Juros Compostos – Capitalização
FIGURA 6.9 A Relação (6.5) fornece:
6.6.1. Problemas Envolvendo PV e PMT
1. Um banco de investimentos financia a venda de equipamentos num prazo de dois anos, com uma taxa efetiva de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. Calcule o valor da prestação trimestral de um equipamento cujo valor à vista é de $20.000,00. Solução: n 2 anos 8 trimestres i 3% ao trimestre PV $20.000,00 FV $0,00 PMT ?
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece o resultado de PMT $2.849,13.
2. A compra de automóveis está sendo financiada em 12 prestações mensais de $91,68 para cada $1.000,00 de principal. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nesse financiamento, no regime de juros compostos.
Capítulo 6 – Série Unifor me – Prestações Iguais 103 Solução: n 12 meses PV $1.000,00 FV $0,00 PMT $91,68 i ? (% ao mês)
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n
i
PV
PMT
FV
12 1,50 1.000,00 91,68 0,00
n
i
PV
PMT
FV
4 1,27196 10.000,00 2.580,00 0,00
que fornece a taxa efetiva de juros de 1,50% ao mês.
3. O preço à vista de um equipamento é igual a $11.400,00. Uma loja o está anunciando por $1.400,00 de entrada e mais quatro prestações trimestrais de $2.580,00. Calcule a taxa efetiva trimestral de juros cobrada na parte financiada.
Solução: n 4 trimestres PV $11.400,00 $1.400,00 $10.000,00 FV $0,00 PMT $2.580,00 i ? (% ao trimestre)
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece a taxa efetiva de juros de 1,27196% ao trimestre.
4. Uma dívida deve ser liquidada em três prestações trimestrais iguais de $1.000,00. Calcule o valor do principal dessa dívida sabendo-se que o custo efetivo desse financiamento é de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
Solução:
104 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses PV ⫽? $1.000,00 $1.000,00 $1.000,00 0 1 2 3 Trimestres PV = ? $1.000,00 $1.000,00 $1.000,00 FIGURA 6.11 FIGURA 6.12
a) transformando os trimestres em meses:
Nesse caso, vamos usar a taxa de 1% ao mês e descontar individualmente cada parcela de $1.000,00. Em seguida, devemos somar os valores assim obtidos, conforme indicado a seguir.
Podemos realizar essas operações, como se segue:
n
i
PV
PMT
FV
3 1,00 970,59 0,00 1.000,00
6 1,00 942,05 0,00 1.000,00
9 1,00 914,34 0,00 1.000,00
Soma $2.826,98
que fornece o valor do principal como sendo igual a $2.826,98; b) transformando a taxa mensal na taxa trimestral equivalente:
A taxa trimestral equivalente à taxa de 1% ao mês pode ser obtida com as operações indicadas a seguir:
n
i
PV
PMT
FV
3 1,00 100,00 0,00 103,03010
Capítulo 6 – Série Unifor me – Prestações Iguais 105
n
i
PV
PMT
FV
5 1,00 1.000,00 206,04 0,00
Os dados do problema passaram, então, a ser os seguintes:
n 3 trimestres
i 3,03010% ao trimestre
PMT $1.000,00
FV $0,00
PV ?
Esses dados têm a seguinte apresentação:
n
i
PV
PMT
FV
3 3.030,10 2.826,98 1.000,00 0,00
que fornece resultado idêntico ao alcançado anteriormente.
5. Um financiamento de $1.000,00 de principal deve ser amortizado em cinco prestações mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e admitindo-se meses com 30 dias, calcule o valor da prestação mensal desse financiamento, nas seguintes hipóteses:
a) pagamento da 1a prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recursos (série postecipada);
b) pagamento da 1a prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos (série antecipada). Solução: a) série postecipada n 5 meses i 1% ao mês PV $1.000,00 FV $0,00 PMT ?
Esses dados têm a seguinte apresentação:
106 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a 3 4 Meses PMT ?⫽ PV ⫽$1.000,00 ⫺1 0 1 2 4 5 Meses PMT ?⫽ PV⫽ $990,10 0 1 2 3 b) série antecipada
Inicialmente, o principal de $1.000,00 deve ser “puxado” um mês para trás, com a taxa de juros do financiamento (1% ao mês), o que é alcançado pela operação:
PV 1.000,00
1,01 $990,10
As Figuras 6.13 e 6.14 esclarecem essa movimentação do principal que permite seu enquadramento nas condições exigidas pelo Diagrama Padrão:
FIGURA 6.13 Série antecipada
FIGURA 6.14 Série postecipada – principal descontado
Com esse novo posicionamento do principal, podemos realizar o cálculo da prestação, como se segue:
n
i
PV
PMT
FV
5 1,00 990,10 204,00 0,00
que fornece o resultado de $204,00 para o valor da prestação mensal postecipada. 6. Uma empresa anuncia que seus financiamentos são concedidos com uma taxa de
juros de “1,5% ao mês”. Para simplicidade operacional, as prestações são calculadas pela sistemática indicada a seguir:
a) cálculo dos juros do financiamento:
Capítulo 6 – Série Unifor me – Prestações Iguais 107
b) cálculo do valor da prestação:
rPrestação Valor financiado Juros Prazo
⫽ ⫹
Assuma os meses com 30 dias e calcule as taxas efetivas de juros mensais desses financiamentos, para o prazo de quatro meses, nas seguintes hipóteses:
a) pagamento da 1a prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recursos (série postecipada);
b) pagamento da 1a prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos (série antecipada).
