2. EXPERIMENTAÇÃO E PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
2.2 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
Em geral, experimentos científicos envolvem muitos fatores e, frequentemente, concentram-se em determinar a influência dos fatores sobre a resposta, bem como, os valores (ou configurações) para obter respostas aceitáveis ou com menor variabilidade. As técnicas de DOE permitem estabelecer uma relação de causa e efeito entre fatores e resposta, cuja representação usual é um modelo polinomial de baixa ordem na forma de (1):
ε
β +
= f(x)
y , (1)
em que o comportamento da resposta y é explicado em parte pelos fatores x por meio de uma função f(x) associados aos coeficientes β, e, em outra parte não captada pela função, representada pelo erro experimental aleatório ε. Em (1), x são variáveis independentes, y a variável dependente e ε é o erro estatístico aleatório, ou resíduos do modelo, que segue uma distribuição normal padrão, com média 0 e desvio padrão σ. No contexto de DOE, grande
parte dos resultados são expressos na forma de modelos de regressão linear (KHURI e MUKHOPADHYAY, 2010).
Um modelo de regressão linear que contém mais de uma variável independente é chamado de modelo de regressão linear múltipla:
∑
= + + = k i i ix y 1 0 β ε β (2)O modelo (2) é linear em relação aos coeficientes βi (i = 0, 1, 2, ..., k) e descreve um plano no espaço de y e xi. O coeficiente β0 é o intercepto do plano, enquanto que βi são os coeficientes de regressão parciais, tal que βi representa uma alteração da resposta média correspondente a uma unidade do i-ésimo fator x, quando os demais fatores são constantes. Este modelo (2) é chamado modelo de regressão linear de primeira ordem, pois a potência máxima das variáveis do modelo é 1. Um modelo de segunda ordem, dado por (3), acrescenta termos quadráticos, como 2
i iix
β , e termos com o produto cruzado de fatores, por exemplo j i ijx x β , em (2).
∑
∑ ∑∑
= = = ≠ = + + + + = k i i ii k i k i k i j j j i ij i ix x x x y 1 2 1 1 1 0 β β β ε β (3)Este modelo (3) também é linear em relação aos coeficientes β, mas é referenciado como modelo de regressão polinomial. Os termos quadráticos e produtos de fatores presentes em (3) fazem da resposta uma superfície curvilínea. Este modelo é de segunda ordem, pois a potência máxima das variáveis do modelo é 2.
Em geral, os modelos de regressão são adotados com os propósitos de:
• Estabelecer uma relação, mesmo que aproximada, entre y e x1, x2, ..., xk, para prever a resposta sob diferentes configurações dos fatores;
• Determinar a significância dos fatores por meio de testes de hipóteses; e
• Determinar as configurações de x1, x2, ..., xk, que resultam na resposta máxima (ou mínima) sobre uma região de interesse.
Para alcançar esses propósitos uma série de experimentos deve ser conduzida, a fim de se observar a resposta para diferentes configurações ou valores dos fatores (KHURI e MUKHOPADHYAY, 2010). Em um experimento de DOE, os fatores podem assumir diferentes valores, chamados de níveis. As combinações entre fatores e níveis são denominadas tratamentos. Por exemplo, um experimento composto por dois fatores, com n níveis do primeiro fator e m níveis do segundo, correspondendo a n × m tratamentos, é chamado de planejamento fatorial completo n × m, no qual todas as combinações fator/nível são investigadas.
2.2.1 Planejamentos Fatoriais
Planejamentos fatoriais permitem a investigação simultânea de dois ou mais fatores com um número qualquer de níveis. Seu objetivo é identificar os fatores mais significativos para a resposta e investigar as relações ou interações que existem entre os fatores. Uma interação pode ser definida como a falha de um fator em produzir o mesmo efeito na resposta para cada nível de um outro fator (MONTGOMERY, 2012).
Existem diferentes tipos de planejamentos fatoriais, por exemplo, os fatoriais com dois ou três níveis, que são casos especiais em que os fatores são limitados a um determinado número de níveis. Para o desenvolvimento desta pesquisa os fatoriais com dois níveis receberão uma atenção especial.
Figura 2 - Representação geométrica de um fatorial completo 23.
Quando os fatores estão limitados a um determinado número de níveis, como no caso de planejamentos fatoriais com dois níveis, é possível obter um número reduzido de tratamentos e investigar todos os fatores e suas interações. O esquema padrão dos fatoriais em dois níveis adota a notação "+1" e "−1" para representar os níveis alto e baixo, respectivamente, de cada
fator (BOX et al., 1978; MONTGOMERY, 2012). Quando todas as combinações fator/nível são executadas, o planejamento é denominado fatorial completo 2k, no qual o 2 representa o número de níveis e k, o número de fatores. Um fatorial completo 23 com três fatores (x1, x2, e x3) e dois níveis produz 8 tratamentos representados como vértices de um cubo (Figura 2). Na Figura 2 cada vértice representa uma combinação única entre fator e nível, denominada ponto fatorial.
