TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO B

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

T

RABALHO DE

C

ONCLUSÃO DE

C

URSO

B

P

OLIEDROS REGULARES E SEMIRREGULARES

.

C

ONCEITOS

,

HISTÓRIA E CLASSIFICAÇÃO

.

Aluna: Helena Chagas Parreira RA: 282251

Orientador: Prof. Dr. João Carlos Vieira Sampaio

(DM)

(2)

RESUMO

Esse trabalho tem por objetivo estudar e classificar os poliedros regulares e semirregulares, através de condições de regularidade e semirregularidade requeridas histórica e matematicamente. Para isto, foi feito um estudo detalhado:

(a) das definições e dos elementos de um poliedro;

(b) das condições de regularidade e semirregularidade dos poliedros;

(c) do número máximo e mínimo de faces (em polígonos regulares) em torno de cada vértice;

(d) de configurações combinatórias das faces em poliedros regulares e semirregulares;

(e) dos possíveis padrões de poliedros regulares e semirregulares; (f) da existência de poliedros dos vários padrões detectados. Através desses estudos, foi possível verificar que existem cinco tipos possíveis de poliedros regulares, conhecidos como poliedros de Platão; treze tipos de poliedros semirregulares, chamados de poliedros de Arquimedes, e ainda uma lista (infinita) de prismas e a antiprismas, que também são poliedros semirregulares.

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3

INTRODUÇÃO

Chegar a um acordo sobre uma definição adequada do que seja poliedro não é uma tarefa simples, já que ao longo dos séculos diversas foram as propostas que surgiram e que foram utilizadas pelos matemáticos. Não há, na literatura matemática, uma definição única para o termo poliedro. Entretanto neste trabalho faremos uso de uma definição que consideramos conveniente e satisfatória para os propósitos do trabalho.

Não podemos falar da história de poliedros sem falar um pouco de Johannes Kepler (1571–1630), um filósofo e matemático que criou o modelo do universo, utilizando para isto os poliedros regulares.

Para Kepler, a existência dos poliedros regulares estava relacionada com a existência dos seis planetas conhecidos na época: Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vênus e de Mercúrio. Ele acreditava que as órbitas dos planetas estavam relacionadas com o “assentamento” dos cinco poliedros regulares dentro das esferas celestes.

Para tanto, em Harmonia do Mundo, publicado no século 17, Kepler repetiu sucessivas vezes o procedimento de inscrever poliedros platônicos e esferas uns dentro dos outros. Primeiramente ele utilizou a esfera da órbita de Saturno para inscrever um cubo, depois, no interior do cubo ele inscreveu a esfera referente à órbita de Júpiter e no interior desta esfera ele inscreveu um tetraedro; entre as órbitas de Júpiter e Marte ele inscreveu um tetraedro; entre as órbitas de Marte e da Terra ele inscreveu um dodecaedro; entre as órbitas da Terra e de Vênus um icosaedro, e entre as órbitas de Vênus e Mercúrio Kepler inscreveu um octaedro.

Kepler acreditava também na teoria atômica dos quatro elementos, formulada pelos gregos no período clássico, e para essa teoria tinha as seguintes justificativas. O cubo pode ser colocado sobre uma mesa plana, de forma que não pode ser facilmente deslocado, ele é o mais estável dos poliedros platônicos, portanto, ele deve representar o elemento terra.

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é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor volume para uma área

representa o fogo. De forma análoga, o icosaedro uma superfície

Nessa teoria, o dodecaedro

Figura 2. Desenho de Kepler dos poliedros regulares, elementos,

Figura 1

O octaedro pode s

é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor volume para uma área

representa o fogo. De forma análoga, o icosaedro

uma superfície fixa, por isso é mais “molhado”, e então deve representar a água. Nessa teoria, o dodecaedro

. Desenho de Kepler dos poliedros regulares, elementos, em seu livro

Figura 1. Modelo do universo de Kepler.

O octaedro pode s

é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor volume para uma área fixa, assim é o mais “seco” dos cinco poliedros, então ele representa o fogo. De forma análoga, o icosaedro

, por isso é mais “molhado”, e então deve representar a água. Nessa teoria, o dodecaedro seria a representação do cosmos.

. Desenho de Kepler dos poliedros regulares, eu livro Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo)

. Modelo do universo de Kepler.

O octaedro pode ser girado facilmente entre dois dedos, logo, ele é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor , assim é o mais “seco” dos cinco poliedros, então ele representa o fogo. De forma análoga, o icosaedro

, por isso é mais “molhado”, e então deve representar a água. seria a representação do cosmos.

. Desenho de Kepler dos poliedros regulares, Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo)

er girado facilmente entre dois dedos, logo, ele é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor , assim é o mais “seco” dos cinco poliedros, então ele representa o fogo. De forma análoga, o icosaedro

, por isso é mais “molhado”, e então deve representar a água. seria a representação do cosmos.

. Desenho de Kepler dos poliedros regulares, Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo)

er girado facilmente entre dois dedos, logo, ele é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor , assim é o mais “seco” dos cinco poliedros, então ele representa o fogo. De forma análoga, o icosaedro contém o maior volume de , por isso é mais “molhado”, e então deve representar a água.

seria a representação do cosmos.

. Desenho de Kepler dos poliedros regulares, associados a seus Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo)

er girado facilmente entre dois dedos, logo, ele é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor , assim é o mais “seco” dos cinco poliedros, então ele contém o maior volume de , por isso é mais “molhado”, e então deve representar a água.

associados a seus Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo).

er girado facilmente entre dois dedos, logo, ele é o mais instável, e, portanto, deve ser o ar. Já o tetraedro contém o menor , assim é o mais “seco” dos cinco poliedros, então ele contém o maior volume de , por isso é mais “molhado”, e então deve representar a água.

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5

Recapitulando à definição do termo poliedro, sabemos que ‘poliedro’ tem origem grega, onde ‘poli’ significa muitos e ‘edro’ significa assento, mas uma tradução ‘razoável’ para poliedro seria muitas faces.

Entretanto, antes de definirmos o que é um poliedro, precisamos definir alguns conceitos básicos que serão usados ao longo deste trabalho, e que se referem às partes constituintes de um poliedro.

Deste modo, vamos estabelecer os seguintes conceitos.

Poliedro é um objeto tridimensional, constituído como reunião de faces poligonais planas, no qual pares de faces adjacentes compartilham uma aresta, e onde arestas adjacentes encontram-se em um vértice comum.

Requer-se ainda que cada aresta seja compartilhada por exatamente duas faces e que de cada vértice ‘saiam’ pelo menos três arestas.

