que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que possui o maior raio possível.
triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado deste triângulo é
grandes círculos.
número de faces do poliedro.
b e c radianos.
Apêndice
Teorema de Euler
Definição 1:
que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que possui o maior raio possível.
Definição 2:
triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado deste triângulo é menor que a metade de circunferência da esfera
Definição 3: grandes círculos.
Teorema V – A + F = 2,
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.
Demonstração: Seja um tri radianos.
Figura 1. Triângulo formado por três grandes círculos
Teorema de Euler
Definição 1: Grande círculo
que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que possui o maior raio possível.
Definição 2: Triângulo
triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado menor que a metade de circunferência da esfera
Definição 3: Fuso
Teorema: Em todo poliedro convexo vale a seguinte relação A + F = 2,
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.
Demonstração: um triângulo
Figura 1. Triângulo formado por três grandes círculos
Teorema de Euler
rande círculo
que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que
Triângulo esférico
triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado menor que a metade de circunferência da esfera
Fuso simples (ou luna) é a região delimitada por dois
: Em todo poliedro convexo vale a seguinte relação
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F é o
ngulo esférico ABC, cujos ângulos internos medem
Figura 1. Triângulo formado por três grandes círculos
rande círculo é qualquer círculo sobre uma esfera que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que
esférico (ou triângulo geodésico) é um triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado
menor que a metade de circunferência da esfera
simples (ou luna) é a região delimitada por dois
: Em todo poliedro convexo vale a seguinte relação
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F é o
esférico ABC, cujos ângulos internos medem
Figura 1. Triângulo formado por três grandes círculos
é qualquer círculo sobre uma esfera que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que
(ou triângulo geodésico) é um triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado
menor que a metade de circunferência da esfera
simples (ou luna) é a região delimitada por dois
: Em todo poliedro convexo vale a seguinte relação
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F é o
esférico ABC, cujos ângulos internos medem
Figura 1. Triângulo formado por três grandes círculos
é qualquer círculo sobre uma esfera que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que
(ou triângulo geodésico) é um triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado
menor que a metade de circunferência da esfera.
simples (ou luna) é a região delimitada por dois
: Em todo poliedro convexo vale a seguinte relação
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F é o
esférico ABC, cujos ângulos internos medem
Figura 1. Triângulo formado por três grandes círculos
é qualquer círculo sobre uma esfera que tem o mesmo raio que a esfera, ou seja, qualquer círculo sobre a esfera que
(ou triângulo geodésico) é um triângulo sobre uma esfera delimitado por três grandes círculos, e cada lado
simples (ou luna) é a região delimitada por dois
: Em todo poliedro convexo vale a seguinte relação
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F é o
sempre maior que
ângulos internos subtraído
sempre se encontra em dois pontos que ficam em lados oposto uma extremid
mesmo ângulo
interceptem a borda da esfera, como na figura abaixo.
Lembremos que em uma esfera, a soma dos ângulos internos é sempre maior que π, assim, temos que
Como a ângulos internos subtraído
Área =
Agora, seja um fuso simples. Como um par de grandes círculos sempre se encontra em dois pontos que ficam em lados oposto
uma extremidade eles encontram mesmo ângulo a na outra extremidade.
Figura 2. Um fuso simples em uma esfera Temos que a área do fuso é
áGJK LM 1π
Agora, vamos prolongar os lados do triângulo ABC, até que eles interceptem a borda da esfera, como na figura abaixo.
Figura 3
Lembremos que em uma esfera, a soma dos ângulos internos é sempre maior que π, assim, temos que
Como a área de um triâ ângulos internos subtraído π, temos:
Área = a + b + c
Agora, seja um fuso simples. Como um par de grandes círculos sempre se encontra em dois pontos que ficam em lados oposto
ade eles encontram na outra extremidade.
Figura 2. Um fuso simples em uma esfera Temos que a área do fuso é
LM NOPM
πQR
Agora, vamos prolongar os lados do triângulo ABC, até que eles interceptem a borda da esfera, como na figura abaixo.
Figura 3. Grandes círculos em uma esfera.
Lembremos que em uma esfera, a soma dos ângulos internos é , assim, temos que a +
de um triângulo esférico é
π, temos:
– π = soma dos
Agora, seja um fuso simples. Como um par de grandes círculos sempre se encontra em dois pontos que ficam em lados oposto
ade eles encontram-se com na outra extremidade.
Figura 2. Um fuso simples em uma esfera Temos que a área do fuso é
S
π
⇒
área do fuso =Agora, vamos prolongar os lados do triângulo ABC, até que eles interceptem a borda da esfera, como na figura abaixo.
. Grandes círculos em uma esfera.
