Matemática
Financeira
Objetiva e Aplicada
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Abelardo de Lima Puccini
Matemática
Financeira
Objetiva e Aplicada
冢
9
ªedição revista e atualizada
Copyright © 2011, Elsevier Editora Ltda.
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei no 9.610, de 19/02/1998.
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Editoração Eletrônica: Casa de Ideias Revisão: Tania Heglacy
Elsevier Editora Ltda. Crescimento sem Fronteiras
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sac@elsevier.com.br ISBN 978-85-352-4672-8
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CIP-Brasil. Catalogação-Na-Fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. P972m
9.ed.
Puccini, Abelardo de Lima,
1942-Matemática financeira: objetiva e aplicada / Abelardo de Lima Puccini, Adriana Puccini. - 9.ed. - São Paulo: Elsevier, 2011.
Acompanhado do CD ISBN 978-85-352-4672-8
1. Matemática financeira. I. Puccini, Adriana. II. Título.
11-1794. CDD: 650.01513
CDU: 51-7
À minha mulher, Zelia, companheira e parceira inseparável, e ao meu filho Eduardo, amigo e incentivador permanente. À minha filha Adriana, um agradecimento especial pela contribuição nas últimas edições do livro, com ideias inovadoras, o que a credencia como a minha natural sucessora na atualização do livro para garantir a sua permanência no mercado em posição de destaque.
SOBRE O AUTOR
Abelardo de Lima Puccini é Engenheiro Civil pela PUC/RJ, formado em 1964, com curso de mestrado em Engenharia Econômica obtido na Universidade de Stan-ford, Califórnia, em 1967.
De 1967 a 1970 foi Professor Associado do Departamento de Engenharia Industrial e do Rio Datacentro da PUC/RJ, em regime de tempo integral.
De 1970 a 1979 exerceu funções executivas na área financeira de empresas do governo (Vale do Rio Doce, Nuclebrás e BNDES).
Atuou como Diretor Financeiro da Aracruz Celulose de 1979 a 1983 e, em se-guida, foi Superintendente Geral da Bolsa de Valores do Rio de Janeiro até o final de 1988, quando assumiu a função de Presidente Executivo do Grupo Supergasbras, onde permaneceu até 1992. De 1993 a 1997 atuou como Diretor Administrativo Financeiro da Casas Sendas.
No sistema Petrobras exerceu as funções de Diretor Financeiro da Petrobras Dis-tribuidora (2001 a 2003) e de Presidente da Liquigás DisDis-tribuidora (2004 e 2006).
É professor de Matemática Financeira, Análise de Investimentos e Fundamentos de Finanças em programas de pós-graduação de diversas instituições de ensino, do governo e da área privada.
PREFÁCIO À 9
aEDIÇÃO
Matéria obrigatória nas escolas de Administração, Economia e Finanças, a Matemática Financeira e suas aplicações no campo das finanças e na avaliação de investimentos encontra no livro do Professor Abelardo Puccini um rico depositório de conceitos teóricos e práticos.
Talvez seja uma das mais marcantes características do livro “Matemática Financeira Objetiva e Aplicada” a forma didática, clara e pragmática como o autor apresenta a matéria, utilizando convenções e simbologias internacionais de fácil compreensão. Os temas são desenvolvidos a partir de exemplos costumeiramente encontrados no mercado, dispensando o leitor de grandes conhecimentos matemáticos para a leitura e compreensão do conteúdo da obra.
O Professor Puccini, ao longo de sua brilhante carreira profissional, notadamente na área financeira, não só aproveitou o seu conhecimento prático como teve o mérito de manter seu livro sempre atualizado, desde a primeiríssima edição (1977), bem como incorporou novas tecnologias na solução de problemas. Dessa forma, o livro tornou-se uma referência permanente no mercado financeiro, o que justifica sua indicação como livro-texto em cursos universitários, bibliografia obrigatória para concursos públicos de instituições governamentais e fonte de consulta no sistema financeiro.
Foi pioneiro na utilização da calculadora HP-12C para a solução de problemas financeiros anteriormente resolvidos somente com o auxílio de Tabelas Financeiras. Posteriormente incorporou a Planilha Eletrônica Excel como ferramenta de apoio no tratamento de problemas mais complexos.
Esta 9a edição traz, como parte integrante do livro, um CD que disponibiliza
um Banco de Questões com 200 problemas selecionados, o que oferece ao leitor a oportunidade de testar seus conhecimentos por meio de provas com questões de múltipla escolha. O programa faz automaticamente a correção de cada questão, com a possibilidade de acessar a solução do autor e, no final, fornece o resultado da prova.
Particularmente interessante é o Capítulo 11, que apresenta com clareza e objeti-vidade os Métodos de Análise de Investimentos, ferramentas amplamente usadas na análise da viabilidade econômica de projetos e indispensáveis à tomada de decisão sobre alternativas de investimento, matéria de fundamental importância para exe-cutivos da área financeira.
O sucesso desta obra do Professor Puccini, um clássico na literatura econômica do país, é atestado pelos mais de 200 mil exemplares vendidos, marca rara quando se trata de matéria especializada, cujo público-alvo é normalmente reduzido.
Sua leitura é, a meu ver, indispensável a uma sólida formação acadêmica dos estudantes das áreas de Administração, Economia e Finanças, além de altamente recomendada aos analistas de projetos e do mercado financeiro e de capitais.
X M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O Professor Puccini, nesta edição do seu livro, atualiza e aperfeiçoa edições an-teriores, mantendo a Matemática Financeira acessível a especialistas e a leigos. Esse é o legado máximo que pode alcançar um escritor.
Sergio Franklin Quintella
NOTA DO AUTOR
À 9
aEDIÇÃO
A maioria dos livros de Matemática Financeira costuma apresentar a matéria com uma simbologia complexa, e com o desenvolvimento de fórmulas para cada situação específica, criando, assim, um mito de dificuldade para o seu aprendizado.
Privilegiamos em todas as edições o aspecto prático da matemática financeira, apre-sentando os conceitos por meio de exemplos resolvidos pela calculadora HP-12C e pela planilha eletrônica Excel. Entendemos que a grande aceitação dessas duas ferramentas de trabalho pelos profissionais do mercado, justifique plenamente a permanência de ambas nesta edição.
Apesar desse enfoque simples e prático, os conhecimentos adquiridos neste livro permitem a solução de problemas que envolvem o manuseio de qualquer fluxo de caixa, independente do grau de sua complexidade. Essa especificidade faz deste livro referência no meio acadêmico e em concursos públicos de relevantes instituições do Governo.
Nesta 9a edição a simbologia adotada ao longo do livro na apresentação dos fluxos
de caixa, utiliza a nomenclatura da calculadora HP-12C (n, i, PV, FV e PMT), o que já se tornou uma marca registrada desta obra.
Em relação à estrutura do livro, os nove primeiros capítulos são desenvolvidos na hipótese de moeda estável, sem inflação, de acordo com o tratamento convencional da matéria. Essa moeda é representada genericamente pelo símbolo $, que pode cor-responder à moeda corrente de qualquer país com economia estável, sem inflação.
No Capítulo 10 – Fluxos de Caixa e Inflação, mostramos a aplicação da Matemática Financeira quando a moeda não é estável, ou seja, quando há perda de valor do dinheiro em função do fenômeno da inflação.
O Capítulo 11 – Métodos de Análise de Investimentos, merece destaque, na medida em que apresenta uma das aplicações mais importantes da Matemática Financeira: a análise dos fluxos de caixa para a tomada de decisões de investimentos.
