5.1 PRÁTICAS, AÇÕES E OPERAÇÕES DESENVOLVIDAS
Conforme dito anteriormente, devido à pandemia de Covid-19, o curso passou a ser ministrado na modalidade remota, com APNPs síncronas (quadro 1) e assíncronas.
Figura 9: Primeiro Encontro
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O primeiro encontro (figura 9) foi realizado no dia primeiro de dezembro de 2020. Esse encontro teve início com a apresentação da dinâmica do curso. Foi apresentado o quadro dos doze encontros síncronos que foram realizados (quadro 1). Também foram especificados os materiais necessários à realização do curso: lápis, caneta, papel (de preferência quadriculado), tabelas (que eram enviadas previamente a realização dos encontros) que foram utilizadas no desenvolvimento das práticas e computador/celular com acesso à internet.
No segundo momento desse 1º encontro, foram discutidas ideias preliminares às abordagens dos números figurados, fazendo relação com a BNCC (BRASIL, 2018), PCNs (BRASIL, 1998) e o livro Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI (LIS; GIMÉNES, 1997), que são textos que destacam a importância de se desenvolver o pensamento algébrico, assim como o estudo de sequências numéricas, em todos os anos da Educação Básica, tendo como foco a observância e a investigação de padrões numéricos e geométricos.
Em seguida foi destacado a proposta do curso de extensão, cujo foco principal foi apresentar, discutir e determinar termos gerais de sequências de números figurados planos e tetraédricos sem a utilização de fórmulas prontas, mas analisando padrões geométrico-aritmético-algébricos por técnicas de recorrência, comparando modos de produção de significados (geométricos, aritméticos, aritmético-geométricos, algébricos e aritmético-algébricos), bem como o trânsito entre eles, para a produção de conhecimento algébrico. Para isso, foi proposto utilizar algumas sequências numéricas da Aritmética pitagórica, construídas a partir de APNPs síncronas (doze encontros e 2h cada) e assíncronas (doze horas de práticas e tarefas).
Foram apresentadas também as ações diferenciais do curso que se desenvolveram a partir do projeto “Pitágoras: em (e além do) teorema”, promovido pelo Gepemem. Nessas ações diferenciais destacamos que inicialmente a ideia era propor a confecção de MDP com materiais recicláveis/reaproveitáveis a partir da iniciativa de coleta seletiva realizada pelos participantes do projeto, porém, devido ao isolamento social advindo da pandemia abandonamos essa possibilidade e passamos a operar remotamente com o uso de tabelas, planilhas eletrônicas e softwares dinâmicos, como o GeoGebra. Logo após às ações diferencias foram apresentados os seis monitores do grupo e os dois professores responsáveis pela realização do curso de extensão e também a apresentação dos alunos participantes.
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Finalizando a parte preliminar do curso, entramos no tema dos números figurados. O primeiro passo foi buscar os significados que os alunos produziam para a realização do curso. Para isso foram realizadas duas perguntas. A primeira delas foi:
— Quando falamos de números figurados o que te vem à mente?
E com essa indagação, foi explicado que queríamos saber quais os significados produzidos pelos participantes a respeito de números figurados. A partir das respostas, destacamos os seguintes Resíduos de Enunciação.
[RE1] – Tay – Sei nadinha. Não me vem nada formalizado. [RE2] – Colega – Nada aqui.
[RE3] – Alvin – Também não.
[RE4] – Tia – Tudo que sei é o que vi no curso.
A segunda pergunta que fizemos foi:
— O que tu sabes a respeito de números figurados?
A partir dessa pergunta destacamos os seguintes resíduos de enunciações do tipo:
[RE5] – Tay – Não sei se está certo não, mas eu acho que é quando a gente trabalha quantidade, mas sem
trabalhar com número.
[RE6] – Filhote – Construções geométricas que possuem pontos equidistantes. [RE7] – Cross – Eu penso em números que não existem.
