglomerados. Assim, fixada uma configura¸cão ω e escolhido um s´ıtio x para representar sua classe, seu aglomerado nessa configura¸cão é o conjunto,

Cx(ω) = {y ∈ V ; x ←→ y em ω}

Em determinados grafos, um s´ıtio poderá ser chamado de origem e quando for esse o caso seu aglomerado será simplesmente representado por C. Ob-serve agora que, fixado um s´ıtio x, o volume (número de s´ıtios) dos aglome-rados definidos acima dão origem às seguintes variáveis aleatórias:

|Cx| : ΩE −→ R+

ω 7−→ |Cx(ω)|

E é justamente aqui que nasce nosso primeiro interesse: conhecer as pro-priedadades da distribui¸cão dos aglomeradoss formados e, principalmente, investigar se aglomerados infinitos podem ocorrer com probabilidade posi-tiva. Nesse contexto, diremos que há percola¸cão em uma configura¸cão ω se

(17)

1.1. Percola¸cão 7 essa configura¸cão possuir um aglomerado infinito. Analogamente, diremos que um s´ıtio x percola na configura¸cão ω se seu aglomerado for infinito.

Probabilistas apresentam certo fasc´ınio por leis do tipo 0−1, ou seja, aque-las leis que afirmam que um dado evento possui ou probabilidade zero ou pro-babilidade um. O primeiro resultado que discutiremos sobre o modelo de per-cola¸cão de elos de Bernoulli de parâmetro p será, pois, uma lei 0−1. Para isso, consideraremos o evento χ = {ω ∈ ΩE; há percola¸cão em ω}. Esse evento

depende unicamente das vari´aveis {Xe}e∈E i.i.d que possuem distribui¸c˜ao de

Bernoulli de parâmetro p. Por outro lado, qualquer número finito dessas va-riáveis não influencia a ocorrência do evento {ω ∈ ΩE; há percola¸cão em ω},

ou seja, χ ´e um evento caudal. Logo, pela Lei 0 − 1 de Kolmogorov, Pp(ω ∈

ΩE; há percola¸cão em ω) = 0 ou Pp(ω ∈ ΩE; há percola¸cão em ω) = 1.

Exemplo 1.1.1. A rede hipercúbica de dimensão 1 não é interessante. Considere o modelo de percola¸cão de elos de Bernoulli de parâmetro p ∈ [0, 1) na rede hiperc´_{ubica L}1 _{= (Z, E). Denote agora por C}

+ o aglomerado da

origem que est´a inteiramente no lado positivo da reta e por C− o aglomerado

da origem que se encontra inteiramente na parte negativa da reta. Como o estado de cada elo independe do estado de qualquer outro elo da rede, |C+| e

|C−| são variáveis i.i.d. Segue, então, que:

Pp(|C+| ≥ n) = ∞ X k=n Pp(|C+| = k) = ∞ X k=n pk(1 − p) = pn, e dessa forma, Pp(|C−| = ∞) = Pp(|C+| = ∞) = lim n→∞p n _{= 0.}

Ou seja, se a probabilidade p de um elo estar aberto for tal que p ∈ [0, 1), então a origem não percola quase certamente. Por isso, no restante do texto, Ld será de nosso interesse somente para valores d ≥ 2.

De fato, perceba que o argumento acima pode ser adaptado para qualquer outro s´ıtio x de Z diferente da origem e um corolário do exemplo acima seria que qualquer outro s´ıtio da rede hipercúbica de dimensão 1 não percola quase certamente. Conclui-se tamb´_{em que, dados dois s´ıtios x e y distintos de Z,}

(18)

8 Cap´ıtulo 1. Primeiros Passos os volumes dos aglomerados |Cx| e |Cy| possuem exatamente a mesma

distri-bui¸c˜ao. Essa propriedade n˜ao ´_{e exclusiva do grafo L}1 _{e pode ser extendida}

para qualquer Ld_{. Isso acontece pela transitividade dessa classe de grafos,}

como explicaremos a seguir.

Dizemos que um grafo G = (V, E) é transitivo se, para quaisquer s´ıtios x, y ∈ V , existe um automorfismo do grafo G (automorfismos de grafos serão considerados de forma mais cuidadosa no próximo cap´ıtulo) que envia o s´ıtio x ao s´ıtio y. Informalmente, um grafo é transitivo se todos os seus vértices s˜_{ao semelhantes. Portanto, como L}d_´_{e um grafo transitivo e a medida definida}

em (1.1) ´e invariante por transla¸c˜oes, ent˜_{ao se x for um s´ıtio qualquer de Z}d_,

temos que |Cx| e |C| possuem a mesma distribui¸c˜ao.

Embora o exemplo acima tenha mostrado que o modelo de percola¸cão de elos de Bernoulli em L1 é trivial, o mesmo não ocorrerá em dimensões supe-riores a 1 ou para outros tipos de grafos mais gerais. Assim, para auxiliar nossa investiga¸cão sobre a ocorrência de aglomerados infinitos, introduzire-mos a fun¸cão θ, que para cada parâmetro p ∈ [0, 1] indica a probabilidade da origem percolar. Define-se:

θ : [0, 1] −→ [0, 1]

p 7−→ θ(p) = Pp(ω ∈ ΩE; |C(ω)| = ∞)

A fun¸cão θ torna-se muito interessante em grafos transitivos. Como já observado, nesses grafos a distribui¸cão de |C| é a mesma de |Cx| para todo

s´ıtio x ∈ V e portanto n˜ao precisar´ıamos fixar um s´ıtio especial para consi-derarmos a fun¸c˜ao θ. Em outras palavras, em grafos transitivos vale que,

θ(p) = Pp(ω ∈ ΩE; |Cx(ω)| = ∞),

para qualquer x ∈ V . O próximo resultado indica que a fun¸cão θ está intima-mente relacionada com o evento {ω ∈ ΩE; há percola¸cão em ω} em grafos

transitivos.

Teorema 1.1.2. Seja G um grafo transitivo. Então, θ(p) > 0 se, e somente se, Pp(ω ∈ ΩE; há percola¸cão em ω) = 1.

(19)

1.1. Percola¸cão 9 Demonstra¸cão. Suponha inicialmente que θ(p) > 0. Então, temos que,

0 < θ(p) = Pp(ω ∈ ΩE; |C(ω)| = ∞) ≤ Pp [ x∈V (ω ∈ ΩE; |Cx(ω)| = ∞) ! = Pp(ω ∈ ΩE; h´a percola¸c˜ao em ω).

Segue da Lei 0 − 1 de Kolmogorov mencionada nesse cap´ıtulo e da express˜ao acima que

Pp(ω ∈ ΩE; h´a percola¸c˜ao em ω) = 1.

Por outro lado, suponha agora que Pp(ω ∈ ΩE; h´a percola¸c˜ao em ω) = 1. Se

fosse θ(p) = 0, ter´ıamos que,

Pp(ω ∈ ΩE; |Cx(ω)| = ∞) = 0, ∀x ∈ V,

pois por hip´otese o grafo ´e transitivo. Portanto,

Pp(ω ∈ ΩE; h´a percola¸c˜ao em ω) = Pp [ x∈V (ω ∈ ΩE; |Cx(ω)| = ∞) ! ≤X x∈V Pp(ω ∈ ΩE; |Cx(ω)| = ∞) = 0.

Enfim, se Pp(ω ∈ ΩE; há percola¸cão em ω) = 1, então θ(p) > 0 e o teorema

est´a provado.

O resultado acima é muito interessante, pois ele afirma que para sabermos se há percola¸cão em grafos transitivos, basta olharmos para a fun¸cão θ. O comportamento dessa fun¸cão para o caso da rede hipercúbica foi no passado (e ainda continua sendo) objeto de intenso estudo e atualmente algumas perguntas ainda estão sem respostas. Os próximos três teoremas tratarão exclusivamente do grafo Ld_{= (Z}d_{, E}d_).

Se p = 0, todos os elos de Ld _est˜_{ao fechados com probabilidade 1 e}

portanto θ(0) = 0. Intuitivamente, se os valores de p crescerem, mais elos estarão abertos e assim a probabilidade da origem percolar também crescerá.

