de padrão 9.l.m Para determinarmos qual polígono que poderá ser colocado
2.2 Poliedros de padrão k.l.m.p.
Os poliedros de padrão k.l.m.p são aqueles para os quais temos quatro polígonos regulares ao redor de cada vértice, dispostos ciclicamente nesta ordem: um k-ágono, um l-ágono, um m-ágono e um p-ágono.
Lembremos que a soma dos ângulos internos que estão dispostos ao redor de um vértice é menor que 360º, então, a menor configuração possível de polígonos ao redor de um vértice é aquela na qual ao menos um dos polígonos é um triângulo, pois caso contrário:
1. Se k = m = n = p = 4 teremos:
β1+ β1+ β1+ β1 = 90° + 90° + 90° + 90° = 360° (79) que é um ladrilhamento regular, de padrão 4.4.4.4 e que também já foi estudado no trabalho anterior.
2. Se um dos valores k, m, n, p é maior que 4 temos:
β + βH+ β+ βI > 90° + 90° + 90° + 90° = 360° (80) Portanto, um poliedro semirregular de padrão k.l.m.p deve conter triângulos e podemos então assumir que ele tem um padrão 3.l.m.p.
Figura 27
triângulo, um polígono polígono
também temos triângulo,
lados compartilham o vértice B. N triângulo, um
lados.
todos os vértices devem ser do mesmo tipo, temos
ter necessariamente um padrão
de vértice da forma 3.l.m.p, exceto quando l
Figura 27. Faces ao redor de um triângulo, em um p No vértice C
triângulo, um polígono polígono de p lados
também temos a configuração de vértice 3. , um polígono de
compartilham o vértice B. N triângulo, um polígono
Logo, o vértice A tem a
todos os vértices devem ser do mesmo tipo, temos Então, temos que
ter necessariamente um padrão “Em um
de vértice da forma 3.l.m.p, exceto quando l
Observando os ângulos adjacentes a cada vértice, temos
β + 2 ∙ ⇒ 2 ∙ β
Analisemos agora qual é o menor valor possível para o
Faces ao redor de um triângulo, em um p No vértice C, temos a configuração triângulo, um polígono regular
lados, respectivam
a configuração de vértice 3. um polígono de l lados
compartilham o vértice B. N polígono de l lados,
Logo, o vértice A tem a
todos os vértices devem ser do mesmo tipo, temos Então, temos que
ter necessariamente um padrão “Em um poliedro
de vértice da forma 3.l.m.p, exceto quando l
Observando os ângulos adjacentes a cada vértice, temos
βA+ β
βA+ β 360
Analisemos agora qual é o menor valor possível para
Se l = 3, temos
Faces ao redor de um triângulo, em um p , temos a configuração regular de l lados
, respectivamente, encontram a configuração de vértice 3.
lados, outro de compartilham o vértice B. No vértice
lados, outro
Logo, o vértice A tem a
todos os vértices devem ser do mesmo tipo, temos Então, temos que um poliedro ter necessariamente um padrão 3.l.m.l., ou seja,
poliedro semirregular não podemos ter a de vértice da forma 3.l.m.p, exceto quando l
Observando os ângulos adjacentes a cada vértice, temos
360° ⇒ 360° 60°
Analisemos agora qual é o menor valor possível para
, temos 3.l.m.l
Faces ao redor de um triângulo, em um p , temos a configuração
lados, outro de
ente, encontram-se no vértice C. N a configuração de vértice 3.l.m.p, ou seja,
outro de m lados
o vértice A temos outro de ? lados e um
Logo, o vértice A tem a configuração 3. todos os vértices devem ser do mesmo tipo, temos l
poliedro semirregular de padrão , ou seja,
semirregular não podemos ter a de vértice da forma 3.l.m.p, exceto quando l = p.”