[RE8] – Alvin – Quando eu penso em número figurado... não sei... veio na memória aqui do Ensino Médio de
números que a gente pode descrever na forma de figuras geométricas. Igual ao três, a gente pode fazer um triângulo... os vértices do triângulo representariam o número três. O número quatro um quadrado e assim sucessivamente com alguns números.
Após esse momento, demos prosseguimento ao andamento do curso. Então entramos num apanhado geral do que vem a ser números figurados (figura 10). A composição dos números figurados, enquanto sequências numéricas, que possibilitam associar a número, expressando quantidade, adquiriu ao longo do tempo uma considerável relevância entre muitos matemáticos (figura 11), a ponto de se constituir como uma teoria.
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Figura 10: Representação Geométrica dos números figurados planos
Fonte: Chaves (2020)
Apresentamos alguns dos nomes dos principais estudiosos que dedicaram-se ao estudo dos números figurados (figura 11): Pitágoras de Samos (±582-±507 a.C.), Hípsicles de Alexandria (190-120 a.C.), Lúcio Méstrio Plutarco de Queroneia (46-120), Nicômaco de Gerasa (60-120), Téon de Esmirna (70-135), Diofanto de Alexandria (210-290), Leonardo Fibonacci (1170-1250), Michel Stifel (1487-1567), Girolamo Cardano (1501-1576), Bachet de Méziriac (1581-1638), René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), John Pell (1611-1685), Blaise Pascal (1623-1662), Leonhard Eüler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Andrien-Marie Legendre (1752-1833), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), Wacław Sierpiński (1882-1969), Barnes Wallis (1887-1979), George Pólya (1887-1985), Malba Tahan (1895-1974).
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Figura 11: Alguns dos matemáticos que estudaram sobre os números figurados
Fonte: Chaves (2020)
Vale destacar que durante a apresentação desses estudiosos, foi discutida a falta de nomes de brasileiros nesses estudos — tal como o do Professor Júlio César de Mello e Souza [Malba Tahan].
Concluindo essas discussões a respeito dos estudos voltados aos números figurados, conseguimos atingir o planejamento desse primeiro encontro. Antes de finalizar a aula, foi levantada uma pergunta sobre as expectativas dos participantes para o decorrer do curso. Com isso surgiu a seguinte resposta:
[RE9] – Cross – Eu espero aprender sobre o tema dos números figurados e também me familiarizar com a galera
do grupo de pesquisa; conseguir responder as perguntas que foram feitas no início [do encontro]; poder ter maior propriedade do tema para no futuro, numa sala de aula, o aluno perguntar; eu vim atrás de conhecimento mesmo. Mais ferramentas e outros olhares.
Após essa resposta foram realizadas as considerações finais e o primeiro encontro foi encerrado.
No segundo encontro, realizado no dia 08/dez./2020, apresentamos um levantamento histórico a respeito dos números figurados, com o propósito de trazer a História da Matemática como um recurso didático e também para situar os participantes de que as sequências de números
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figurados, tal como conhecemos hoje, é resultado de um processo histórico que veio sendo construído e lapidado no considerável intervalo de tempo de pelo menos 2400 (dois e quatrocentos) anos. No primeiro momento desse encontro apresentamos aos participantes parte da mídia de animação, Donald no país da matemágica (Donald in Mathmagic Land) (1959) (figura 12), que aborda alguns detalhes sobre a Escola Pitagórica e algumas de suas contribuições como, por exemplo, a relação entre Aritmética e Música, disciplina que compunham o quadrivium pitagórico, sendo a Aritmética considerada a arte dos números estáticos e a Música a arte dos números em movimento.
Figura 12: Mídia de animação Donald no país da matemágica
Fonte: Chaves (2020)
Dando prosseguimento, após a apresentação da referida mídia de animação, discutimos e refletimos a respeito de quem (ou o que) foi Pitágoras, levando em conta o caráter enigmático e mitológico apresentado por alguns escritores da Grécia Antiga, tal como Iamblichus (245-325 d.C.) e Proclus Lycaeus (412-485 d.C.). Com esse questionamento levantamos a reflexão de que a existência ou não do personagem histórico Pitágoras de Samos, pouco interfere na obra da Escola Pitagórica e no movimento filosófico denominado Pitagorismo, consagrado e referenciado historicamente.