• Cada um dos polígonos é chamado de face do poliedro;

• Aresta do poliedro é todo segmento de reta que é aresta comum de duas faces adjacentes;

• Um ponto onde várias arestas e faces se encontram é chamado de vértice;

• Ângulo plano do poliedro é o ângulo no ‘canto’ (ou vértice)

de uma face poligonal, ou seja, ângulo interno de uma das faces;

Existem cinco tipos possíveis de poliedros regulares, que fazem uso apenas de um tipo de polígono regular e que mantém a mesma distribuição de polígonos em torno dos vértices. Tais poliedros são conhecidos como poliedros de Platão.

Temos treze tipos possíveis de poliedros semirregulares, nos quais se usam dois ou mais tipos diferentes de polígonos regulares ao redor de cada vértice, chamados de poliedros arquimedianos, e há ainda uma lista infinita de prismas e antiprismas, que também são poliedros semirregulares. Notemos que não podemos formar poliedros de maneira aleatória: precisamos obedecer a certas regras, as quais serão especificadas nos próximos capítulos.

(6)

encontram

encontrar, também, poliedros na natureza, e isto se da preciosas e de organismos unicelulares.

Podemos notar que o

m um lugar de destaque na arquitetura, na arte, nas jóias, etc. encontrar, também, poliedros na natureza, e isto se da

preciosas e de organismos unicelulares.

Figura

Podemos notar que o

um lugar de destaque na arquitetura, na arte, nas jóias, etc. encontrar, também, poliedros na natureza, e isto se da

preciosas e de organismos unicelulares.

Figura 3. Protozoários que lembram os sólidos regulares.

Podemos notar que os poliedros estão presentes por toda parte, um lugar de destaque na arquitetura, na arte, nas jóias, etc.

encontrar, também, poliedros na natureza, e isto se da preciosas e de organismos unicelulares.

. Protozoários que lembram os sólidos regulares.

s poliedros estão presentes por toda parte, um lugar de destaque na arquitetura, na arte, nas jóias, etc.

encontrar, também, poliedros na natureza, e isto se da

s poliedros estão presentes por toda parte, um lugar de destaque na arquitetura, na arte, nas jóias, etc.

encontrar, também, poliedros na natureza, e isto se da através das pedras

s poliedros estão presentes por toda parte, um lugar de destaque na arquitetura, na arte, nas jóias, etc. Podemos

através das pedras

s poliedros estão presentes por toda parte, e Podemos através das pedras

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7

CAPÍTULO 1

Poliedros Regulares

Os poliedros regulares são aqueles cujas faces são polígonos regulares de um único tipo.

Tais poliedros obedecem a quatro condições: (a) o poliedro é convexo; (b) todas as faces são polígonos regulares congruentes entre si, assim como os ângulos internos também são todos congruentes entre si; (c) cada aresta de uma face é compartilhada por exatamente duas faces, que terão essa aresta em comum, e (d) em torno de cada vértice encontramos sempre o mesmo número de faces adjacentes ao vértice.

Faremos uso do seguinte teorema de geometria espacial, que não demonstraremos neste trabalho:

“Em todo poliedro convexo a soma dos ângulos planos que se

encontram em torno de um vértice é sempre menor que 360°.”

Vamos ‘verificar’ quantos polígonos podem dispor-se em torno de um vértice, a fim de obtermos um poliedro semirregular.

Consideremos um poliedro regular ou semirregular e seja =

+ + + ⋯ + o número de polígonos regulares que se dispõem ao

redor de cada vértice, sendo m1 polígonos de certo tipo, de ângulos internos de medida

α

1, m2 polígonos de um outro tipo, com ângulos internos de medida

α

2, m3 polígonos de um terceiro tipo, com ângulos internos de medida

α

3, e assim por diante.

Como o ângulo interno de cada polígono é sempre maior que ou igual a 60º, então em cada vértice teremos:

(8)

≥ ( + +∙∙∙∙ + ) ∙ 60° = ∙ 60°

Portanto, 3 ≤ m < 6 e então podemos enunciar uma regra que diz: “Cada poliedro regular ou semirregular deve ter pelo menos 3 polígonos regulares e não mais que 5 polígonos regulares ao redor de cada um dos vértices.”

1.1 Poliedros regulares de padrão m.m.m

Os poliedros regulares de padrão m.m.m são aqueles em que temos três m-ágonos regulares em torno de cada vértice.

Seja β o ângulo interno de um m-ágono regular. Desta maneira temos:

β+ β+ β< 360° ⇒ 3β < 360° ⇒ β < 120° (2)

Consideremos a seguinte tabela:

Tabela 1. Correspondência entre o número de lados e o ângulo interno de um polígono regular.

Polígono Número de lados Ângulo interno

Triângulo 3 60º Quadrado 4 90º Pentágono 5 108º Hexágono 6 120º Heptágono 7 ≈ 128,5º Octógono 8 135º Eneágono 9 140º Decágono 10 144º Dodecágono 12 150º Pentadecágono 15 156º Octodecágono 18 160º Icoságono 20 162º

(9)

9

Sendo β < 120°, pela tabela acima podemos determinar que m = 3; m = 4 ou m = 5, ou seja, o polígono regular de m lados só pode ser um triângulo, um quadrado ou um pentágono.

Para construirmos estes poliedros, faremos uso do seguinte teorema:

Teorema: A soma dos ângulos internos de um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, é igual a (V − 2) ∙ 360°.

Demonstração:

Seja F o número de faces do poliedro. Vamos “etiquetar” estas F faces com os números 1, 2, 3,..., F. Seja agora, Sk a soma dos ângulos planos (internos) da face k, para k = 1, 2, 3,..., F.

Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono é

( − 2) ∙ 180°, temos que S= (n− 2) ∙ 180°.

Assim, a soma S de todos os ângulos planos do poliedro será igual à soma dos ângulos internos de todas as suas faces, que é dada por:

S = S+ S + S+ ⋯ + S = (n − 2) ∙ 180° + (3)

+ (n− 2) ∙ 180° + ⋯ + (n − 2) ∙ 180°

= (n+ n + ⋯ + n ) ∙ 180° − (2 + 2 + ⋯ + 2) ∙ 180°

Como cada lado (aresta) de uma face é compartilhado por exatamente duas faces, teremos n+ n+ ⋯ + n = 2A.

Então,

S = 2A ∙ 180° − 2F ∙ 180° = (A − F) ∙ 360° (4)

Pela fórmula de Euler para poliedros convexos, temos V – A + F = 2, logo A – F = V – 2, e, portanto S = (V − 2) ∙ 360° ■

(10)

de faces do poliedro.

arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas é 3V.

portanto o número total de extremidades de arestas é 2A.

em cada uma das faces e

e como cada vértice do poliedro tem valência três

triangulares

1.