Solução:
Vamos inicialmente calcular o valor da prestação mensal para o financiamento de $1.000,00 no prazo de quatro meses:
Juros 0,015 a.m. 4 meses $1.000,00 $60,00
Prestação ($1.000, 00 $60,00) 4 $265,00 ⫽ ⫹ ⫽ a) série postecipada n 4 meses PV $1.000,00 PMT $265,00 FV $0,00 i ? (% ao mês)
Esses dados têm a seguinte apresentação:
n
i
PV
PMT
FV
4 2,3722 1.000,00 265,00 0,00
que fornece a taxa efetiva de 2,3722% ao mês para a série postecipada. b) série antecipada
Como a 1a prestação de $265,00 é paga no ato da liberação dos $1.000,00, podemos considerar um principal líquido conforme indicado a seguir:
PV $1.000,00 $265,00 $735,00
Esse principal líquido de $735,00 deve ser liquidado com três prestações postecipadas de $265,00. Assim, os dados do problema passam a ser:
n 3 meses
PV $735,00
PMT $265,00
FV $0,00
i ? (% ao mês)
108 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n
i
PV
PMT
FV
que fornece a taxa efetiva de 4,0286% ao mês para a série antecipada.
7. Uma loja de eletrodomésticos oferece seu Plano de Natal, no qual as vendas de dezembro podem ser financiadas com o 1o pagamento só ocorrendo em abril. A
taxa de juros efetiva cobrada nesse financiamento é de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos, e os cálculos são feitos considerando-se que os meses têm 30 dias.
Um cliente realizou, em 15 de dezembro, compras no valor de $1.000,00 e deseja pagá-las em quatro prestações mensais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessas prestações mensais, nas seguintes hipóteses:
a) pagamento da 1a prestação ocorrendo em janeiro;
b) pagamento da 1a prestação só em abril, aproveitando a oferta do Plano de Natal.
Solução:
a) primeira prestação em janeiro
Nesse caso os dados do problema são os seguintes: n 4 meses
i 1,5% ao mês
PV $1.000,00 FV $0,00 PMT ?
Esses dados têm a seguinte apresentação:
n
i
PV
PMT
FV
3 4,0286 735,00 265,00 0,00
que fornece a prestação mensal de $259,44 para ser paga a partir de janeiro; b) primeira prestação em abril
Inicialmente, devemos capitalizar o principal de $1.000,00 durante três meses para obter o saldo do financiamento no mês de março. Isso é alcançado com os seguintes dados:
4 1,50 1.000,00 259,44 0,00
n
i
PV
PMT
FV
Capítulo 6 – Série Unifor me – Prestações Iguais 109
Agora devemos calcular as quatro prestações mensais para esse novo valor de principal, conforme indicado a seguir:
n
i
PV
PMT
FV
4 1,50 1.045,68 271,30 0,00
n
i
PV
PMT
FV
4 10,00 0,00 1.000,00 4.641,00
que fornece a prestação mensal de $271,30 para ser paga a partir de abril. 6.6.2. Problemas Envolvendo FV e PMT
1. Um investidor deposita anualmente a quantia de $1.000,00, no final de dezembro de cada ano, num banco que remunera seus depósitos com a taxa efetiva de 10% ao ano. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule o saldo credor desse investidor imediatamente antes da efetivação de seu quarto depósito anual.
Solução:
Inicialmente, devemos calcular o saldo credor após o 4o depósito anual, com
os seguintes dados: n 4 anos i 10% ao ano PMT $1.000,00 PV $0,00 FV ?
Os dados têm a seguinte apresentação:
que fornece o resultado de FV $4.641,00.
