maior do que pc).
3.3
Percola¸c˜ao Invasiva em Grafos Transiti-
vos
Nessa se¸c˜ao vamos estender os resultados da se¸c˜ao anterior para grafos transitivos. Todos os resultados dessa se¸c˜ao fazem parte das se¸c˜oes 2 e 3 de [5].
Defini¸c˜ao 3.3.1. Um grafo G = (V, E) admite percola¸c˜ao uniforme no n´ıvel p se
lim
R→∞x∈Vinf Pp(ω; ∃y ∈ V, |Cy ∩ B(x, R)| 6= 0) = 1, (3.7)
em que a bola B(x, R) de raio R centrada em x ∈ V ´e o subgrafo de G formado por todos os elos de G cujos dois s´ıtios finais distam no m´aximo R de x.
Denote o evento (ω; ∃y ∈ V, |Cy∩ B(x, R)| 6= 0) por A(x). Logo, se G for
um grafo transitivo, para quaisquer x, y ∈ V , temos que
Pp(A(x)) = Pp(A(y)).
Portanto, como h´a percola¸c˜ao em G se p > pc, existe um R suficientemente
grande tal que B(x, R) intercepta algum aglomerado p-aberto infinito, ou seja, grafos transitivos admitem percola¸c˜ao uniforme em todos os n´ıveis p > pc.
Lema 3.3.2. Seja G = (V, E) um grafo infinito, localmente finito com grau m´aximo D e conexo. Ent˜ao, ∀x ∈ V , ∀R ∈ N,
P(I∞x cont´em uma bola de raio R) = 1.
34 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva
Figura 3.4: O processo de invas˜ao que come¸ca em x dista menos do que R de algum v´ertice y ∈ V \B(x, Ln) pela primeira vez no rn-´esimo passo de
invas˜ao. No caso, y = yn.
rn:= min{k; Ikx dista menos do que R de algum y ∈ V \B(x, Ln)}.
Assim, como a regi˜ao Ix
∞ ´e infinita, rn deve ser finito para todo natural n.
Para cada n, seja yn o v´ertice de V \B(x, Ln) que est´a mais pr´oximo de Irxn
(ver Figura).
Considere agora os seguintes eventos
An= {τe < pc para todo e ∈ B(yn, R)}.
Condicionemos o processo de invas˜ao ao evento An. Dessa forma, ap´os
o rn-´esimo passo de invas˜ao, o ´ultimo elo ern acrescentado a regi˜ao I
x rn pos-
sui um v´ertice em comum com algum elo da caixa B(yn, R), ou seja, ern
´e adjacente com algum elo e que possui tempo de abertura menor do que pc. Assim, caso esse elo e nunca seja invadido, I∞x conter´a um aglomerado
p-aberto infinito em que p < pc. Mas quase certamente n˜ao existem aglo-
3.3. Percola¸c˜ao Invasiva em Grafos Transitivos 35 Por outro lado, como todos os elos da caixa B(yn, R) possuem tempos de
abertura inferiores a pc, todos esses elos ser˜ao invadidos. Portanto, condici-
onado a An, a regi˜ao invadida I∞x cont´em quase certamente a bola B(yn, R).
Consequentemente, o lema estar´a provado se conseguirmos demonstrar que
P(
∞
\
i=1
Aci) = 0. Como j´a observamos no par´agrafo anterior, Ix
rn e B(yn, R) se tocam em
um v´ertice mas n˜ao possuem elos em comum. Portanto, at´e o rn-´esimo passo
da invas˜ao n˜ao possu´ımos informa¸c˜oes sobre os elos da bola B(yn, R), ou seja,
P(An|Ac1, A c 2, ..., A c n1) = P (An) = p vol(B(yn,R)) c ,
em que vol(B(yn, R)), volume de B(yn, R), representa o n´umero de elos da
bola B(yn, R). Por outro lado, como os graus dos v´ertices de G s˜ao unifor-
memente limitados por D, temos que
vol(B(yn, R)) ≤ D+D(D−1)+D(D−1)2+...+D(D−1)R−1 = (D−1)R−1 ≤ DR.