Seja V o número de vértices, de faces do poliedro.

Em cada vértice do poliedro

arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas

Por outro lado, cada aresta do

portanto o número total de extremidades de arestas é 2A. Logo, 3V = 2

Percorrendo em cada uma das faces e

omo cada vértice do poliedro tem valência três

3V = 3F

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

V – A + F = 2

⇒ 2V

Portanto, temos um poliedro formado por quatro faces triangulares, tendo 4 vértices, 6 arestas e 4 faces

Este poliedro é o

Figura 4. Tetraedro

Para m = 3

Seja V o número de vértices, de faces do poliedro.

portanto o número total de extremidades de arestas é 2A. Logo, 3V = 2A

Percorrendo-se todas as faces, contando em cada uma das faces e somando

omo cada vértice do poliedro tem valência três

3V = 3F ⇒ V = F

A + F = 2 %&

2V – 3V + 2V = 4

Portanto, temos um poliedro formado por quatro faces , tendo 4 vértices, 6 arestas e 4 faces

Este poliedro é o

Tetraedro regular

= 3, temos o padrão

Seja V o número de vértices,

portanto o número total de extremidades de arestas é 2A. se todas as faces, contando

omando-se todos os valores encontrados teremos 3F; omo cada vértice do poliedro tem valência três

V = F Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

%

&' 2V – 2A + 2F = 4

3V + 2V = 4 ⇒ V = 4 = F

Portanto, temos um poliedro formado por quatro faces , tendo 4 vértices, 6 arestas e 4 faces

Este poliedro é o tetraedro

regular – poliedro

temos o padrão m.m.m

Seja V o número de vértices, A o número de arestas e

Em cada vértice do poliedro contamos

Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades portanto o número total de extremidades de arestas é 2A.

se todas as faces, contando

todos os valores encontrados teremos 3F; omo cada vértice do poliedro tem valência três (3V)

2A + 2F = 4

V = 4 = F

Portanto, temos um poliedro formado por quatro faces , tendo 4 vértices, 6 arestas e 4 faces.

regular.

poliedro regular

m.m.m = 3.3.3

A o número de arestas e

contamos três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas

poliedro tem duas extremidades portanto o número total de extremidades de arestas é 2A.

se todas as faces, contando-se o número de arestas todos os valores encontrados teremos 3F;

(3V), podemos dizer que

2A + 2F = 4

Portanto, temos um poliedro formado por quatro faces

regular de padrão

= 3.3.3

A o número de arestas e F o número

três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas

poliedro tem duas extremidades

se o número de arestas todos os valores encontrados teremos 3F;

podemos dizer que

Portanto, temos um poliedro formado por quatro faces

de padrão 3.3.3

F o número

três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas

poliedro tem duas extremidades e,

(5) se o número de arestas todos os valores encontrados teremos 3F;

podemos dizer que

(6)

(7)

(11)

cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas

portanto o número total de extremidades de arestas é 2A.

uma das faces e ao somar

vértice do poliedro tem valência três,

8 vértices e 12 arestas

Figura 5

2. Para

Fazendo uso d

No entanto,

portanto o número total de extremidades de arestas é 2A. Logo, 3V = 2A.

Ao percorrer todas as faces, uma das faces e ao somar

vértice do poliedro tem valência três, 3V = 4F Agora, s

V – A + F = 2

⇒ 8V

Assim, o poliedro tem oito vértices. Como 3V = 4F, deduzimos que

Portanto, temos um poliedro formado por értices e 12 arestas

Este poliedro é o

Figura 5. Cubo

Para m = 4, temos o padrão

Fazendo uso de um raciocínio análogo ao anterior,

No entanto, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, e, portanto o número total de extremidades de arestas é 2A.

Logo, 3V = 2A.

Ao percorrer todas as faces,

uma das faces e ao somar todos os valores encontrados, temos 4F. vértice do poliedro tem valência três,

3V = 4F

Agora, substituindo estes valores na fórmula de Euler, t

A + F = 2 %&

8V – 12V + 6V = 16

Portanto, temos um poliedro formado por értices e 12 arestas.

Este poliedro é o

. Cubo ou hexaedro regular

temos o padrão

e um raciocínio análogo ao anterior,

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, e, portanto o número total de extremidades de arestas é 2A.

Ao percorrer todas as faces,

todos os valores encontrados, temos 4F. vértice do poliedro tem valência três, podemos

3V = 4F

ubstituindo estes valores na fórmula de Euler, t

% (

&' 8V – 8A + 8F = 16

12V + 6V = 16 ⇒

Portanto, temos um poliedro formado por

Este poliedro é o cubo.

ou hexaedro regular

temos o padrão m.m.m

cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas é 3V.

Ao percorrer todas as faces, ao contar o número de arestas todos os valores encontrados, temos 4F.

podemos dizer que

3V = 4F ubstituindo estes valores na fórmula de Euler, t

8A + 8F = 16

⇒ V = 8

Assim, o poliedro tem oito vértices.

Como 3V = 4F, deduzimos que F = 6. Portanto, temos um poliedro formado por

ou hexaedro regular – poliedro

.m.m = 4.4.4

cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). é 3V.

contar o número de arestas todos os valores encontrados, temos 4F.

dizer que ubstituindo estes valores na fórmula de Euler, t

8A + 8F = 16

F = 6. Portanto, temos um poliedro formado por 6 faces quadradas

poliedro regular de padrão 4.4.4 e um raciocínio análogo ao anterior, temos que em cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice).

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, e,

contar o número de arestas

todos os valores encontrados, temos 4F. Como cada

ubstituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

F = 6. faces quadradas de padrão 4.4.4 11 temos que em cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice).

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, e,

contar o número de arestas de cada omo cada

(8) emos:

(9)

faces quadradas, tendo

(12)

arestas (adjacentes ao vértice). é 3V.

número total de extremidades de arestas é 2A.

em cada uma das faces e somando

Como cada vértice do poliedro tem valência três, podemos dizer que

Figura 6 3.

Novamente em cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice).

Porém,

número total de extremidades de arestas é 2A. Portanto,

Percorrendo

omo cada vértice do poliedro tem valência três, podemos dizer que 3V = 5F

V – A + F = 2

% )

&*' ⇒

Assim, o poliedro poss

Como 3V = 5F, deduzimos que Logo,

Este poliedro é o

Figura 6. Dodecaedro

Para m = 5

ovamente em cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice).

ém, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, número total de extremidades de arestas é 2A.

