Plano B – Pagamento Periódico de Juros

Nesse plano, o financiamento é liquidado da seguinte forma: a) no final de cada ano, são pagos os juros do respectivo ano;

b) no final do 4o _{ano, além dos juros anuais, é efetuado o pagamento integral do}

principal.

TABELA 8.1 Plano A – Pagamento no final (principal = $1.000,00,

taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)

Anos Saldo no início do ano Juros do ano Saldo no final do ano após paga- mento

Pagamentos no final do ano

Saldo no final do ano após pagamento Total Juros Amorti-

zação 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00 2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40 3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1.259,71 4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 0,00

Capítulo 8 – Equivalência de Fluxos de Caixa ₁₅₉

A Tabela 8.2 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação.

n

i

PV

PMT

FV

4 8,00 1.000,00 301,92 0,00

TABELA 8.2 Plano B – Pagamento periódico de juros (principal _{taxa de juros}  $1.000,00,

 8% ao ano, prazo  4 anos)

Anos Saldo no início do ano Juros do ano Saldo no final do ano após paga- mento

Pagamentos no final do ano

Saldo no final do ano após pagamento Total Juros Amorti-

zação 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00 4 1.000,00 80,00 1.080,00 1.080,00 80,00 1.000,00 0,00

Soma dos pagamentos 1.320,00 320,00 1.000,00

Por esse quadro de amortização do Plano B, o financiamento de $1.000,00 é liquidado com quatro pagamentos anuais de $80,00, correspondentes aos juros de cada ano, e mais um pagamento de $1.000,00 no final do 4o _{ano, para amortizar}

integralmente o principal do financiamento.

Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado, tais como operações de leasing e aplicações em títulos de renda periódica (anual, mensal etc.). 8.2.3. Plano C – Prestações Iguais – Modelo Price

Nesse plano, o financiamento é liquidado pelo pagamento de quatro prestações anuais de $301,92, cujo valor presente pode ser obtido conforme indicado:

160 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

As prestações de cada ano são subdivididas em duas parcelas:

a) juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano;

b) amortização do principal, obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do ano.

A Tabela 8.3 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação.

Essa modalidade de pagamento é conhecida como Modelo Price, e é bastante utilizada em operações de financiamento imobiliário e de crédito direto ao consumidor.

Pelo quadro de amortização do Plano C, verificamos que a 1a _{prestação contém} $80,00 de juros, correspondentes a 8% do saldo do início do ano ($1.000,00). A amor- tização da 1a _{prestação ($221,92) é obtida pela diferença entre o valor da prestação} ($301,92) e o valor dos juros do 1o _{ano ($80,00).}

O saldo remanescente do principal para o 2o _{ano é assim obtido:}

$1.000,00  $221,92  $778,08

Os juros do 2o _{ano ($62,25) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. sobre o}

saldo do principal no início do 2o _{ano ($778,08).}

Assim, os juros de cada ano vão diminuindo de valor ao longo do tempo, e as amortizações, inversamente, vão aumentando de valor de forma exponencial, con- forme mostrado no Exemplo 2 da Seção 6.5.3 do Capítulo 6.

TABELA 8.3 Plano C – Prestações iguais – Modelo Price (principal _{taxa de juros}  $1.000,00,

 8% ao ano, prazo  4 anos)

Anos Saldo no início do ano Juros do ano Saldo no final do ano após paga- mento

Pagamentos no final do ano

Saldo no final do ano após pagamento Total Juros Amorti-

zação 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08 2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,40 3 538,40 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56 4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00

Capítulo 8 – Equivalência de Fluxos de Caixa ₁₆₁

Ressaltamos que no Modelo Price as amortizações são obtidas a partir dos valores das prestações e dos juros, conforme indicado a seguir:

Amortizaçãop  Prestação  Juros (8.1) 8.2.4. Plano D – Sistema de Amortizações Constantes (SAC)

Neste plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de quatro pres- tações linearmente decrescentes, subdivididas em duas parcelas:

a) amortização do principal, obtida pela divisão entre o valor do principal do financiamento e o prazo da operação;

b) juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano.

A Tabela 8.4 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação.

Essa modalidade de pagamento é bastante utilizada nas operações de financiamen- tos imobiliários e nos financiamentos de longo prazo de um modo geral.

No quadro de amortização do Plano D, devemos, inicialmente, calcular o valor da amortização anual ($250,00) dividindo o valor do principal do financiamento ($1.000,00) pelo prazo da operação (quatro anos).