Para obter o saldo credor antes do 4o depósito basta subtrair o valor do depó-
sito, isto é:
$4.641,00 $1.000,00 $3.641,00
2. Uma instituição financeira remunera seus depósitos na base de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos, e realiza seus cálculos considerando os meses com 30 dias. Um investidor efetua nessa instituição seis depósitos mensais e iguais a $800,00, ocorrendo o 1o depósito no final do mês de janeiro e o último no final
do mês de junho. Calcule os valores dos saldos acumulados nas seguintes datas do mesmo ano:
110 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
0Jan. 1 2 3 4 5Jun. 6 7 8Set. 9 Meses
FV ?2⫽
FV ?1⫽
PMT $ 800,00⫽
a) final de junho, após o depósito do mês; b) final de setembro.
Solução:
A Figura 6.15 ilustra o problema:
FIGURA 6.15
a) saldo no final de junho
De acordo com a Figura 6.15 os dados do problema são os seguintes:
n 6 meses
i 1,5% ao mês
PMT $800,00
PV $0,00
FV1 ?
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n
i
PV
PMT
FV
3 1,5 4.983,64 0,00 5.211,28
n
i
PV
PMT
FV
6 1,5 0,00 800,00 4.983,64
que fornece o resultado de FV $4.983,64; b) saldo no final de setembro
Agora precisamos capitalizar o saldo de junho por mais três meses, para obter o saldo no final de setembro, conforme mostrado no Simulador da HP-12C a seguir:
Capítulo 6 – Série Unifor me – Prestações Iguais 111
3. Uma caderneta de poupança oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 1% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor do depósito mensal necessário para acumular um montante de $10.000,00 no final de um ano, imediatamente após o 12o depósito mensal.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes: n 1 ano 12 meses
i 1% ao mês
FV $10.000,00 PV $0,00
PMT ?
Com os dados do problema, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:
n
i
PV
PMT
FV
12 1,00 0,00 788,49 10.000,00
n
i
PV
PMT
FV
6 1,00 4.710,23 0,00 5.000,00
que fornece $788,49 para o valor dos depósitos mensais.
4. Um banco comercial remunera seus depósitos na base de 1% ao mês, no regime de juros compostos, considerando os meses com 30 dias nos cálculos de suas operações. Um investidor efetua, nesse banco, seis depósitos mensais e iguais, ocorrendo o 1o depósito no final do mês de janeiro e o último no final do mês de junho.
Calcule o valor do depósito mensal necessário para produzir saldo de $5.000,00 no final de dezembro.
Solução:
a) saldo no final de junho
Devemos inicialmente achar o valor presente do saldo de $5.000,00, no final de junho, pois este é o mês onde ocorreu o último depósito. Assim temos:
n 6 meses
i 1% ao mês
FV $5.000,00
PMT $0,00
PV ?
Podemos realizar essa operação com o Simulador da HP-12C, conforme indicado:
que fornece $4.710,23 para o valor do saldo no final de junho, que será usado no cálculo do valor do depósito mensal.
112 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) valor do depósito mensal
Agora os dados do problema passam a ser os indicados a seguir: n 6 meses
i 1% ao mês FV $4.710,23 PV $0,00 PMT ?
Com esses dados, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:
n
i
PV
PMT
FV
6 1,00 0,00 765,64 4.710,23
n
i
PV
PMT
FV
4 3,26182 0,00 5.000,00 21.000,00 que fornece $765,64 para o valor do depósito mensal.
5. Um investidor efetuou quatro depósitos consecutivos de $5.000,00 numa caderneta de poupança, no final de cada trimestre. Calcule a rentabilidade efetiva trimestral dessa caderneta de poupança sabendo-se que o saldo acumulado por esse investidor, imediatamente após a efetivação do último depósito trimestral, é de $21.000,00. Solução: n 4 trimestres FV $21.000,00 PMT $5.000,00 PV $0,00 i ? (% ao trimestre)
Para os dados do problema o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:
que fornece a taxa efetiva de juros de 3,26182% ao trimestre. 6.6.3. Problemas Envolvendo PV, PMT e FV
Nesta seção, vamos resolver alguns problemas envolvendo os cinco elementos do Diagrama Padrão, isto é, problemas que incluem os parâmetros básicos i e n e ainda os três parâmetros monetários PV, FV e PMT.