Portanto, 3V = 2A.

omo cada vértice do poliedro tem valência três, podemos dizer que 3V = 5F

A + F = 2 %&

⇒ 10V – 15V + 6V = 20

Assim, o poliedro poss

Como 3V = 5F, deduzimos que

Logo, temos um poliedro formado por 20 vértices e 30 arestas.

Este poliedro é o

. Dodecaedro

= 5, temos o padrão

ovamente em cada vértice do poliedro há três extremidades de arestas (adjacentes ao vértice). Então, o número total de extremidades de arestas

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, número total de extremidades de arestas é 2A.

3V = 2A.

em cada uma das faces e somando-se todos os valores encont omo cada vértice do poliedro tem valência três, podemos dizer que

% )

&*' 10V –

15V + 6V = 20

Assim, o poliedro possui vinte vértices. Como 3V = 5F, deduzimos que

temos um poliedro formado por

Este poliedro é o dodecaedro

. Dodecaedro regular – poliedro

o padrão m

ovamente em cada vértice do poliedro há três extremidades de o número total de extremidades de arestas

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, número total de extremidades de arestas é 2A.

se todos os valores encont omo cada vértice do poliedro tem valência três, podemos dizer que

– 10A + 10F = 20

15V + 6V = 20 ⇒ V = 20 ui vinte vértices.

Como 3V = 5F, deduzimos que F = 12. temos um poliedro formado por

dodecaedro regular.

poliedro regular

m.m.m = 5.5.5

cada aresta do poliedro tem duas extremidades,

se todas as faces, contando-se o número de arestas se todos os valores encont

omo cada vértice do poliedro tem valência três, podemos dizer que Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

10A + 10F = 20

V = 20 ui vinte vértices.

F = 12. temos um poliedro formado por 12 faces pentagonais

.

regular de padrão 5.5.5

= 5.5.5

cada aresta do poliedro tem duas extremidades,

se o número de arestas se todos os valores encontrados teremos 5F. omo cada vértice do poliedro tem valência três, podemos dizer que

F = 12. faces pentagonais

de padrão 5.5.5

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o

se o número de arestas rados teremos 5F.

(10)

(11)

(13)

13

1.2 Poliedros regulares de padrão m.m.m.m

Os poliedros regulares de padrão m.m.m.m são aqueles nos quais temos quatro polígonos regulares e congruentes em torno de cada vértice, ou seja, temos quatro m-ágonos.

Seja β o ângulo interno do m-ágono regular. Assim, temos:

β+ β+ β+ β < 360° ⇒ 4β < 360° ⇒ β< 90° (12)

Pela tabela 1, temos que único polígono regular, com ângulo interno de medida menor que 90º, é o triângulo, com ângulo interno de 60º.

Então, o poliedro é do tipo 3.3.3.3

Em cada vértice do poliedro há quatro extremidades de arestas adjacentes a cada vértice. Logo, o número total de extremidades de arestas é 4V. Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades e o número total de extremidades de arestas é 2A.

Portanto, 4V = 2A ⇒ 2V = A (13) Ao percorrermos todas as faces, ao contarmos o número de arestas em cada uma das faces (triangulares) e ao somarmos todos os valores encontrados, contabilizamos 3F. Como cada vértice do poliedro tem valência quatro, podemos dizer que

4V = 3F (14) Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

V – A + F = 2 × -&' 6V − 6A + 6F = 12 (15)

⇒ 6V − 12V + 8V = 12 ⇒ V = 6

Portanto, o poliedro possui seis vértices. Como 4V = 3F, deduzimos que F = 8.

(14)

tendo 12 arestas e 6 vértices

Figura

cinco polígonos regulares e congr regulares,

regular com a medida do o único polígono regular

(adjacentes ao vértice). 5V.

o número total de extremidades de arestas é 2A. Portanto, temos um poliedro formad tendo 12 arestas e 6 vértices

Este poliedro é o

Figura 7. Octaedro

1.3

Os poliedros de padrão cinco polígonos regulares e congr regulares, em torno de cada vértice

Seja β

Pela tabela com a medida do polígono regular

Logo, o poliedro é tem padrão 3.3.3.3.3 Em cada vértice do poliedro

(adjacentes ao vértice).

No entanto,

o número total de extremidades de arestas é 2A. Portanto, temos um poliedro formad tendo 12 arestas e 6 vértices.

Este poliedro é o

. Octaedro regular

Poliedros

Os poliedros de padrão cinco polígonos regulares e congr

em torno de cada vértice

β o ângulo interno

5β

Pela tabela 1, que relaciona o número de lados com a medida do seu ângulo interno

polígono regular com medida do ângulo interno Logo, o poliedro é tem padrão 3.3.3.3.3

m cada vértice do poliedro (adjacentes ao vértice). Portanto,

No entanto, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, o número total de extremidades de arestas é 2A.

Portanto, temos um poliedro formad

Este poliedro é o octaedro regular

Poliedros regulares

Os poliedros de padrão m.m.m.m.m cinco polígonos regulares e congruentes

em torno de cada vértice. o ângulo interno do

360°

que relaciona o número de lados seu ângulo interno

medida do ângulo interno Logo, o poliedro é tem padrão 3.3.3.3.3

m cada vértice do poliedro

Portanto, o número total de extremidades de arestas é

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, o número total de extremidades de arestas é 2A.

Portanto, temos um poliedro formad

regular.

poliedro regular

regulares de padrão

m.m.m.m.m

uentes, ou seja, temos cinco

do m-ágono regular,

⇒ β 72

que relaciona o número de lados seu ângulo interno, temos que o

medida do ângulo interno Logo, o poliedro é tem padrão 3.3.3.3.3

m cada vértice do poliedro há cinco

o número total de extremidades de arestas é

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, o número total de extremidades de arestas é 2A.

