Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno

7.3.1. Conceitos

Nesta seção, vamos desenvolver os conceitos de valor presente líquido e de taxa

interna de retorno de um fluxo de caixa.

O valor presente líquido (VPL) ou “Net Present Value” (NPV) está diretamente ligado ao valor presente do fluxo de caixa, explicado na Seção 7.2.

O valor presente líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas parcelas futuras (que são descontadas com uma determinada taxa de desconto), so- mado algebricamente com a grandeza colocada no ponto zero.

No caso de investimentos a grandeza colocada no ponto zero corresponde ao valor desembolsado para a realização do investimento e tem sinal negativo, uma vez que representa uma saída de caixa.

A taxa interna de retorno (TIR) ou “Internal Rate of Return” (IRR) de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz seu valor presente líquido ser igual a zero.

O valor presente líquido é igual a zero quando as grandezas futuras, ao serem descontadas com uma determinada taxa, produzem um valor presente para o fluxo de caixa que é igual ao investimento inicial (desembolso) colocado no ponto zero da escala de tempo.

No Capítulo 9, mostramos as funções especiais NPV e IRR da HP-12C e as funções VPL e TIR do Excel para a obtenção do valor presente líquido e da taxa interna de re- torno de fluxos de caixa que não apresentam qualquer uniformidade nas suas parcelas.

Capítulo 7 – Valor Presente Líquido e Taxa Inter na de Retor no ₁₃₇

7.3.2. Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor presente líquido do fluxo de caixa indicado a seguir, com uma taxa de desconto de 8% a.a.

FIGURA 7.11

Solução:

Inicialmente, vamos desdobrar o fluxo de caixa do investimento nos dois fluxos indicados a seguir:

FIGURA 7.12 Fluxo (1)

FIGURA 7.13 Fluxo (2)

O fluxo (1) corresponde a um investimento inicial de $100,00, tem sinal negativo porque corresponde a uma saída de caixa, e não deve ser descontado com a taxa de desconto, pois já é uma grandeza que está colocada no ponto zero da escala de tempo.

O fluxo (2) corresponde à parcela futura de $121,00, que representa uma entrada de caixa no final do 2o _{ano e, portanto, tem sinal positivo. Essa parcela}

futura é que precisa ser descontada com a taxa de desconto de 8% a.a., para se obter seu valor presente.

Essa operação de desconto está a seguir indicada: ()$100,00 0 1 2 Anos ()$121,00 ia  8% a.a. ( )$100,00 0 1 2 Anos i_a  8% a.a. PV ? _{( )$121,00} 0 1 2 Anos i_a 8% a.a.

138 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

Com relação a essa operação de desconto, cabe ressaltar os seguintes pontos: a) a HP-12C e o Excel exigem que as parcelas tenham sinais trocados, e optamos

por colocar FV  () $121,00;

b) o que importa é que, com a taxa de desconto de 8% a.a., o valor presente da parcela de () $121,00 do final do 2o ano é igual () $103,74;

c) a parcela de $103,74, no ponto zero, é equivalente, a 8% a.a., à grandeza futura de $121,00, no final do 2o _ano;

d) tanto faz receber $103,74, no ponto zero, como receber $121,00 no final do 2o _{ano, com a taxa de juros de 8% a.a.;}

e) quem investir $103,74 para receber $121,00, no final de dois anos, está fazendo um investimento com uma taxa de 8% a.a. Como o investimento inicial foi de apenas $100,00, podemos afirmar que esse investimento de $100,00 será remunerado com uma taxa superior a 8% a.a.

O valor presente líquido do fluxo de caixa, com a taxa de 8% a.a., é igual à soma algébrica desse valor presente de ()103,74 com a parcela de ()$100,00 colocada no ponto zero (investimento inicial). Assim temos:

VPL (8%)  () $100,00  () $103,74  $3,74

Como o valor presente líquido é positivo, para a taxa de 8% a.a., podemos afirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retorno superior a 8% a.a.

Vamos, agora, comentar o que significa o VPL de um investimento ser positivo, para uma determinada taxa de desconto. No exemplo em análise, vamos explicar o significado do VPL (8%)  () $3,74 para o investimento de $100,00. Para isso, vamos realizar as seguintes operações:

a) capitalização de $100,00 a 8% ao ano, por 2 anos:

n

i

PV

PMT

FV

2 8,00 103,74 0,00 121,00

n

i

PV

PMT

FV

Capítulo 7 – Valor Presente Líquido e Taxa Inter na de Retor no ₁₃₉

Assim, podemos montar os seguintes fluxos de caixa:

FIGURA 7.14 Investimento original

FIGURA 7.15 Fluxo (3): $100,00 a 8% a.a.