O “CD do Leitor”, cujo conteúdo está resumido em nota específica do autor, foi incluído a partir da 8a edição como parte integrante da obra. Seu principal objetivo foi
o de oferecer ao leitor uma alternativa digital para colocar em prática os conhecimentos adquiridos ao longo do livro. Para isso, desenvolvemos um Banco de Questões interati-vo, abrangendo todo o conteúdo da obra, com 200 problemas propostos e resolvidos. Além disso, o CD contém o arquivo – em Excel – do Simulador da HP-12C e os três apêndices do livro (Apêndice A – Utilização da HP-12C, Apêndice B – Funções Financeiras do Excel e Apêndice C – Uso de Tabelas Financeiras). Os dois primeiros devem ser lidos por aqueles que estão tendo o primeiro contato com esses instrumentos
XII M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
de apoio, para facilitar o aprendizado da matéria. O terceiro deve ser lido por aqueles que estão se preparando para concursos públicos que não permitem a utilização de calculadoras financeiras.
Disponibilizamos na Internet pelo site www.elsevier.com.br/puccinicompleta o Simulador da HP-12C, os três apêndices e artigos técnicos de Matemática Financeira, e oferecemos aos professores cadastrados as soluções dos problemas propostos e amplo material didático para o preparo das aulas.
NOTA DO AUTOR SOBRE
O CONTEÚDO DO CD
A partir da 8a edição passamos a incluir o “CD do Leitor” como parte integrante da
obra, com a principal finalidade de oferecer ao leitor uma alternativa digital para colo-car em prática os conhecimentos adquiridos no livro texto e, assim, desenvolvemos um Banco de Questões interativo com 200 problemas propostos e resolvidos, abrangendo todo o conteúdo da obra.
O Banco de Questões, principal aplicativo deste CD, tem uma estrutura de fácil uso e oferece ao leitor duas opções de provas, com respostas de múltipla escolha:
ra prova customizada, onde o leitor tem a flexibilidade de criar a sua própria prova,
definindo os capítulos do livro que nela devem ser incluídos, a quantidade de questões e o nível de dificuldade das mesmas (alta, média ou baixa);
ra prova padronizada, com 10 questões, gerada automaticamente pelo sistema,
composta por problemas de todos os capítulos do livro, a partir dos três níveis de dificuldade.
O sistema faz automaticamente a correção de cada questão e, no final, fornece o resultado da prova. Na solução dos problemas o leitor pode utilizar o Simulador da HP-12C e ter acesso à solução do autor para todos os problemas propostos.
Além do Banco de Questões o “CD do Leitor” inclui os seguintes conteúdos: rSimulador da HP-12C
O Simulador da HP-12C é um arquivo Excel que reúne as suas principais funções financeiras com uma apresentação esquemática para facilitar o registro dos dados, e que tem uma aparência semelhante à calculadora HP-12C, na medida em que apre-senta na sua parte superior as teclas n, i, PV, PMT e FV e na sua parte inferior o visor da calculadora. Ele é utilizado na solução dos problemas do livro, de forma simples e didática, como se fosse a própria calculadora HP-12C. A sua montagem está explicada, em detalhes, no Apêndice B – Funções Financeiras do Excel.
rApêndice A – Utilização da HP-12C
Neste Apêndice mostramos as operações básicas da calculadora e a utilização das suas principais funções financeiras na solução de problemas, que também são resolvidos por meio do Simulador da HP-12C. A sua leitura é recomendada para os leitores que estão tendo o primeiro contato com a matéria.
rApêndice B – Funções Financeiras do Excel
Neste Apêndice apresentamos uma revisão das nomenclaturas e convenções adota das na representação de fluxos de caixa e mostramos a forma de operar das principais funções financeiras da planilha Excel, com todos os detalhes da montagem do Si-mulador da HP-12C. A sua leitura é recomendada para os leitores que estão tendo o primeiro contato com a matéria.
XIV M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
rApêndice C – Uso de Tabelas Financeiras
Neste Apêndice apresentamos o Uso das Tabelas Financeiras, método tradicional da matemática financeira, na solução de problemas mediante a utilização única e exclusiva de fatores preestabelecidos. Sua leitura é recomendada para os leitores que pretendem fazer concursos públicos que, normalmente, não permitem o acesso às calculadoras e/ ou planilhas eletrônicas.
rMaterial Adicional
Neste segmento apresentamos artigos sobre temas importantes relacionados à Matemática Financeira, tais como “Cálculo de Debêntures”, “Projeções Financeiras”, e “Ano Civil x Ano Comercial”.
SIMBOLOGIA E CONVENÇÕES ADOTADAS – HP-12C
FV PV FV PV PMT PMT i i i i i i i i i i i i 0 1 2 3 4 ... n 0 1 2 3 4 ... nFinal de período – série postecipada Início de período – série antecipada
END BEGIN
em que:
n – número de períodos de capitalização de juros; i – taxa de juros em cada período de capitalização; PV – valor presente, capital inicial aplicado, principal;
FV – valor futuro, montante no final de n períodos de capitalização; PMT – pagamentos periódicos de mesmo valor, que ocorrem:
no final de cada período (END), ou no início de cada período (BEGIN).
Fórmulas interligando PV, PMT e FV – convenção de final de período:
FV PV[(1 i) ] PV FV 1 (1 i) PMT PV i(1 i) (1 i) 1 n n n n = + = + = + + − PPV PMT (1 i) i(1 i) PMT FV i (1 i) FV PMT (1 n n n = + − + = + − = + 1 1 ii) i n−1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥
XVI M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Observações:
r VUJMJ[BSTFNQSFBDPOWFOÉÈPEFàOBMEFQFSÎPEP BQFTBSEFB)1$QFSNJUJS o uso da convenção de início de período;
r BVOJEBEFEFUFNQPEBUBYBEFKVSPT JEFWFTFNQSFDPJODJEJSDPNBVOJEBEF de tempo dos períodos (n);
r PWBMPSEFOQPEFTFSGSBDJPOÃSJP
r TÈPTFNQSFJOUFSMJHBEPTPTDJODPFMFNFOUPTEPáVYPEFDBJYB O JFNBJTPT valores monetários PV, FV e PMT);
r PWBMPSNPOFUÃSJP 17 '7PV1.5RVFOÈPQBSUJDJQBSEPQSPCMFNBEFWFTFS registrado com o valor igual a zero.
1.1. Introdução
Este capítulo introduz os conceitos básicos e os principais fundamentos que nor-teiam o estudo da Matemática Financeira. São apresentados os conceitos de flu xo de caixa e, ainda, as convenções e simbologias adotadas nas suas representações.
O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo da Matemática Financeira.
1.2. Fluxo de Caixa – Conceitos e Convenções Básicas
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações financeiras etc.
A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos.
A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros, ou es que-ma ti ca men te, como na Figura 1.1:
FIGURA 1.1 Fluxo de caixa
Eixo horizontal: Tempo (Períodos)
( ) Pagamento⫺ ( ) Recebimento⫹ 0 $ 1 2 3 n ( )⫺ $ ( )⫺ $ ( )⫹ $ ( )⫺ ...