Observando os ângulos adjacentes a cada vértice, temos
300°
Analisemos agora qual é o menor valor possível para
3.l.m.l = 3.3.m.3
Faces ao redor de um triângulo, em um poliedro de padrão 3. , temos a configuração de vértice 3.
outro de m lados se no vértice C. N
ou seja, em ordem cíclica, lados e um quarto A temos, ciclicamente, lados e um quarto configuração 3.l.?.l, e portanto, = p. semirregular de padrão
semirregular não podemos ter a
Observando os ângulos adjacentes a cada vértice, temos
Analisemos agora qual é o menor valor possível para
.3, e então: de padrão 3.l.m.p de vértice 3.l.m.p lados e um se no vértice C. No vértice B em ordem cíclica, quarto polígono de , ciclicamente, quarto polígono de , e portanto, semirregular de padrão 3.l.m.p
semirregular não podemos ter a configuração
Observando os ângulos adjacentes a cada vértice, temos
Analisemos agora qual é o menor valor possível para l.
, e então: 43 .m.p .m.p. Um e um quarto o vértice B em ordem cíclica, um polígono de p , ciclicamente, um polígono de l , e portanto, como .m.p deve iguração 81
três.
3.3.3.m
poliedro regular e que já foi estudad
Figura 28 padrão 3.3.3.4
antiprismas são poliedros arquimedianos.
(c) 3.4.5.4.
2 ∙ β +
Portanto,
Então, teremos poliedros de padrão
Verifiquemos
poliedro regular e que já foi estudad
Figura 28. Antiprisma regular de base quadrada padrão 3.3.3.4.
Temos uma lista infinita de possíveis antiprismas. Estes antiprismas são poliedros
arquimedianos. o
2 ∙ β1+ ⇒ m
Então, os poliedros são d 4.
+ β 300
Portanto, m pode ser qualquer inteiro positivo maior ou igual a
Então, teremos poliedros de padrão
Verifiquemos as
Se m = 3, temos um poliedro de padrão 3.3.3.3, que é um poliedro regular e que já foi estudad
Se m = 4, 5, 6, etc
risma regular de base quadrada
Temos uma lista infinita de possíveis antiprismas. Estes antiprismas são poliedros semirregulares, mas não são chamados de poliedros
Se l = 4 temos
+ β 300
= 3, m = 4 ou Então, os poliedros são d
300° ⇒ β
pode ser qualquer inteiro positivo maior ou igual a
Então, teremos poliedros de padrão
as possibilidades:
= 3, temos um poliedro de padrão 3.3.3.3, que é um poliedro regular e que já foi estudado no capitulo anterior;
= 4, 5, 6, etc. temos antiprismas m
risma regular de base quadrada
Temos uma lista infinita de possíveis antiprismas. Estes semirregulares, mas não são chamados de poliedros
temos 3.l.m.l
300° ⇒ β
= 4 ou m = 5.
Então, os poliedros são de um dos
300° 180
pode ser qualquer inteiro positivo maior ou igual a
Então, teremos poliedros de padrão 3.3.m.3
possibilidades:
= 3, temos um poliedro de padrão 3.3.3.3, que é um o no capitulo anterior;
temos antiprismas m
risma regular de base quadrada
Temos uma lista infinita de possíveis antiprismas. Estes semirregulares, mas não são chamados de poliedros
3.l.m.l = 3.4.m.4
300° 180
e um dos tipo
180° 180
pode ser qualquer inteiro positivo maior ou igual a
3.3.m.3, que é equivalente a
= 3, temos um poliedro de padrão 3.3.3.3, que é um o no capitulo anterior;
temos antiprismas m-agonais.
risma regular de base quadrada – poliedro
Temos uma lista infinita de possíveis antiprismas. Estes semirregulares, mas não são chamados de poliedros
.4, e então:
180° 120
tipos: (a) 3.4.3.4, (b) 3.4.4.4 e
180° 82
pode ser qualquer inteiro positivo maior ou igual a
que é equivalente a
= 3, temos um poliedro de padrão 3.3.3.3, que é um
agonais.
poliedro semirregular
Temos uma lista infinita de possíveis antiprismas. Estes semirregulares, mas não são chamados de poliedros
:
120° 83
(a) 3.4.3.4, (b) 3.4.4.4 e
82
pode ser qualquer inteiro positivo maior ou igual a
que é equivalente a
= 3, temos um poliedro de padrão 3.3.3.3, que é um
semirregular de
Temos uma lista infinita de possíveis antiprismas. Estes semirregulares, mas não são chamados de poliedros
83
45