Portanto, temos um poliedro formado por 8 faces triangulares

regular de padrão 3.3.3.

de padrão m.m.m.m.m

são aqueles , ou seja, temos cinco

ágono regular, temos

72°

que relaciona o número de lados

, temos que o triãngulo equilátero é medida do ângulo interno menor que

Logo, o poliedro é tem padrão 3.3.3.3.3

cinco extremidades de arestas o número total de extremidades de arestas é

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, faces triangulares

de padrão 3.3.3.3

m.m.m.m.m

são aqueles em que , ou seja, temos cinco m

temos então:

que relaciona o número de lados de um polígono triãngulo equilátero é menor que 72º.

extremidades de arestas o número total de extremidades de arestas é

cada aresta do poliedro tem duas extremidades, faces triangulares, em que temos m-ágonos : de um polígono triãngulo equilátero é extremidades de arestas o número total de extremidades de arestas é

(15)

Como cada vértice do poliedro tem valência

12 o número de vértices e 30 arestas

Figura Então, Percorrendo

cada vértice do poliedro tem valência

5V = 3F Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

V – A + F = 2

⇒ 6V

Assim, o poliedro tem doze vértices. Como 5V = 3F, podemos deduzir que Logo,

12 o número de vértices e 30 arestas Este poliedro é o

Figura 8. Icosaedro

Então, 5V 2A

cada vértice do poliedro tem valência

3F Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

A + F = 2 ,&

15V + 10

Assim, o poliedro tem doze vértices. Como 5V = 3F, podemos deduzir que Logo, temos um poliedro formado por 12 o número de vértices e 30 arestas

Este poliedro é o

Icosaedro regular

em cada uma das faces e somando-se todos os cada vértice do poliedro tem valência

,

-&' 6V 6A 10V 12 ⇒

Assim, o poliedro tem doze vértices. Como 5V = 3F, podemos deduzir que

temos um poliedro formado por 12 o número de vértices e 30 arestas.

Este poliedro é o icosaedro

se todos os valores encontrados teremos 3F. cada vértice do poliedro tem valência cinco (

A + 6F 12 ⇒ V 12

Assim, o poliedro tem doze vértices. Como 5V = 3F, podemos deduzir que

temos um poliedro formado por

icosaedro regular.

poliedro regular

se todas as faces, contando-se o número de arestas valores encontrados teremos 3F.

5V), podemos dizer que 3F Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

12

Como 5V = 3F, podemos deduzir que F = 20.

temos um poliedro formado por 20 faces triangulares

regular de padrão 3.3.3.3

se o número de arestas valores encontrados teremos 3F.

V), podemos dizer que 3F Substituindo estes valores na fórmula de Euler, temos:

faces triangulares de padrão 3.3.3.3.3 15 (17) se o número de arestas valores encontrados teremos 3F.

V), podemos dizer que (18)

(19)

faces triangulares, sendo

(16)

CAPÍTULO 2

Poliedros semirregulares

Poliedros semirregulares são aqueles em que as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos diferentes.

Os poliedros obedecem às condições: (a) o poliedro é convexo; (b) todas as faces são polígonos regulares; (c) cada aresta de uma face deve ser compartilhada por exatamente duas faces, que terão essa aresta em comum, e (d) ao fazermos um pequeno percurso cíclico na superfície do poliedro, ao redor de cada vértice, encontramos sempre a mesma configuração cíclica de polígonos regulares.

Recapitulando que

“Em cada poliedro regular ou semirregular a soma dos ângulos internos dos polígonos que se encontram ao redor cada único vértice é menor que 360º.”

podemos pensar da seguinte maneira:

O ângulo interno de um polígono regular de m lados tem medida:

β= (m − 2) ∙ 180°_m (20)

Temos, como exemplos,

β = 60º (ângulo interno de um triângulo eqüilátero)

β₁ = 90º (ângulo interno de um quadrado)

β₂ = 108º (ângulo interno de um pentágono regular)

β_- = 120º (ângulo interno de um hexágono regular) e assim por diante.

(17)

é uma função crescente da variável semirregular

soma possível dos quatro ângulos

diferentes de polígonos

polígonos reg m-ágono.

ímpar, iniciando pelo padrão

Figura 9. padrão 3.l

O que

é uma função crescente da variável

semirregular, quatro polígonos diferentes ao redor de cada vértice, a menor soma possível dos quatro ângulos

β + β Portanto “Em um diferentes de polígonos

2.1 Poliedros

Os poliedro

polígonos regulares em torno de cada vértice:

Vamos estudar primeiramente ímpar, iniciando pelo padrão

Observemos

Configuração l.m.

O que se nota então, e é fato, é que

β m _m

é uma função crescente da variável

, quatro polígonos diferentes ao redor de cada vértice, a menor soma possível dos quatro ângulos

β₁ + β₂+ β

-ortanto estabelecemos Em um poliedro diferentes de polígonos regulares

Poliedros

poliedros de padrão

ulares em torno de cada vértice:

Vamos estudar primeiramente ímpar, iniciando pelo padrão 3.

Observemos então

Configuração das faces, ao redor de um triângulo, em se nota então, e é fato, é que

2 m ∙ 180°

é uma função crescente da variável m. E

, quatro polígonos diferentes ao redor de cada vértice, a menor soma possível dos quatro ângulos adjacentes a cada

= 60º + 90

estabelecemos a seguinte regra

poliedro semirregular, não podemos ter quatro tipos regulares em torno de cada vértice

semirregulares

de padrão k

ulares em torno de cada vértice:

Vamos estudar primeiramente 3.l.m, isto é, com então a seguinte figura:

das faces, ao redor de um triângulo, em se nota então, e é fato, é que

41 _m2

. Então, se tivermos, em um

, quatro polígonos diferentes ao redor de cada vértice, a menor adjacentes a cada

+ 90º + 108º + 120º a seguinte regra

semirregular, não podemos ter quatro tipos em torno de cada vértice

semirregulares de padrão

k.l.m são a

ulares em torno de cada vértice: um

Vamos estudar primeiramente poliedros isto é, com k = 3. a seguinte figura:

das faces, ao redor de um triângulo, em

4 _{m5 ∙ 180°}

ntão, se tivermos, em um

, quatro polígonos diferentes ao redor de cada vértice, a menor vértice será:

8º + 120º = 378º > 360º a seguinte regra:

semirregular, não podemos ter quatro tipos em torno de cada vértice”

de padrão

são aqueles nos

um k-ágono, um

poliedros de padrão = 3.

das faces, ao redor de um triângulo, em

ntão, se tivermos, em um poliedro , quatro polígonos diferentes ao redor de cada vértice, a menor

vértice será:

= 378º > 360º

semirregular, não podemos ter quatro tipos

de padrão k.l.m

s quais temos três ágono, um l-ágono e um

de padrão k.l.m, com

das faces, ao redor de um triângulo, em um poliedro 17

poliedro , quatro polígonos diferentes ao redor de cada vértice, a menor

(21)

semirregular, não podemos ter quatro tipos

temos três ágono e um

, com k

poliedro de

(18)

um vértice do tipo compartilhado

lado AC é compartilhado são também do tipo cíclica dos

do triângulo é compartilhado por um ágono. vértice do tipo Figura 10 de padrão um pentágono Os demais vértices tê

seja compartilhado por um

compartilhado simultaneamente por um No vértice A, temos a um vértice do tipo

compartilhado por um lado AC é compartilhado são também do tipo cíclica dos polígonos

riângulo é compartilhado por um

Logo, temos que Portanto, Podemos pensar d o tipo 5.l.m. Vejamos: Figura 10. Configuração de padrão 5.l.m Observando a um pentágono ABCDE Os demais vértices tê

seja compartilhado por um

compartilhado simultaneamente por um Portanto, temos que No vértice A, temos a um vértice do tipo 3.l.m.

