Taxa Nominal

5.5.1. Conceito

Taxa nominal é uma taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre referenciada ao ano, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:

r

BP
BOP
DBQJUBMJ[BEPT
NFOTBMNFOUF r

BP
BOP
DBQJUBMJ[BEPT
TFNFTUSBMNFOUF r

BP
BOP
DBQJUBMJ[BEPT
USJNFTUSBMNFOUF r

BP
BOP
DBQJUBMJ[BEPT
EJBSJBNFOUF

A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.

Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.

Nos exemplos anteriores, as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas nominais são as seguintes:

r

BP
BOP
DBQJUBMJ[BEPT
NFOTBMNFOUF 12% a.a. 12 meses 1% ao mês⫽ r

BP
BOP
DBQJUBMJ[BEPT
TFNFTUSBMNFOUF 24% a.a. 2 semestres 12% ao semestre⫽ r

BP
BOP
DBQJUBMJ[BEPT
USJNFTUSBMNFOUF 10% a.a. 4 trimestres 2, 50% ao trimestre⫽
r

BP
BOP
DBQJUBMJ[BEPT
EJBSJBNFOUF 18% a.a. 360 dias 0, 050% ao dia⫽

Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cál- culos financeiros, no regime de juros compostos, com os valores das taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre, 2,50% ao trimestre e 0,050% ao dia.

A taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida no regime de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre

Capítulo 5 – Taxas de Juros 77

maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal.

5.5.2. Fórmulas

Vamos, inicialmente, assumir o ano comercial com 360 dias e as seguintes sim- bologias e denominações:

i_N  taxa de juros nominal anual (em % a.a.) i_s  taxa semestral efetiva implícita (em % a.s.) i_t  taxa trimestral efetiva implícita (em % a.t.) i_m  taxa mensal efetiva implícita (em % a.m.) i_d  taxa diária efetiva implícita (em % a.d.)

As taxas efetivas, que estão implícitas nas taxas nominais anuais, são obtidas em função do número de períodos de capitalização da taxa nominal, pelas expressões relacionadas na Tabela 5.1:

TABELA 5.1 Taxas efetivas

Período de capitalização de iN

Número de períodos de

capitalizações no ano Taxa efetiva implícita

Diária 360 i i 360 d N ⫽ Mensal 12 i i 12 m N ⫽ Trimestral 4 i i 4 t N ⫽ Semestral 2 i i 2 s N ⫽ 5.5.3. Problemas Resolvidos

1. Calcule as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com os seguintes períodos de capitalização: a) mensal; b) trimestral e c) semestral.

Solução:

i_N  9% ao ano a) capitalização mensal – taxa efetiva mensal:

78 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

i m 9%₁₂ 0,75% ao mês Pela Relação (5.6) temos:

(1  i_a)  (1  i_m)12  (1  0,75%)12  (1,0075)12

i_a  (1,0075)12  1  1,093807  1  0,093807

ou seja, 9,3807% ao ano.

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

12 0,75 100,00 0,00 109,3807

n

i

PV

PMT

FV

4 2,25 100,00 0,00 109,3083

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,3807 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 9,3807% ao ano;

b) capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral: i i

4 9%4 2,25% ao trimestre

t⫽ N ⫽ ⫽

Pela Relação (5.6) temos:

(1  i_a)  (1  i_t)4  (1  2,25%)4  (1,0225)4

i_a  (1,0225)4 _{ 1  1,093083  1  0,093083}

ou seja, 9,3083% ao ano.

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,3083 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 9,3083% ao ano;

c) capitalização semestral – taxa efetiva semestral: i 9%

2 4,5% ao semestre

s⫽ ⫽

Pela Relação (5.6) temos:

Capítulo 5 – Taxas de Juros 79

i_a  (1,045)2  1  1,092025  1  0,092025

ou seja, 9,2025% ao ano.

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme os valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

2 4,5 100,00 0,00 109,2025

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,2025 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 9,2025% ao ano.

Se repetirmos esse mesmo problema para as taxas nominais de 12% a.a., 24% a.a. e 36% a.a., obteremos os resultados indicados na Tabela 5.2, com apenas duas casas decimais.

