6. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E ESTUDOS
6.3 PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO DE ATIVIDADES
∈S j i ij c ) , ( ≤ |S| − 1 (S ⊂ C, 3 ≤ |S| ≤ n − 3), (22) cij ∈ {0, 1}, ∀i, j ∈ E, (23)
em que dij corresponde à distância ou custo do percurso entre as cidades i e j e cij é uma variável de decisão que assume valor 1 se a aresta (i, j) aparece no percurso ótimo, isto é, se existe um caminho entre as cidades i e j, e valor 0 (zero) caso contrário. A restrição (21), denominada restrição de grau, garante a existência de uma ligação única entre as cidades, (22) é a restrição de eliminação de subpercurso, que em conjunto com (21) exclui os subpercursos de C e (23) é uma restrição de integralidade. Essa formulação pode ser estendida para o TSP assimétrico (24-28): minimizar
∑
≠ j i ij ijc d , (24) Subjeito à:∑
= n j ij c 1 = 1, ∀i ∈ C, (25)∑
= n i ij c 1 = 1, ∀j ∈ C, (26)∑
∈S j i ij c ) , ( ≤ |S| − 1 (S ⊂ C, 2 ≤ |S| ≤ n − 2), (27) cij ∈ {0, 1}, ∀i, j ∈ A. (28)Nessa formulação, (25-26), (27) e (28) são denominadas restrições de grau, de eliminação subpercurso e de integralidade, respectivamente.
6.3 PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO DE ATIVIDADES
Problemas de Sequenciamento (em Inglês, Scheduling Problems) estão relacionados com a distribuição de recursos limitados para execução de atividades visando a realização eficiente de trabalhos. Esses problemas envolvem atividades que devem ser organizadas em máquinas, geralmente, com algumas limitações, para otimizar um critério de desempenho. A ideia-chave é encontrar uma ordem para execução das atividades e determinar quando e em qual máquina cada atividade deve ser executada. Essa concepção simples cria um problema
que permanece em grande parte sem solução eficiente. Estudos conduzidos nas últimas décadas indicam que a complexidade de alguns problemas de sequenciamento é NP-difícil (SCHMIDT, 2000).
A teoria de sequenciamento assume que as máquinas são continuamente disponíveis. Essa hipótese pode ser justificada em alguns casos, mas não se aplica em situações com determinados requisitos de manutenção, avarias e outras limitações, que implicam na indisponibilidade das máquinas para processamento e forçam a interrupção das atividades. Um sequenciamento de atividades é preferencial (em Inglês, preemptive) se, a qualquer instante, as atividades podem ser interrompidas e reiniciadas mais tarde sem custos, algumas vezes, em outra máquina. Se a interrupção de atividades não é permitida, o sequenciamento é denominado não preferencial.
Em geral, os problemas de sequenciamento são descritos por meio de uma notação de três campos: α|β|γ (GRAHAM et al., 1979; SCHMIDT, 2000), em que α se refere a características da máquina, β descreve as atividades e características de processamento e γ corresponde à medida de desempenho que será otimizada.
Na literatura contemporânea um dos objetivos mais amplamente estudados no contexto de sequenciamento de atividades é a minimização do makespan. Esse problema é expresso como F|pmtn|Cmax pela notação de três campos, em que F indica o uso de máquinas dedicadas, pmtn descreve atividades preferenciais, isto é, aquelas que podem ser arbitrariamente interrompidas, e Cmax é a medida de desempenho referente ao makespan (PINEDO, 2002). Em síntese, um problema de makespan consiste em encontrar uma sequência de execução das atividades, tal que o tempo de conclusão da última atividade executada seja o menor possível.
Outras medidas de desempenho também são muito estudadas em sequenciamento de atividades, especialmente, aquelas relacionadas com datas para início e finalização das atividades, muito significativas para a indústria devido à necessidade de cumprimento de prazos. Dentre os problemas de sequenciamento com restrições de data, destaca-se o Problema do Atraso Total (em Inglês, Total Tardiness Problem - TTP), cujo objetivo é determinar uma sequência para execução das atividades, tal que o atraso total Tmax seja minimizado. O atraso de uma atividade corresponde à diferença entre a data programada para sua finalização e a finalização efetiva da atividade (KOULAMAS, 2010).
6.3.1 Definição e Formulação Matemática
O problema TTP, expresso na forma de 1|1, d|Tmax, é definido como um conjunto com n atividades J = {1, 2, ..., n} para serem processadas sem interrupção por uma máquina única continuamente disponível, com capacidade para processar no máximo uma atividade de cada vez. Cada atividade (j ∈ J) está disponível no instante inicial, consome um tempo de processamento pj (unidades de tempo) positivo e ininterrupto e possui restrições em relação à data de finalização dj. O atraso Tj é computado como max(0, Cj − dj), em que Cj é tempo de completude da atividade j.
