INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
FILYPPE NEVES DE ANDRADE
SIGNIFICADOS PRODUZIDOS A RESPEITO DE VIESES ENTRE TRIÂNGULO DE PASCAL, NÚMEROS TETRAÉDRICOS E FIGURADOS TRIANGULARES EM UM
PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Vitória 2021
FILYPPE NEVES DE ANDRADE
SIGNIFICADOS PRODUZIDOS A RESPEITO DE VIESES ENTRE TRIÂNGULO DE PASCAL, NÚMEROS TETRAÉDRICOS E FIGURADOS TRIANGULARES EM UM
PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Monografia apresentada à Coordenadoria do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Vitória, como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciado em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Rodolfo Chaves
Vitória 2021
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) (Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) A553s Andrade, Filyppe Neves de.
Significados produzidos a respeito de vieses entre triângulo de Pascal, números tetraédricos e figurados triangulares em um processo de formação de professores de matemática / Filyppe Neves de Andrade. – 2021.
122 p. : il. ; 30 cm.
Orientador: Rodolfo Chaves.
Monografia (graduação) – Instituto Federal do Espírito Santo, Coordenadoria do Curso Superior de Licenciatura em Matemática. Vitória, 2021.
1. Pascal, Blaise, 1623-1662. 2. Trigonometria. 3. Triângulo – Estudo e ensino. 4. Ensino – Meios auxiliares. 5. Professores de matemática – Formação. 6. Matemática – Estudo e ensino. I. Chaves, Rodolfo. II. Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título.
CDD 21 – 516.24 Elaborada por Marcileia Seibert de Barcellos – CRB-6/ES - 656
“Sem lâmpadas para os pés e com um abismo em cima... podia ser meu fim, mas meu final não era ainda.”
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar, como em qualquer outra situação, agradeço a Deus por tudo que me proporcionou para que eu pudesse chegar até aqui. Sempre me manteve de pé, me deu sabedoria, me deu forças para prosseguir e me resgatou para a vida. Sem Ele eu não estaria aqui para realizar este trabalho. Glória ao nome de Cristo!
Agradeço à minha mãe Ana Maria e meu irmão Thiago que sempre estiveram comigo durante todas as etapas da minha vida. Sempre passamos por tudo juntos, e a eles eu agradeço muito. Agradeço também ao meu pai, Gracino Neves Guedes (In Memorian), que sempre me apoiou durante sua vida.
Agradeço também a meu pai acadêmico, meu professor orientador Rodolfo Chaves que me acolheu desde o primeiro período da minha graduação, que acreditou em mim, que me aturou por tanto tempo e que sempre foi um bom amigo. Ele foi parte fundamental da minha formação, e esse trabalho é graças a ele, que sempre se propôs a me ajudar. Muito obrigado, professor!
Aos meus colegas do Gepemem que sempre fizeram parte do meu dia a dia e que fizeram parte do nosso curso de extensão. Um agradecimento especial ao tricolor Davi que me ajudou com a tradução do resumo desse trabalho.
A todos os professores que me ajudaram e que sempre acreditaram em mim durante esses oito períodos de graduação. Muito obrigado, professores!
Agradeço a todos os meus amigos que fizeram parte da minha vida e que sempre acreditaram em mim. Durante esse período de graduação ajudei muitas pessoas e contei com a ajuda de muitas pessoas também, fiz muitas amizades que eu quero levar para a vida.
RESUMO
A presente pesquisa é de cunho qualitativo, com bases epistemológicas no Modelo dos Campos Semânticos e no Estudo de Caso. O objetivo geral dessa pesquisa é: Analisar os significados produzidos com os atores da pesquisa, em um processo formativo, envolvendo triângulo de pascal, números tetraédricos e figurados triangulares, a partir da dinâmica proposta. E com base nesse objetivo desencadeamos a seguinte pergunta-diretriz: Quais os significados produzidos com os atores da pesquisa, em um processo formativo, envolvendo triângulo de pascal, números tetraédricos e figurados triangulares, a partir da dinâmica proposta? Foram desenvolvidas análises, pautadas no método de leitura plausível, de resíduos de enunciação a partir de práticas educativas realizadas num curso de extensão a respeito de números figurados que foi o nosso cenário de pesquisa. A partir de leituras globais e locais, desses resíduos de enunciação observados, pudemos evidenciar modos de produção de significados, legitimidades, constituições de objetos além dos significados produzidos a respeito de vieses entre triângulo de pascal, números tetraédricos e figurados triangulares nesse processo de formação de professores de matemática que tivemos com cenário de pesquisa.