um polígono

lado AC é compartilhado por um polígono regular de são também do tipo 3.l.m, pois esse é o padrão do

polígonos em torno de cada vértice riângulo é compartilhado por um

Logo, temos que

Portanto, não podemos ter Podemos pensar d

.m. Vejamos:

Configuração das faces, ao redor de um pentágono, em

Observando a disposição combinatória d ABCDE, temos

Os demais vértices têm todos a mesma configuraç seja compartilhado por um

compartilhado simultaneamente por um Portanto, temos que

No vértice A, temos a configuração de vértice . Suponhamos que o

polígono regular

um polígono regular de , pois esse é o padrão do em torno de cada vértice riângulo é compartilhado por um m

Logo, temos que m = l.

demos ter um Podemos pensar de maneira

das faces, ao redor de um pentágono, em

disposição combinatória d temos no vértice A

m todos a mesma configuraç seja compartilhado por um m-ágono,

compartilhado simultaneamente por um m Portanto, temos que m = l.

configuração de vértice Suponhamos que o

regular de m lados um polígono regular de , pois esse é o padrão do poliedro

em torno de cada vértice é sempre essa. Assim, o lado BC m-ágono e simultaneamente por um

um poliedro maneira semelhante

disposição combinatória d

no vértice A uma configuração de vértice m todos a mesma configuraç

ágono, o lado DC do pentágono regular é m-ágono e por um

configuração de vértice 3 Suponhamos que o lado AB do

lados. Então necessariamente um polígono regular de l lados.

poliedro, ou seja, a disposição é sempre essa. Assim, o lado BC ágono e simultaneamente por um

poliedro de padrão

semelhante para uma configuração de

disposição combinatória dos polígonos

configuração de vértice m todos a mesma configuração. Assim,

o lado DC do pentágono regular é ágono e por um l-ágono.

3.l.m, ou seja, A é lado AB do triângulo . Então necessariamente

. Os vértice

, ou seja, a disposição é sempre essa. Assim, o lado BC ágono e simultaneamente por um

de padrão 3.l.m, se

para uma configuração de

das faces, ao redor de um pentágono, em um poliedro

gonos em torno de configuração de vértice

. Assim, supondo que AB o lado DC do pentágono regular é

ágono. , ou seja, A é triângulo é . Então necessariamente o Os vértices B e C , ou seja, a disposição é sempre essa. Assim, o lado BC ágono e simultaneamente por um

l ≠ m. para uma configuração de

um poliedro

em torno de configuração de vértice 5.l.m. supondo que AB o lado DC do pentágono regular é

(19)

se m ≠ l .

presente em um poliedro de padrão

k = 2s + 1, e tendo esse polígono os vértices A “leitura” ordenada, no sentido anti

cada um dos vértices do seguintes tipos de vértices:

Figura 11. Configuração padrão k.l.m

anti-horário, dos diferentes polígonos ágono, notamos que

Vamos supor que o lado A compartilhado por um o lado A2s

precede A l lados.

Deste modo, também não podemos ter

Prosseguindo de maneira análoga para um polígono de presente em um poliedro de padrão

1, e tendo esse polígono os vértices A “leitura” ordenada, no sentido anti

cada um dos vértices do seguintes tipos de vértices:

A1 ↓ k.m.l Figura 11. Configuração k.l.m, sendo Na figura acima,

horário, dos diferentes polígonos ágono, notamos que

Vamos supor que o lado A compartilhado por um

2sA2s + 1 é precede A1A2 e sucede A

Portanto, temos que

Prosseguindo de maneira análoga para um polígono de presente em um poliedro de padrão

1, e tendo esse polígono os vértices A “leitura” ordenada, no sentido anti

cada um dos vértices do k-ágono, seguintes tipos de vértices:

A2 ↓ k.l.m k.m.l

Figura 11. Configuração das faces, ao redor de um , sendo k = 2s + 1.

Na figura acima,

horário, dos diferentes polígonos ágono, notamos que no vértice A Vamos supor que o lado A1A2

compartilhado por um m-ágono. Prosseguindo ao redor do é compartilhado por um

e sucede A2sA2s + 1

Portanto, temos que

Prosseguindo de maneira análoga para um polígono de presente em um poliedro de padrão k.l.m,

1, e tendo esse polígono os vértices A

“leitura” ordenada, no sentido anti-horário, dos diferentes polígonos ao redo ágono, podemos supor que

A3 ... ↓

k.l.m k.m.l ...

das faces, ao redor de um + 1.

Na figura acima, ao fazermo horário, dos diferentes polígonos ao redor

no vértice A1 temos a configuração de vértice 2 é compartilhado por um

ágono. Prosseguindo ao redor do partilhado por um

2s + 1, indicado por ‘?’ deveria ter

Portanto, temos que m = l é a única condição Deste modo, também não podemos ter

Prosseguindo de maneira análoga para um polígono de k.l.m, sendo k

1, e tendo esse polígono os vértices A1, A2, A

horário, dos diferentes polígonos ao redo podemos supor que

... A2s ↓ ... k.l.m k.m.l

das faces, ao redor de um

rmos a “leitura” ordenada, no sentido ao redor de cada

temos a configuração de vértice é compartilhado por um

ágono. Prosseguindo ao redor do partilhado por um m-ágono

, indicado por ‘?’ deveria ter

é a única condição Deste modo, também não podemos ter poliedros

Prosseguindo de maneira análoga para um polígono de

k um número ímpar, ou seja, , A3, ... A2s + 1

horário, dos diferentes polígonos ao redo podemos supor que temos em sequência os

A2s + 1

↓ ↓

k.l.m k.m.l

das faces, ao redor de um k-ágono, em

s a “leitura” ordenada, no sentido de cada um dos

temos a configuração de vértice

é compartilhado por um l-ágono. Então A ágono. Prosseguindo ao redor do k-ágono, teremos

ágono. Assim, o lado A , indicado por ‘?’ deveria ter

é a única condição conciliatória poliedros de padrão

Prosseguindo de maneira análoga para um polígono de k

um número ímpar, ou seja, 2s + 1, ao fazermos a

horário, dos diferentes polígonos ao redo temos em sequência os

ágono, em um poliedro de

s a “leitura” ordenada, no sentido um dos vértice

temos a configuração de vértice do tipo ágono. Então A

ágono, teremos . Assim, o lado A2s

, indicado por ‘?’ deveria ter m lados e também

conciliatória.