1
Conceitos Básicos
e Simbologia
Capítulo
2 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Em que são respeitadas as seguintes convenções:
a) a escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos, expres-so em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos. Os pontos 0, 1, 2, 3, ..., n substituem as datas de calendário, e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1o período e assim por diante;
b) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais;
c) os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada perío do, dependendo da convenção adotada. Nenhum valor pode ser colocado ao longo dos períodos, uma vez que eles não são contínuos. Assim, quando os perío dos correspondem a trimestres, não há condição de se indicar um valor ao longo do trimestre. Uma solução possível, nesse caso, é diminuir a unidade de tempo dos períodos, por exemplo, para meses;
d) saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são repre-sentadas por setas apontadas para baixo;
e) entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima.
1.3. Juros
1.3.1. Conceito
Define-se juros como sendo a remuneração do capital, a qualquer título. Assim, são válidas as seguintes expressões como conceitos de juros: a) remuneração do capital empregado em atividades produtivas; b) custo do capital de terceiros;
c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. 1.3.2. Unidade de Medida
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia).
Exemplos:
12% ao ano ⫽ 12% a.a. 4% ao semestre ⫽ 4% a.s. 1% ao mês ⫽ 1% a.m.
A obtenção do valor dos juros do período, em unidades monetárias, é sempre feita pela aplicação da taxa de juros sobre o capital aplicado. Assim, por exemplo, um
3 Capítulo 1 – Conceitos Básicos e Simbologia
capital de $1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a. proporciona, no final de um ano, um valor de juros igual a:
8% ⫻ $1.000,00 ⫽ (8/100) ⫻ 1.000,00 ⫽ $80,00 1.3.3. Regimes Adotados
Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos como juros simples e juros compostos.
No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de principal, rende juros. Nesse regime os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguin-tes. Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. O regime de juros simples é apresentado nos Capítulos 2 e 3.
No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. O regime de juros compostos é apresentado nos Capítulos 2 e 4.
É importante ressaltar que a capitalização ou não de juros só tem sentido quando os juros do período não são pagos, pois, em havendo o pagamento dos juros do período, não há porque falar na sua capitalização.
1.4. O Valor do Dinheiro no Tempo
Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são iguais a $1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.
Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 8% a.a., implicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de $1.080,00 no final de um ano.
Para uma taxa de juros de 8% a.a., é indiferente termos $1.000,00 hoje ou $1.080,00 daqui a um ano.
Um capital de $1.000,00 hoje somente será igual a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese de a taxa de juros ser considerada igual a zero.
A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros.
Eis os mandamentos fundamentais da Matemática Financeira que nunca podem deixar de ser observados:
a) valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e somadas algebricamente;
4 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e so-madas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros.
1.5. A Matemática Financeira
A Matemática Financeira tem como objetivos principais:
a) a realização de cálculos em fluxos de caixa, com a correta aplicação de taxas de juros, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo;
b) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita nos fluxos de caixa; c) a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.
1.6. Moeda Estável e Inflação
Nos nove prim eiros capítulos, a matéria está desenvolvida na hipótese de moeda estável, isto é, assume-se que a moeda utilizada no fluxo de caixa mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo. Essa moeda é genericamente representada pelo símbolo $, e pode corresponder ao real, ao dólar americano, à coroa sueca, ao euro, ou à moeda de qualquer país com economia estável.
O Capítulo 10 mostra os reflexos da inflação na análise dos fluxos de caixa, segundo os Modelos Prefixado e Pós-Fixado. Os conceitos de Matemática Financeira, entretanto, são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa sem inflação, expressos em moeda estável “forte”, como nos fluxos de caixa com inflação, expressos em moeda “fraca”, que perde seu poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrência da inflação.
A diferença básica existente nos dois modelos corresponde ao valor do percentual da taxa de juros a ser adotado em cada caso. É evidente que nenhum conceito de Matemá-tica Financeira sofre qualquer alteração pela mera variação do valor da taxa de juros.
1.7. Simbologia
Adotada
A simbologia e a convenção utilizadas em todo o compêndio para os diversos elementos de um fluxo de caixa, tal como nas edições anteriores, são idênticas àquelas adotadas pela HP-12C, calculadora financeira de grande uso no mercado.
As grandezas monetárias podem ser representadas no fluxo de caixa de acordo com as convenções de final de período e de início de período, que são apresentadas a seguir. 1.7.1. Convenção de Final de Período – Série PMT Postecipada
A representação dos fluxos de caixa, de acordo com essa convenção, se faz segundo o Diagrama Padrão, indicado a seguir:
5 Capítulo 1 – Conceitos Básicos e Simbologia
FIGURA 1.2 Convenção de final de período – série PMT postecipada – diagrama padrão
Pela convenção de final de período, todos os valores monetários que ocorrem du-rante um período são indicados no final do período correspondente, uma vez que não podem ser representados ao longo dos períodos, pois os mesmos não são contínuos. Os elementos desse Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa estão definidos a seguir.
Calculadora HP-12C
A Calculadora HP-12C adota as seguintes convenções e simbologias para definir os elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa:
n Número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos, semes-tres, trimessemes-tres, meses ou dias, podendo tomar os valores 0, 1, 2, 3… Assim, por exemplo, se os períodos correspondem a meses temos:
n ⫽ 0 indica a data de hoje, ou a data do início do 1o mês;
n ⫽ 1 indica a data do final do 1o mês e assim por diante.
i Taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem, e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, trimestre, mês ou dia). Por exemplo:
i = 10% ao ano = 10% a.a. = 10/100 = 0,10
PV Valor presente (“Present Value”), ou seja, valor do capital inicial (principal) aplicado. Representa, na escala horizontal do tempo, o valor monetário colocado na data inicial, isto é, no ponto correspondente a n = 0.
FV Valor futuro (“Future Value”), ou seja, valor do montante acumulado no final de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Representa, na escala horizontal do tempo, os valores monetários colocados nas datas futuras, isto é, nos pontos correspondentes a n = 1, 2, 3…
0 i PV 1 2 3 n PMT FV n ⫺1 i i i i i ...
6 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
PMT Valor de cada prestação da Série Uniforme (“Periodic PayMenT”) que ocorre no final de cada período (Série Postecipada). Representa, na es-cala horizontal do tempo, o valor de cada uma das prestações iguais que ocorrem no final dos períodos 1, 2, 3… Por exemplo, num financiamento com prazo de 12 meses, a ser pago em 12 prestações mensais de $600,00, o valor de PMT é igual a $600,00.