FIGURA 7.16 Fluxo (4): excedente a 8% a.a.

O investimento original de $100,00 garante um recebimento de $121,00 no final do 2o _{ano, que pode ser desdobrado nas parcelas de $116,64 do Fluxo}

(3) e $4,36 do Fluxo (4). A parcela de $116,64 do Fluxo (3) descontada a 8% ao ano produz um valor presente de $100,00, e a parcela de $4,36 do Fluxo (4) descontada a 8% ao ano produz um valor presente de $3,74.

b) subtrair dos $ 121,00 a receber no 2o _{ano, o valor de $116,64, encontrando}

um saldo positivo de $4,36 no 2o _{ano, cujo valor presente, a 8% ao ano, pode}

ser obtido como segue:

n

i

PV

PMT

FV

2 8,00 3,74 0,00 4,36 0 1 2 anos ( )$100,00 ( )$121,00 0 1 2 anos ( )$100,00 ( )$116,64 0 1 2 anos ( )$3,74 ( )$4,36

140 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

Assim, o VPL positivo de $3,74 do investimento original da Figura 7.14, para a taxa de desconto de 8% ao ano, significa:

a) que o investimentto de $100,00 está sendo remunerado com a taxa de 8% ao ano, conforme mostrado no Fluxo (3) da Figura 7.15;

b) que o investimento de $100,00 gerou um excedente de recebimento de $4,36 no final do 2º ano, cujo valor presente é igual a $3,74, conforme mostrado no Fluxo (4) da Figura 7.16.

O VPL positivo de $3,74 para a taxa de desconto de 8% ao ano significa que o investimento de $100,00, para receber $121,00 no final do 2o _{ano, está}

sendo remunerado a 8% ao ano e, além dessa remuneração, está gerando um aumento de riqueza de $3,74, expresso em moeda do ponto zero. Assim, esse investimento, para uma taxa de 8% ao ano, está agregando para esse investidor um valor econômico de $3,74, expresso em termos de valor presente.

2. Consideremos o mesmo fluxo de caixa do problema anterior e vamos realizar as seguintes operações:

a) cálculo do valor presente líquido para a taxa de desconto de 12% a.a.; b) cálculo da taxa interna de retorno do investimento em termos anuais; c) elaboração de um gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto. Solução:

a) valor presente líquido para 12% a.a.

Devemos, inicialmente, descontar a parcela futura de $121,00, conforme se segue:

n

i

PV

PMT

FV

2 12,00 96,46 0,00 121,00

Então, o valor presente líquido para a taxa de 12% a.a. é obtido pela relação: VPL (12%)  () $100,00  () $96,46  () $3,54

Como o valor presente líquido é negativo para a taxa de 12% a.a, podemos afirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retorno inferior a 12% a.a;

b) taxa interna de retorno

Os valores presentes líquidos para as taxas de 8% a.a. e 12% a.a. obtidos anteriormente estão indicados a seguir:

VPL (8%)  () $3,74 VPL (12%)  () $3,54

Capítulo 7 – Valor Presente Líquido e Taxa Inter na de Retor no ₁₄₁

n

i

PV

PMT

FV

2 10,00 100,00 0,00 121,00

Como a taxa interna de retorno é a taxa de desconto que anula o valor presente líquido, podemos concluir, com os resultados anteriores, que ela está compreendida entre 8% a.a. e 12% a.a.

Vamos, então, calcular o valor presente líquido para uma taxa de desconto compreendida entre esses dois valores, por exemplo 10% ao ano. Essa operação de desconto está indicada a seguir:

Então, o valor presente líquido para a taxa de 10% a.a. é obtido pela relação:

VPL (10%)  () $100,00  () $100,00  $0,00

o que garante que a taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano.