19

de padrão 5.l.m,

k lados,

um número ímpar, ou seja, ao fazermos a

horário, dos diferentes polígonos ao redor de temos em sequência os

um poliedro de

s a “leitura” ordenada, no sentido vértices do

k-do tipo k.l.m. ágono. Então A2A3 é ágono, teremos que 2sA1, que lados e também

(20)

Isto anuncia a seguinte regra:

“Nenhum poliedro semirregular pode ter uma configuração de vértices da forma k.l.m, quando k é um número ímpar e l ≠ m.”

Vamos determinar agora, quais polígonos de k lados, com k ímpar, podem fazer parte um poliedro semirregular de padrão k.l.m.

Analisemos quando k ≥ 7. Como l = m,

βk + βm + βm < 360º ⇒ βk + 2βm < 360º ⇒ (22) (k − 2) ∙ 180°_k + 2 ∙(m − 2) ∙ 180°_m < 360° ⇒ 1 −2_{k + 2 ∙ 41 −}_{m5 < 2 ⇒ 1 −}2 2_{k + 2 −}_{m < 1}4 ⇒ −2_{k −}_{m < −1 ⇒}4 2_{k +}_{m < 1 ⇒}4 1_{k +}_{m <}2 1₂ ⇒ 1_{k <}m − 4_{2m ⇒ k <}_{m − 4 ⇒ k < 2 +}2m _{m − 4}8 ⇒ m ≥ 5 e k < 10

pois k decresce à medida em que m aumenta.

Temos então 7 ≤ k < 10, com k ímpar ⇒ k = 7 ou 9.

Portanto, se tivermos poliedros de padrão k.l.m, com k ímpar, então necessariamente k = 3, 5, 7 ou 9.

Suponhamos agora que l também seja ímpar. Então temos um poliedro de padrão l.k.m, pois os padrões k.l.m, l.m.k, m.k.l, l.k.m, k.m.l e m.l.k são todos equivalentes. Logo, pelos argumentos anteriormente construídos, deveremos ter k = m. Assim, temos k = l = m, todos ímpares (neste caso teremos o tetraedro ou o dodecaedro regular) ou, se k é ímpar e os valores k, l e m não são todos iguais temos que l = m, sendo l e m ambos pares.

(21)

21

Recapitularemos agora o estudo dos padrões de poliedros k.l.m, quando k e ímpar.

2.1.1 Poliedros semirregulares de padrão 3.l.m.

Para determinarmos qual polígono poderá ser ‘encaixado’ adjacente a cada vértice do triângulo, a fim de obtermos um poliedro semirregular, vamos pensar da seguinte maneira:

Seja βm o ângulo interno do m-ágono regular que é face do poliedro.

Então:

β3 + βm + βm < 360º ⇒ 60º + 2βm < 360º ⇒ 2βm < 300º (23)

⇒ βm < 150º

De acordo com tabela 1, do capítulo anterior, e ainda considerando que o m-ágono regular deve ter um número par de lados, devemos ter m = 4; m = 6; m = 8 ou m = 10. Ou seja, teremos necessariamente um quadrado, ou um hexágono, ou um octógono, ou um decágono.

1 O poliedro semirregular de padrão k.l.m = 3.4.4

Seja V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro.

Seja agora, F3 o número de faces triangulares e seja F4 o número de faces quadradas deste poliedro. Temos então que o número total de faces é:

F = F3 + F4 (24) Percorrendo todas as faces do poliedro, contando o número de arestas em cada uma destas faces e somando todos os valores encontrados, obtemos 3F3 + 4F4 .

Porém, ao procedermos desta maneira, contamos duas vezes cada aresta do poliedro, pois cada aresta é comum a duas faces. Assim temos que

(22)

3F3 + 4F4 = 2ª (25) Sabemos que em cada vértice do poliedro temos três extremidades de arestas adjacentes ao vértice. Então, o número total de extremidades de arestas é igual a 3V.

Por outro lado, cada aresta do poliedro tem duas extremidades, logo o número total de extremidades de arestas é 2ª.

Portanto,

3V = 2ª

Como temos um triângulo 22qüilátero e dois quadrados adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 60° + 2 ∙ 90° = 240°.

Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V ∙ 240°.

Por um teorema do capítulo I, sabemos que a soma total de todos os ângulos planos do poliedro é S = (V − 2) ∙ 360°, portanto,

(V − 2) ∙ 360° = V ∙ 240° ⇒ V ∙ 120° = 720° ⇒ V = 6 (26)

Assim, o poliedro tem seis vértices.

Como 3V = 2ª, deduzimos que A = 9, ou seja, o poliedro tem 9 arestas.

V – A + F = 2 ⇒ 6 – 9 + F = 2 ⇒ F = 5 (27) Então, o poliedro possui cinco faces.

Desta maneira, chegamos ao seguinte sistema de equações:

9 F+ F1 = 5

3F+ 4F1 = 2 ∙ 9: (28)

A solução do sistema é F3 = 2 e F4 = 3, ou seja, o poliedro tem dois triângulos eqüiláteros e três quadrados.

(23)

Figura 12

hexagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:

temos que adjacentes a cada adjacentes a cada tem dezoito Este poliedro é

Figura 12. Prisma triangular

2 O poliedro semirregular de padrão

Seja F

hexagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: F = F3

Utilizando temos que

3F3 + 6F Sabemos que

Como temos um triângulo

adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a

Portanto, a Então, V 2 Portanto, Como 3V = 2 dezoito arestas. Este poliedro é o . Prisma triangular

O poliedro semirregular de padrão

Seja F3 o número de faces triangulares e seja F

3 + F6

Utilizando um raciocínio análogo

+ 6F6 = 2ª Sabemos que 3V = 2 Como temos um triângulo

vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro vértice é igual a

Portanto, a soma dos ângulos planos do poliedro é Então,

2 ∙ 360°

Portanto, o poliedro tem Como 3V = 2ª,

o prisma regular de base triangular.

. Prisma triangular – poliedro

o número de faces triangulares e seja F

um raciocínio análogo

3V = 2ª

Como temos um triângulo

vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro vértice é igual a 60° + 2

soma dos ângulos planos do poliedro é

V ∙ 300° ⇒

o poliedro tem 12 , podemos deduzi

prisma regular de base triangular.

poliedro semirregular

o número de faces triangulares e seja F

hexagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por: um raciocínio análogo ao empregado no caso anterior

Como temos um triângulo 23qüilátero

vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro

2 ∙ 120°

⇒ V ∙ 60°

12 vértices.

deduzir que A =

prisma regular de base triangular.

semirregular de padrão 3.4.4

O poliedro semirregular de padrão k.l.m = 3.6.6

o número de faces triangulares e seja F6

ao empregado no caso anterior

qüilátero e dois hexágonos regulares vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro

300°.