Em relação aos elementos do Diagrama Padrão são relevantes os seguintes comentários:
a) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais. Assim, por exemplo, todos os meses têm a mesma duração de 30 dias;
b) a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coin-cidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n;
c) os problemas comuns de Matemática Financeira envolvem, em geral, apenas quatro elementos, sendo que dois deles são obrigatoriamente a taxa de juros i e o número de períodos n. Os outros dois elementos a serem relacionados podem ser PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT. Existem, entretanto, alguns problemas em que os cinco elementos estão relacionados;
d) as fórmulas deste compêndio são desenvolvidas apenas para esse Diagrama Padrão, com a convenção de final de período. Os problemas que se enquadram nessa situação têm solução imediata. Os demais problemas são enquadrados nesse Diagrama Padrão mediante desdobramentos e outros artifícios que não alteram o enunciado do problema;
e) a Calculadora HP-12C, apresentada no Apêndice A, está preparada para resol-ver os problemas que se enquadram nesse Diagrama Padrão, com a convenção de final de período. Ressaltamos os seguintes pontos relevantes:
r QBSBRVFBDBMDVMBEPSBVUJMJ[FBDPOWFOÉÈPEFàOBMEFQFSÎPEPÊOFDFTTÃSJP que a função END esteja ativa (acionar as teclas g e END, e verificar que a palavra BEGIN não esteja indicada no visor);
r PTWBMPSFTEPOÙNFSPEFQFSÎPEPTOQPEFNTFSOÙNFSPTJOUFJSPTPVGSBDJP-nários. Por exemplo, n pode ser registrado em anos, fração de ano, fração de mês etc.;
r VNBUBYBEFKVSPTEF QPSFYFNQMP EFWFTFSSFHJTUSBEBDPNBDPMPDBÉÈP do número 8 na tecla correspondente a i. A calculadora, internamente, faz as operações com 8%, isto é, com 8/100 ⫽ 0,08;
r BDBMDVMBEPSBEFWFUFSTFNQSFBMFUSB$JOEJDBEBOPWJTPSGSBDJPOÃSJP" inclusão ou exclusão da letra C é feita pelo acionamento sequencial das teclas STO e EEX, para que realize todos os cálculos a juros compostos, independente do valor de n ser um número inteiro ou fracionário;
7 Capítulo 1 – Conceitos Básicos e Simbologia
r PTWBMPSFTNPOFUÃSJPT 17 '7F1.5EFWFNTFSSFHJTUSBEPTOBDBMDVMBEPSB sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, as entradas de caixa (re cebimentos) devem ter o sinal positivo (⫹), e as saídas de caixa (paga-mentos) devem ter o sinal negativo (⫺);
r BDBMDVMBEPSBTFNQSFJOUFSMJHBPTDJODPFMFNFOUPT O J 17 1.5F'71PS exemplo, no caso de obtenção do PV, a HP-12C calcula a seguinte relação:
PV ⫽ valor presente de FV ⫹ valor presente de PMT (1.1) r PTQSPCMFNBTRVFFOWPMWFNBQFOBTRVBUSPFMFNFOUPTEFWFNTFSSFTPMWJEPT
com o registro do número zero para o elemento monetário (PV, FV ou PMT) que não participa do problema.
r PTDJODPFMFNFOUPTEB$BMDVMBEPSB)1$ O J 17 1.5F'7QPEFN
ser revistos a qualquer tempo. Para isso basta acionar a tecla RCL e em seguida o elemento cujo valor se pretende revisar. Exemplo: RCL PV traz para o visor da HP-12C o valor contido da tecla PV.
Planilha Eletrônica Excel
A Planilha Eletrônica Excel, apresentada no Apêndice B, dispõe de funções financeiras básicas que têm exatamente as mesmas definições e convenções da HP-12C. Na sua versão em português, a Planilha Excel batiza os elementos financeiros do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa (Figura 1.2) de forma diferente da HP-12C, conforme mostramos a seguir:
a) número de períodos de capitalização r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEPQFMBUFDMBn; r OP&YDFM ÊSFQSFTFOUBEPQFMBGVOÉÈPNPER;
b) taxa de juros por período de capitalização r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEBQFMBUFDMBi; r OP&YDFM ÊSFQSFTFOUBEBQFMBGVOÉÈPTAXA;
c) valor presente ou “Present Value”
r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEPQFMBUFDMBPV; r OP&YDFM ÊSFQSFTFOUBEPQFMBGVOÉÈPVP;
d) valor futuro ou “Future Value”
r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEPQFMBUFDMBFV; r /P&YDFM ÊSFQSFTFOUBEPQFMBGVOÉÈPVF;
e) valor de cada prestação da série uniforme r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEPQFMBUFDMBPMT; r OP&YDFM ÊSFQSFTFOUBEPQFMBGVOÉÈPPGTO.
8 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Os parâmetros das funções financeiras básicas do Excel estão indicados a seguir:
TABELA 1.1 Função Financeira do
Excel
Parâmetros da Função do Excel
VP (TAXA; NPER; PGTO; VF; TIPO)
VF (TAXA; NPER; PGTO; VP; TIPO)
PGTO (TAXA; NPER; VP; VF; TIPO)
TAXA (NPER; PGTO; VP; VF; TIPO; ESTIMATIVA)
NPER (TAXA; PGTO; VP; VF; TIPO)
A Planilha Eletrônica Excel, apresentada no Apêndice B, tem amplas condições de resolver os problemas que se enquadram no Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa, com a convenção de final de período, e são relevantes os seguintes pontos:
a) para que as funções financeiras da planilha Excel utilizem a convenção de final de período, é necessário que o parâmetro TIPO seja igual a zero. Na ausência dessa informação, as funções financeiras do Excel assumem essa condição, e as operações são realizadas segundo essa convenção;
b) os valores do número de períodos NPER podem ser números inteiros ou fra-cionários;
c) os valores monetários (VP, VF e PGTO) devem ser registrados na planilha de acordo com a convenção de sinal também adotada pela HP-12C;
d) as funções financeiras do Excel, tal como na HP-12C, sempre interligam os cinco elementos (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF). Por exemplo, a função financeira VP sempre calcula a seguinte relação:
(1.2) e) os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resolvidos com
o registro do número zero para o elemento monetário (VP, PGTO ou VF) que não participa do problema, tal como na HP-12C.
9 Capítulo 1 – Conceitos Básicos e Simbologia
1.7.2. Convenção de Início de Período – Série PMT Antecipada
A representação dos fluxos de caixa, de acordo com essa convenção, se faz segundo o diagrama mostrado a seguir:
Pela convenção de início de período, todos os valores monetários que ocorrem durante um período são indicados no início do período correspondente, uma vez que não podem ser representados ao longo dos períodos, pois eles não são contínuos.
Em relação ao diagrama da Figura 1.3, destacamos que os cinco elementos do fluxo de caixa (n, i, PV, FV e PMT) têm definições idênticas às do Diagrama Padrão, exceto com relação ao posicionamento dos valores monetários, que, agora, são colocados no início de cada período.
São, portanto, válidos todos os comentários anteriores a respeito do relaciona-mento dessas grandezas, exceto com referência aos pontos destacados a seguir:
a) a convenção de início de período não altera as posições relativas de PV e FV usadas no Diagrama Padrão. Observar que nas duas convenções (início e final de períodos) a distância relativa entre PV e FV é sempre igual a n períodos; b) de acordo com essa convenção, a Série Uniforme PMT passa a ser antecipada,
pois as prestações ocorrem no início de cada período de capitalização de juros; c) a HP-12C está preparada para resolver os problemas que envolvam a Série
Anteci-pada, bastando, para isso, que a calculadora esteja com a função BEG ativa (acionar as teclas g e BEG, e verificar que a palavra BEGIN esteja indicada no visor); d) a Planilha Excel tem amplas condições de resolver os problemas que envolvam
a Série Antecipada, bastando, para isso, que o parâmetro TIPO das funções financeiras seja fixado com valor igual a um. Na ausência dessa informação, as funções financeiras assumem a condição de Série Postecipada (TIPO= 0). 1.7.3. Simulador da HP-12C
No Apêndice B, foi desenvolvido um Simulador da HP-12C com as funções fi-nanceiras básicas (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF) da Planilha Excel, cujo arquivo eletrônico pode ser encontrado no “CD do Leitor”.
0 i PV 1 2 3 n PMT FV n ⫺1 i i i i i ...
10 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Um ícone do simulador pode ser colocado no plano de fundo do seu micro e, ao acioná-lo, uma HP-12C simulada estará disponível, para realizar as operações usuais do mercado financeiro.
