de padrão 9.l.m Para determinarmos qual polígono que poderá ser colocado
1. O poliedro de padrão 3.l.m.l = 3.4.3
Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro.
Seja F3 o número de faces triangulares e seja F4 o número de faces quadradas deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
F = F3 + F4
Percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 3F3 + 4F4 .
Porém, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, pois cada aresta é comum a duas faces. Assim temos que
3F3 + 4F4 = 2A
Sabemos que em cada vértice do poliedro temos quatro extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Então, o número total de extremidades de arestas é igual a 4V.
Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2A.
Portanto, 4V = 2A ⇒ 2V = A (84) Como temos dois triângulos e dois quadrados adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 2 ∙ 60° + 2 ∙ 90° = 300°.
Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V ∙ 300°.
Pelo teorema do capítulo I, sabemos que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S = (V − 2) ∙ 360°, portanto,
(V − 2) ∙ 360° = V ∙ 300° ⇒ V ∙ 60° = 720° ⇒ V = 12 (85)
Assim, o poliedro tem doze vértices.
Como 2V = A, deduzimos que A = 24, ou seja, o poliedro tem vinte e quatro arestas.
Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:
V – A + F = 2 ⇒ 12 – 24 + F = 2 ⇒ F = 14 (86) Então, vemos que o poliedro possui quatorze faces.
oito triângulos eqüiláteros e
quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro cada vértice é igual a
Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações:
9 F
3F +
A solução do sistema é F oito triângulos eqüiláteros e
Este poliedro é o
Figura 29
2.
Seja F
quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F3
Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos 3F3 +
Lembremos que 4V = 2A Como temos
vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro vértice é igual a
Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é Então,
Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações:
+ F1 14 + 4F1 2 ∙
A solução do sistema é F oito triângulos eqüiláteros e seis quadrados.
Este poliedro é o
Figura 29. Cuboctaedro
O poliedro
Seja F3 o número de faces triangulares e seja F
quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
3 + F4
Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos + 4F4 = 2A
Lembremos que 4V = 2A Como temos um
vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro vértice é igual a 60° + 3 ∙
Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é Então,
Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações:
14
∙ 24:
A solução do sistema é F3 seis quadrados. Este poliedro é o cuboctaedro.
. Cuboctaedro – poliedro
O poliedro de padrão
o número de faces triangulares e seja F
quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos = 2A
Lembremos que 4V = 2A
triângulo equilátero e
vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro
∙ 90° 330
Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é
Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações:
: 3 = 8 e F4 seis quadrados. cuboctaedro. poliedro semirregular de padrão 3.l.m.l = 3.
o número de faces triangulares e seja F
quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos = 2A
Lembremos que 4V = 2A ⇒ 2V = A triângulo equilátero e
vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro
330°.
Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é
Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações:
= 6, ou seja, o poliedro tem
semirregular
= 3.4.4.4
o número de faces triangulares e seja F4
quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos
2V = A triângulo equilátero e três quadrados vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro
Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V
Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações:
(87)
= 6, ou seja, o poliedro tem
semirregular de padrão 3.4.3.4
o número de faces quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos
2V = A
três quadrados adjacentes a vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a
V ∙ 330°.
Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações: (87) = 6, ou seja, o poliedro tem
de padrão 3.4.3.4
o número de faces quadradas do poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
adjacentes a adjacentes a
quarenta e oito
poliedro tem
oito triângulos eqüiláteros e
Figura 30
número de faces do poliedro.
V 2
Assim, o poliedro tem Como 2V = A
quarenta e oito arestas.
Substituindo estes valores na fórmula de Euler,
V – A + F poliedro tem vinte e seis
Chegamos ao seguinte sistema de equações:
9 F3F
+
A solução do sistema é F triângulos eqüiláteros e
Este poliedro é o
Figura 30. Pequeno rombicuboctaedro
3.
Seja então número de faces do poliedro.
2 ∙ 360°
Assim, o poliedro tem
Como 2V = A, deduzimos que A = arestas.
Substituindo estes valores na fórmula de Euler,
A + F = 2 vinte e seis faces.
Chegamos ao seguinte sistema de equações:
+ F1 26
+ 4F1 2 ∙
A solução do sistema é F
triângulos eqüiláteros e dezoito quadrados Este poliedro é o
Pequeno rombicuboctaedro
O poliedro de padrão
Seja então V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro.
V ∙ 330° ⇒
Assim, o poliedro tem vinte e quatro , deduzimos que A =
Substituindo estes valores na fórmula de Euler,
= 2 ⇒ 24 – 48 + F = 2, obtemos F = faces.