(20)

10 Cap´ıtulo 1. Primeiros Passos Por fim, em p = 1 todos os elos estarão abertos e por isso θ(1) = 1. Tal observa¸cão nos induz a conjecturar algumas coisas sobre o comportamento da fun¸cão θ: seria θ não descrescente em seu argumento p, ou ainda, será que existe um valor pc entre (0, 1) em que ocorre uma transi¸cão de fase, ou seja,

a existˆencia de um ponto pc tal que θ(p) = 0 se p < pc e θ(p) > 0 se p > pc?

Para a primeira pergunta, a resposta é afirmativa. Entretanto, com as fer-ramentas que temos em mãos até o momento não nos é poss´ıvel demonstrar tal resultado. Mas observe inicilmente que cada p ∈ [0, 1] fornece um espa¸co de probabilidade diferente. Por outro lado, seria interessante para estudar-mos o comportamento da fun¸cão θ compararmos espa¸cos de probabilidade distintos. Para isso, introduziremos agora um elegante argumento (que será usado muitas vezes no último cap´ıtulo) conhecido como acoplamento.

Primeiramente, precisaremos considerar o seguinte espa¸co de probabili-dade: {[0, 1]Ed

, ˜_{=, P}, em que ˜}= é a σ-álgebra padrão gerada pelos eventos cil´ındricos e a probabilidade P = Y e∈Ed ˜ µe

´e produto ˜µe de medidas de Lebesgue em [0, 1]. Por fim, consideraremos a

fam´ılia de variáveis aleatórias {ζe; e ∈ Ed} i.i.d com distribui¸cão uniforme

em [0, 1], ou seja, se p for um parˆametro entre [0, 1], ent˜ao

˜ µe(ω ∈ [0, 1]E d ; ζe(ω) ≤ p) = p = 1 − ˜µe(ω ∈ [0, 1]E d ; ζe(ω) > p)

Um elo e da rede ser´a dito p-aberto em uma configura¸c˜ao ω se

ζe(ω) ≤ p

e p-fechado caso contr´ario. Esse espa¸co assim constru´ıdo, maior do que aquele considerado no in´ıcio do cap´ıtulo, cont´em, para todo p ∈ [0, 1], os espa¸cos ({0, 1}E_{, =, P}

p), em que o modelo de percola¸c˜ao de Bernoulli de parˆametro p

em Ld _{pode ser obtido atrav´}_{es desse acoplamento considerando somente os}

(21)

1.1. Percola¸cão 11 Teorema 1.1.3. A fun¸cão θ(p) é não descrente em p.

Demonstra¸c˜ao. Sejam p1, p2 ∈ [0, 1] tais que p1 < p2 e ω ∈ [0, 1]E

d

uma configura¸cão qualquer. Se o elo e for p1-aberto na cofigura¸cão ω, então, nessa

mesma configura¸cão, o elo e também será p2-aberto, pois

ζe(ω) ≤ p1 < p2. (1.3)

Portanto, considerando que Cp(ω) ´e o aglomerado da origem de elos p-abertos

em ω, segue de (1.3) que Cp1(ω) ⊂ Cp2(ω) e assim, θ(p1) = Pp1(ω ∈ {0, 1} Ed ; |C(ω)| = ∞) = P(ω ∈ [0, 1]Ed; |Cp1(ω)| = ∞) ≤ P(ω ∈ [0, 1]Ed_{; |C} p2(ω)| = ∞) = Pp2(ω ∈ {0, 1} Ed ; |C(ω)| = ∞) = θ(p2)

Uma dúvida que naturalmente surge nesse momento do texto é sobre a influência da dimensão d na fun¸cão θ. Intuitivamente, se fixarmos um parâmetro p e aumentarmos a dimensão do modelo, mais elos sairão de cada s´ıtio e consequentemente espera-se que a probabilidade de cada um desses s´ıtios percolar seja maior.

Teorema 1.1.4. Fixado um parâmetro p, a fun¸cão θ(p) := θ(p, d) é não descrente em d.

Demonstra¸c˜ao. O modelo de percola¸c˜_{ao de elos em L}d pode ser imerso em Ld+1 da seguinte forma: considere em Zd+1 o hiperplano Zd. Decrete fechado cada elo que tem um s´ıtio em Zd _{e outro s´ıtio no complementar de}

Zd. Assim, denotando o aglomerado da origem no hiperplano Zd por Cd,

(22)

12 Cap´ıtulo 1. Primeiros Passos

Figura 1.1: Esbo¸co da fun¸c˜_{ao θ(p) para L}d, em que d = 2 ou d ≥ 19.

θ(p, d) = Pp,d+1(ω ∈ [0, 1]E d+1 ; |Cd(ω)| = ∞) ≤ Pp,d+1(ω ∈ [0, 1]E d+1 ; |Cd+1(ω)| = ∞) = θ(p, d + 1)

Ainda n˜ao investigamos a segunda pergunta: existe um ponto pc tal que

θ(p) = 0 se p < pc e θ(p) > 0 se p > pc? O Teorema 1.1.3 nos auxilia a

responder essa pergunta e ´e bastante conveniente definirmos tal ponto cr´ıtico pc como o supremo de todos os valores p para os quais θ(p) = 0, ou seja,

pc:= sup{p ∈ [0, 1]; θ(p) = 0}.

Assim, do Exemplo 1.1.1 temos que pc = 1 em L1. Por outro lado, o

Teorema 1.1.4 afirma que para a rede hipercúbica o ponto cr´ıtico não cresce com o aumento da dimensão.

Os intervalos [0, pc) e (pc, 1] e o ponto pc s˜ao denominados,

respectiva-mente, fase subcr´ıtica, fase supercr´ıtica e fase cr´ıtica. Sobre a transi¸c˜ao de fase em Ld_{, sabemos:}

Teorema 1.1.5 (ver [3], Teorema 1.10). Se d ≥ 2 ent˜ao, pc∈ (0, 1).

(23)

1.1. Percola¸cão 13 provado em 1957 por Broadbent e Hammersley. O resultado afirma que pc ∈ (0, 1) para d ≥ 2 mas não informa qual o valor da fun¸cão θ no ponto

cr´ıtico pc. Sabe-se atualmente que para a rede hipercúbica θ(p) é uma fun¸cão

cont´ınua em [0, pc) ∪ (pc, 1] e que θ(pc) = 0 para d ∈ {2, 19, 20, 21, ...}. Como

θ(p) é não decrescente e cont´ınua em [0, pc) ∪ (pc, 1], a única possibilidade em

pc para 3 ≤ d ≤ 18 seria uma descontinuidade do tipo salto, mas isso ainda

´e um problema em aberto. Particularmente, foi provado por Kesten em 1980 (ver [6]) que pc= 1₂ em L2.

Por fim, repare que poder´ıamos ter aberto essa se¸c˜ao da seguinte forma: uma pedra porosa constitu´ıda de canais e poros ´e imersa em recipiente com ´

agua sendo que cada poro, e agora não mais os canais, pode estar aberto ou fechado. E, se nesse novo contexto come¸cássemos a desenvolver nossa teoria, desaguar´ıamos no modelo de percola¸cão de s´ıtios. Embora grande parte do que foi discutido até agora valha para os dois casos, os modelos apresentam diferen¸cas. Assim, quando quisermos enfatizar o modelo em questão, escre-veremos pcelo para a probabilidade cr´ıtica do modelo de percola¸cão de elos

ou pcs´itio para a probabilidade cr´ıtica do modelo de percola¸c˜ao de s´ıtios.

O último teorema dessa se¸cão apresenta um resultado que relaciona os dois modelos. Esse resultado será utilizado nos cap´ıtulos 3 e 4.

Teorema 1.1.6 (ver [3], Teorema 1.33). Seja G = (V, E) um grafo conexo infinito com uma quantidade enumerável de elos, origem 0 e localmente finito com grau máximo ∆. Então,

0 ≤ 1

∆ − 1 ≤ pc

elo _{≤ p}

cs´itio ≤ 1 − (1 − pcelo)∆.