Uma propriedade dos fatoriais completos 2k é a ortogonalidade. Uma matriz ortogonal indica que o planejamento é balanceado de forma que os níveis dos fatores são ponderados igualmente. Essa propriedade é importante, pois elimina a correlação entre as estimativas dos efeitos principais4 e de interações5. Assim, a análise estatística de um planejamento fatorial 2k
é direta, uma vez que é possível estimar seus efeitos independentemente. Se o experimento não for ortogonal, seja proposital ou devido a perda acidental dos dados, a interpretação poderá não ser direta (MONTGOMERY, 2012).
Uma desvantagem dos planejamentos fatoriais é que o número de tratamentos cresce geometricamente à medida que o valor de k aumenta. Por isso, mesmo no caso de dois níveis e que o número de fatores seja pequeno, um planejamento fatorial pode tornar-se extenso rapidamente. Nesse contexto, os planejamentos fatoriais fracionados surgem como alternativa para reduzir o número de experimentos.
Um fatorial fracionado é um planejamento no qual somente um subconjunto de tratamentos presentes nos fatoriais completos é utilizado.
No caso de planejamentos fatoriais com dois níveis, uma categoria denominada fracionada 2(k-p), em que p é um fator de redução, representa uma alternativa aos fatoriais completos, uma vez que nem todas as combinações de fator/nível são investigadas. Para a confecção de um fatorial fracionado é necessário descrever como os efeitos são confundidos com outros efeitos, ou seja, a resolução do planejamento fracionado. Quando um ou mais efeitos são confundidos, eles não podem ser estimados separadamente. Nos planejamentos fracionados 2(k-p) as resoluções mais comuns são:
• III: os efeitos principais são confundidos com interações de 2 fatores;
4 Efeito principal: representa uma diferença no comportamento do fator em razão de alterações de seu nível.
5 Efeito de interação: Representa uma diferença no comportamento de um fator para os diferentes níveis de outro fator.
• IV: algumas interações de 2 fatores são confundidas com outras interações de 2 fatores, e os efeitos principais são confundidos com interações de 3 fatores; e • V: as interações de 2 fatores são confundidas com interações de 3 fatores, e os
efeitos principais são confundidos com interações de 4 fatores.
Por exemplo, um fatorial completo 23 pode ser reescrito como um fatorial fracionado
2(3-1) com resolução III, em que todos os fatores (k = 3) são estudados, mas os níveis de um
deles (p = 1) são estimados a partir das interações entre os outros dois fatores. Nessa ilustração, os níveis principais de x3 são estimados por meio das interações entre x1 e x2, resultando uma matriz experimental com 4 tratamentos (Tabela 1).
Uma desvantagem dos planejamentos fracionados consiste no fato de que, com base nos tratamentos excluídos, os efeitos de interações de altas ordens, que envolvem dois ou mais fatores, são desconsiderados.
Tabela 1 - Fatorial fracionado 2(3-1) de resolução III. Tratamentos x1 x2 x3 1 −1 −1 +1 2 +1 −1 −1 3 −1 +1 −1 4 +1 +1 +1 2.2.2 Planejamentos Plackett-Burman
Os planejamentos Plackett-Burman (PLACKETT e BURMAN, 1946) são planejamentos com resolução III, de dois níveis. Esses planejamentos são semelhantes aos fatoriais com dois níveis, mas exigem um número menor de experimentos, principalmente, quando o número de fatores é grande. Nos planejamentos Plackett-Burman (PPB) o número de fatores deve ser sempre menor do que o número de experimentos. Por exemplo, um planejamento com 8 experimentos permite estimar os efeitos principais para até 7 fatores (Tabela 2).
A construção de uma matriz experimental de um PPB se dá a partir da permutação cíclica da primeira linha, que é padrão do PPB. A segunda linha é formada a partir do deslocamento em uma coluna da primeira linha, tal que o sinal da última coluna da primeira linha se desloca para a primeira coluna da segunda linha, o sinal da primeira coluna se desloca para a segunda e assim por diante até que todos os sinais da primeira linha sejam deslocados.
Esse procedimento, classificado como variação helicoidal, é repetido até obter uma matriz k × k. Para finalizar, uma última linha é adicionada à matriz, com todos os fatores configurados no nível baixo (BERES e HAWKINS, 2001). O resultado do procedimento é uma matriz experimental com (k+1) × k tratamentos.
Tabela 2 - Esquema de um Planejamento Plackett-Burman com 7 fatores. Tratamentos x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 +1 +1 +1 −1 +1 −1 −1 2 −1 +1 +1 +1 −1 +1 −1 3 −1 −1 +1 +1 +1 −1 +1 4 +1 −1 −1 +1 +1 +1 −1 5 −1 +1 −1 −1 +1 +1 +1 6 +1 −1 +1 −1 −1 +1 +1 7 +1 +1 −1 +1 −1 −1 +1 8 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1