Esse Simulador da HP-12C tem as funções financeiras básicas do Excel e os seus respectivos parâmetros colocados de uma forma horizontal predefinida na mesma sequência das teclas da HP-12C, conforme mostra o esquema a seguir:
SIMULADOR DA HP-12C – CÁLCULO DE PMT
Em relação a esse simulador da HP-12C, destacamos os seguintes pontos:
a) foi desenvolvido com as funções financeiras da Planilha Excel atendendo às mesmas condições do Diagrama Padrão da Figura 1.2;
b) a representação do fluxo de caixa respeita a convenção de final do período, e, portanto, o simulador só considera a série postecipada;
c) os dados a serem inseridos pelos usuários, ou seja, os valores correspondentes a cada um dos respectivos elementos do fluxo de caixa são colocados na linha inferior da tabela e podem ser registrados em qualquer ordem de entrada; d) os parâmetros financeiros (PV, PMT e FV) devem ser registrados de acordo
com a convenção de sinal;
e) o parâmetro financeiro (PV, PMT ou FV) que não fizer parte do problema deve ter o seu valor registrado como “zero”, para não interferir no resultado; f) a célula em destaque é sempre aquela que contém a função financeira do Excel
e que dispara o cálculo da operação desejada. É nessa célula que aparece o valor da solução do problema:
r OPFYFNQMPBOUFSJPS FTTBDÊMVMBDPSSFTQPOEFBPQBSÄNFUSPPMT. É abaixo dela que inserimos a função PGTO do Excel para realizar o cálculo da presta-ção postecipada, a partir dos demais parâmetros, localizados horizontalmente ao seu lado. O parâmetro TIPO não é informado e passa a ser assumido como zero, como exigido no cálculo da prestação postecipada;
r BEPUBNPTBOPNFODMBUVSB1.5OBQBSUFTVQFSJPSEPTJNVMBEPSQBSBDPSSFT-ponder à tecla PMT da HP-12C, apesar de o Excel utilizar a nomenclatura PGTO;
g) o número de períodos de capitalização é representado por n na parte superior do simulador, para corresponder à tecla n da HP-12C:
n
i
PV
PMT
FV
11 Capítulo 1 – Conceitos Básicos e Simbologia
r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊVNEBEPEPQSPCMFNB QPEFTFSSFHJTUSBEPDPNPVN número inteiro ou fracionário, o que facilita a tarefa de compatibilizar as uni-dades referenciais de tempo para a taxa de juros e o número de períodos; r RVBOEPÊBJODÓHOJUBEPQSPCMFNB TFVWBMPSÊDBMDVMBEPQFMBGVOÉÈP/1&3
do Excel colocada na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque. O resultado obtido pelo simulador por essa função não é arredon-dado para o primeiro número inteiro superior como faz a HP-12C;
h) a taxa de juros por período de capitalização é representada por i na parte su-perior do simulador, para corresponder à tecla i da HP-12C:
r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊVNEBEPEPQSPCMFNB QPSFYFNQMP BUBYB deve ser informada pelo registro do número 8. Internamente, o simulador, tal como a HP-12C, converte esse número para 8/100= 8%;
r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊBJODÓHOJUBEPQSPCMFNB PTFVWBMPSÊDBMDVMBEP pela função TAXA do Excel, colocada na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque;
r BGVOÉÈPTAXA, que realiza o cálculo da taxa de juros tem um parâmetro adicional denominado ESTIMATIVA, que corresponde à estimativa inicial para o valor da taxa de juros, obtida por um processo interativo. No si mu-lador, o parâmetro ESTIMATIVA é fixado automaticamente pelo método dos juros médios apresentado no item 8.2.6, do Capítulo 8;
i) o valor presente é representado por PV na parte superior do simulador, para corresponder à tecla PV da HP-12C:
r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊBJODÓHOJUBEPQSPCMFNB TFVWBMPSÊDBMDVMBEP pela função VP do Excel, colocada na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque;
j) o valor futuro é representado por FV na parte superior do simulador, para corresponder à tecla FV da HP-12C:
r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊBJODÓHOJUBEPQSPCMFNBPTFVWBMPSÊDBMDVMBEPQFMB função VF do Excel, na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque.
Esse simulador também pode ser considerado como uma representação esquemática da própria calculadora, na medida em que apresenta na sua parte superior as teclas n, i, PV, PMT e FV e na sua parte inferior o visor da HP-12C.
Pelo fato de o simulador ter essa dupla função, é utilizado constantemente como uma forma didática de representar os dados dos problemas, seja na solução pela HP-12C seja pelas funções financeiras do Excel. O uso sistemático do simulador fará com que o usuário, de uma maneira espontânea, associe a teoria acima explicada com a utilização prática da calculadora HP-12C e/ou da planilha eletrônica Excel.
12 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Para o usuário que estiver utilizando a sua calculadora HP-12C para o acom-panhamento dos exemplos e problemas propostos pelo livro, ou seja, utilizando o simulador como uma mera representação gráfica da sua calculadora, destacamos os seguintes comentários:
a) a HP-12C deve estar operando com a função END para realizar os cálculos somente com a prestação postecipada, e com a letra C mostrada no visor para que todos os cálculos sejam realizados a juros compostos, conforme explicado no Apêndice A. A inclusão ou exclusão da letra C é feita pelo acionamento sequencial das teclas STO e EEX.
b) na parte inferior, são colocados os valores correspondentes a cada um dos res-pectivos elementos do fluxo de caixa, que podem ser registrados em qualquer ordem de entrada;
c) os parâmetros financeiros (PV, PMT e FV) devem ser registrados de acordo com a convenção de sinal;
d) o parâmetro financeiro (PV, PMT ou FV) que não faz parte do problema deve ter o seu valor registrado como “zero”, para não interferir no resultado; e) a célula em destaque indica que a tecla do parâmetro correspondente é a última
a ser acionada, e que dispara o cálculo da operação desejada, e mostra a solução do problema.
1.8. O Enfoque Adotado
A Matemática Financeira pode ser estudada com ênfase nos seus aspectos teóricos e, nesse caso, o leitor precisa ter um bom embasamento de matemática para poder acompanhar o desenvolvimento da matéria, e entender as notações algébricas e simbologias complexas comumente adotadas.
O enfoque adotado neste livro é totalmente prático, a fim de exigir do leitor um conhecimento de matemática bastante reduzido. Os conceitos são ilustrados com problemas reais que ocorrem frequentemente no mercado. Após o entendimento dos exemplos numéricos é que, quando necessário, se faz o estudo teórico para a obtenção de fórmulas genéricas.
A simbologia adotada também visa a simplicidade e a abrangência de sua aplicação. Assim, não se utiliza nenhuma nomenclatura matemática, mas sim uma simbologia mnemônica simples e de fácil assimilação, que é a mesma adotada pela calculadora HP-12C e pela planilha eletrônica Excel.
2.1. Introdução
Este capítulo apresenta os conceitos de juros simples e compostos e, por meio de exemplos numéricos, mostra como se comporta o crescimento do dinheiro ao longo do tempo nesses dois regimes de juros.
O regime de juros simples é apresentado em detalhe no próximo capítulo, e o regime de juros compostos é estudado ao longo de todo o livro, pois este é na realidade o único regime universalmente aceito como correto, e é nele que estão embasados todos os conceitos de Matemática Financeira que são utilizados na análise de fluxos de caixa.
2.2. Juros Simples – Crescimento Linear
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período, que não forem pagos no final do período, não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não ren-dem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. É como se fossem duas contas independentes: uma conta para o principal, que rende juros, e uma outra conta para o rendimento dos juros do principal, que não rende juros. Os exemplos numéricos a seguir servem para fixar esse conceito.