Corol´ario 1.1.7. Nas condi¸c˜oes do T eorema 1.6, tem-se que pcelo < 1 se, e

(24)

(25)

Cap´ıtulo 2

O Princ´ıpio do Transporte de

Massa

Em f´ısica, a Primeira Lei de Kirchoff para c´ırcutos elétricos baseia-se em um princ´ıpio de conserva¸cão de energia: em um nó, a soma das correntes elétricas que entram é igual a soma das correntes que saem. Um equivalente próximo em probabilidade é o Princ´ıpio do Transporte de Massa (um circuito elétrico, agora, será um grafo, e um nó será um s´ıtio desse grafo). A primeira sessão apresentará os conceitos necessários para que, na segunda se¸cão, possamos nos dedicar exclusivamente ao problema do transporte de massa. No fim, um exemplo muito importante para o Cap´ıtulo 4 será discutido.

2.1 Medidas invariantes e diagonalmente

in-variantes

Nessa se¸cão, G = (V, E) será um grafo localmente finito (ou seja, todo vértice de G tem grau finito) e (ΩE, =E) o espa¸co mensurável em que =E

´e a σ-´algebra gerada pelos conjuntos cil´ındricos de ΩE = {0, 1}E. Detalhes

adicionais sobre medidas invariantes e diagonalmente invariantes podem ser encontrados na Se¸c˜ao 4.3 de [4] e na Se¸c˜ao 8.1 de [8].

Defini¸cão 2.1.1. Um automorfismo do grafo G é uma bije¸cão ϕ : V −→ 15

(26)

16 Cap´ıtulo 2. O Princ´ıpio do Transporte de Massa V tal que para todo x, y ∈ V tem-se que hx, yi ∈ E se, e somente se, hϕ(x), ϕ(y)i ∈ E.

O conjunto de todos os automorfismos do grafo G ser´a denotado por Aut(G).

Proposi¸cão 2.1.2. Aut(G) munido com a opera¸cão de composi¸cão de fun-¸

c˜oes ´e um grupo.

Demonstra¸cão. Se ϕ e γ são dois automorfismos de G então ϕ ◦ γ também é um automorfismo de G. O elemento inverso de ϕ é justamente sua fun¸cão inversa ϕ−1, que existe, pois ϕ é bije¸cão. A fun¸cão identidade é o elemento neutro e a associatividade entre elementos de Aut(G) segue diretamente da composi¸cão de fun¸cões.

Observe agora que dado ϕ ∈ Aut(G) podemos estender naturalmente o seu dom´ınio para todo o conjunto de elos do grafo G da seguinte forma:

ϕ : E −→ E

hx, yi 7−→ hϕ(x), ϕ(y)i

Por fim, utilizando a extensão acima, um automorfismo ϕ do grafo G dá origem a um operador no conjunto ΩE, também denotado por ϕ : ΩE :−→

ΩE: se ω é uma confugura¸cão em ΩE e hx, yi ∈ E, então o estado do elo

hx, yi na configura¸cão ϕ(ω) é dado justamente pelo estado do elo ϕ−1(hx, yi) na configura¸cão ω, em outras palavras, ϕ(ω)(hx, yi) = ω(ϕ−1(hx, yi). A partir de agora, um automorfismo do grafo G será visto como um operador que age no conjunto ΩE. Esses operadores são a chave da próxima defini¸cão.

Defini¸c˜ao 2.1.3. Seja Γ um subgrupo do grupo Aut(G). Dizemos que uma medida de probabilidade P em (ΩE, =E) ´e Γ-invariante se P (A) = P (ϕA)

para todo A ∈ =E e para todo ϕ ∈ Γ. Nesse contexto, a nota¸c˜ao ϕA

repre-senta o evento {ϕ(ω) ∈ ΩE : ω ∈ A}.

Exemplo 2.1.4. Considere o modelo de percola¸c˜ao de elos de Bernoulli em L2 = (Z2, E2). Para cada x := (x1, x2) ∈ Z2 defina a seguinte aplica¸c˜ao,

(27)

2.1. Medidas invariantes e diagonalmente invariantes 17 ϕx : Z2 −→ Z2

v 7−→ x + v,

em que x + v = (x1+ v1, x2+ v2). É fácil ver que ϕx é injetiva. Além do mais,

utilizando a distância definida em (1.2), temos que se v e w são vizinhos em L2, então

d(x + v, x + w) = |v1− w1| + |v2− w2| = d(v, w) = 1,

ou seja, ϕx(v) e ϕx(w) tamb´em s˜ao vizinhos em L2. Logo, para cada x ∈ Z2,

ϕx ∈ Aut(L2). Assim, tomando Γ = {ϕx; x ∈ Z2}, temos que Γ, com respeito

a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes, ´_{e um subgrupo de Aut(L}2_{) (Γ ´}_{e subgrupo formado}

por transla¸c˜oes). Portanto, como a medida de probabilidade Pp definida no

Cap´ıtulo 1 para o modelo de percola¸cão de elos de Bernoulli é invariante por transla¸cões, segue que Pp é Γ-invariante.

Consideremos agora, uma fun¸cão F (α, β, ω) não negativa, (α, β) ∈ Γ × Γ e ω ∈ ΩE, que, fixada uma configura¸cão ω, representará intuitivamente uma

espécie de fluxo que sai de α para β. Esse conceito ficará mais claro na próxima se¸cão, em que dado um grafo G especial, vértices poderão ser vistos como elementos do grupo Aut(G).

Defini¸c˜ao 2.1.5. Seja F : Γ × Γ × ΩE −→ [0, ∞]. Dizemos que F ´e

di-agonalmente invariante por Γ se F (α, β, ω) = F (ϕα, ϕβ, ϕ(ω)), para todo α, β, ϕ ∈ Γ e ω ∈ ΩE.

Observe que na defini¸cão acima as duas primeiras entradas ϕα e ϕβ da fun¸cão F são vistas no sentido de composi¸cão de fun¸cões, a opera¸cão do grupo Γ. Por sua vez, a última entrada ϕ(ω) é a imagem da configura¸cão ω pelo operador ϕ.

Lema 2.1.6. Sejam P uma medida Γ-invariante e F : Γ×Γ×ΩE −→ [0, ∞].

Fixados α,β e ϕ em Γ, defina T (ω) = F (α, β, ϕ−1(ω)). Ent˜ao, F e T s˜ao igualmente distribu´ıdas. Em particular,

Z ΩE F (α, β, ω) dP = Z ΩE F (α, β, ϕ−1(ω)) dP

(28)

18 Cap´ıtulo 2. O Princ´ıpio do Transporte de Massa Demonstra¸c˜ao. Seja A um boreliano qualquer. Ent˜ao,

P (T ∈ A) = P (ω ∈ ΩE : F (α, β, ϕ−1(ω)) ∈ A)

= P (ϕω ∈ ΩE : F (α, β, ω) ∈ A)

= P (ϕ{ω ∈ ΩE : F (α, β, ω ∈ A}) = P (F ∈ A).

Em que a ´ultima igualdade decorre do fato de P ser uma medida Γ-invariante.

Proposi¸cão 2.1.7. Defina f (α, β) = E[F (α, β, ω)]. Se P for Γ-invariante e F uma aplica¸cão diagonalmente invariante por Γ, então

f (α, β) = f (ϕα, ϕβ), (2.1)

para todo α, β, ϕ ∈ Γ.

Demonstra¸c˜ao. Seja ϕ ∈ Γ qualquer. Segue, ent˜ao, que: f (ϕα, ϕβ) = E[F (ϕα, ϕβ, ω)] =

Z

ΩE

F (ϕα, ϕβ, ω)dP. (2.2)

Como ϕ pertence ao grupo Γ, temos que seu inverso, ϕ−1, também pertence a Γ. Assim, como por hipótese F é diagonalmente invariante por Γ, temos que: F (ϕα, ϕβ, ω) = F (α, β, ϕ−1(ω)). (2.3) Aplicando a rela¸cão (2.3) em (2.2), f (ϕα, ϕβ) = Z ΩE F (α, β, ϕ−1(ω))dP (2.4)

Por fim, como P ´e uma medida invariante por Γ, o resultado particular do Lema 2.1.6 pode ser utilizado na rela¸c˜ao (2.4). Desse modo,

f (ϕα, ϕβ) = Z

ΩE

F (α, β, ω)dP = E[F (α, β, ω)] = f (α, β). (2.5)

Abusaremos nas próximas linhas da nota¸cão: diremos que uma fun¸cão f satisfazendo (2.1) é diagonalmente invariante por Γ.