Logo,
pDcR ≤ P(An|A1c, Ac2, ..., Acn1).
e consequentemente pelo Teorema da Multiplica¸c˜ao P(
∞
\
i=1
Aci) ≤ (1 − pDcR)n. (3.8)
Por fim, sabemos do Teorema 1.1.6 que
0 < 1
D − 1 ≤ pc,
e por essa rela¸c˜ao o lado direito de (3.8) tende a zero quando n → ∞.
Relembrando que todo grafo transitivo, infinito, conexo e localmente fi- nito possui percola¸c˜ao uniforme em todos os n´ıveis p > pc, o cap´ıtulo ser´a
36 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva encerrado com o seguinte resultado.
Teorema 3.3.3. Seja G = (V, E) um grafo infinito, conexo e localmente finito com grau m´aximo D. Se G admite percola¸c˜ao uniforme no n´ıvel p∗,
ent˜ao para qualquer p > p∗ e para qualquer x ∈ V , a regi˜ao invadida I∞x
intercepta algum aglomerado p-aberto infinito P-q.c.
Demonstra¸c˜ao. Fixe x ∈ V , p e p∗ como no teorema. Seja ξpx∗ a vari´avel
aleat´oria que conta o n´umero de elos que possuem um v´ertice final na regi˜ao Ix
∞e o outro v´ertice final em algum aglomerado p∗-aberto infinito. A demons-
tra¸c˜ao do teorema se dividir´a em duas etapas. Inicialmente, provaremos que
P(ξpx∗ = ∞) = 1. (3.9)
Em seguida, mostraremos que para p > p∗,
P(I∞x intercepta algum aglomerado p-aberto infinito | ξpx∗ = ∞) = 1. (3.10)
Com o resultado acima em m˜aos, nosso trabalho est´a feito. Tomando uma sequˆencia enumer´avel {pn}n∈Ntal que pn↓ p∗ o teorema ser´a uma consequˆen-
cia do Teorema da Continuidade de Probabilidade.
Da hip´otese sobre percola¸c˜ao uniforme, dado qualquer ε > 0 existe um R suficientemente grande tal que
inf
y∈V P(algum aglomerado p∗-aberto infinito intercepa B(y, R)) ≥ 1 − ε.
(3.11) Denote por r o menor inteiro positivo k tal que Ix
k cont´em uma bola de raio
R. Pelo Lema 3.1.10, r ´e finito quase certamente.
Para qualquer subconjunto E0de E considere o seguinte conjunto de s´ıtios
V (E0) = {y ∈ V ; y ´e um s´ıtio final de algum e0 ∈ E0}.
Vamos escolher um conjunto E0 de forma conveniente para mostrarmos
que P(ξx
p∗ = 0) = 0. Em seguida, estenderemos esse resultado e provaremos
que P(ξx
3.3. Percola¸c˜ao Invasiva em Grafos Transitivos 37 Suponha que E0 seja um conjunto finito contendo alguma bola de raio
R. Nesse caso, pela rela¸c˜ao (3.11), temos com probabilidade de no m´ınimo 1 − ε que existe um caminho infinito p∗-aberto que come¸ca em algum v´ertice
de V (E0)c que est´a a uma distˆancia 1 de V (E0) e que utiliza apenas v´ertices
de V (E0)c. Observe agora que at´e o passo r o processo de invas˜ao n˜ao nos
fornece informa¸c˜oes sobre elos que n˜ao s˜ao adjacentes `a regi˜ao Ix
r. Por isso,
podemos tomar E0 = Irx e concluirmos que com probabilidade de no m´ınimo
1−ε existe algum aglomerado p∗-aberto infinito a uma distˆancia de no m´ınimo
1 de Irx. Logo, P(ξpx∗ = 0) ≤ ε, e como ε foi tomado arbitrariamente, segue que
P(ξpx∗ = 0) = 0. (3.12)
Por outro lado, suponha que ξx
p∗ = n para algum natural n e consideremos o
seguinte conjunto {e = hv, yi ∈ E; v ∈ Ix
∞e y pertence a algum aglomerado p∗-aberto infinito}.
