Um simples exemplo - Processos de Crescimento com Obstáculos Paralisantes

Defini¸c˜ao 2.3.1. Seja Γ um grupo gerado pelo conjunto sim´etrico

S = {g±1₁ , g±1₂ , g₃±1, ...},

ou seja, todo elemento de Γ pode ser obtido como uma combina¸c˜ao finita de elementos de S. O grafo de Cayley de Γ com respeito a S ´e o grafo CG(Γ, S) := (V, E) tal que:

• V = Γ, ou seja, o conjunto dos s´ıtios de CG(Γ, S) ´e formado pelos elementos do grupo Γ;

• hx, yi ∈ E se, e somente se, x−1_{y ∈ S.}

Um grupo Γ pode possuir mais de um grupo gerador simétrico. Portanto, deve ficar claro que o grafo de Cayley CG(Γ, S) depende fortemente da escolha do conjunto gerador S. O próximo exemplo elucida essa observa¸cão. Exemplo 2.3.2. Considere o grupo aditivo Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Da teoria

de grupos, sabemos que Z5 pode ser gerado por qualquer elemento diferente

da identidade. Dessa forma, S1 = {1, 4} ou S2 = {2, 3} geram o grupo

das classes de congruˆencia m´_{odulo 5. Os grafos de Cayley CG(Z}5, S1) e

2.3. Um simples exemplo 21

Figura 2.1: A figura da esquerda representa o grafo de Cayley CG(Z5, S1).

J´_{a a figura da direita representa o grafo de Cayley CG(Z}5, S2)

Em princ´ıpio, a escolha do s´ımbolo Γ para representar o grupo que faz parte da constru¸cão de um grafo de Cayley pode parecer pregui¸cosa e até es- tranha. No in´ıcio do cap´ıtulo considerava-se um grafo G, definia-se o grupo Aut(G) de automorfismos de G e em seguida dirig´ıamos nossa aten¸cão para um subgrupo Γ de Aut(G), ou seja, o s´ımbolo Γ, nesse texto, foi eleito para representar dois objetos matemáticos distintos. Entretanto, será mostrado agora que se CG(Γ, S) é um grafo de Cayley, então Γ é isomorfo a um subgrupo de Aut(CG(Γ, S))!

Defini¸cão 2.3.3. Um grafo G é chamado vértice transitivo se dados quais- quer x, y ∈ V (G) existe um automorfismo ϕ de G tal que ϕ(x) = y.

Teorema 2.3.4. Se CG(Γ, S) é um grafo de Cayley, então para cada elemento g ∈ Γ, a aplica¸cão

ϕg : V −→ V

v 7−→ gv ´e um automorfismo de CG(Γ, S).

Demonstra¸cão. Temos que provar que ϕg é uma bije¸cão que preserva ad-

jacência. Vejamos: 1. ϕg é bije¸cão:

22 Cap´ıtulo 2. O Princ´ıpio do Transporte de Massa • ϕg(x) = ϕ(y) ⇐⇒ gx = gy ⇐⇒ x = y

• dado x ∈ V , temos que ϕg(g−1x) = g(g−1x) = x

2. ϕg preserva adjacˆencia:

Precisamos mostrar que se hx, yi ∈ E, ent˜ao hϕg(x), ϕg(y)i ∈ E. Mas

hx, yi ∈ E se e somente se x−1_{y ∈ G. Por outro lado,}

(ϕg(x))−1ϕ(y) = (gx)−1(gy) = (x−1g−1)(gy) = x−1y.

Corolário 2.3.5. Se CG(Γ, S) for um grafo de Cayley, então CG(Γ, S) é vértice transitivo.

Demonstra¸c˜ao. Basta considerar o automorfismo ϕyx−1 definido no Teo-

rema 2.3.4.

Corolário 2.3.6. Se CG(Γ, S) for um grafo de Cayley, então a aplica¸cão, H : Γ −→ Aut(CG(Γ, S))

g 7−→ ϕg

´e um homomorfismo injetivo de grupos.

Demonstra¸c˜ao. Se g,h e x s˜ao elementos de Γ, segue que:

ϕgh(x) = (gh)x = gϕh(x) = ϕg(ϕh(x)) = (ϕg◦ ϕh)(x),

ou seja, H(gh) = ϕg ◦ ϕh. A injetividade ´e imediata.

Naturalmente, segue do corol´ario acima que Γ ´e isomorfo a Im(H) = {H(g) = ϕg; g ∈ Γ}, ou seja, Γ pode e deve ser visto como um subgrupo de

Aut(CG(Γ, S)). Portanto, fará sentido dizer no próximo exemplo que uma medida é Γ-invariante.

2.3. Um simples exemplo 23 Exemplo 2.3.7. Considere o modelo de percola¸cão de elos de Bernoulli de parâmetro p no grafo de Cayley CG(Γ, S) = (V, E) e defina a seguinte aplica¸cão F : Γ × Γ × ΩE −→ [0, ∞):

F (x, y, ω) = (

1, se < x, y > for um elo aberto na configura¸c˜ao ω, 0, caso contr´ario.

Ent˜ao, F ´e diagonalmente invariante por Γ.