Como o fluxo de caixa envolve apenas PV e FV, a taxa interna de retorno pode ser obtida diretamente pela seguinte operação indicada:

n

i

PV

PMT

FV

2 10,00 100,00 0,00 121,00

Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de retorno de uma for- ma genérica, usando a equação algébrica do valor presente líquido, que tem a seguinte apresentação para o fluxo de caixa do problema:

VPL (i%)  ()100,00  121,00  1

(1  i)2 _(7.1) Vamos fazer a seguinte mudança de variável:

x _ 1

1  i (7.2) Assim a Equação (7.1) passa a ter a seguinte apresentação:

VPL (i%)  ()100,00  121,00 x2 _(7.3) Como a taxa interna de retorno (TIR) é aquela que anula o valor presente líquido (VPL), podemos escrever:

142 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

A Relação (7.4) corresponde a uma equação do 2o _{grau com duas raízes, que}

podem ser calculadas pela fórmula do trinômio do 2o _{grau, com os seguintes}

coeficientes:

a  () 121,00

b  0,00

c  ()100,00

As duas raízes são obtidas conforme indicado:

 62  b2  4ac  () 4  121,00  ()100,00  22  11,002  10,002 Então temos: 6  2  11,00  10,00  220,00 x ( )220, 00_{2 121,00} ( )110, 00_121,00 x ( )220, 00_{2 121,00} ( )110, 00_121,00 1 2 ⫽ ⫹_⫻ ⫽ ⫹ ⫽ ⫺_⫻ ⫽ ⫺

O valor da taxa i é obtido a partir da Relação (7.2), que fornece:

i 1

x 1 ⎟⎛_⎝ ⎞_⎠⎟ 

e, portanto, temos os seguintes valores para as duas raízes: i 1 x 1 ( ) 121,00 110,00 1 1,1 1 ( )0,10 ( )10% i 1 x 1 ( ) 121,00 110,00 1 1,1 1 ( )2,10 ( )210% 1 1 2 2                        ⎛ ⎝ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟

Em relação às duas raízes cabe comentar:

1. a primeira raiz, no valor de 10% ao ano, é positiva e coincide com a apre- sentada anteriormente, com o Simulador da HP-12C;

2. a segunda raiz, no valor de () 210%, é negativa e não tem qualquer sentido econômico.

c) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto

Esse gráfico é, normalmente, desenvolvido apenas para valores de taxas de desconto maiores que zero, pois os valores negativos das taxas de desconto não têm o menor sentido econômico.

Se a taxa de desconto for nula, o valor presente líquido será igual à soma algébrica dos valores do fluxo de caixa, pois nenhuma parcela futura sofre qual- quer desconto de valor ao ser trazida para o ponto zero. Assim temos:

Capítulo 7 – Valor Presente Líquido e Taxa Inter na de Retor no ₁₄₃

O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está indicado a seguir:

FIGURA 7.17 Valor Presente Líquido (VPL)

3. Um equipamento cujo valor à vista é $1.000,00 está sendo financiado por uma insti- tuição financeira mediante o pagamento de quatro prestações mensais de $260,00. A 1a _{prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos do financiamento.}

0 5 10 15 20 25 5 10 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% No limite ()$100,00  Taxa (a.a.) TIR 10% a.a. VPL ($)

Se a taxa de desconto tende para o infinito todas as parcelas futuras se anulam quando descontadas para o valor presente. Nesse caso, o valor presen- te líquido é igual ao valor da parcela colocada no ponto zero (investimento inicial), que não sofre qualquer desconto. Assim temos:

VPL (%)  () 100,00

Podemos resumir todos os valores calculados, até o momento, na Tabela 7.2:

TABELA 7.2

Taxa de desconto (a.a.)

Valor presente líquido VPL ($) 0% () 21,00 8% () 3,74 10% 0,00 12% () 3,54 % () 100,00

144 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

Calcule:

a) o fluxo de caixa da instituição financeira;

b) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto;

c) a taxa interna de retorno, ou seja, a taxa efetiva mensal de rentabilidade da instituição financeira.