(3.13) Assim, como G ´e localmente finito e ξpx∗ 6= 0, existe uma quantidade finita de elos que est˜ao no aglomerado p∗-aberto infinito que s˜ao adjacentes a elos que
est˜ao no conjunto definido em (3.13). Portanto, se alterarmos o status de cada elo do aglomerado p∗-aberto infinito que ´e adjacente a algum elo de I∞x
para p∗-fechado, a vari´avel ξpx∗que antes assumia valor diferente de zero, passa
agora a valer zero. Em resumo, o evento {ξx
p∗ = n} pode ser transformado
no evento {ξx
p∗ = 0} alterando apenas o status de uma quantidade finita de
elos. Logo, se fosse P(ξx
p∗ = n) > 0, ent˜ao tamb´em seria P(ξ
x
p∗ = 0) > 0. Mas
isso, contrariaria (3.12). Logo, mostramos que
P(ξpx∗ = n) = 0,
para todo natural n. Com isso, obtemos (3.9).
Vamos agora provar (3.10). Pinte de azul os elos que est˜ao em algum aglomerado p∗-aberto infinito. Pinte de vermelho os elos que n˜ao s˜ao azuis
mas que s˜ao adjacentes a elos azuis e comece o processo de invas˜ao a partir do s´ıtio x. Dessa forma, para que o evento {ξx
38 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva acontece P-q.c por (3.9)), a regi˜ao invadida Ix
∞ deve encontrar (no sentido
de ser adjacente a elos) uma quantidade infinita de elos coloridos. Se o processo de invas˜ao encontra um v´ertice final de algum elo azul pela primeira vez somente na k-´esima etapa de invas˜ao, ent˜ao no (k + 1)-´esimo passo de invas˜ao o aglomerado p∗-aberto infinito ser´a invadido e da´ı em diante somente
elos p∗-abertos ser˜ao invadidos. De fato, se ek−1 foi o (k − 1)-´esimo elo
invadido, ent˜ao ek−1 e todos os elos da fronteira de Ik−1x possuem tempos de
abertura superiores a p∗, enquanto o elo azul encontrado possui tempo de
abertura inferior a p∗. Portanto, se o processo de invas˜ao encontra qualquer
elo azul, I∞x intercepta algum aglomerado p-aberto infinito. Consideremos
ent˜ao a outra op¸c˜ao, ou seja, o processo de invas˜ao encontra uma quantidade infinita de elos vermelhos. Suponha que um determinado elo e vermelho seja encontrado pela primeira vez. Assim, a distribui¸c˜ao condicional do tempo de abertura τe de e (dada todas as informa¸c˜oes at´e sua invas˜ao) ´e uniforme
no intervalo (p∗, 1] (um elo vermelho ´e necessariamente p∗-fechado). Dessa
forma, o evento {τe < p} possui probabilidade condicional
p − p∗
1 − p∗
> 0. (3.14)
Portanto, como a probabilidade condicional em (3.14) ´e a mesma para todo elo vermelho que ´e encontrado pela primeira vez pelo processo de invas˜ao, pelo Lema de Borel-Cantelli segue, P-q.c, que Ix
∞ encontra infitas vezes elos
vermelhos que possuem tempos de abertura inferiores a p. Por fim, note que se τe for menor do que p, segue do fato de e ser adjacente a um elo
p∗-aberto e de p∗ < p que ap´os a invas˜ao de e somente elos p-abertos se-
r˜ao invadidos, ou seja, o evento {τe < p} implica na ocorrˆencia do evento
{Ix
∞ intercepta algum aglomerado p-aberto infinito}. Logo, como a probabi-
lidade condicional em (3.14) ´e a mesma para toda vez que um elo vermelho ´e encontrado pela primeira vez, a rela¸c˜ao (3.10) ´e uma consequˆencia do Lema de Borel-Cantelli.