Chegamos ao seguinte sistema de equações:
26
∙ 48:
A solução do sistema é F3 dezoito quadrados
Este poliedro é o pequeno rombicuboctaedro
Pequeno rombicuboctaedro
O poliedro de padrão
V o número de vértices, A o número de arestas e F o
⇒ V ∙ 30°
vinte e quatro vértices. , deduzimos que A =
Substituindo estes valores na fórmula de Euler,
48 + F = 2, obtemos F =
Chegamos ao seguinte sistema de equações:
:
= 8 e F4 = dezoito quadrados.
pequeno rombicuboctaedro
Pequeno rombicuboctaedro – poliedro de padrão 3.
O poliedro de padrão 3.l.m.l = 3.4.5.4.
V o número de vértices, A o número de arestas e F o
720° ⇒ V
vértices.
, deduzimos que A = 48, ou seja, o poliedro tem
Substituindo estes valores na fórmula de Euler,
48 + F = 2, obtemos F =
Chegamos ao seguinte sistema de equações:
= 18, portanto, o poliedro tem
pequeno rombicuboctaedro.
poliedro de padrão 3.
= 3.4.5.4.
V o número de vértices, A o número de arestas e F o
⇒ V 24
, ou seja, o poliedro tem
48 + F = 2, obtemos F = 26, portanto, o
, portanto, o poliedro tem
poliedro de padrão 3.4.4.4
V o número de vértices, A o número de arestas e F o 47
88
, ou seja, o poliedro tem
, portanto, o
(89)
, portanto, o poliedro tem
4.4.4
quadradas e F de faces é dado por:
quadrado, um hexágono regular e um octógono regular.
só vez em
temos um “cinturão” de polígonos
quadrados e um pentágono
exatamente um
soma de ângulos planos:
é S V
Seja agora F
quadradas e F5 o número de faces pentagonais. de faces é dado por:
F = F3 Assim, s
quadrado, um hexágono regular e um octógono regular. Vamos escolher,
só vez em torno de cada vértice.
Desta maneira, consideremos a figura abaixo.
Agora, pensemos da seguinte maneira: em torno do temos um “cinturão” de
polígonos adjacentes a cada quadrados e um pentágono
Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a exatamente um triângulo
soma de ângulos planos: Sabemos,
2 ∙ 360° V 2
Assim, o poliedro tem
Seja agora F3 o número de triangulares, F o número de faces pentagonais.
de faces é dado por:
3 + F4 + F5
Assim, sabemos que em torno de cada vértice temos: um quadrado, um hexágono regular e um octógono regular.
Vamos escolher, torno de cada vértice.
Desta maneira, consideremos a figura abaixo.
Figura 31
Agora, pensemos da seguinte maneira: em torno do temos um “cinturão” de quadrados e pentágonos
adjacentes a cada quadrados e um pentágono.
Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a triângulo. Então, em torno de cada vértice temos a seguinte soma de ângulos planos: 60° +
Sabemos, que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro
°, portanto, 2 ∙ 360°
Assim, o poliedro tem
o número de triangulares, F o número de faces pentagonais.
abemos que em torno de cada vértice temos: um quadrado, um hexágono regular e um octógono regular.
Vamos escolher, então, uma das figuras que aparece apenas uma torno de cada vértice.
Desta maneira, consideremos a figura abaixo.
Figura 31. Poliedro de padrão 3.4.5.4
Agora, pensemos da seguinte maneira: em torno do quadrados e pentágonos
vértice do
Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a . Então, em torno de cada vértice temos a seguinte
+ 2 ∙ 90° + 108
que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro , portanto,
V ∙ 348° ⇒
Assim, o poliedro tem sessenta
o número de triangulares, F
o número de faces pentagonais. Temos então que o número total
abemos que em torno de cada vértice temos: um quadrado, um hexágono regular e um octógono regular.
então, uma das figuras que aparece apenas uma
Desta maneira, consideremos a figura abaixo.
. Poliedro de padrão 3.4.5.4
Agora, pensemos da seguinte maneira: em torno do quadrados e pentágonos.
vértice do triângulo
Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a . Então, em torno de cada vértice temos a seguinte
108° 348
que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro
⇒ V ∙ 12°
sessenta vértices.
o número de triangulares, F4 o número de faces Temos então que o número total
abemos que em torno de cada vértice temos: um quadrado, um hexágono regular e um octógono regular.
então, uma das figuras que aparece apenas uma
Desta maneira, consideremos a figura abaixo.