(29)

2.2. O Princ´ıpio do Transporte de Massa 19

2.2 O Princ´ıpio do Transporte de Massa

Teorema 2.2.1 (O Princ´ıpio do Transporte de Massa). Sejam f : Γ × Γ −→ [0, ∞] e φ a identidade do grupo Γ. Se f for diagonalmente invariante por Γ, ent˜ao X α∈Γ f (φ, α) = X α∈Γ f (α, φ).

Demonstra¸cão. Por hipótese, f (φ, α) = f (α−1φ, α−1α) = f (α−1, φ). Logo, temos que: X α∈Γ f (φ, α) =X α∈Γ f (α−1, φ). Considere agora a seguinte aplica¸cão:

g : Γ −→ Γ α 7−→ α−1

Dessa forma, g pertence ao grupo de automorfismos de Γ e portanto, X

α∈Γ

f (α−1, φ) =X

α∈Γ

f (α, φ).

Fixar a identidade do grupo Γ no teorema acima nada tem de especial. O resultado continua v´alido para qualquer β ∈ Γ. Observe que se f for diagonalmente invariante por Γ, ent˜ao

X α∈Γ f (β, α) =X α∈Γ f (α−1β, α−1α) =X α∈Γ f (α−1β, φ). (2.6)

Por outro lado, do Teorema 2.2.1 e da invariˆancia diagonal de f por Γ, segue que: X α∈Γ f (α−1β, φ) =X α∈Γ f (φ, α−1β) =X α∈Γ f (α, β). (2.7)

(30)

20 Cap´ıtulo 2. O Princ´ıpio do Transporte de Massa Corol´ario 2.2.2. Sejam f : Γ × Γ −→ [0, ∞] e β ∈ Γ qualquer. Se f for diagonalmente invariante por Γ, ent˜ao

X

α∈Γ

f (β, α) =X

α∈Γ

f (α, β).

Uma das afirma¸cões do principal teorema desse texto (que será enunciado no Cap´ıtulo 4) envolve uma classe especial de grafos, os chamados grafos de Cayley. Aproveitaremos a próxima se¸cão para apresentarmos esses grafos e utilizá-los em um exemplo envolvendo o Princ´ıpio do Transporte de Massa.

2.3 Um simples exemplo

Defini¸c˜ao 2.3.1. Seja Γ um grupo gerado pelo conjunto sim´etrico

S = {g±1₁ , g±1₂ , g₃±1, ...},

ou seja, todo elemento de Γ pode ser obtido como uma combina¸c˜ao finita de elementos de S. O grafo de Cayley de Γ com respeito a S ´e o grafo CG(Γ, S) := (V, E) tal que:

• V = Γ, ou seja, o conjunto dos s´ıtios de CG(Γ, S) ´e formado pelos elementos do grupo Γ;

• hx, yi ∈ E se, e somente se, x−1_{y ∈ S.}

Um grupo Γ pode possuir mais de um grupo gerador simétrico. Portanto, deve ficar claro que o grafo de Cayley CG(Γ, S) depende fortemente da es-colha do conjunto gerador S. O próximo exemplo elucida essa observa¸cão. Exemplo 2.3.2. Considere o grupo aditivo Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Da teoria

de grupos, sabemos que Z5 pode ser gerado por qualquer elemento diferente

da identidade. Dessa forma, S1 = {1, 4} ou S2 = {2, 3} geram o grupo

das classes de congruˆencia m´_{odulo 5. Os grafos de Cayley CG(Z}5, S1) e

(31)

2.3. Um simples exemplo 21

Figura 2.1: A figura da esquerda representa o grafo de Cayley CG(Z5, S1).

J´_{a a figura da direita representa o grafo de Cayley CG(Z}5, S2)

Em princ´ıpio, a escolha do s´ımbolo Γ para representar o grupo que faz parte da constru¸cão de um grafo de Cayley pode parecer pregui¸cosa e até es-tranha. No in´ıcio do cap´ıtulo considerava-se um grafo G, definia-se o grupo Aut(G) de automorfismos de G e em seguida dirig´ıamos nossa aten¸cão para um subgrupo Γ de Aut(G), ou seja, o s´ımbolo Γ, nesse texto, foi eleito para representar dois objetos matemáticos distintos. Entretanto, será mostrado agora que se CG(Γ, S) é um grafo de Cayley, então Γ é isomorfo a um sub-grupo de Aut(CG(Γ, S))!

Defini¸cão 2.3.3. Um grafo G é chamado vértice transitivo se dados quais-quer x, y ∈ V (G) existe um automorfismo ϕ de G tal que ϕ(x) = y.

Teorema 2.3.4. Se CG(Γ, S) é um grafo de Cayley, então para cada ele-mento g ∈ Γ, a aplica¸cão

ϕg : V −→ V

v 7−→ gv ´e um automorfismo de CG(Γ, S).

Demonstra¸cão. Temos que provar que ϕg é uma bije¸cão que preserva

ad-jacência. Vejamos: 1. ϕg é bije¸cão:

(32)

22 Cap´ıtulo 2. O Princ´ıpio do Transporte de Massa • ϕg(x) = ϕ(y) ⇐⇒ gx = gy ⇐⇒ x = y

• dado x ∈ V , temos que ϕg(g−1x) = g(g−1x) = x

2. ϕg preserva adjacˆencia:

Precisamos mostrar que se hx, yi ∈ E, ent˜ao hϕg(x), ϕg(y)i ∈ E. Mas

hx, yi ∈ E se e somente se x−1_{y ∈ G. Por outro lado,}

(ϕg(x))−1ϕ(y) = (gx)−1(gy) = (x−1g−1)(gy) = x−1y.

Corolário 2.3.5. Se CG(Γ, S) for um grafo de Cayley, então CG(Γ, S) é vértice transitivo.

Demonstra¸c˜ao. Basta considerar o automorfismo ϕyx−1 definido no

Teo-rema 2.3.4.

Corolário 2.3.6. Se CG(Γ, S) for um grafo de Cayley, então a aplica¸cão, H : Γ −→ Aut(CG(Γ, S))

g 7−→ ϕg

´e um homomorfismo injetivo de grupos.

Demonstra¸c˜ao. Se g,h e x s˜ao elementos de Γ, segue que:

ϕgh(x) = (gh)x = gϕh(x) = ϕg(ϕh(x)) = (ϕg◦ ϕh)(x),

ou seja, H(gh) = ϕg ◦ ϕh. A injetividade ´e imediata.

Naturalmente, segue do corol´ario acima que Γ ´e isomorfo a Im(H) = {H(g) = ϕg; g ∈ Γ}, ou seja, Γ pode e deve ser visto como um subgrupo de

Aut(CG(Γ, S)). Portanto, fará sentido dizer no próximo exemplo que uma medida é Γ-invariante.

(33)

2.3. Um simples exemplo 23 Exemplo 2.3.7. Considere o modelo de percola¸cão de elos de Bernoulli de parâmetro p no grafo de Cayley CG(Γ, S) = (V, E) e defina a seguinte apli-ca¸cão F : Γ × Γ × ΩE −→ [0, ∞):

F (x, y, ω) = (

1, se < x, y > for um elo aberto na configura¸c˜ao ω, 0, caso contr´ario.

Ent˜ao, F ´e diagonalmente invariante por Γ.

Demonstra¸cão. Sejam x, y, g ∈ V = Γ e ω uma configura¸cão qualquer. Su-ponhamos inicialmente que F (x, y, ω) = 1, ou seja, x−1y ∈ S e ω(hx, yi) = 1. Do Teorema 2.3.4 sabemos que ϕg(x) = gx é um automorfismo de CG(Γ, S)

e portanto hgx, gyi ∈ E. Por outro lado, o estado do elo hgx, gyi na configu-ra¸c˜ao ω ´e dado por:

(gω)(hgx, gyi) := ω(g−1(gx), g−1(gy)) = ω(hx, yi) = 1,

e nesse caso

F (x, y, ω) = 1 = F (gx, gy, gω).

O caso em que F (x, y, ω) = 0 é análogo. Portanto F é diagonalmente inva-riante por Γ.