Uma extensão do TTP pode ser obtida com a atribuição de diferentes prioridades wj
para a execução das atividades. Essa modificação resulta no TTP Ponderado (em Inglês, Total Weighted Tardiness Problem - TWTP), cujo objetivo é organizar as atividades de maneira a encontrar uma sequência ideal para minimizar o atraso total ponderado ΣwjTj. Expresso sob forma de 1|1, dj|wjTj, no TWTP as atividades j ∈ J possuem prioridades wj umas sobre as outras. Por exemplo, na Tabela 11 são apresentados dados ilustrativos de 4 atividades para um problema de sequenciamento. Cada atividade consome p = [6, 8, 3, 9] unidades de tempo de processamento e possui restrições em relação à data de finalização d = [10, 16, 8, 18] e prioridade w = [1, 5, 4, 3] sobre as demais atividades.
Tabela 11 - Problema ilustrativo de sequenciamento.
Atividades 1 2 3 4
p 6 8 3 9
d 10 16 8 18
w 1 5 4 3
Para ilustrar o cálculo do atraso total ponderado admita-se, inicialmente, a sequência de processamento: 1-2-3-4. O processamento das atividades é iniciado com a atividade 1, que consome 6 unidades de tempo sem atraso. Isto é, a atividade 1 se encerra no instante 6 e sua data de finalização é o instante 10, por isso T1 = max(0, 6 − 10) = 0. O processamento segue com a atividade 2 imediatamente após 1. O processamento total das primeiras atividades consome 14 unidades de tempo (p1 + p2 = 6 + 8 = 14) sem atraso, pois a finalização da atividade 2 está programada para o instante 16. Ao seguir o processamento, a atividade 3 é finalizada no instante 17 e, como seu término está programado para o instante 8, ocorre atraso de 9 unidades de tempo, isto é, T3 = max(0, 17 − 8) = 9. A sequência de processamento é finalizada com a atividade 4 no instante 26, com atraso de 8 unidades de tempo. Ao final do
processamento, a sequência 1-2-3-4 produz um atraso total ponderado de 60 unidades de tempo, isto é, ΣwjTj = 1 × 0 + 5 × 0 + 4 × 9 + 3 × 8 = 60 (Tabela 12).
Tabela 12 - Atraso total ponderado para a sequência 1-2-3-4.
Atividades 1 2 3 4 p 6 8 3 9 d 10 16 8 18 w 1 5 4 3 C 6 14 17 26 T 0 0 9 8 wT 0 0 36 24
Uma pequena alteração na sequência de processamento das atividades pode modificar completamente o resultado. Por exemplo, a sequência de processamento 1-2-4-3 (Figura 26) produz um atraso total ponderado de 87 unidades de tempo.
Figura 26 - Processamento das atividades para a sequência 1-2-4-3.
Em geral, em problemas de sequenciamento com n atividades e m máquinas é possível obter (n!)m diferentes combinações de sequenciamento. Portanto, no TWTP ilustrativo (Tabela 12), em que n = 4 atividades e m = 1 máquina, há 4! (= 24) maneiras diferentes de organizar a sequência das atividades. O TWTP em máquina única é um caso especial de problemas de sequenciamento classificado como NP-difícil (LENSTRA et al., 1977).
O TWTP é relevante em situações reais, tais como sequenciamento da produção e de pousos e decolagens de aeronaves, designação da sequência de etapas em projetos de desenvolvimento, entregas de mercadorias para clientes com prioridades na cadeia de suprimentos, dentre outros. Ao longo das últimas décadas, muitos estudos propõem diferentes abordagens para resolver o TWTP. O método exato branch-and-bound (JOUGLET et al.,
2002; BABU et al., 2004) permite encontrar a solução ótima do problema, mas em geral demanda o consumo excessivo dos recursos computacionais, por exemplo tempo, especialmente quando o tamanho do problema ultrapassa 50 atividades (CRAUWELS et al., 1998). Outros estudos empregam métodos heurísticos e meta-heurísticos e incluem pesquisa local (CRAUWELS et al., 1998), busca tabu (BOZEJKO et al., 2006), recozimento simulado (NEARCHOU, 2004), algoritmo genético (LIU et al., 2005), dentre outros (ARROIO et al., 2008; WANG e TANG, 2009).
O modelo de otimização é formulado da seguinte maneira (29-34):
minimizar
∑
= n j j jT w 1 , (29) Subjeito à: Tj ≥ Cj − dj, ∀j ∈ J, (30) Cj ≥ dj, ∀j ∈ J, (31) Cj + pk ≤ Ck, ∀j, k ∈ J, (32) Ck + pj ≤ Cj, ∀j, k ∈ J, (33) Tj, Cj ≥ 0, ∀j ∈ J, (34)em que as restrições (30) restringem que o atraso seja maior ou igual a diferença entre o tempo programado para finalização da atividade e sua finalização efetiva, (31) garantem que o tempo de completude da atividade seja maior ou igual ao seu tempo de processamento, (32) e (33) são restrições que forçam que uma atividade j seja processada antes de outra atividade k e vice-versa para qualquer par de atividades, e (34) estabelecem que o atraso e o tempo de completude da atividade devem ser positivos.