2.2.1. Exemplos Numéricos de Juros Simples
Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro Anos
Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no Banco ABC no final de cada um dos quatro anos da operação.
2
Juros Simples e
Compostos – Conceitos
14 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
A representação gráfica dos valores da Tabela 2.1 é mostrada a seguir:
Em relação à Figura 2.1, são válidos os seguintes comentários:
a) o ponto 1 da escala representa o final do 1o ano e o início do 2o ano, o ponto
2 representa o final do 2o ano e o início do 3o ano, e assim por diante;
b) os valores dos saldos no final dos quatro anos ($1.080,00, $1.160,00, $1.240,00 e $1.320,00) representam um crescimento linear do capital inicial de $1.000,00 (principal). Observar que cada valor é obtido pela soma de uma razão cons-tante de $80,00 (⫽ 8% ⫻ $1.000,00) sobre o valor anterior. Neste capítulo, é desenvolvida a equação genérica do crescimento do dinheiro a juros simples. Assim, pode-se afirmar:
r OPSFHJNFEFKVSPTTJNQMFT PEJOIFJSPDSFTDFMJOFBSNFOUFPVFNQSPHSFTTÈP aritmética ao longo do tempo.
Solução:
A Tabela 2.1, de fácil compreensão, contém os valores solicitados.
Saldo ($) 1.400,00 1.300,00 1.200,00 1.100,00 1.000,00 0 1 2 3 Juros simples (Linear) Anos 4
FIGURA 2.1 Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.
TABELA 2.1 Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.
Ano Saldo no início do ano Juros do ano Saldo no final do ano antes do pagamento Pagamento do ano Saldo no final do ano após o pagamento 1 1.000,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00 2 1.080,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.160,00 0,00 1.160,00 3 1.160,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.240,00 0,00 1.240,00 4 1.240,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.320,00 1.320,00 0,00
15 Capítulo 2 – Juros Simples e Compostos – Conceitos
É importante ressaltar que o Banco ABC sempre aplicou a taxa de 8% ao ano sobre o capital inicial de $1.000,00 (principal), embora os juros de cada ano ficas sem retidos no banco. Assim, apesar de os juros permanecerem no Banco ABC, nunca foram remunerados por aquela instituição durante todo o prazo da operação.
Banco ABC – Juros Simples – Dois Investimentos de Dois Anos
Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar esse valor no próprio Banco ABC, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1a aplicação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2a operação.
Solução:
O quadro do problema anterior informa que o valor do saldo credor desse inves-tidor no Banco ABC, no final de dois anos, é de $1.160,00.
Esse valor passa a ser o principal da 2a operação, que tem um rendimento anual
de juros igual a 8% × $1.160,00 = $92,80. O montante acumulado no final da 2a
operação é, portanto, igual a:
FV ⫽ 1.160,00 ⫹ 2 ⫻ 92,80 ⫽ $1.345,60
Observe que esse montante é $25,60 superior ao montante de $1.320,00 obtido na Seção anterior, em que o investimento de $1.000,00 foi feito no banco ABC pelo prazo de quatro anos. A razão desse incremento é porque os juros dos primeiros dois anos ($160,00) passaram a render juros anuais de 8% × $160,00 = $12,80 nos últimos dois anos. Isso só aconteceu porque o saldo de $1.160,00, no final do 2o ano, passou a ser o
principal da segunda operação.
2.3. Juros Compostos – Crescimento Exponencial
No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. Assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial (principal) aplicado. Os exemplos nu-méricos a seguir servem para fixar esse conceito.
2.3.1. Exemplos Numéricos de Juros Compostos
Banco XYZ – Juros Composto s – Um Investimento de Quatro Anos
Vamos agora considerar que o investidor do exemplo anterior tivesse aplicado $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no Banco XYZ no final de cada um dos quatro anos da operação.
16 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
A representação gráfica dos valores da Tabela 2.2 está indicada na Figura 2.2, juntamente com o gráfico da Figura 2.1, a juros simples, visando comparar os dois regimes de juros.
Em relação à Figura 2.2 são válidos os seguintes comentários:
a) o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples; b) os valores dos saldos no final dos quatro anos ($1.080,00, $1.166,40, $1.259,71
e $1.360,49) representam um crescimento exponencial do capital inicial de $1.000,00 (principal). Verificar que cada valor é obtido a partir do valor an-terior pela multiplicação de uma razão constante igual a 1,08 (⫽ 1,00 ⫹ 8%). No Capítulo 3, é desenvolvida a relação genérica do crescimento do dinheiro a juros compostos. Assim, pode-se afirmar:
r OPSFHJNFEFKVSPTDPNQPTUPTPEJOIFJSPDSFTDFFYQPOFODJBMNFOUFPVFN progressão geométrica ao longo do tempo.
Juros compostos (Exponencial) Saldo ($) 1.400,00 1.300,00 1.200,00 1.100,00 1.000,00 0 1 2 3 4 Anos Juros simples (Linear)
TABELA 2.2 Crescimento de $1.000,00 a juros compostos de 8% a.a.
FIGURA 2.2 Crescimento de $1.000,00 no tempo: juros simples e compostos de 8% a.a.
Ano Saldo no início do ano Juros do ano Saldo no final do ano antes do pagamento Pagamento do ano Saldo no final do ano após o pagamento 1 1.000,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00 2 1.080,00 8% x 1.080,00 = 86,40 1.166,40 0,00 1.166,40 3 1.166,40 8% x 1.166,40 = 93,31 1.259,71 0,00 1.259,71 4 1.259,71 8% x 1.259,71 = 100,78 1.360,49 1.360,49 0,00 Solução:
17 Capítulo 2 – Juros Simples e Compostos – Conceitos
É importante destacar que o Banco XYZ sempre aplicou a taxa de 8% ao ano sobre o saldo existente no início de cada período. Assim, após cada período, os juros são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros. A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e o período de tempo considerado é deno-minado período de capitalização. As capitalizações podem ocorrer anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensalmente e até diariamente.
Em resumo, pode-se concluir que:
a) a juros simples, os juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial aplicado (principal), não havendo incidência de juros sobre juros; b) a juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo
existente no início do respectivo período, havendo incidência de juros sobre juros. Nos exemplos apresentados, os montantes disponíveis para o investidor, no final do 4o ano, estão na Tabela 2.3:
TABELA 2.3
Banco Regime de juros Valor no 4o ano
XYZ Juros compostos $1.360,49
ABC Juros simples $1.320,00
Diferença – $40,49
Essa diferença de $40,49 corresponde ao rendimento de juros sobre juros propor-cionado pelo Banco XYZ, que opera no regime de juros compostos.
Banco XYZ – Juros Compostos – Dois Investimentos de Dois Anos
Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compos-tos. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar esse valor no próprio Banco XYZ, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1a operação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2a operação.
Solução:
Pela Tabela 2.2, temos que o valor do saldo credor desse investidor no Banco XYZ, no final de dois anos, é de $1.166,40.
Esse valor passa a ser o principal da 2a operação, cujos saldos acumulados são os seguintes:
a) no final do 1o ano da 2a operação (final do 3o ano):
18 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) no final do 2o ano da 2a operação (final do 4o ano):
FV ⫽ 1.259,71 ⫹ 1.259,71 ⫻ 8% ⫽ 1.259,71 ⫹ 100,78 ⫽ $1.360,49
Observe que esse montante é exatamente igual ao montante do investimento a juros compostos, com o prazo de quatro anos. A razão dessa igualdade é porque, no regime de juros compostos, os saldos do início de cada período é que são remunerados com a taxa de juros do respectivo período. Ou seja, a operação de quatro anos é equivalente às duas operações deste exemplo numérico, desde que a 2a operação seja realizada nas mesmas condições da 1a.