Como a medida Pp do exemplo 2.3.7 ´e invariante por transla¸c˜oes, Pp

também é invariante pela a¸cão de Γ. Defina

f (x, y) := E[F (x, y, ω)],

Assim, utilizando a Proposi¸c˜ao 2.1.7, temos que f ´e diagonalmente invariante por Γ. Logo, se x ∈ Γ, o Princ´ıpio do Transporte de Massa nos afirma que

X

y∈Γ

f (x, y) =X

y∈Γ

(34)

(35)

Cap´ıtulo 3

Percola¸

c˜

ao Invasiva

Esque¸camos agora a pedra porosa e passemos a considerar uma represa. Essa represa, vista por cima, possui como tra¸cado o grafo L2. Sobre cada elo existe uma parede de largura desprez´ıvel e cuja altura foi determinada aleatoria-mente: para cada parede sorteou-se uniformemente no intervalo [0, 1], e de forma independente das outras paredes, um número que determinou sua al-tura em metros. Do centro de um dos quadrados da represa, uma fonte come¸ca a liberar água em uma vazão constante. O n´ıvel da água come¸ca a subir até atingir a altura da menor parede. A partir desse momento, o cômodo adjacente à essa parede menor passa a ser invadido pela água. Dessa forma, o que acontecerá em seguida dependerá da altura de seis paredes (contra quatro no come¸co do processo). O n´ıvel da água continua a subir até alcan¸car a altura da menor parede. Novamente, outro quadrado será ocupado pelo l´ıquido e o processo continuará assim sucessivamente. Como resultado teremos um número infinito de compartimentos invadidos pela água. A essa região damos o nome de região invadida ou aglomerado invadido.

O modelo de percola¸cão invasiva, introduzido em 1983 por Wilkinson e Willemsen (ver [11]), será discutido nesse cap´ıtulo. A se¸cão 3.1 definirá rigo-rosamente o modelo. A Se¸cão 3.2 trará um estudo sobre percola¸cão invasiva em L2_{. O principal resultado dessa se¸c˜}_{ao, o Teorema 3.2.5, ser´}_{a uma}

con-sequência do Teorema de RSW. Por fim, o Teorema 3.2.5 será generalizado para grafos mais gerais na Se¸cão 3.2. Todos os resultados dessa última se¸cão

(36)

26 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva foram retirados das se¸c˜oes 2 e 3 de [5].

3.1 O Processo

Seja G = (V, E) um grafo infinito, conexo e localmente finito. Atribu´ıre-mos aos elos de G vari´aveis aleat´orias {τe}e∈Ei.i.d uniformemente distribu´ıdas

em [0, 1]. O aglomerado invadido de um s´ıtio x ∈ V é constru´ıdo indutiva-mente através de uma sequência crescente Ix

1 ⊂ I2x ⊂ I3x ⊂ ... de conjuntos

de elos da seguinte forma: seja Ix

1 o conjunto formado pelo ´unico elo e que

possui o menor valor τe dentre todos aqueles elos adjacentes com o s´ıtio x.

Se I_nx está constru´ıdo, I_n+1x será dado por I_nx∪ {e}, em que o elo e é o elo que possui o menor valor τedentre todos os elos que não estão em Inx mas que são

adjacentes com algum elo de I_nx. O aglomerado invadido de x ´e o conjunto de elos I_∞x = ∞ [ n=1 I_nx. .

Dois espa¸cos de probabilidade serão utilizados nos próximos teoremas. O primeiro é aquele referente ao processo de percola¸cão de elos de Bernoulli de parâmetro p cuja medida é denotada por Pp. Já o segundo refere-se ao

espa¸co que acopla os processos de percola¸cão de elos de Bernoulli para todos os parâmetros p simultaneamente. A medida produto do segundo espa¸co é representada por P.

Daqui em diante, nossa principal preocupa¸cão será investigar sobre quais condi¸cões a região invadida I_∞x intercepta algum aglomerado p-aberto infinito com probabilidade P igual a 1.

Teorema 3.1.1. Se o processo de invasão que come¸ca no s´ıtio x toca um aglomerado p-aberto infinito C, então, após tocar esse algomerado C, o pro-cesso de invasão permanecerá para sempre dentro de C.

Demonstra¸cão. O n-ésimo elo invadido pela região Ix

∞ ser´a denotado por

(37)

3.2. Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}2 27 Suponha que a regi˜ao Ix

∞ toque algum aglomerado p-aberto infinito, Cp,

pela primeira vez no (n+1)-´esimo passo de invas˜ao, ou seja, os elos e1, e2, ..., en

não encontraram vértices de aglomerados p-abertos infinitos e no instante em que o processo invadir o elo en+1, um vértice final de en+1tocará algum vértice

y de Cp. Denote agora os elos que não estão em Inx mas que são adjacentes

com algum elo de Ix

n por ∂Inx. Como o elo a ser escolhido no passo (n+1) ´e

en+1, temos que

τ (n + 1) ≤ τe, para todo e ∈ ∂Inx.

Por outro lado, como en+1 ∈ C/ p, temos necessariamente que

τ (n + 1) ≥ p, e das duas rela¸c˜oes acima

τ (j) ≥ p, para todo ej ∈ ∂Inx\{en+1}

Observe agora que podemos escrever o conjunto ∂Ix

n+1 como a uni˜ao de trˆes

subconjuntos disjuntos. O primeiro subconjunto é formado por elos que já estavam em ∂I_nx, o segundo é formado por elos que são adjacentes com o s´ıtio y e que não estão em Cp e o terceiro é constitu´ıdo por elos adjacentes

a y e que s˜ao p-abertos. Portanto, como todo elo de Cp ´e p-aberto, I∞x

invadir´a no passo (n+2) um elo da forma hy, zi que est´a em Cp. Mas como

Cp ´e infinito e ∂In+1x \Cp possui exclusivamente elos p-fechados, I∞x passar´a a

invadir somente elos p-abertos ap´os o passo (n + 2).

3.2 Percola¸

c˜

_{ao Invasiva em L}

2

Considere o grafo L2 _{e seja LR(l) o evento em que existe um cruzamento}

aberto da esquerda para a direita na caixa

(38)

28 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva

Figura 3.1: O processo de invasão encontra um aglomerado p-aberto infinito no (n + 1)-ésimo passo. Os elos representados por linhas cont´ınuas estão no conjunto I_n0; os elos representados por linhas tracejadas estão no conjunto ∂I0

n.

Figura 3.2: Uma representa¸c˜ao para o evento LR(3l, l).

ou seja, um caminho aberto que conecta o lado esquerdo da caixa R(l) ao seu lado direito. Seja tamb´em LR(kl, l) o evento em que existe um cruzamento aberto da esquerda para a direita na caixa R(kl, l) = [−l, (2k − 1)l] × [−l, l]. Por fim, consideraremos A(l) como o anel R(3l)\R(l) e O(l) como sendo o evento em que existe um circuito aberto no anel A(l) contendo a origem em seu interior (ver Figura 3.3). Lembrando que em L2 temos pc= 1₂, enunciemos

a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 3.2.1 ([3], se¸cão 11.7). Para qualquer número natural l temos que P1 2(LR(l)) ∈ [ 1 4, 3 4].

(39)

3.2. Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}2 29

Figura 3.3: Um circuito aberto no anel A(l) = R(3l)\R(l) e que cont´em a origem em seu interior.

há uma probabilidade significativa de existir um cruzamento aberto na caixa R(l), então há também uma probabilidade significativa de existir um circuito aberto em volta da origem no anel A(l).

Teorema 3.2.2 (Teorema de Russo-Seymour-Welsh (RSW),em [3], Teorema 11.70). Se Pp(LR(l)) = τ , ent˜ao

Pp(O(l)) ≥ {τ (1 −

√

1 − τ )4}12_.

.

Com os dois resultados acima em mãos, segue a essência que fundamen-tará o principal teorema dessa se¸cão:

Corol´ario 3.2.3. Para todo natural l, existe δ > 0 que n˜ao depende de l tal que,

P1

(40)

30 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva Portanto, como P1

2(O(l)) ´e uniformemente limitado em l por uma constante

positiva, segue do Lema de Borel-Cantelli o seguinte resultado:

Corol´ario 3.2.4. Para todo p ≥ pc(L2) = 1₂, a origem ´e circundada por

infinitos circuitos p-abertos com probabilidade Pp igual a 1. Particurlamente,

como θ(1₂) = 0, a origem ´e circundada por infinitos circuitos abertos disjuntos P1

2-q.c.