Capítulo 6 – Série Unifor me – Prestações Iguais 113
1. Um título de renda mensal foi emitido com os seguintes parâmetros:
prazo = 12 meses
valor de emissão = $10.000,00
valor de resgate = $10.000,00
juros mensais = 1% ao mês
valor do cupom mensal = $100,00 Obtenha:
a) o fluxo de caixa do investidor que adquirir esse título e conservá -lo até seu vencimento;
b) o valor presente dos 12 cupons de $100,00;
c) o valor presente dos $10.000,00 que serão recebidos pelo investidor no final do 12o mês;
d) a soma dos valores presentes dos itens b e c. Solução:
a) o fluxo de caixa do investidor está indicado a seguir:
10 11 12 Meses PMT () $100,00 PV ()? FV ()$10.000,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
i
PV
PMT
FV
12 1,00 1.125,51 100,00 0,00que fornece PVcupons $1.125,51;
FIGURA 6.16
114 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
c) valor presente do resgate de $10.000,00 no 12o mês:
n
i
PV
PMT
FV
12 1,00 8.874,49 0 10.000,00n
i
PV
PMT
FV
12 1,00 10.000,00 100,00 10.000,00n
i
PV
PMT
FV
12 1,50 9.454,62 100,00 10.000,00 que fornece PV $8.874,49;d) soma dos valores presentes dos itens b e c:
PVtítulo $1.125,51 $8.874,49 $10.000,00
Podemos obter o valor presente do título com uma única operação na HP-12C/Excel, pois os cinco parâmetros estão sempre em operação. Isso pode ser alcançado com os dados indicados a seguir:
que fornece $10.000,00 para o valor presente do título.
2. Calcule o valor de venda, na data de emissão, do título do Problema 1, caso se queira proporcionar uma rentabilidade de 1,5% ao mês para o investidor que conservar o papel até a data de seu resgate.
Solução:
Podemos obter o valor presente do título com uma única operação na HP-12C/ Excel, pois os cinco parâmetros estão sempre em operação. Isso pode ser alcançado com os dados indicados a seguir:
que fornece $9.454,62 para o valor presente do título.
3. Calcule a rentabilidade do investidor que adquirir o título do Problema 1 com 5% de deságio sobre o valor de emissão de $10.000,00.
Solução:
Com o deságio de $500,00 (5% sobre os $10.000,00), os dados desse problema são os seguintes:
n prazo 12 meses
Capítulo 6 – Série Unifor me – Prestações Iguais 115 10 Meses PMT () $1.067,18 PV ()? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 FV valor de resgate $10.000,00
PMT valor do cupom mensal $100,00 i ? (% ao mês)
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n
i
PV
PMT
FV
12 1,4572 9.500,00 100,00 10.000,00
n
i
PV
PMT
FV
10 1,20 10.000,00 1.067,18 0,00
que fornece a taxa efetiva de juros de 1,4572% ao mês.
4. Um financiamento com o valor do principal de $10.000,00 deve ser liquidado em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa de juros efetiva de 1,2% ao mês. Calcule:
a) o valor da prestação mensal;
b) o valor do saldo devedor (principal remanescente) desse financiamento ime- diatamente após o pagamento da 4a prestação.
Solução:
a) valor da prestação mensal
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece $1.067,18 para o valor da prestação;
b) saldo devedor (principal remanescente) após a 4a prestação:
O saldo devedor após o pagamento da 4a prestação pode ser obtido de três maneiras distintas, desenvolvidas a seguir:
Calculando-se o valor presente das seis prestações que faltam ser pagas: O fluxo de caixa dessa solução está indicado a seguir:
116 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O valor presente das seis prestações que faltam ser pagas é obtido conforme indicado a seguir: 10 Meses PMT ()$1.067,18 PV ()$10.000,00 FV ()? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
i
PV
PMT
FV
6 1,20 6.142,53 1.067,18 0,00que fornece o valor de $6.142,53 para o saldo da dívida no final do 4o mês.
Capitalizando-se o valor do principal ($10.000,00) até o final do 4o mês
e subtraindo-se desse montante o valor das quatro prestações pagas, também capitalizadas para o final do 4o mês:
O fluxo de caixa dessa solução está na Figura 6.18:
FIGURA 6.18
O valor do principal capitalizado para o final do 4o mês é obtido conforme
indicado a seguir:
n
i
PV
PMT
FV
4 1,20 10.000,00 0,00 10.488,71
n
i
PV
PMT
FV
4 1,20 0,00 1.067,18 4.346,17
O valor acumulado pelas quatro prestações pagas, no final do 4o mês, é
obtido conforme indicado a seguir:
e portanto o saldo da dívida, no final do 4o mês, é igual a:
Capítulo 6 – Série Unifor me – Prestações Iguais 117
Podemos obter esse mesmo valor para o saldo devedor com uma única ope- ração na HP-12C/Excel, fazendo os cinco elementos entrarem em operação, conforme indicado a seguir:
n
i
PV
PMT
FV
4 1,20 10.000,00 1.067,18 6.142,54
que fornece $6.142,54 para o valor do saldo da dívida, após o pagamento da 4a prestação. Observar que PV foi registrado com valor () e PMT com sinal (). Calculando-se a soma das amortizações das seis prestações que faltam ser pagas:
O valor de cada uma dessas amortizações pode ser obtido conforme mostrado no Exemplo 2 da Seção 6.5.3. Assim:
TABELA 6.2