Banco ABC – Pagamento de Juros Periódicos – Um Investimento de Quatro Anos
Vamos agora assumir que o Banco ABC permita que o investidor retire os $80,00 de juros anuais no final de cada ano, ao longo dos quatro anos. No final do 4o ano,
além dos juros anuais, o investidor retira ainda o principal de $1.000,00. Em que regime de juros passa a operar o Banco ABC? Simples ou compostos?
Solução:
A resposta é que o Banco ABC passa a operar a juros compostos, pois os juros de cada período passam a ser calculados sobre os saldos existentes no início dos respec-tivos períodos. Senão vejamos:
a) no final do 1o ano, os juros de $80,00 são creditados, elevando o saldo para
$1.080,00, e imediatamente retirados pelo investidor, fazendo o saldo retornar ao valor de $1.000,00. Assim, não há possibilidade de os juros serem capitalizados, vol-tando a base de cálculo para o 2o ano a ser o saldo remanescente de $1.000,00;
b) no final dos anos seguintes, o processo se repete, garantindo que o Banco ABC remunerou em cada período o saldo existente à disposição do banco no início do respectivo período.
E o investidor, quanto terá acumulado no final dos quatro anos? Solução:
A resposta a essa pergunta depende da utilização que o investidor resolva dar aos juros recebidos no final de cada ano. Assim:
a) se o investidor meramente guardar os juros recebidos no cofre de sua casa, o total acumulado no final de quatro anos será de $1.320,00. Isso corresponde a só retirar os juros do Banco ABC no final do 4o ano e voltar à situação em
que o banco opera a juros simples, pelo prazo de 4 anos;
b) se cada parcela de juros retirada do Banco ABC for aplicada pelo investidor no Banco XYZ, a juros compostos de 8% ao ano e pelo prazo necessário para completar os quatros anos, o total acumulado no final do 4o ano será de
$1.360,49. Isso equivale a aplicar os $1.000,00 iniciais no Banco XYZ, a juros compostos, pelo prazo de quatro anos. A reaplicação dos juros é que produzirá o resultado adicional de $40,49, para fazer o montante de $1.320,00 atingir
19 Capítulo 2 – Juros Simples e Compostos – Conceitos
o valor de $1.360,49 no final do 4o ano. A Tabela 2.4 mostra o resultado dessas
operações:
TABELA 2.4
Ano
Banco ABC Banco XYZ
Aplicação inicial
Retiradas anuais
Juros do 1o ano Juros do 2o ano Juros do 3o ano Aplicação Saldos Aplicação Saldos Aplicação Saldos
0 1.000,00
1 80,00 80,00
2 80,00 86,40 80,00
3 80,00 93,31 86,40 80,00
4 1.080,00 100,78 93,31 86,40
Assim, a situação do investidor no final do 4o ano pode ser vista na Tabela 2.5:
TABELA 2.5
Disponível Receita de reaplicações
a) No Banco ABC 1.080,00 b) No Banco XYZ Saldo da 1a reaplicação 100,78 20,78 Saldo da 2a reaplicação 93,31 13,31 Saldo da 3a reaplicação 86,40 6,40 Soma 1.360,49 40,49
As receitas de reaplicações totalizam exatamente $40,49, porque as taxas de reaplicações são iguais a 8% ao ano. Essas receitas serão superiores ou inferiores a esse valor caso as taxas de reaplicações sejam maiores ou menores que 8% ao ano, respec tivamente.
2.4. Análise dos Exemplos Numéricos
Com a finalidade de reforçar os conceitos de juros simples e juros compostos, vamos analisar os fluxos de caixa dos exemplos numéricos anteriores.
20 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
1a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro Anos.
Neste caso, o fluxo de caixa do investidor está representado na Figura 2.3:
O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.320,00 no final de quatro anos está fazendo um investimento a uma taxa de 8% ao ano, no regime de juros simples. Esse fluxo de caixa, se for analisado pela ótica do regime de juros compostos, que é a visão correta, necessariamente oferece uma taxa de juros menor do que 8% ao ano, porque a juros compostos de 8% ao ano o montante acumulado no final do 4o ano é de $1.360,49 (o rendimento desse investimento, a juros compostos, é de
7,19% ao ano).
2a Situação: Banco XYZ – Juros Compostos – Um Investimento de Quatro
Anos.
Neste caso, o fluxo de caixa do investidor está representado a seguir:
O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.360,49 no final de quatro anos es tá fazendo um investimento a uma taxa de 8% ao ano, no regime de juros compostos.
Este fluxo de caixa, analisado pela ótica do regime de juros simples, que é uma visão incorreta, oferece uma taxa de juros maior do que 8% ao ano, porque a juros simples de 8% ao ano o montante acumulado no final do 4o ano é de $1.320,00 (o rendimento
desse investimento, a juros simples – é de 9,01% ao ano).
( ) 1.000,00⫺ ( ) 1.320,00⫹
0 1 2 3 4 Anos
( ) 1.000,00⫺ ( ) 1.360,49⫹
0 1 2 3 4 Anos
FIGURA 2.3 Banco ABC – Juros simples de 8% a.a. – Um investimento de quatro anos
21 Capítulo 2 – Juros Simples e Compostos – Conceitos
3a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Dois Investimentos de Dois Anos.
As duas operações de dois anos realizadas no Banco ABC, no regime de juros simples, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor:
O montante acumulado no final do 4o ano, pelas duas operações de dois anos, é
maior do que o montante da operação de quatro anos. Este acréscimo ocorre porque, com duas operações de dois anos, o montante do final do 2o ano passa a ser o
prin-cipal da 2a operação de dois anos no Banco ABC, a juros simples. Com isso, os juros dos primeiros dois anos passam a render juros nos últimos dois anos da 2a operação, e justificam esse acréscimo de valor.
4a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Quatro Investimentos de Um Ano.
Caso o investidor consiga realizar quatro operações de um ano no Banco ABC, a juros simples de 8% ao ano, os saldos no final de cada ano serão reaplicados no ano seguinte, com o nome de principal, e os juros de cada ano passarão a render juros nos anos seguintes, de forma idêntica ao regime de juros compostos. Nesse caso, o principal de $1.000,00 conseguirá produzir o mesmo montante de $1.360,49, desde que as taxas de juros das reaplicações sejam iguais a 8% ao ano.
5a Situação: Banco XYZ – Juros Compostos – Dois Investimentos de Dois Anos.
As duas operações de dois anos realizadas no Banco XYZ, no regime de juros compostos, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor:
0 1 2 3 4 Anos ( )1.000,00⫺ (⫺)1.166,40 (⫹)1.166,40 ( )1.360,49⫹ 0 1 2 3 4 Anos ( )1.000,00⫺ ( )1.160,00⫺ ( )1.160,00⫹ ( )1.345,60⫹
FIGURA 2.5 Banco ABC – Juros simples de 8% a.a. – Dois investimentos de dois anos
22 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Repare que o montante que acabamos de observar na Figura 2.6 é igual ao calcu-lado na 2a situação. Isso acontece porque, a juros compostos, a operação de quatro anos é absolutamente equivalente às duas operações de dois anos, desde que as taxas de juros das operações sejam iguais. No regime de juros compostos, são os saldos de cada período que são remunerados pelas taxas de juros de cada período. Dessa forma, os juros dos dois primeiros anos são igualmente remunerados nos dois últimos anos da operação de quatro anos, ou nos dois anos da 2a operação, desde que as taxas de juros sejam idênticas.