Também discutimos a respeito da imprecisão que temos a respeito dos primeiros estudos biográficos sobre Pitágoras (figura 13), devido ao hiato temporal de quase um século entre o
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período em que, hipoteticamente, o sábio de Samos viveu e a comprovação por registros históricos que envolvem o nome de Pitágoras.
Figura 13: Primeiros estudos sobre a vida de Pitágoras
Fonte: Chaves (2020)
Nesse segundo encontro, também discutimos a respeito da ancoragem etimológica, na qual o termo Aritmética possui suas raízes em Arithmĕtikê (tĕkné) – arte ou técnica de lidar com números – e arithmos – contagem, quantidade, número, suposição. No que se refere às ancoragens históricas, apresentamos que a gênese da Aritmética é encontrada nos pitagóricos, na qual a Escola Pitagórica tratava a Matemática de maneira filosófica e abstrata, desvinculada das exigências da vida prática.
Decorre daí a dicotomia entre o estudo teórico dos números (Aritmética = estudo das relações abstratas envolvendo números) e os cálculos práticos (Logística = arte prática de calcular com números).
Os números, para Pitágoras, ou para os pitagóricos, eram como deuses e todas as coisas no mundo poderiam ser representadas por números. Por isso existia um tratamento quase que teológico para com os números, principalmente os inteiros positivos. Dentre todos esses números, o um era a mônada, o princípio criador, a essência da vida e provavelmente, por isso
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é o primeiro termo de toda sequência de números figurados, sejam eles planos ou tridimensionais. Todos os outros números proviam desse primeiro número.
Após esse debate, relativo a Pitágoras e à relevância da Escola Pitagórica, para o desenvolvimento da Aritmética e do que hoje conhecemos como Teoria dos números, voltamos a falar da gênese dos números figurados a partir de Dutra (2020), Dutra e Chaves (2020), Domingues (2017 [1991]), Roque (2014 [2012]), Marques (2011), Santos (2010), Pickover (2009), Kahn (2007), Almeida (2002), Tahan (1972 [1965]) e Mello e Souza (1939). Para começar essa discussão, trouxemos a seguinte citação:
Para os pitagóricos todo o universo e a respectiva harmonia se podia reduzir em números; é portanto natural que os estudassem ao pormenor. Eles utilizavam muitas vezes representações figuradas dos números, dispondo pequenas pedras de formas diferentes, geralmente em figuras geométricas. Isto permitiu-lhes várias descobertas sobre certas propriedades dos números, conseguindo outros, a partir dos anteriores, aplicando a regra que tinha a sequência com que estavam trabalhando. (MARQUES, 2011, p. 106).
É possível que o interesse dos pitagóricos pela representação figurada de alguns números tenha origem no fato de que, naquela época, “[...] se contava através do uso de pedrinhas ou marcas de pontos na areia [...]” (DOMINGUES, 2009, p. 28). Ou seja, as ideias relacionadas aos números figurados “[...] resultam de arranjos com pontos ou pedrinhas de maneira a formar figuras geométricas [...]” (DOMINGUES, 2009, p. 28).
No entanto, voltaremos nossa atenção aos figurados, números denominados assim, devido à forma geométrica (números triangulares (figura 1), quadrados, pentagonais, hexagonais, heptagonais etc.), como eram dispostos, utilizando-se seixos (psephoi – 𝜓𝜂𝜑𝜊𝜄) (figura 1), ou marcas no chão [...] (DUTRA, 2020, p. 45).
Passamos também por Malba Tahan, que segundo nossas leituras, foi um dos poucos nomes brasileiros em destaque a tratar dos números figurados.