Solução:

a) fluxo de caixa da instituição financeira

O fluxo de caixa da instituição financeira está indicado na Tabela 7.3:

n

i

PV

PMT

FV

4 1,00 1.014,51 260,00 0,00 TABELA 7.3 Mês Valor ($) 0 () 1.000,00 1 () 260,00 2 () 260,00 3 () 260,00 4 () 260,00 Soma (+) 40,00

Esse fluxo de caixa da instituição financeira é usualmente conhecido como fluxo de caixa de um investimento, porque corresponde a um desembolso inicial e recebimentos futuros.

b) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto Os dois valores limites do gráfico são assim obtidos:

r
UBYB
EF
EFTDPOUP
EF


VPL (0%)  ()1.000,00  4  260,00  $40,00
r
UBYB
EF
EFTDPOUP
EF

%:

VPL (%)  () $1.000,00

Vamos agora calcular o valor presente líquido para a taxa de desconto de 1% ao mês, como se segue:

Capítulo 7 – Valor Presente Líquido e Taxa Inter na de Retor no ₁₄₅

Então, o valor presente líquido para a taxa de 1% a.m. é obtido pela relação: VPL (1%)  () $1.000,00  () $1.014,51  () $14,51

Como o valor presente líquido é positivo para a taxa de 1% a.m., podemos garantir que o investimento inicial de $1.000,00 tem uma taxa interna de retorno superior a 1% a.m.

Vamos, então, calcular o valor presente líquido para uma taxa de desconto superior a 1% a.m.; por exemplo 2% ao mês, como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

4 2,00 990,01 260,00 0,00

Então, o valor presente líquido para a taxa de 2% a.m. é obtido pela relação:

VPL (2%)  () $1.000,00  () $990,01  () $9,99

Como o valor presente líquido é negativo para a taxa de 2% a.m., podemos garantir que o investimento inicial de $1.000,00 tem uma taxa interna de retorno inferior a 2% a.m.

Os valores presentes líquidos para as taxas de 1% a.m. e 2% a.m. obtidos anteriormente estão indicados a seguir:

VPL (1%)  () $14,51

VPL (2%)  () $9,99

Pela análise desses resultados podemos concluir que a taxa interna de re- torno está compreendida entre 1% ao mês e 2% ao mês.

Os valores do gráfico do valor presente líquido, calculados até o momento, estão resumidos na Tabela 7.4:

TABELA 7.4

O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está indicado a seguir:

Taxa de desconto (a.m.) Valor presente líquido VPL ($)

0% () 40,00

1% () 14,51

2% () 9,99

146 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

FIGURA 7.18 Valor Presente Líquido (VPL) – Investimento

c) taxa interna de retorno

Como o fluxo de caixa envolve apenas PV e PMT, a taxa interna de retorno pode ser obtida diretamente pela seguinte operação:

No limite ( )$1.000,00 Taxa (a.m.) TIR 1,5875% a.m.  VPL ($) 0 10 20 30 40 50 10 20 30 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%

n

i

PV

PMT

FV

4 1,5875 1.000,00 260,00 0,00

n

i

PV

PMT

FV

4 1,5875 1.000,00 260,00 0,00

que fornece a taxa de 1,5875% ao mês.

Vamos, agora, confirmar que essa taxa de juros é a taxa interna de retorno do fluxo de caixa da instituição financeira. Para isso, vamos calcular o valor presente líquido para a taxa de desconto de 1,5875% ao mês.

A operação de desconto está indicada a seguir:

Então, o valor presente líquido para a taxa de 1,5875% ao mês é obtido pela relação:

VPL (1,5875%)  () $1.000,00  () $1.000,00  $0,00 o que garante que a taxa interna de retorno é igual a 1,5875% ao mês.

Capítulo 7 – Valor Presente Líquido e Taxa Inter na de Retor no ₁₄₇

Observe que esse valor de 1,5875% ao mês está indicado no gráfico do item b como sendo o ponto em que a curva do valor presente líquido corta o eixo dos x, que corresponde aos valores da taxa de desconto.

4. Vamos considerar os mesmos dados do Problema 3 e analisar a situação do com- prador do equipamento que tomou o financiamento da instituição financeira. Assim, precisamos determinar:

a) o fluxo de caixa do tomador do financiamento;

b) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto;

c) a taxa interna de retorno, ou seja, o custo efetivo mensal do financiamento. Solução:

a) fluxo de caixa do tomador do financiamento

Os fluxos de caixa do tomador do financiamento e o da instituição financeira são absolutamente opostos.

A instituição financeira desembolsa $1.000,00 no início da operação, por ocasião da liberação dos recursos, e recebe quatro prestações mensais de $260,00. O tomador do financiamento recebe $1.000,00 no início da operação e paga quatro prestações mensais de $260,00.

O fluxo de caixa do tomador do financiamento está indicado na Tabela 7.5:

TABELA 7.5

No documento Abelardo Puccini (Auth.)-Matemática Financeira Objetiva e Aplicada (2012) (páginas 146-157)