TABELA 8.4 Plano D – Sistema de amortizações constantes (principal _{de juros}  $1.000,00, taxa

 8% ao ano, prazo  4 anos)

Anos Saldo no início do ano Juros do ano Saldo no final do ano após paga- mento

Pagamentos no final do ano

Saldo no final do ano após pagamento Total Juros Amorti-

zação 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00 2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00 3 500,00 40,00 540,00 290,00 40,00 250,00 250,00 4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00

162 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

Os juros do 1o _{ano ($80,00) correspondem a 8% do saldo do início do 1}o _ano

($1.000,00), e o valor da prestação ($330,00) corresponde à soma da amortização com os juros de cada ano.

O saldo remanescente do principal para o 2o _{ano é assim obtido:}

$1.000,00  $250,00  $750,00

Os juros do 2o _{ano ($60,00) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. sobre o}

saldo do principal no início do 2o _{ano ($750,00).}

Dessa forma, o quadro de amortização do Plano D indica que o financiamento de $1.000,00 é liquidado mediante o pagamento de quatro amortizações anuais de $250,00 e mais quatro parcelas anuais de juros ($80,00, $60,00, $40,00 e $20,00).

Assim, as prestações e os juros de cada ano vão diminuindo linearmente de valor ao longo do tempo, e as amortizações permanecem com o mesmo valor de $250,00.

Ressaltamos que no sistema de amortizações constantes as prestações são obtidas a partir dos valores das amortizações e dos juros, conforme indicado a seguir:

Prestação_SAC  Amortização  Juros (8.2) 8.2.5. Comentários sobre os Quatro Planos Equivalentes

O financiamento de um principal de $1.000,00 pode ser amortizado no prazo de quatro anos, com uma taxa de 8% ao ano, pelos seguintes planos equivalentes de pagamentos:

TABELA 8.5 Quatro planos equivalentes de pagamentos a 8% a.a.

Anos Plano A Plano B Plano C Plano D

0 1 80,00 301,92 330,00 2 80,00 301,92 310,00 3 80,00 301,92 290,00 4 1.360,49 1.080,00 301,92 270,00 Soma 1.360,49 1.320,00 1.207,68 1.200,00

Esses quatro planos de pagamentos são absolutamente equivalentes a 8% ao ano, pois eles têm o mesmo valor presente de $1.000,00 se descontados a essa mesma taxa, conforme pode ser verificado a seguir:

Capítulo 8 – Equivalência de Fluxos de Caixa ₁₆₃

n

i

PV

PMT

FV

4 8,00 1.000,00 0,00 1.360,49

n

i

PV

PMT

FV

4 8,00 264,97 80,00 0,00 4 8,00 735,03 0,00 1.000,00 Soma 1.000,00

n

i

PV

PMT

FV

4 8,00 1.000,00 301,92 0,00

a) valor presente do Plano A a 8% ao ano:

n

i

PV

PMT

FV

4 8,00 198,46 0,00 270,00 3 8,00 230,21 0,00 290,00 2 8,00 265,77 0,00 310,00 1 8,00 305,56 0,00 330,00 Soma 1.000,00

b) valor presente do Plano B a 8% ao ano:

c) valor presente do Plano C a 8% ao ano:

d) valor presente do Plano D a 8% ao ano:

Cabe, ainda, observar nos quadros de amortização desses planos que:

r
P
TBMEP
EP
QSJODJQBM
EP
JOÎDJP
EF
DBEB
BOP
GPJ
TFNQSF
SFNVOFSBEP
B

BP
BOP
r
P
QBHBNFOUP
EP
àOBM
EP
o _{ano liquidou integralmente o saldo remanescente}

164 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

É erro grosseiro analisar planos de financiamento pelo valor total pago em cada plano, conforme vamos demonstrar a seguir. Os totais das prestações de cada um desses quatro planos estão indicados na Tabela 8.6:

O Plano D, aparentemente, é o melhor plano para quem tomar esse financiamento, pois representa o plano com o menor valor a ser pago. Segundo esse mesmo raciocínio, o Plano A seria o pior de todos, pois apresenta o maior valor a ser pago.

O erro básico é que no Plano A o principal financiado só foi devolvido ao finan- ciador no final do 4o _{ano, e, portanto, tem de ser remunerado durante os quatro anos,}

juntamente com os juros que são capitalizados.

Já no Plano D, o principal é amortizado ao longo do prazo da operação, e, portanto, apenas o principal remanescente (saldo) é que deve ser remunerado, produzindo consequentemente um menor valor de juros a ser pago pelo “aluguel” do principal que ficou à disposição do financiado.

Os planos são equivalentes a 8% ao ano, pois apresentam o mesmo valor presente de $1.000,00 com essa taxa de desconto, e não são equivalentes com qualquer outra taxa de desconto.

Somar as prestações de cada plano corresponde a calcular seus valores presentes com a taxa de desconto de 0% ao ano, e, por isso, são diferentes os valores obtidos para o total de pagamentos de cada plano.