6a Situação: Banco ABC – Pagamento Periódico de Juros.
Neste caso, com o Banco ABC pagando os juros periodicamen te, no final de cada ano, o fluxo de caixa do investidor é o seguinte:
O Banco ABC está, rigorosamente, operando com juros compostos de 8% ao ano nesse investimento, pois está remunerando o saldo inicial de cada período a essa taxa, ao longo dos quatro anos da operação.
O montante acumulado pelo investidor no final do 4o ano depende da taxa de
juros obtida nas reaplicações dos valores recebidos no final de cada ano. Se todas as reaplicações forem feitas a 8% ao ano, a juros compostos, o montante acumulado no final do 4o ano será igual a $1.360,49.
2.5. Conclusão
Neste capítulo, apresentamos operações com juros simples e com juros compostos, com o objetivo de deixar bem claro que o regime de juros simples é totalmente incor-reto e que nunca deve ser utilizado como ferramenta de análise de fluxos de caixa, pois somente o capital inicial (principal) é que é remunerado com juros.
Na prática, entretanto, os juros simples são utilizados pelo mercado, pela facilidade de cálculo, e porque aumentam ficticiamente a rentabilidade efetiva das aplicações financeiras e reduzem ficticiamente o custo efetivo dos financiamentos. Aplicar $1.000,00, para receber $1.440,00 no final de dois anos, representa uma aplicação financeira com rentabilidade de 20% ao ano, a juros compostos, ou com rentabilidade de 22% ao ano, a juros simples.
0 1 2 3 4 Anos
( )1.000,00⫺
( )80,00⫹
( )1.000,00⫹
( )80,00⫹ ( )80,00⫹ ( )80,00⫹
23 Capítulo 2 – Juros Simples e Compostos – Conceitos
Recomendamos a seguinte linha de ação para uma análise correta de qualquer operação financeira:
a) obtenha o fluxo de caixa da operação, a partir de uma análise cuidadosa dos dados fornecidos. Somente nesta fase é que os juros simples podem ser utiliza-dos, se necessário, exclusivamente com a finalidade de obtenção dos valores do fluxo de caixa da operação;
b) efetue todos os cálculos e análises do fluxo de caixa exclusivamente no regime de juros compostos.
Em resumo, os juros simples só devem ser utilizados na obtenção dos fluxos de caixa das operações financeiras, quando o enunciado do problema implicar a adoção desse regime de juros.
Uma vez obtido o fluxo de caixa da operação financeira, ele só deve ser analisado e comparado com fluxos de caixa de outras operações financeiras, no regime de juros compostos.
A utilização do regime de juros simples na análise e comparação de fluxos de caixa é totalmente contraindicada e pode levar a decisões erradas, provocando prejuízos desnecessários.
2.6. Problemas
Propostos
1. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros simples. Mostre o crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos recursos, e informe o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 6o trimestre, após a efetivação do último depósito.
2. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostre o crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos recursos, e informe o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 6o trimestre, após a efetivação do último depósito.
3. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre. Entretanto, os juros são pagos trimes-tralmente, de acordo com a taxa prometida. Assim, esse investidor poderá retirar dessa instituição, no final de cada trimestre, a quantia de $50,00, a título de juros dessa aplicação financeira. Pergunta-se:
a) Essa instituição financeira está remunerando seus depósitos a 5% ao trimestre no regime de juros simples ou de juros compostos?
b) Qual será o montante acumulado por esse investidor, no final do 6o trimestre, se:
b.1) o investidor não reaplicou os juros recebidos no final de cada trimestre? b.2) o investidor reaplicou os juros recebidos trimestralmente, a uma mesma taxa de
3.1. Introdução
Neste capítulo, vamos desenvolver as fórmulas básicas de juros simples e mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos.
O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo e serve para reduzir ou aumentar ficticiamente a taxa de juros compostos das operações, o que facilita a tarefa de colocação dos produtos para investidores e/ou tomadores de recursos financeiros.
Juros simples só devem ser utilizados para a obtenção do fluxo de caixa da opera-ção financeira, quando ela for contratada nesse regime de juros. A partir dos valores do fluxo de caixa, deve-se utilizar o regime de juros compostos para se fazer sua cor-reta avaliação e tomada de decisão.
3.2. Capitalização
Simples
A rigor, o processo da capitalização só ocorre no regime de juros compostos, em que os juros se transformam em capital e passam a render juros.
Entretanto, é comum o emprego da expressão “capitalização simples” para se referir ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples.
3.2.1. Dedução da Expressão Genérica
A expressão genérica do Valor Futuro (FV), no regime de juros simples, em função dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado na Figura 3.1, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.
3
Juros Simples –
Fórmulas Básicas
26 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os juros tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos:
juros de cada período : PV i juros de n períodos : n PV i
O valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal PV, durante n períodos, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros simples, é obtido pela expressão:
FV montante principal juros PV n PV i ou seja:
FV PV (1 i n) (3.1)
em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.
3.2.2. Verificação da Expressão Genérica
A Expressão Genérica (3.1) pode ser verificada pela reprodução dos valores obtidos no Problema “Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro anos”, da Seção 2.2.1, do Capítulo 2, em que são utilizados os seguintes parâmetros:
PV $1.000,00
n 8% ao ano
O montante FV, no final de cada ano, está demonstrado na Tabela 3.1: i PV Q FV Q i i i i i
FIGURA 3.1 Capitalização simples: taxa de juros i – desconto “por dentro”
TABELA 3.1
Final do Valor de n Valor de FV ($)
1o ano n 1 FV 1.000,00 (1 0,08 1) 1.080,00
2o ano n 2 FV 1.000,00 (1 0,08 2) 1.160,00
3o ano n 3 FV 1.000,00 (1 0,08 3) 1.240,00
27 Capítulo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas
3.3. Desconto “Por Dentro”, ou Racional
A taxa de juros i, também denominada taxa de rentabilidade ou, ainda, taxa de desconto “por dentro”, pode ser obtida a partir da Relação (3.1), que fornece:
i = FV PV – 1 ⎛
⎝ ⎞⎠ × 1n (3.2)
O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV, ou montante, e o valor presente PV, ou principal, ou seja:
Desconto FV PV
O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, é obtido multiplicando-se o valor presente PV pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n, ou seja:
Dd PV i n
Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita, sendo normalmente conhecidos o valor futuro FV, o prazo n e a taxa de desconto i. Vamos a seguir de-duzir a fórmula que permite obter o valor do desconto racional a partir das variáveis conhecidas.
O valor do desconto “por dentro”, ou racional, é também obtido pela aplicação da expressão geral para desconto, isto é:
Dd FV PV (3.3)
A partir da Expressão (3.1) pode-se obter a seguinte relação:
PV ⫽ FV
1 ⫹ i ⫻ n (3.4) Substituindo na Relação (3.3) o valor de PV fornecido pela Relação (3.4), temos:
Dd ⫹ ⫻ ⫹ ⫻ ⫽ ⫺ FV FV 1 i n FV 1 1 1 i n ⫺
(
)
e finalmente: Dd⫽ FV ⫻ 1 ⫹ i ⫻ n i ⫻ n (3.5)3.4. Exemplos
Numéricos
1. Calcule o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de um princi-pal de $10.000,00, aplicado com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros simples.