Num apanhado geral, nesse levantamento histórico, discutimos a origem dos números figurados, começando pelos de segunda dimensão, com destaque para os números triangulares. Falamos da ideia do crescimento gnomônico,que em sua gênese, gnomon era o esquadro dos ponteiros de relógios de sol, que posteriormente passou a ser considerado como as distribuições em “L”, perpendiculares, de pontos na configuração espacial de números figurados (figura 14).
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E também falamos dos números figurados de terceira dimensão, com destaque para os números tetraédricos e para Nicômaco de Gerasa, filósofo neopitagórico.
Figura 14: Gnomons nos números quadrados e no relógio de sol
Fonte: Chaves (2020)
Durante a discussão que envolvia a origem dos gnomons, observamos algumas falas e destacamos os seguintes resíduos de enunciações dos participantes.
[RE10] – Mr. Magoo – É verdade, o um está em todos!
[RE11] – Cross – Gnomo [talvez pensando no anãozinho verde das florestas encantadas]?
[RE12] – Tia – Gostaria de saber qual foi a necessidade de representar os números em figurados.
[RE13] – FN7 – A escola pitagórica tem essa ideia da misticidade, lembra que a gente falou? De associar tudo no
mundo com números. Então qualquer coisa no mundo eles gostavam de ter uma representação numérica e as figuras geométricas eles gostavam também de associar com alguns números... e a partir dessas representações de Geometria e Aritmética surgiram a ideia dos números figurados ... porque eles formam padrões e sequências que mantêm alguns tipos de padrões, que são bem interessantes.
[RE14] – Mr. Magoo – “L” [referindo-se ao formato em “L” de um gnomon] foi só a origem pelo jeito...
Concluindo a apresentação dos slides, dedicamos o restante do encontro a um debate sobre as ideias discutidas e, destacamos alguns resíduos de enunciação a seguir:
[RE15] – Mr. Magoo – Nessa época aí, eles não tinham nenhum sistema de representação para os números não?
Era só essa representação aí proposta pelos pitagóricos? Porque imagino que culturalmente eles já tinham alguma necessidade de representar.
[RE16] – Professor – Você diz uma forma pictórica de grafar o um, o dois, o três... eu lembro a vocês que na
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porque tanto é que eles categorizavam em números perfeitos, números imperfeitos, número macho e número fêmea, pares e ímpares... e por aí vai.
[RE17] – Prof. Pardal – Material dourado usa basicamente a ideia dos gnomos?
[RE18] – Professor – O gnomon é quanto você vai acrescentar para continuar preservando aquela forma, aquela
regularidade, aquele padrão. Genericamente os números figurados obedecem uma distribuição gnomônica, ou seja, a cada novo número formado, seja na observação da forma ou na sequência numérica, utiliza-se o anterior acrescentando-se mais uma quantidade para manter a forma, isto é, acrescentamos um novo gnomon.
[RE19] – FN7 – É só pensar na sinuca. Aquela distribuição das bolas coloridas lá... o que que acontece, a gente
tem cinco números figurados ali. O primeiro, que seria aquela bola da frente, aí adiciona a segunda ordem de bola de sinuca, e depois a gente adiciona uma terceira ordem e depois uma outra ordem. Cada uma de dessas ordens seria a ideia do gnomon.
[RE20] – Prof. Pardal – Quando eu estava falando de material dourado eu falo mais da minha perspectiva de
trabalhar com os meus alunos de Ensino Fundamental e Ensino Médio. Quando você vai fazer algum tipo de representação, até mostrar os quadrados perfeitos, as vezes a gente usa o material dourado como recurso e aí as construções geométricas, feitas através do material dourado, acabam acontecendo para que criem uma visibilidade maior do que a simples demonstração no quadro.
No terceiro encontro, realizado no dia 15/dez./2020, iniciamos com um breve levantamento do início do projeto “Pitágoras: em e além do teorema” focando principalmente na vertente que diz respeito a Aritmética pitagórica dos números figurados. Foi falado sobre a produção de MDP e da iniciativa do Gepemem de coleta de banner e tampinhas de garrafas PET que foi realizada no Ifes, campus Vitória. Esse material foi utilizado em algumas práticas que realizamos sobre números figurados e que, dessa vez, devido à necessidade de operarmos remotamente em decorrência da pandemia de Covid-19, não poderíamos explorá-los.