TABELA 5.2 Taxas efetivas anuais

Taxa nominal anual (%)

Taxas efetivas anuais equivalentes (em %) quando o período de capitalização for

anual semestral trimestral mensal

9,0 9,00 9,20 9,31 9,38

12,0 12,00 12,36 12,55 12,68

24,0 24,00 25,44 26,25 26,82

36,0 36,00 39,24 41,16 42,58

Ao analisarmos os valores da Tabela 5.2 podemos tirar as seguintes conclusões: a) a taxa efetiva anual é sempre maior do que a taxa nominal anual correspon-

dente;

b) a diferença entre essas duas taxas aumenta quando:
r
BVNFOUB
P
OÙNFSP
EF
QFSÎPEPT
EF
DBQJUBMJ[BÉÈP
r
BVNFOUB
P
WBMPS
EB
UBYB
OPNJOBM

2. Calcule a taxa efetiva trimestral que é equivalente a uma taxa nominal de 15% ao ano, capitalizados mensalmente.

Solução: Taxa nominal:

i_N  15% ao ano capitalização mensal – taxa efetiva mensal:

80 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

i 15%

12 1,25% ao mê s

m 

Pela Relação (5.6) temos:

(1  it)4  (1  im)12 ‰ (1  it)  (1  im)3

(1  it)  (1  1,25%)3  (1,0125)3

i_t  (1,0125)3 _{ 1  1,037971  1  0,037971}

ou seja, 3,7971% ao trimestre.

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3 1,25 100,00 0,00 103,7971

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $103,7971 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 3,7971% ao trimestre.

3. Calcule a taxa efetiva mensal que é equivalente a uma taxa nominal de 10% ao ano capitalizados trimestralmente.

Solução: Taxa nominal:

i_N  10% ao ano capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral:

i 10%

4 2, 5% ao trimestre

t 

Pela Relação (5.6) temos:

(1  i_m)12  (1  i t) 4 ‰ (1  i m) 3 (1  i t) (1  i_m)  (1  2,5%)1/3  (1,025)1/3 i_m  (1,025)1/3  1  1,008265  1  0,008265 ou seja, 0,8265% ao mês.

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

Capítulo 5 – Taxas de Juros 81

A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 0,8265 obtido para a taxa i, que coincide com o calculado anteriormente.

4. Calcule o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar $1.000,00 à taxa de 9% ao ano, capitalizados mensalmente.

Solução: Taxa nominal:

i_N  9% ao ano capitalização mensal – taxa efetiva mensal:

i 9%

12 0,75% ao mê s

m⫽ ⫽

Podemos resolver esse problema de duas maneiras, conforme mostrado a seguir: a) transformando o ano em meses:

PV  $1.000,00

n  2 anos  24 meses

i_m  0,75% ao mês

O valor de FV pode ser assim obtido: FV  PV (1  im)

24_{ 1.000,00 (1  0,75%)}24_{ 1.000,00 (1,0075)}24_

 1.000,00  1,196414  $1.196,41

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

24 0,75 1.000,00 0,00 1.196,41

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.196,41 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente.

b) transformando a taxa mensal na taxa anual equivalente: Pela Relação (5.6) temos:

(1  i_a)  (1  i_m)12 ‰ (1  i

a)  (1  0,75%) 12

i_a (1,0075)12 _{ 1  1,093807  1  0,093807}

ou seja, 9,3807% ao ano. Temos então os seguintes dados:

82 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

n  2 anos

i_a  9,3807% ao ano

O valor de FV pode ser assim obtido:

FV  PV (1  i_a)2  1.000,00 (1  9,3807%)2  1.000,00 (1,093807)2 

 1.000,00  1,196414  $1.196,41

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

2 9,3807 1.000,00 0,00 1.196,41

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.196,41 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente.

5. Calcule o montante do problema anterior se a capitalização for trimestral. Solução:

Taxa nominal:

i_N  9% ao ano capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral:

i_m  9%

4  2,25% ao trimestre Transformando o ano em trimestres teremos:

PV  $1.000,00

n  2 anos  8 trimestres i_m 2,25% ao trimestre

O valor de FV pode ser assim obtido:

FV  PV (1  i_t)8  1.000,00 (1  2,25%)8  1.000,00 (1,0225)8 

 1.000,00  1,194831  $1.194,83

Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

8 2,25 1.000,00 0,00 1.194,83

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.194,83 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente.

Capítulo 5 – Taxas de Juros 83

5.5.4. Tabela Price

A tabela Price, que tem grande aceitação no mercado, é utilizada principalmente para calcular o valor das prestações de financiamentos imobiliários. Sua grande ca- racterística consiste em ter a taxa nominal como elemento de entrada para obtenção dos fatores. Entretanto, os fatores são calculados com a taxa efetiva decorrente da taxa nominal, em função do número de períodos de capitalização. Assim, por exem plo, uma tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, tem as seguintes características: a) a taxa de entrada, para a obtenção dos fatores, é de 12% ao ano, capitalizados

mensalmente;

b) os períodos dessa tabela correspondem a meses;

c) a taxa utilizada no cálculo dos fatores é a taxa efetiva de 1% ao mês.

Assim, uma tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, corresponde a uma tabela de 1% ao mês, que representa, em termos equivalentes, uma taxa efetiva de 12,68% ao ano.

No documento Abelardo Puccini (Auth.)-Matemática Financeira Objetiva e Aplicada (2012) (páginas 87-94)