Cap´ıtulo 4
Processos de Crescimento com
Obst´aculos Paralisantes
Suponha que em um ambiente, um organismo por exemplo, existam trˆes ti- pos de substˆancias (part´ıculas, c´elulas): verdes, vermelhas e brancas. As substˆancias verdes, chamadas de ativas, podem crescer e se juntar com ou- tras substˆancias verdes, mas nunca realizam ataques entre si. As substˆancias brancas s˜ao passivas e podem se tornar verdes ao entrarem em contato com as pr´oprias substˆancias verdes. As substˆancias vermelhas, chamadas para- lizantes, tamb´em s˜ao passivas, mas somente enquanto estiverem isoladas. Se um aglomerado de part´ıculas verdes encontra uma part´ıcula vermelha, o aglomerado verde ´e imediatamente invadido pela substˆancia paralisante, seu crescimento ´e interrompido e ele torna-se vermelho. Nesse cap´ıtulo, nosso ambiente ser´a um grafo G = (V, E) e as substˆancias ser˜ao os s´ıtios do grafo, que admitir˜ao os estados verdes, vermelhos ou brancos. Nossa preocupa¸c˜ao estar´a em saber quando esse modelo est´a bem definido e qual a distribui- ¸c˜ao do tamanho de um aglomerado verde imediatamente antes de ter seu crescimento paralisado, ou seja, imediatamente antes de se tornar vermelho. Nas pr´oximas se¸c˜oes o modelo ser´a definido rigorosamente e ser´a mostrado, baseado totalmente no artigo de van de Berg, Peres, Sidoravicius e Vares [1], que se a densidade das substˆancias vermelhas for positiva e a das brancas for suficientemente pequena, ent˜ao a resposta para a primeira pergunta ´e
40 Cap´ıtulo 4. Processos de Crescimento afirmativa e a distribui¸c˜ao descrita na segunda pergunta possui decaimento exponencial. Para as demonstra¸c˜oes que se seguem, os cap´ıtulos anteriores desempenhar˜ao um papel extremamente importante.
4.1
Definindo o Modelo
Seja G = (V, E) um grafo infinito (ou finito), enumer´avel, conexo e local- mente finito. Cada s´ıtio de G receber´a, aleatoriamente e independentemente dos outros s´ıtios, uma cor, que poder´a ser branca, verde ou vermelha com probabilidades pw, pg e pr, respectivamente. Inicialmente, todos os elos de
G ser˜ao considerados fechados. Um subgrafo conexo maximal de G em que todos os v´ertices s˜ao verdes e todos os elos est˜ao abertos ser´a chamado de aglomerado verde. De maneira an´aloga podemos definir tamb´em aglomerados vermelhos. O aglomerado verde que cont´em o v´ertice v no tempo t ser´a deno- tado por Cg(v, t). Se v n˜ao for verde no tempo t, ent˜ao Cg(v, t) ´e o conjunto
vazio. Portanto, como no in´ıcio da dinˆamica todos os elos est˜ao fechados, os ´unicos aglomerados verdes observados em t = 0 s˜ao aqueles formados por s´ıtios verdes isolados. Para tempos maiores que zero, a dinˆamica do processo acontece da seguinte forma: sempre que um elo e = hw, vi estiver fechado e possuir pelo menos um de seus s´ıtios verde, digamos v, ent˜ao e come¸ca a ficar aberto (e n˜ao imediatamente) a uma taxa de 1 segundo (na verdade, a unidade temporal n˜ao ´e importante). Caso e deixe de estar fechado, o que acontecer´a logo ap´os sua abertura depender´a da cor do s´ıtio w. Se w for branco, ent˜ao w torna-se verde. Se, por outro lado, w for vermelho, ent˜ao cada um dos s´ıtios que est´a no aglomerado verde de v torna-se vermelho. Por fim, se w for verde, nenhuma mudan¸ca de cor ser´a registrada e a ´unica diferen¸ca a ser observada ´e que se os aglomerados verdes de v e w fossem sub- grafos disjuntos antes da abertura de e, ent˜ao agora eles se juntam formando um ´unico aglomerado verde. No primeiro caso, em que w ´e branco, diremos que o aglomerado verde de v cresce absorvendo w. J´a no caso em que w ´e vermelho, diremos que o aglomerado verde de v torna-se paralisado. Por fim, observe que s´ıtios verdes nunca ficam brancos, s´ıtios vermelhos nunca mudam de cor e que a partir do momento em que um elo fica aberto, ele n˜ao