Outra forma de analisar a situação é usar o cálculo das reaplicações, com taxa de 8% ao ano, dos valores que ficaram disponíveis em cada plano, antes do final do 4o

ano. As possibilidades de reaplicações em cada plano estão definidas a seguir: r
1MBOP
"
OFOIVN
WBMPS
B
SFBQMJDBS

r
1MBOP
#
SFBQMJDBÉÈP
EBT
USËT
QSJNFJSBT
QBSDFMBT
EF
KVSPT
EF
 
BUÊ
P
àOBM
do 4o _ano;

r
1MBOP
$
SFBQMJDBÉÈP
EBT
USËT
QSJNFJSBT
QSFTUBÉ×FT
EF
 
BUÊ
P
àOBM
EP
4o _ano;

r
1MBOP
%
SFBQMJDBÉÈP
EBT
USËT
QSJNFJSBT
QSFTUBÉ×FT
 
 
F
$290,00), até o final do 4o _ano.

As diferenças entre os totais pagos nos quatro planos são compensadas pelas re- ceitas de reaplicações, a 8% ao ano, das parcelas recebidas antes do final do 4o _ano,

conforme mostrado na Tabela 8.7, cabendo ao leitor a verificação desses valores.

TABELA 8.6

Plano Total pago ($)

A 1.360,49

B 1.320,00

C 1.207,68

Capítulo 8 – Equivalência de Fluxos de Caixa ₁₆₅

n

i

PV

PMT

FV

O Plano de Pagamento Periódico de Juros é idêntico ao mostrado na Seção 2.3.1 para o Banco ABC, onde as receitas de reaplicações foram devidamente demonstradas.

O valor de $1.360,49 corresponde ao valor futuro de cada um dos quatro planos, no final do 4o _{ano, que pode ser obtido com a taxa de 8% ao ano, conforme indicado}

a seguir:

a) valor futuro do Plano A, no final do 4o _{ano, a 8% ao ano:}

n

i

PV

PMT

FV

4 8,00 0,00 80,00 360,49

Pagamento do principal no final do 4o _{ano 1.000,00}

Soma 1.360,49

n

i

PV

PMT

FV

4 8,00 1.000,00 0,00 1.360,49

b) valor futuro do Plano B, no final do 4o _{ano, a 8% ao ano:}

c) valor futuro do Plano C, no final do 4o _{ano, a 8% ao ano:}

4 8,00 0,00 301,92 1.360,49

TABELA 8.7

Plano Total pago ($)

Receitas de reaplicações a 8% ao ano Montante acumulado no final do 4o _ano A 1.360,49 0,00 1.360,49 B 1.320,00 40,49 1.360,49 C 1.207,68 152,81 1.360,49 D 1.200,00 160,49 1.360,49

166 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

d) valor futuro do Plano D, no final do 4o _{ano, a 8% ao ano:}

n

i

PV

PMT

FV

3 8,00 330,00 0,00 415,71

2 8,00 310,00 0,00 361,58

1 8,00 290,00 0,00 313,20

Pagamento da prestação do final do 4o _{ano 270,00}

Soma 1.360,49

A equivalência dos quatro planos de pagamentos pode ser verificada, com a taxa de 8% ao ano, no final de qualquer período, desde que seja o mesmo para todos os planos, e assim podemos afirmar:

a) os quatro planos de pagamentos são equivalentes, com a taxa de 8% ao ano, porque têm o mesmo valor presente (PV  $1.000,00), quando seus valores são descontados com essa mesma taxa;

b) os quatro planos de pagamentos são equivalentes, com a taxa de 8% ao ano, porque têm o mesmo valor futuro (FV  $1.360,49) no final do 4o _{ano, quando}

seus valores são capitalizados para essa mesma data, com a taxa de 8% ao ano. Com referência ao Plano C (prestações iguais – Modelo Price) e ao Plano D (sistema de amortizações constantes), são válidos os seguintes comentários adicionais:

a) no Plano D, todas as amortizações têm o mesmo valor, que é obtido pela divisão do principal do financiamento pelo prazo da operação, e por essa razão o plano é conhecido como sistema de amortizações constantes;

b) no Plano C – Modelo Price –, as prestações são iguais e as amortizações crescem exponencialmente com a mesma taxa de juros do financiamento. Assim, todas as amortizações são equivalentes, na taxa de juros do contrato, pois têm o mesmo valor presente ao ser descontadas com essa mesma taxa. Podemos, então, dizer que o Modelo Price é um sistema de amortizações equivalentes.

No documento Abelardo Puccini (Auth.)-Matemática Financeira Objetiva e Aplicada (2012) (páginas 168-176)