Todas as ferramentas desenvolvidas até aqui foram apresentadas para nos auxiliar a responder sobre quais condi¸cões a região invadida Ix

∞ intercepta

algum aglomerado p-aberto infinito. Estamos prontos para lidar com esse problema em L2_.

Teorema 3.2.5. Considere a origem de L2 _{e sua regi˜}_{ao invadida I}0

∞. Ent˜ao,

para qualquer p > pc, I∞0 intercepta algum aglomerado p-aberto infinito quase

certamente.

Demonstra¸c˜ao. Fixe algum p > pc. Ent˜ao, existe com probabilidade Pp

igual a 1 um ´unico aglomerado Cp p-aberto infinito (ver [3], Teorema 8.1).

Por outro lado, o Corol´ario 3.2.4 afirma que existem infinitos circuitos p-abertos ao redor da origem. Logo,

P(algum circuito p-aberto ao redor da origem intercepta Cp) = 1. (3.1)

Mas se γ ´e um circuito p-aberto que intercepta Cp, ent˜ao γ ⊂ Cp. Por fim,

como I0

∞ ´e uma subgrafo conexo infinito, I∞0 intercepta qualquer circuito

p-aberto que circunda a origem, particularmente γ, ou seja, I0

∞ intercepta Cp,

ou seja, o evento {algum circuito p-aberto ao redor da origem intercepta Cp}

est´a contido no evento {I0

∞ intercepta algum aglomerado p-aberto infinito}.

Assim, da rela¸c˜ao (3.1),

P(I∞0 intercepta algum aglomerado p-aberto infinito) = 1.

O grafo L2_´_{e transitivo e, portanto, o resultado acima n˜}_{ao ´}_{e v´}_{alido somente}

(41)

3.2. Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}2 31 Corol´_{ario 3.2.6. Considere o grafo L}2_{. Sejam x ∈ Z}2 _{e I}x

∞ a regi˜ao invadida

de x. Ent˜ao, para qualquer p > pc, I∞x intercepta o aglomerado p-aberto

infinito P-q.c.

Relembre agora que τ (n) denota o valor do n-ésimo elo invadido. O Teorema 3.1.1 e o Corolário 3.2.6 acima afirmam que se p > pc então, Pp-q.c,

existe um n´umero natural n0 suficientemente grande, tal que

τ (n) ≤ p, para todo n ≥ n0, (3.2)

ou seja, o conjunto {τe; e ∈ I∞0 } ´e limitado superiormente. Na verdade, vale

algo muito mais forte do que isso.

Teorema 3.2.7. Em L2, as rela¸c˜oes abaixo s˜ao equivalentes:

(i) I_∞0 intercepta o aglomerado p-aberto infinito quase certamente para qualquer p > pc;

(ii) lim sup_n→∞τ (n) = pc quase certamente.

Demonstra¸cão. Primeiro vamos mostrar que (i) implica (ii). Vejamos: Dado > 0 pequeno, temos por hipótese e da rela¸cão (3.2) que existe um número natural n0() tal que,

τ (n) ≤ pc+ , para todo n ≥ n0(),

consequentemente,

lim sup

n→∞

τ (n) ≤ pc+ , (3.3)

e como a rela¸cão acima é válida para todo > 0, temos que lim sup

n→∞

τ (n) ≤ pc. (3.4)

Por outro lado, caso fosse

lim sup

n→∞

(42)

32 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva ent˜ao, para qualquer p ∈ (˜p, pc) existiria um n1 suficientemente grande tal

que,

τ (n) < p, para todo n ≥ n1,

ou seja, existiria um aglomerado p-aberto infinito com p < pc. Como isso

ocorre com probabilidade zero, lim sup

n→∞

τ (n) ≥ pc, P-q.c. (3.5)

Portanto, das rela¸c˜oes (3.4) e (3.5), temos que, quase certamente,

lim sup

n→∞

τ (n) = pc.

Agora, vamos assumir que (ii) ´e verdade para provarmos (i). Vejamos: se pc= lim supn→∞τ (n), ent˜ao dado p ∈ (pc, 1), existe n0(p) suficientemente

grande tal que,

τ (n) ≤ p, para todo n ≥ n0(p),

e portanto, a partir do n0(p)-´esimo elo invadido, I∞0 \In00(p)−1 est´a contido em

algum aglomerado p-aberto infinito. Como isso ´e v´alido para todo p > pc e

como para cada parâmetro p da fase supercr´ıtica existe e é único o aglomerado p-aberto infinito, temos que, quase certamente, I0

∞ intercepta o aglomerado

p-aberto infinito para qualquer p > pc.

Note que os Teoremas 3.2.5 e 3.2.7 afirmam que P − q.c., lim sup

n→∞

τ (n) = pc (3.6)

Considerando ainda a região invadida I_∞0 , sabemos que não pode ser τ (n) < pc(repare que isso é mais forte do que afirmar que lim supn→∞τ (n) ≤

pc) para todo natural n, pois se fosse, a origem pertenceria a um aglomerado

pc-aberto infinito, o que ocorre com probabilidade zero. Logo, quase

(43)

3.3. Percola¸cão Invasiva em Grafos Transitivos 33 rela¸cão (3.6), nos diz que (q.c.) τ (n) atinge um máximo (e esse máximo é maior do que pc).

3.3 Percola¸

c˜

ao Invasiva em Grafos

Transiti-vos

Nessa se¸cão vamos estender os resultados da se¸cão anterior para grafos transitivos. Todos os resultados dessa se¸cão fazem parte das se¸cões 2 e 3 de [5].

Defini¸c˜ao 3.3.1. Um grafo G = (V, E) admite percola¸c˜ao uniforme no n´ıvel p se

lim

R→∞x∈Vinf Pp(ω; ∃y ∈ V, |Cy ∩ B(x, R)| 6= 0) = 1, (3.7)

em que a bola B(x, R) de raio R centrada em x ∈ V ´e o subgrafo de G formado por todos os elos de G cujos dois s´ıtios finais distam no m´aximo R de x.

Denote o evento (ω; ∃y ∈ V, |Cy∩ B(x, R)| 6= 0) por A(x). Logo, se G for

um grafo transitivo, para quaisquer x, y ∈ V , temos que

Pp(A(x)) = Pp(A(y)).

Portanto, como h´a percola¸c˜ao em G se p > pc, existe um R suficientemente

grande tal que B(x, R) intercepta algum aglomerado p-aberto infinito, ou seja, grafos transitivos admitem percola¸c˜ao uniforme em todos os n´ıveis p > pc.

Lema 3.3.2. Seja G = (V, E) um grafo infinito, localmente finito com grau m´aximo D e conexo. Ent˜_{ao, ∀x ∈ V , ∀R ∈ N,}

P(I∞x cont´em uma bola de raio R) = 1.

(44)

34 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva

Figura 3.4: O processo de invasão que come¸ca em x dista menos do que R de algum vértice y ∈ V \B(x, Ln) pela primeira vez no rn-ésimo passo de

invas˜ao. No caso, y = yn.

rn:= min{k; Ikx dista menos do que R de algum y ∈ V \B(x, Ln)}.

Assim, como a regi˜ao Ix

∞ ´e infinita, rn deve ser finito para todo natural n.

Para cada n, seja yn o vértice de V \B(x, Ln) que está mais próximo de Irxn

(ver Figura).

Considere agora os seguintes eventos

An= {τe < pc para todo e ∈ B(yn, R)}.

Condicionemos o processo de invas˜ao ao evento An. Dessa forma, ap´os

o rn-ésimo passo de invasão, o último elo ern acrescentado a região I

x rn

pos-sui um v´ertice em comum com algum elo da caixa B(yn, R), ou seja, ern

´e adjacente com algum elo e que possui tempo de abertura menor do que pc. Assim, caso esse elo e nunca seja invadido, I∞x conter´a um aglomerado

p-aberto infinito em que p < pc. Mas quase certamente n˜ao existem

(45)

3.3. Percola¸c˜ao Invasiva em Grafos Transitivos 35 Por outro lado, como todos os elos da caixa B(yn, R) possuem tempos de

abertura inferiores a pc, todos esses elos ser˜ao invadidos. Portanto,

condici-onado a An, a regi˜ao invadida I∞x cont´em quase certamente a bola B(yn, R).