4.1. Definindo o Modelo 41 voltar´a mais a ficar fechado.
Vamos come¸car nossa an´alise supondo que G ´e um grafo finito. Se G n˜ao tiver s´ıtios verdes, ent˜ao em momento algum elos poder˜ao se abrir e dessa forma nada acontecer´a, ou seja, a configura¸c˜ao a ser observada em qualquer instante t ´e exatamente a mesma configura¸c˜ao que se observou em t = 0. Por outro lado, se G n˜ao tiver s´ıtios vermelhos, ent˜ao elos ir˜ao se abrir e s´ıtios brancos passar˜ao a ser verdes. Mas como G ´e finito, a partir de um momento todos os s´ıtios observados ser˜ao verdes e a dinˆamica n˜ao mais se alterar´a. Portanto, o ´unico caso interessante seria aquele em que existe pelo menos um s´ıtio verde e pelo menos um s´ıtio vermelho. Se assim for, como pelo menos um s´ıtio ´e verde, elos come¸car˜ao a ficar abertos. Mas G ´e finito e existe pelo menos um s´ıtio vermelho, e por isso em algum momento t < ∞ qualquer aglomerado verde necessariamente tocar´a algum s´ıtio vermelho, tornando-se ent˜ao vermelho (paralisado). Portanto, a dinˆamica nesse caso, assim como nos anteriores, tamb´em ter´a um fim. O que se observar´a a partir de um momento ser´a um grafo com s´ıtio vermelhos ou brancos. Ainda nesse caso, observe que como inicialmente todos os elos eram fechados, em cada instante t, todo aglomerado vermelho C possui exatamente um ´unico s´ıtio v que era originalmente vermelho. Diremos a partir de agora que esse s´ıtio especial v ser´a respons´avel por tornar os outros s´ıtio de C vermelhos.
Para um grafo infinito G as intera¸c˜oes do processo n˜ao ser˜ao limitadas como as observadas no par´agrafo anterior e, por isso, a an´alise da dinˆamica em G ser´a muito mais complicada. Aglomerados muito grandes poder˜ao mudar de cor instantaneamente e j´a n˜ao ´e mais claro que em aglomerados vermelhos existe um ´unico s´ıtio originalmente vermelho. Assim, no resto desse texto, nos preocuparemos em estudar o processo em alguns tipos de grafos infinitos e, nesse caso, nossas principais quest˜oes ser˜ao:
1. A dinˆamica em G est´a bem definida? Isto ´e, em qualquer tempo t, cada aglomerado vermelho possui um ´unico s´ıtio originalmente vermelho? 2. Um aglomerado verde ´e finito no exato momento em que se torna pa-
ralisado? Em caso afirmativo, ´e poss´ıvel afirmar que a distribui¸c˜ao do seu tamanho possui decaimento exponencial?
42 Cap´ıtulo 4. Processos de Crescimento 3. Seja w um s´ıtio originalmente vermelho. Seria finito o conjunto dos s´ıtios originalmente verdes que se tornaram vermelhos devido ao s´ıtio w? A distribui¸c˜ao do volume desse conjunto tamb´em teria decaimento exponencial?
A pr´oxima se¸c˜ao ser´a exclusivamente reservada para enunciarmos o teo- rema que dir´a em quais casos as perguntas acima possuem resposta afirma- tiva.