Demonstra¸cão. Sejam x, y, g ∈ V = Γ e ω uma configura¸cão qualquer. Su- ponhamos inicialmente que F (x, y, ω) = 1, ou seja, x−1y ∈ S e ω(hx, yi) = 1. Do Teorema 2.3.4 sabemos que ϕg(x) = gx é um automorfismo de CG(Γ, S)

e portanto hgx, gyi ∈ E. Por outro lado, o estado do elo hgx, gyi na configura¸c˜ao ω ´e dado por:

(gω)(hgx, gyi) := ω(g−1(gx), g−1(gy)) = ω(hx, yi) = 1,

e nesse caso

F (x, y, ω) = 1 = F (gx, gy, gω).

O caso em que F (x, y, ω) = 0 é análogo. Portanto F é diagonalmente invariante por Γ.

Como a medida Pp do exemplo 2.3.7 ´e invariante por transla¸c˜oes, Pp

também é invariante pela a¸cão de Γ. Defina

f (x, y) := E[F (x, y, ω)],

Assim, utilizando a Proposi¸c˜ao 2.1.7, temos que f ´e diagonalmente invariante por Γ. Logo, se x ∈ Γ, o Princ´ıpio do Transporte de Massa nos afirma que

y∈Γ

f (x, y) =X

y∈Γ

Cap´ıtulo 3

Percola¸c˜ao Invasiva

Esque¸camos agora a pedra porosa e passemos a considerar uma represa. Essa represa, vista por cima, possui como tra¸cado o grafo L2. Sobre cada elo existe uma parede de largura desprez´ıvel e cuja altura foi determinada aleatoria- mente: para cada parede sorteou-se uniformemente no intervalo [0, 1], e de forma independente das outras paredes, um número que determinou sua altura em metros. Do centro de um dos quadrados da represa, uma fonte come¸ca a liberar água em uma vazão constante. O n´ıvel da água come¸ca a subir até atingir a altura da menor parede. A partir desse momento, o cômodo adjacente à essa parede menor passa a ser invadido pela água. Dessa forma, o que acontecerá em seguida dependerá da altura de seis paredes (contra quatro no come¸co do processo). O n´ıvel da água continua a subir até alcan¸car a altura da menor parede. Novamente, outro quadrado será ocupado pelo l´ıquido e o processo continuará assim sucessivamente. Como resultado teremos um número infinito de compartimentos invadidos pela água. A essa região damos o nome de região invadida ou aglomerado invadido.

O modelo de percola¸cão invasiva, introduzido em 1983 por Wilkinson e Willemsen (ver [11]), será discutido nesse cap´ıtulo. A se¸cão 3.1 definirá rigo- rosamente o modelo. A Se¸cão 3.2 trará um estudo sobre percola¸cão invasiva em L2_{. O principal resultado dessa se¸c˜}_{ao, o Teorema 3.2.5, ser´}_{a uma con-}

sequência do Teorema de RSW. Por fim, o Teorema 3.2.5 será generalizado para grafos mais gerais na Se¸cão 3.2. Todos os resultados dessa última se¸cão

26 Cap´ıtulo 3. Percola¸c˜ao Invasiva foram retirados das se¸c˜oes 2 e 3 de [5].

3.1 O Processo

Seja G = (V, E) um grafo infinito, conexo e localmente finito. Atribu´ıre- mos aos elos de G vari´aveis aleat´orias {τe}e∈Ei.i.d uniformemente distribu´ıdas

em [0, 1]. O aglomerado invadido de um s´ıtio x ∈ V é constru´ıdo indutiva- mente através de uma sequência crescente Ix

1 ⊂ I2x ⊂ I3x ⊂ ... de conjuntos

de elos da seguinte forma: seja Ix

1 o conjunto formado pelo ´unico elo e que

possui o menor valor τe dentre todos aqueles elos adjacentes com o s´ıtio x.

Se I_nx está constru´ıdo, I_n+1x será dado por I_nx∪ {e}, em que o elo e é o elo que possui o menor valor τedentre todos os elos que não estão em Inx mas que são

adjacentes com algum elo de I_nx. O aglomerado invadido de x ´e o conjunto de elos I_∞x = ∞ [ n=1 I_nx. .

Dois espa¸cos de probabilidade serão utilizados nos próximos teoremas. O primeiro é aquele referente ao processo de percola¸cão de elos de Bernoulli de parâmetro p cuja medida é denotada por Pp. Já o segundo refere-se ao

espa¸co que acopla os processos de percola¸cão de elos de Bernoulli para todos os parâmetros p simultaneamente. A medida produto do segundo espa¸co é representada por P.

Daqui em diante, nossa principal preocupa¸cão será investigar sobre quais condi¸cões a região invadida I_∞x intercepta algum aglomerado p-aberto infinito com probabilidade P igual a 1.

Teorema 3.1.1. Se o processo de invasão que come¸ca no s´ıtio x toca um aglomerado p-aberto infinito C, então, após tocar esse algomerado C, o processo de invasão permanecerá para sempre dentro de C.

Demonstra¸cão. O n-ésimo elo invadido pela região Ix

∞ ser´a denotado por

3.2. Percola¸c˜_{ao Invasiva em L}2 27

No documento Processos de Crescimento com Obstáculos Paralisantes (páginas 30-37)