Consequentemente, o lema estar´a provado se conseguirmos demonstrar que

P(

∞

\

i=1

Ac_i) = 0. Como j´a observamos no par´agrafo anterior, Ix

rn e B(yn, R) se tocam em

um vértice mas não possuem elos em comum. Portanto, até o rn-ésimo passo

da invasão não possu´ımos informa¸cões sobre os elos da bola B(yn, R), ou seja,

P(An|Ac1, A c 2, ..., A c n1) = P (An) = p vol(B(yn,R)) c ,

em que vol(B(yn, R)), volume de B(yn, R), representa o n´umero de elos da

bola B(yn, R). Por outro lado, como os graus dos v´ertices de G s˜ao

unifor-memente limitados por D, temos que

vol(B(yn, R)) ≤ D+D(D−1)+D(D−1)2+...+D(D−1)R−1 = (D−1)R−1 ≤ DR.

Logo,

pD_cR _{≤ P(A}n|A1c, Ac2, ..., Acn1).

e consequentemente pelo Teorema da Multiplica¸c˜ao P(

∞

\

i=1

Ac_i) ≤ (1 − pD_cR)n. (3.8)

Por fim, sabemos do Teorema 1.1.6 que

0 < 1

D − 1 ≤ pc,

e por essa rela¸c˜ao o lado direito de (3.8) tende a zero quando n → ∞.

Relembrando que todo grafo transitivo, infinito, conexo e localmente fi-nito possui percola¸c˜ao uniforme em todos os n´ıveis p > pc, o cap´ıtulo ser´a

(46)

36 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva encerrado com o seguinte resultado.

Teorema 3.3.3. Seja G = (V, E) um grafo infinito, conexo e localmente finito com grau m´aximo D. Se G admite percola¸c˜ao uniforme no n´ıvel p∗,

ent˜ao para qualquer p > p∗ e para qualquer x ∈ V , a regi˜ao invadida I∞x

intercepta algum aglomerado p-aberto infinito P-q.c.

Demonstra¸c˜ao. Fixe x ∈ V , p e p∗ como no teorema. Seja ξ_px_∗ a vari´avel

aleatória que conta o número de elos que possuem um vértice final na região Ix

∞e o outro v´ertice final em algum aglomerado p∗-aberto infinito. A

demons-tra¸c˜ao do teorema se dividir´a em duas etapas. Inicialmente, provaremos que

P(ξpx∗ = ∞) = 1. (3.9)

Em seguida, mostraremos que para p > p∗,

P(I∞x intercepta algum aglomerado p-aberto infinito | ξpx∗ = ∞) = 1. (3.10)

Com o resultado acima em mãos, nosso trabalho está feito. Tomando uma sequência enumerável {pn}n∈Ntal que pn↓ p∗ o teorema será uma consequˆ

en-cia do Teorema da Continuidade de Probabilidade.

Da hip´otese sobre percola¸c˜ao uniforme, dado qualquer ε > 0 existe um R suficientemente grande tal que

inf

y∈V P(algum aglomerado p∗-aberto infinito intercepa B(y, R)) ≥ 1 − ε.

(3.11) Denote por r o menor inteiro positivo k tal que Ix

k cont´em uma bola de raio

R. Pelo Lema 3.1.10, r ´e finito quase certamente.

Para qualquer subconjunto E0de E considere o seguinte conjunto de s´ıtios

V (E0) = {y ∈ V ; y ´e um s´ıtio final de algum e0 ∈ E0}.

Vamos escolher um conjunto E0 de forma conveniente para mostrarmos

que P(ξx

p∗ = 0) = 0. Em seguida, estenderemos esse resultado e provaremos

que P(ξx

(47)

3.3. Percola¸c˜ao Invasiva em Grafos Transitivos 37 Suponha que E0 seja um conjunto finito contendo alguma bola de raio

R. Nesse caso, pela rela¸c˜ao (3.11), temos com probabilidade de no m´ınimo 1 − ε que existe um caminho infinito p∗-aberto que come¸ca em algum v´ertice

de V (E0)c que está a uma distância 1 de V (E0) e que utiliza apenas vértices

de V (E0)c. Observe agora que até o passo r o processo de invasão não nos

fornece informa¸cões sobre elos que não são adjacentes à região Ix

r. Por isso,

podemos tomar E0 = Irx e concluirmos que com probabilidade de no m´ınimo

1−ε existe algum aglomerado p∗-aberto infinito a uma distˆancia de no m´ınimo

1 de I_rx_{. Logo, P(ξ}_px_∗ = 0) ≤ ε, e como ε foi tomado arbitrariamente, segue que

P(ξpx∗ = 0) = 0. (3.12)

Por outro lado, suponha que ξx

p∗ = n para algum natural n e consideremos o

seguinte conjunto {e = hv, yi ∈ E; v ∈ Ix

∞e y pertence a algum aglomerado p∗-aberto infinito}.

(3.13) Assim, como G é localmente finito e ξ_px_∗ 6= 0, existe uma quantidade finita de elos que estão no aglomerado p∗-aberto infinito que são adjacentes a elos que

est˜ao no conjunto definido em (3.13). Portanto, se alterarmos o status de cada elo do aglomerado p∗-aberto infinito que ´e adjacente a algum elo de I∞x

para p∗-fechado, a vari´avel ξpx∗que antes assumia valor diferente de zero, passa

agora a valer zero. Em resumo, o evento {ξx

p∗ = n} pode ser transformado

no evento {ξx

p∗ = 0} alterando apenas o status de uma quantidade finita de

elos. Logo, se fosse P(ξx

p∗ = n) > 0, ent˜ao tamb´em seria P(ξ

x

p∗ = 0) > 0. Mas

isso, contrariaria (3.12). Logo, mostramos que

P(ξpx∗ = n) = 0,

para todo natural n. Com isso, obtemos (3.9).

Vamos agora provar (3.10). Pinte de azul os elos que estão em algum aglomerado p∗-aberto infinito. Pinte de vermelho os elos que não são azuis

mas que s˜ao adjacentes a elos azuis e comece o processo de invas˜ao a partir do s´ıtio x. Dessa forma, para que o evento {ξx

(48)

38 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva acontece P-q.c por (3.9)), a regi˜ao invadida Ix

∞ deve encontrar (no sentido

de ser adjacente a elos) uma quantidade infinita de elos coloridos. Se o processo de invasão encontra um vértice final de algum elo azul pela primeira vez somente na k-ésima etapa de invasão, então no (k + 1)-ésimo passo de invasão o aglomerado p∗-aberto infinito será invadido e da´ı em diante somente

elos p∗-abertos ser˜ao invadidos. De fato, se ek−1 foi o (k − 1)-´esimo elo

invadido, ent˜ao ek−1 e todos os elos da fronteira de Ik−1x possuem tempos de

abertura superiores a p∗, enquanto o elo azul encontrado possui tempo de

abertura inferior a p∗. Portanto, se o processo de invas˜ao encontra qualquer

elo azul, I∞x intercepta algum aglomerado p-aberto infinito. Consideremos

então a outra op¸cão, ou seja, o processo de invasão encontra uma quantidade infinita de elos vermelhos. Suponha que um determinado elo e vermelho seja encontrado pela primeira vez. Assim, a distribui¸cão condicional do tempo de abertura τe de e (dada todas as informa¸cões até sua invasão) é uniforme

no intervalo (p∗, 1] (um elo vermelho ´e necessariamente p∗-fechado). Dessa

forma, o evento {τe < p} possui probabilidade condicional

p − p∗

1 − p∗

> 0. (3.14)

Portanto, como a probabilidade condicional em (3.14) é a mesma para todo elo vermelho que é encontrado pela primeira vez pelo processo de invasão, pelo Lema de Borel-Cantelli segue, P-q.c, que Ix

∞ encontra infitas vezes elos

vermelhos que possuem tempos de abertura inferiores a p. Por fim, note que se τe for menor do que p, segue do fato de e ser adjacente a um elo

p∗-aberto e de p∗ < p que ap´os a invas˜ao de e somente elos p-abertos

se-r˜ao invadidos, ou seja, o evento {τe < p} implica na ocorrˆencia do evento

{Ix

∞ intercepta algum aglomerado p-aberto infinito}. Logo, como a

probabi-lidade condicional em (3.14) é a mesma para toda vez que um elo vermelho é encontrado pela primeira vez, a rela¸cão (3.10) é uma consequência do Lema de Borel-Cantelli.