Ao falarmos sobre as tampinhas de garrafas PET coletadas, destacamos a importância de se trabalhar com organização de cores. Em algumas outras práticas que propusemos a utilização dessas tampinhas, para a representação dos números figurados, vimos que alguns grupos se organizavam pelas cores dessas tampinhas para estabelecer um padrão de construção.
Também foi falado a respeito da organização de tarefas, propostas por Alexander Romanovich Luria (figura 15) (LURIA, 1990), destacando a importância de se trabalhar percepção, abstração e generalização, dedução e inferência, solução de problemas matemáticos, imaginação e autoanálise.
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Figura 15: Tarefas propostas por Alexander Romanovich Luria
Fonte: Chaves (2020)
Depois dessas discussões iniciais fizemos um breve resumo da história dos números figurados, que foi apresentada no encontro anterior. Voltamos a falar sobre os gnomons (cf. pode ser visto nos [RE18] e [RE19]) e como eles funcionam na construção dos números figurados: o chamado crescimento gnomônico. Após esse breve resumo tivemos início a sequências de números quadrados 𝑓4(𝑛) (figura 16).
Figura 16: Sequência de números quadrados
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Logo em seguida pedimos para que os alunos preenchessem uma tabela (Figura 17) referente às ordens dos números quadrados. Nessa tabela havia uma coluna de ordem dos números quadrados, quantidade de tampinhas por gnomon, total e expressão numérica. Até a ordem 5 os alunos conseguiam observar visualmente, mas para se chegar ao total de tampinhas das outras ordens precisariam usar outro meio, que possibilitou que discutíssemos a respeito da necessidade de identificarmos um padrão algébrico, de forma a obtermos um termo geral (𝑓4(𝑛) = 𝑛2).
Figura 17: Tabela sobre os números quadrados
Fonte: Chaves (2020)
Durante o preenchimento da tabela surgiu uma dúvida quanto a coluna da expressão numérica, e com isso destacamos os seguintes resíduos de enunciação:
[RE21] – Cross – Professor, eu só estou meio em dúvida em como expressar a expressão numérica.
[RE22] – Professor – Na primeira coluna a ser preenchida, a gente pede para que vocês listem a quantidade de
tampinhas por gnomon ... um, três, cinco e assim sucessivamente. Qual seria a expressão numérica que vocês poderiam associar para obter o todo olhando para a segunda coluna?
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[RE24] – Professor – Olha para cada uma dessas figuras. Ordem 1, ordem 2, ordem 3... porque a ordem 2, ela é
alguma coisa relacionada com a ordem 1, a ordem 3 tem alguma coisa relacionada com a ordem 2 e com a ordem 1 e assim sucessivamente [referindo-se à identificação da estrutura gnomônica]. O que você poderia dizer?
[RE25] – Cross – Eles adicionam um número ímpar.
Depois desse diálogo (de [RE21] a [RE25]) o aluno produziu significado para a proposta de
preenchimento da tabela. No decorrer do preenchimento o professor questionou quanto da ordem 10 e da ordem 37 e com isso outros resíduos de enunciação foram produzidos:
[RE26] – Cross – Eu percebi que a partir da segunda linha a soma é, por exemplo, um número inferior ao dele.
Se você somar 2+1 vai dar 3, e na segunda fileira o número de gnomon é 3. Na terceira (fileira) seria 3+2, que é a terceira ordem mais um número inferior a ele. Aí eu cheguei, não sei se está certo, que a conclusão seria 10 +9 e o número de gnomon seria 19.
[RE27] – Professor – E para o 37, como ficaria essa distribuição?
[RE28] – Mr. Magoo – Professor, eu pensei aqui que para descobrir o 37, ou seja, o número de tampinhas no 37,
eu poderia fazer 1 mais duas vezes 37, a posição. Para eu descobrir o número de tampinhas na posição eu posso fazer 1 mais duas vezes a posição.