720° ⇒ V

que A = 18, prisma regular de base triangular.

de padrão 3.4.4

= 3.6.6

o número de faces hexagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:

ao empregado no caso anterior

e dois hexágonos regulares vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro

soma dos ângulos planos do poliedro é V ∙ 300°.

⇒ 12

18, assim, o poliedro 23

de padrão 3.4.4

o número de faces hexagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é dado por:

(29) ao empregado no caso anterior,

(30)

e dois hexágonos regulares vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro

.

31

(24)

obtemos F = 8,

quatro triângulos eqüiláteros e quatro hexágonos regulares.

Figura 13

número de faces octogo dado por:

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V obtemos F = 8, logo

Chegamos

9 F

3F+

A solução do sistema é F

quatro triângulos eqüiláteros e quatro hexágonos regulares. Este poliedro é o

Figura 13. Tetraedro truncado

3 O poliedro

Seja novamente F número de faces octogo

dado por:

F = F3 Utilizando 3F3 + 8F

Lembremos que 3V = 2

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V logo, o poliedro tem

Chegamos, então,

+ F- 8

+ 6F- 2 ∙

solução do sistema é F

quatro triângulos eqüiláteros e quatro hexágonos regulares. Este poliedro é o

. Tetraedro truncado

O poliedro semirregular

Seja novamente F

número de faces octogonais deste poliedro. Temos

3 + F8

Utilizando um raciocínio semelhante, temos: + 8F8 = 2ª

Lembremos que 3V = 2

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V , o poliedro tem 8 faces.

, então, ao seguinte sistema de equações:

8

∙ 18:

solução do sistema é F3

quatro triângulos eqüiláteros e quatro hexágonos regulares. Este poliedro é o tetraedro truncado

. Tetraedro truncado – poliedro

semirregular

Seja novamente F3 o número de faces triangulares e seja F nais deste poliedro. Temos

um raciocínio semelhante, temos:

Lembremos que 3V = 2ª.

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V faces.

ao seguinte sistema de equações:

:

3 = 4 e F6

quatro triângulos eqüiláteros e quatro hexágonos regulares. tetraedro truncado.

semirregular de padrão

o número de faces triangulares e seja F nais deste poliedro. Temos que o número total de faces é

.

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V

= 4, ou seja, o poliedro tem quatro triângulos eqüiláteros e quatro hexágonos regulares.

semirregular de padrão 3.6.6

de padrão k.l.m = 3.8.8

o número de faces triangulares e seja F que o número total de faces é

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V – A + F = 2

(32)

= 4, ou seja, o poliedro tem

de padrão 3.6.6

= 3.8.8

o número de faces triangulares e seja F que o número total de faces é

A + F = 2

(32)

= 4, ou seja, o poliedro tem

de padrão 3.6.6

o número de faces triangulares e seja F8 o que o número total de faces é

(33)

(25)

dois octóg cada vértice trinta e seis obtemos F = 14, triângulos eqüiláteros e Figura 14

Como ao redor de cada v gonos regulares

cada vértice, é igual a Então, Assim

V 2

Portanto, Como 3V = 2 trinta e seis arestas.

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V obtemos F = 14, logo,

Chegamos ao seguinte sistema de equações:

9 F_3F + A solução do sistema é F triângulos eqüiláteros e Este poliedro é o Figura 14. Cubo

Como ao redor de cada v

nos regulares, a soma dos ângulos planos do poliedro é igual a 60° + 2

Então, a soma dos ângulos planos do poliedro é Assim,

2 ∙ 360°

Portanto, o poliedro tem

Como 3V = 2ª, deduzimos que A = 36, ou seja, o poliedro tem

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V logo, o poliedro tem

+ F( 14

+ 8F( 2 ∙

A solução do sistema é F

triângulos eqüiláteros e seis octógonos regulares. Este poliedro é o

. Cubo truncado

Como ao redor de cada vértice temos um

a soma dos ângulos planos do poliedro

∙ 120° 330

a soma dos ângulos planos do poliedro é

V ∙ 330° ⇒

o poliedro tem24

, deduzimos que A = 36, ou seja, o poliedro tem

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V o poliedro tem catorze

14

∙ 36:

A solução do sistema é F3 = 8 e F octógonos regulares. Este poliedro é o cubo truncado

truncado – poliedro

értice temos um

a soma dos ângulos planos do poliedro

330°.

a soma dos ângulos planos do poliedro é

⇒ V ∙ 30°

vértices.

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V catorze faces.

:

= 8 e F8 = 6, octógonos regulares.

cubo truncado.

értice temos um triângulo a soma dos ângulos planos do poliedro

a soma dos ângulos planos do poliedro é V

720° ⇒ V

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V

= 6, então, o poliedro tem

semirregular de padrão 3.

triângulo 25qüilátero a soma dos ângulos planos do poliedro, adjacentes

V ∙ 330°.

⇒ V 24 35

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V – A + F = 2

(36) o poliedro tem de padrão 3.8.8 25 qüilátero e adjacentes a 35

A + F = 2

(36)

o poliedro tem oito

(26)

4 O poliedro semirregular de padrão k.l.m = 3.10.10

Seja F3 o número de faces triangulares e seja F10 o número de faces dodecagonais deste poliedro. Temos então que o número total de faces é:

F = F3 + F10 (37) Pelos procedimentos anteriores, sabemos que

3F3 + 10F10 = 2A (38) E que 3V = 2A

Como temos um triângulo equilátero e dois dodecágonos regulares adjacentes a cada vértice do poliedro, a soma dos ângulos planos do poliedro adjacentes a cada vértice é igual a 60° + 2 ∙ 144° = 348°.

Logo, a soma dos ângulos planos do poliedro é V ∙ 348°. Assim,

(V − 2) ∙ 360° = V ∙ 348° ⇒ V ∙ 12° = 720° ⇒ V = 60 (39)

Então, o poliedro tem sessenta vértices.

Como 3V = 2A, podemos deduzir que A = 90, ou seja, o poliedro tem noventa arestas.

Substituindo estes valores na fórmula de Euler, V – A + F = 2 obtemos F = 32, portanto, o poliedro tem trinta e duas faces.

9 F+ F)= 32

3F+ 10F)= 2 ∙ 90: (40)

A solução do sistema é F3 = 20 e F10 = 12, logo, o poliedro tem vinte triângulos eqüiláteros e doze decágonos regulares.