(49)

Cap´ıtulo 4

Processos de Crescimento com

Obst´

aculos Paralisantes

Suponha que em um ambiente, um organismo por exemplo, existam três ti-pos de substâncias (part´ıculas, células): verdes, vermelhas e brancas. As substâncias verdes, chamadas de ativas, podem crescer e se juntar com ou-tras substâncias verdes, mas nunca realizam ataques entre si. As substâncias brancas são passivas e podem se tornar verdes ao entrarem em contato com as próprias substâncias verdes. As substâncias vermelhas, chamadas para-lizantes, também são passivas, mas somente enquanto estiverem isoladas. Se um aglomerado de part´ıculas verdes encontra uma part´ıcula vermelha, o aglomerado verde é imediatamente invadido pela substância paralisante, seu crescimento é interrompido e ele torna-se vermelho. Nesse cap´ıtulo, nosso ambiente será um grafo G = (V, E) e as substâncias serão os s´ıtios do grafo, que admitirão os estados verdes, vermelhos ou brancos. Nossa preocupa¸cão estará em saber quando esse modelo está bem definido e qual a distribui-¸cão do tamanho de um aglomerado verde imediatamente antes de ter seu crescimento paralisado, ou seja, imediatamente antes de se tornar vermelho. Nas próximas se¸cões o modelo será definido rigorosamente e será mostrado, baseado totalmente no artigo de van de Berg, Peres, Sidoravicius e Vares [1], que se a densidade das substâncias vermelhas for positiva e a das brancas for suficientemente pequena, então a resposta para a primeira pergunta é

(50)

40 Cap´ıtulo 4. Processos de Crescimento afirmativa e a distribui¸cão descrita na segunda pergunta possui decaimento exponencial. Para as demonstra¸cões que se seguem, os cap´ıtulos anteriores desempenharão um papel extremamente importante.

4.1 Definindo o Modelo

Seja G = (V, E) um grafo infinito (ou finito), enumerável, conexo e local-mente finito. Cada s´ıtio de G receberá, aleatoriamente e independentemente dos outros s´ıtios, uma cor, que poderá ser branca, verde ou vermelha com probabilidades pw, pg e pr, respectivamente. Inicialmente, todos os elos de

G serão considerados fechados. Um subgrafo conexo maximal de G em que todos os vértices são verdes e todos os elos estão abertos será chamado de aglomerado verde. De maneira análoga podemos definir também aglomerados vermelhos. O aglomerado verde que contém o vértice v no tempo t será deno-tado por Cg(v, t). Se v não for verde no tempo t, então Cg(v, t) é o conjunto

vazio. Portanto, como no in´ıcio da dinâmica todos os elos estão fechados, os únicos aglomerados verdes observados em t = 0 são aqueles formados por s´ıtios verdes isolados. Para tempos maiores que zero, a dinâmica do processo acontece da seguinte forma: sempre que um elo e = hw, vi estiver fechado e possuir pelo menos um de seus s´ıtios verde, digamos v, então e come¸ca a ficar aberto (e não imediatamente) a uma taxa de 1 segundo (na verdade, a unidade temporal não é importante). Caso e deixe de estar fechado, o que acontecerá logo após sua abertura dependerá da cor do s´ıtio w. Se w for branco, então w torna-se verde. Se, por outro lado, w for vermelho, então cada um dos s´ıtios que está no aglomerado verde de v torna-se vermelho. Por fim, se w for verde, nenhuma mudan¸ca de cor será registrada e a única diferen¸ca a ser observada é que se os aglomerados verdes de v e w fossem sub-grafos disjuntos antes da abertura de e, então agora eles se juntam formando um único aglomerado verde. No primeiro caso, em que w é branco, diremos que o aglomerado verde de v cresce absorvendo w. Já no caso em que w é vermelho, diremos que o aglomerado verde de v torna-se paralisado. Por fim, observe que s´ıtios verdes nunca ficam brancos, s´ıtios vermelhos nunca mudam de cor e que a partir do momento em que um elo fica aberto, ele não

(51)

4.1. Definindo o Modelo 41 voltar´a mais a ficar fechado.

Vamos come¸car nossa análise supondo que G é um grafo finito. Se G não tiver s´ıtios verdes, então em momento algum elos poderão se abrir e dessa forma nada acontecerá, ou seja, a configura¸cão a ser observada em qualquer instante t é exatamente a mesma configura¸cão que se observou em t = 0. Por outro lado, se G não tiver s´ıtios vermelhos, então elos irão se abrir e s´ıtios brancos passarão a ser verdes. Mas como G é finito, a partir de um momento todos os s´ıtios observados serão verdes e a dinâmica não mais se alterará. Portanto, o único caso interessante seria aquele em que existe pelo menos um s´ıtio verde e pelo menos um s´ıtio vermelho. Se assim for, como pelo menos um s´ıtio é verde, elos come¸carão a ficar abertos. Mas G é finito e existe pelo menos um s´ıtio vermelho, e por isso em algum momento t < ∞ qualquer aglomerado verde necessariamente tocará algum s´ıtio vermelho, tornando-se então vermelho (paralisado). Portanto, a dinâmica nesse caso, assim como nos anteriores, também terá um fim. O que se observará a partir de um momento será um grafo com s´ıtio vermelhos ou brancos. Ainda nesse caso, observe que como inicialmente todos os elos eram fechados, em cada instante t, todo aglomerado vermelho C possui exatamente um único s´ıtio v que era originalmente vermelho. Diremos a partir de agora que esse s´ıtio especial v será responsável por tornar os outros s´ıtio de C vermelhos.

Para um grafo infinito G as intera¸cões do processo não serão limitadas como as observadas no parágrafo anterior e, por isso, a análise da dinâmica em G será muito mais complicada. Aglomerados muito grandes poderão mudar de cor instantaneamente e já não é mais claro que em aglomerados vermelhos existe um único s´ıtio originalmente vermelho. Assim, no resto desse texto, nos preocuparemos em estudar o processo em alguns tipos de grafos infinitos e, nesse caso, nossas principais questões serão:

1. A dinâmica em G está bem definida? Isto é, em qualquer tempo t, cada aglomerado vermelho possui um único s´ıtio originalmente vermelho? 2. Um aglomerado verde é finito no exato momento em que se torna

pa-ralisado? Em caso afirmativo, ´e poss´ıvel afirmar que a distribui¸c˜ao do seu tamanho possui decaimento exponencial?

(52)

42 Cap´ıtulo 4. Processos de Crescimento 3. Seja w um s´ıtio originalmente vermelho. Seria finito o conjunto dos s´ıtios originalmente verdes que se tornaram vermelhos devido ao s´ıtio w? A distribui¸c˜ao do volume desse conjunto tamb´em teria decaimento exponencial?

A próxima se¸cão será exclusivamente reservada para enunciarmos o teo-rema que dirá em quais casos as perguntas acima possuem resposta afirma-tiva.

4.2 Teorema Principal

Antes de apresentarmos o teorema, introduziremos as nota¸cões e defini-¸cões que serão necessárias adiante.

A no¸cão de distância em um grafo discutida no Cap´ıtulo 1 traz consigo a no¸cão de diâmetro. Se W é um conjunto de s´ıtios de G, então o diâmetro de W é definido por

max

v,w∈W d(v, w).

Além disso, a fronteira de W, representada por ∂W , denotará o conjunto de todos os s´ıtios que não estão em W mas que são adjacentes com algum s´ıtio de W .

Estamos prontos para enunciar o teorema. Seja G um grafo infinito, conexo, enumerável, localmente finito com grau máximo D e considere o modelo descrito na se¸cão anterior. Para cada v ∈ G e p ∈ (0, 1), seja ξv(p) a

esperan¸ca do volume do aglomerado de v na percola¸c˜ao de s´ıtios em G com parˆametro p e defina,

ξ(p) = sup

v

ξv(p).

Teorema 4.2.1. Suponha que

(D − 1)ξ(pw) < pr. (4.1)