[RE29] – Um a ator não identificado na gravação [pois não abriu a câmera para falar] – mais aí na 2 vai furar,
porque daria 5.
[RE30] – Colega – Mr. Magoo, eu acho deveria ser duas vezes o 37 menos 1, eu acho que daria certinho.
Após essa discussão a respeito das ordens 10 e 37, os atores mostraram ter chegado à conclusão de que o total de tampinhas era o quadrado da ordem e, para tal, utilizaram a técnica de recorrência ou recursividade ao se observar a ordem e comparar com o total de tampinhas. Também foi identificado que o último gnomon de cada ordem que no caso seria 𝑔4(𝑛) = 2𝑛 − 1 (figura 18).
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Figura 18: Tabela preenchida
Fonte: Chaves (2020)
Após o preenchimento da tabela (figura 18), o ator Professor perguntou se alguém tinha algum comentário sobre o processo de recursividade ou sobre alguma etapa que foi desenvolvida. O participante Tia respondeu o seguinte:
[RE31] – Tia – Eu tenho, professor. Lá no início eu tinha percebido a questão do “ao quadrado”, porque a
quantidade de tampinhas é o quadrado da ordem, isso veio na cara, aí eu botei n². Aí falaram da questão do ímpar e eu pensei assim: n²-1, aí vai virar ímpar. Aí eu continuei pensando e na sequência até o 100 eu tive uma dúvida, então nesse meu pensamento ele não vai dar continuidade. Mas aí como você continuou falando, aí eu tive a percepção aí dessa soma de 1, 3, 5, 7... que eu já vi isso em algum lugar, mas não me recordo.
Com esse comentário do participante Tia, o Professor fez a seguinte leitura local:
[RE32] – Professor – O resíduo de enunciação que ficou para mim da Tia como elemento de análise foi que, de
cara, ela matou a charada, que era o quadrado da ordem, mas eu conheço a Tia de outros carnavais, ela acha o FFC [um dos monitores] um garoto muito inteligente, então o que acontece? Como conheço bem a Tia, por ser minha aluna desde de 2008, ela tem uma característica: que é a questão de se sentir um tanto quanto... ela tem uma baixo autoestima, ela não se sente tão capaz quanto os colegas, daí, o fato de mudar de opinião que acabou induzindo-a à enunciação por ela apresentada. Então ela trocar de opinião porque alguma outra pessoa que ela
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admira falou fez com que ela mudasse o repertório ou mudasse o significado daquilo que ela havia produzido sem levar em conta, provar se ela estava certa ou não.
[RE33] – Tia – Então, é assim ... eu estava prestando muita atenção na sequência, eu tinha o número de ordem,
então olhando o número de ordem já saquei, tipo assim, é o quadrado. Aí eu coloquei o n elevado ao quadrado, a minha expressão numérica. Mas não é que eu totalmente mudei de opinião, eu fiquei atenta em que teoria ele falou na questão do 𝑛 − 1. Aí eu já tinha sacado que 𝑛 − 1 vai ser ímpar... 𝑛 − 1 ou 𝑛 + 1 vai depender da
expressão. Mas jamais, professor, eu de cara assim eu ia falar que era uma expressão aritmética, porque eu não estava ligada nisso, eu estava ligada no número, na sequência.
[RE34] – Professor – Por quê?! Porque você estava operando em um campo semântico levando em consideração
ordem associado ao total de tampinhas. E aí vocês se sentiram induzidos a isso, porque nesse slide, quando eu relaciono ordem e total, ordem e total, ordem e total... eu estava lá, numa daquelas tarefas de Luria, tarefa da indução, portanto, induzindo que vocês estabelecessem uma comparação. Então essa que foi a ideia. Agora, talvez, didaticamente o que tenha faltado nesse slide aqui, já que eu quis falar a respeito de estabelecer uma relação entre ordem e total, foi circular 1 e 1 da mesma cor, 2 e 4, 3 e 9, 4 e 16 [ordem e total] ... Aí estariam