. Poliedro de padrão 3.4.5.4
Agora, pensemos da seguinte maneira: em torno do . Desta maneira triângulo – o próprio
Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a . Então, em torno de cada vértice temos a seguinte
348° .
que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro
720° ⇒ V
vértices.
o número de faces Temos então que o número total
abemos que em torno de cada vértice temos: um
então, uma das figuras que aparece apenas uma
Agora, pensemos da seguinte maneira: em torno do triâ Desta maneira temos
o próprio triângulo, dois
Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a . Então, em torno de cada vértice temos a seguinte
que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro
60 91
o número de faces Temos então que o número total
(90) abemos que em torno de cada vértice temos: um
então, uma das figuras que aparece apenas uma
triângulo temos quatro triângulo, dois
Cada ângulo plano do poliedro é adjacente ou interior a . Então, em torno de cada vértice temos a seguinte
que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro
49
Podemos calcular quantas faces triangulares o poliedro possui da seguinte maneira:
F ∙ 3 ∙ 348° = (V − 2) ∙ 360° ⇒ (92)
⇒ F ∙ 1044° = (60 − 2) ∙ 360° ⇒ F = 20
Portanto, o poliedro possui vinte faces triangulares.
Agora, percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 3F3 + 4F4 + 5F5 .
No entanto, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, pois cada aresta é comum a duas faces. Assim temos que
3F3 + 4F4 + 5F5 = 2A (93) Sabemos que em cada vértice do poliedro temos quatro extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Então, o número total de extremidades de arestas é igual a 4V.
Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2A.
Portanto, 4V = 2A ⇒ 2V = A
Como 2V = A, deduzimos que A = 120, ou seja, o poliedro tem cento e vinte arestas.
Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:
V – A + F = 2 ⇒ 60 – 120 + F = 2 ⇒ F = 62 (94) Então, vemos que o poliedro possui sessenta e duas faces.
Assim, chegamos ao seguinte sistema de equações:
9 F4F + F1+ F2 = 62
1+ 5F2 = 2 ∙ 120: (95)
A solução do sistema é F3 = 20, F4 = 30 e F5 = 12, ou seja, o poliedro tem vinte triângulos eqüiláteros, trinta quadrados e doze pentágonos regulares.
Figura 32
pentagonais poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: Figura 32. Pequeno rombicosi o Neste caso, temos βA 108° 2 ∙ βA+ E 300° Logo, Então, Logo, temos que: 2 ∙ β3+ ⇒ βl Logo, Então, Seja F pentagonais poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: Pequeno rombicosidodecaedro Poliedros de padrão Neste caso, temos ⇒ βA E + β 300 ° 216° Logo, m = 3 Então, k.l.m.l = 3. Logo, temos que: + 2 ∙ βl 360 120°
Logo, l = 5. ntão, o poliedro Seja F3 o número de faces triangulares e seja F pentagonais poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: dodecaedro Poliedros de padrão Neste caso, temos 108°
300° ⇒ β 84° ⇒ β = 3.l.3.l. Logo, temos que: 360° ⇒ 2 ∙ β poliedro é do tipo 3.5.3.5 o número de faces triangulares e seja F pentagonais poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: dodecaedro – poliedro de padrão 3.5.3.5 Poliedros de padrão 3.l.m.l, com
300° 2 84° ⇒ βl 360° do tipo 3.5.3.5. o número de faces triangulares e seja F pentagonais poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: poliedro de padrão 3.5.3.5 , com l ≥ 5: ∙ βA E ⇒ β 60 120° 240 o número de faces triangulares e seja F5 pentagonais poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: poliedro de padrão 3.5.3.5. 96 97 60° 240° ⇒ 98 o número de faces pentagonais poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
97
98
o número de faces pentagonais poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:
51
F = F3 + F5
Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior, temos 3F3 + 5F5 = 2A
Lembremos que 4V = 2A ⇒ 2V = A
Como temos dois triângulos equiláteros e dois pentágonos regulares adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 2∙ 60° + 2 ∙ 108° = 336°.
Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V∙ 336°. Então,
(V − 2) ∙ 360° = V ∙ 336° ⇒ V ∙ 24° = 720° ⇒ V = 30 (99)
Assim, o poliedro tem trinta vértices.
Como 2V = 2, deduzimos que A = 60, ou seja, o poliedro tem sessenta arestas.
Substituindo estes valores na fórmula de Euler,
V – A + F = 2 ⇒ 30 – 60 + F = 2, obtemos F = 32, portanto, o poliedro tem trinta e duas faces.
Chegamos ao seguinte sistema de equações:
9 F3+ F5 = 32
3F3 + 5F5 = 2 ∙ 60: (100) A solução do sistema é F3 = 20 e F5 = 12, portanto, o poliedro tem vinte triângulos eqüiláteros e doze pentágonos regulares.
cinco polígonos regulares ágono, um
triângulo, pois se não
Figura 34
Figura
2.3
Os poliedros cinco polígonos regulares ágono, um m-ágono,
Para este tipo de padrão
triângulo, pois se não βk+ β
Podemos assim
Figura 34. Faces em torno de um triângulol, em um p Figura 33. Icosidodecaedro