Lembremos que em uma esfera, a soma dos ângulos internos é + b + c > π.
ngulo esférico é
π = soma dos ângulos
Agora, seja um fuso simples. Como um par de grandes círculos sempre se encontra em dois pontos que ficam em lados oposto
ângulo a, então eles também terão este
Figura 2. Um fuso simples em uma esfera Temos que a área do fuso é dada pela relação
⇒
área do fuso =Agora, vamos prolongar os lados do triângulo ABC, até que eles interceptem a borda da esfera, como na figura abaixo.
. Grandes círculos em uma esfera.
Lembremos que em uma esfera, a soma dos ângulos internos é > π.
ngulo esférico é igual à
ângulos – π.
Agora, seja um fuso simples. Como um par de grandes círculos sempre se encontra em dois pontos que ficam em lados oposto
, então eles também terão este
Figura 2. Um fuso simples em uma esfera. dada pela relação:
área do fuso = 2aR2
Agora, vamos prolongar os lados do triângulo ABC, até que eles interceptem a borda da esfera, como na figura abaixo.
. Grandes círculos em uma esfera.
Lembremos que em uma esfera, a soma dos ângulos internos é
igual à soma dos seus
Agora, seja um fuso simples. Como um par de grandes círculos sempre se encontra em dois pontos que ficam em lados opostos da esfera, se em , então eles também terão este
Agora, vamos prolongar os lados do triângulo ABC, até que eles 59
Lembremos que em uma esfera, a soma dos ângulos internos é
soma dos seus
Agora, seja um fuso simples. Como um par de grandes círculos s da esfera, se em , então eles também terão este
Pela simetria da esfera, temos que a soma das regiões ADE e AGH é a mesma de um fuso com ângulo de medida a. Então:
área ∆ ADE + área ∆ AGH = área do fuso = 2aR2
Da mesma maneira, os triângulos BFG e BDI possuem mesma área que um fuso com ângulo de medida b, e os triângulos CHI e FCE tem mesma área que um fuso com ângulo de medida b.
Assim,
área ∆ BFG + área ∆ BDI = 2bR2 e área ∆ CHI + área ∆ FCE = 2cR2
Portanto, a soma das áreas dos três fusos é: 2aR2 + 2bR2 + 2cR2
Observemos que ao procedermos desta maneira, estamos somando a área de cada fuso uma única vez e a área do triângulo ABC três vezes. Portanto precisamos subtrair duas vezes a área deste triângulo.
Agora, olhando para a metade visível da esfera, temos que sua área é:
2πR2 = 2aR2 + 2bR2 + 2cR2 – 2 ∙ área ABC ⇒
⇒ 2 ∙ área ABC = 2aR2
+ 2bR2 + 2cR2 – 2πR2 ÷ &'
⇒ área ABC = (a + b + c – π) ∙ R2
Desta maneira, podemos encontrar a área de um polígono esférico de n lados. Seja a1, a2,..., an os ângulos internos deste polígono.
Dividindo este polígono em triângulos esféricos, obtemos um total de n – 2 triângulos, e com isto temos que a soma das áreas destes triângulos é igual a área deste polígono de n lados, e a soma dos ângulos dos triângulos é igual a soma dos ângulos do polígono.
Figura 4.
presentes no diagrama
faces. Seja
“enxergar” todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em que contem completamente este poliedro.
obtemos um poliedro esférico
Consideremos a figura abaixo.
Figura 4. Polígono esférico de presentes no diagrama
Portanto, a área do polígono é:
área =
⇒ a1R
⇒ (a1
Agora, seja um
faces. Seja x um ponto qualquer no seu interior, de tal maneira que ele consiga “enxergar” todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em que contem completamente este poliedro.
Ao projetarmos as arestas deste poliedro, a partir do ponto um poliedro esférico
Figura 5. Projeção do poliedro sobre a esfera. Enumeremos como
Consideremos a figura abaixo.
Polígono esférico de presentes no diagrama (quando R = 1)
Portanto, a área do polígono é:
área = a1R2 + a2
R2 + a2R2 +...+
+ a2 +...+ a Agora, seja um
um ponto qualquer no seu interior, de tal maneira que ele consiga “enxergar” todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em que contem completamente este poliedro.
Ao projetarmos as arestas deste poliedro, a partir do ponto um poliedro esférico.
Figura 5. Projeção do poliedro sobre a esfera. Enumeremos como
Consideremos a figura abaixo.
Polígono esférico de n lados, cuja área é a soma das quantidades (quando R = 1).
Portanto, a área do polígono é:
2R2 +...+ an
+...+ anR2 –
an – nπ + 2π
Agora, seja um poliedro convexo com V vértices, A aresta e F um ponto qualquer no seu interior, de tal maneira que ele consiga “enxergar” todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em que contem completamente este poliedro.
Ao projetarmos as arestas deste poliedro, a partir do ponto
Figura 5. Projeção do poliedro sobre a esfera.
Enumeremos como 1, 2,...,F as faces deste poliedro, e seja Consideremos a figura abaixo.
lados, cuja área é a soma das quantidades
Portanto, a área do polígono é:
nR2 – (n – 2)
nπ R2 + 2π
π + 2π) · R2
poliedro convexo com V vértices, A aresta e F um ponto qualquer no seu interior, de tal maneira que ele consiga “enxergar” todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em que contem completamente este poliedro.
Ao projetarmos as arestas deste poliedro, a partir do ponto
Figura 5. Projeção do poliedro sobre a esfera.
1, 2,...,F as faces deste poliedro, e seja
lados, cuja área é a soma das quantidades
2) · π · R2 ⇒
+ 2π R2 ⇒
poliedro convexo com V vértices, A aresta e F um ponto qualquer no seu interior, de tal maneira que ele consiga “enxergar” todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em
Ao projetarmos as arestas deste poliedro, a partir do ponto
Figura 5. Projeção do poliedro sobre a esfera.
1, 2,...,F as faces deste poliedro, e seja
lados, cuja área é a soma das quantidades
⇒
poliedro convexo com V vértices, A aresta e F um ponto qualquer no seu interior, de tal maneira que ele consiga “enxergar” todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em
Ao projetarmos as arestas deste poliedro, a partir do ponto
Figura 5. Projeção do poliedro sobre a esfera.
1, 2,...,F as faces deste poliedro, e sejam
61
lados, cuja área é a soma das quantidades
poliedro convexo com V vértices, A aresta e F um ponto qualquer no seu interior, de tal maneira que ele consiga “enxergar” todos os pontos do poliedro, e seja uma S uma esfera, centrada em x
Ao projetarmos as arestas deste poliedro, a partir do ponto x,
do poliedro convexo
–π do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos ângulos internos de cada face representa a soma dos ângulos pre
vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas, podemos dizer que
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
Agora, temos:
n1 = número de lados da face 1
n2 = número de lados da face 2
nF = número de lados da face F
A soma das áreas de todos os polígonos esféricos (após a projeção do poliedro convexo
4πR2 = (
= ∑
Como cada aresta contribui com
π do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos
ângulos internos de cada face representa a soma dos ângulos pre
vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas, podemos dizer que
∑ ângulos internos da face 1 ∑ ângulos internos da face 2
∑ ângulos internos da face F
Agora, temos:
= número de lados da face 1 = número de lados da face 2
= número de lados da face F
A soma das áreas de todos os polígonos esféricos (após a projeção do poliedro convexo) é igual a 4
= ( ∑ n1
+
∑ + ... ∑
Como cada aresta contribui com
do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos ângulos internos de cada face representa a soma dos ângulos pre
vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas,
Figura 6. Projeção com “rótulos” ângulos internos da face 1
ângulos internos da face 2
⋮
ângulos internos da face F
= número de lados da face 1 = número de lados da face 2
⋮
= número de lados da face F
A soma das áreas de todos os polígonos esféricos (após a projeção ) é igual a 4πR2. Então,
1π + 2π)·R2
∑ ·R2 – (n
Como cada aresta contribui com
do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos ângulos internos de cada face representa a soma dos ângulos pre
vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas,
Figura 6. Projeção com “rótulos” ângulos internos da face 1
ângulos internos da face 2
ângulos internos da face F
= número de lados da face 1 = número de lados da face 2
= número de lados da face F
A soma das áreas de todos os polígonos esféricos (após a projeção . Então,
2
+...+ ( ∑ n1 + n2 +...+
Como cada aresta contribui com –2π, pois temos
do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos ângulos internos de cada face representa a soma dos ângulos pre
vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas,
Figura 6. Projeção com “rótulos”
A soma das áreas de todos os polígonos esféricos (após a projeção
nFπ + 2π
...+ nF) )·π·R
π, pois temos
do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos ângulos internos de cada face representa a soma dos ângulos pre
vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas,
Figura 6. Projeção com “rótulos”
A soma das áreas de todos os polígonos esféricos (após a projeção
π + 2π)·R2 ·R2 + 2·π·F·R
, pois temos –π de um lado e do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos ângulos internos de cada face representa a soma dos ângulos presentes nos vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas, A soma das áreas de todos os polígonos esféricos (após a projeção
· ·R2
π de um lado e
do outro lado da aresta (conforme a figura abaixo mostra); a soma dos sentes nos vértices, e como o número de lados de cada face é igual ao número de arestas,
63
4πR2 = 2·π·V·R2 – 2·π·A·R2 + 2·π·F·R2 ÷ WQ R