Palavras-chave: Números figurados; números tetraédricos; números binomiais; formação de
ABSTRACT
The present research is of a qualitative nature, with theoretical bases in the Model of the Semantic Fields and in the Case Study. The general objective of this research is: To analyze the meanings produced with the research actors, in a formative process, involving the paschal triangle, tetrahedral numbers and triangular figures, based on the proposed dynamics. And based on this general objective, we triggered the following guiding question: What are the meanings produced with the research actors, in a formative process, involving paschal triangle, tetrahedral numbers and triangular figures, based on the proposed dynamics? Analyzes were developed, based on the plausible reading method, of enunciation residues based on pedagogical practices carried out in an extension course with respect to figurative figures that was our research scenario. From global and local readings, from these observed enunciation residues, we were able to evidence ways of producing meanings, legitimacy, constitution of objects in addition to the meanings produced regarding biases between the paschal triangle, tetrahedral numbers and triangular figures in this process of formation of mathematics teachers that we had with the research scenario.
Keywords: Figured numbers; tetrahedral numbers; binomial numbers; training of mathematics teachers; production of meanings.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 ─ Curso de extensão que constituiu o cenário da pesquisa ... 14
Figura 2 ─ Formação de uma sequência de números triangulares com seixos e números figurados poligonais ... 18
Figura 3 ─ Tabela para análise de formação de números quadrados ... 19
Figura 4 ─ Representação de números tetraédricos de ordens de 1 a 4 ... 20
Figura 5 ─ Relação entre números triangulares planos e números tetraédricos ... 20
Figura 6 ─ Triângulo de Pascal (TP) e distribuição por números binomiais ... 21
Figura 7 ─ Oficina de Números figurados na VI EIEMAT/XIII EGEM ... 30
Figura 8 ─ Oficina de Números figurados na 8ª SEMAT ... 30
Figura 9 ─ Primeiro Encontro ... 49
Figura 10 ─ Representação Geométrica dos números figurados planos ... 52
Figura 11 ─ Alguns dos matemáticos que estudaram sobre os números figurados ... 53
Figura 12 ─ Mídia de animação Donald no país da matemágica ... 54
Figura 13 ─ Primeiros estudos sobre a vida de Pitágoras ... 55
Figura 14 ─ Gnomons nos números quadrados e no relógio de sol ... 57
Figura 15 ─ Tarefas propostas por Alexander Romanovich Luria ... 59
Figura 16 ─ Sequência de números quadrados ... 59
Figura 17 ─ Tabela sobre os números quadrados ... 60
Figura 18 ─ Tabela preenchida ... 62
Figura 19 ─ Sequência de números triangulares ... 63
Figura 20 ─ Material utilizado para construção dos números tetraédricos ... 66
Figura 21 ─ Estrutura de números tetraédricos ... 66
Figura 22 ─ Construções dos participantes ... 67
Figura 23 ─ Nomenclatura adotada para os números figurados tetraédrico ... 68
Figura 24 ─ Foto enviada pelo participante Lampadinha ... 69
Figura 25 ─ Tabela dos números tetraédricos ... 70
Figura 26 ─ Tabela dos números tetraédricos preenchida ... 71
Figura 28 ─ Organização dos binômios com os números tetraédricos ... 76
Figura 29 ─ Números binomiais obtidos ... 77
Figura 30 ─ Cálculos dos números binomiais ... 78
Figura 31 ─ Princípio da Indução Finita ... 81
Figura 32 ─ Desenvolvendo o termo geral para 𝑛 = 𝑘 + 1 ... 82
Figura 33 ─ Desenvolvendo da hipótese de indução para 𝑛 = 𝑘 ... 83
Figura 34 ─ Demonstração da fórmula do termo geral de um número tetraédrico por PIF ... 86
Figura 35 ─ Relação de Stifel ... 90
Figura 36 ─ Verificação geométrica da Relação de Stifel no Triângulo de Pascal ... 91
Figura 37 ─ Construção de tetraedros ... 95
LISTA DE QUADROS
LISTA DE SIGLAS, ACRÔNIMOS E ABREVIATURAS
APNP ─ Atividade Pedagógica Não Presencial. BNCC Base Nacional Comum Curricular.
CS ─ Campo Semântico.
Direx ─ Diretoria de Extensão do campus Vitória do Ifes.
𝒇𝟑(𝒏) ─ Sequências de números triangulares.
𝒇𝟒(𝒏) ─ Sequências de números quadrados.
Gepemem ─ Grupo de Estudos e Pesquisas em Modelo dos Campos Semânticos e Educação
Matemática.
Ifes ─ Instituto Federal do Espírito Santo. Limat Licenciatura em Matemática.
MCS ─ Modelo dos Campos Semânticos. MDP ─ Material didático-pedagógico. MPS ─ Modos de produção de significado. MTCS ─ Modelo Teórico dos Campos Semânticos. PCNs ─ Parâmetros Curriculares Nacionais.
Pibid ─ Programa Institucional de Bolsa e Iniciação à Docência. PIF ─ Princípio da Indução Finita.
RE — Resíduo de Enunciação.
Sedu ─ Secretaria de Estado da Educação do Espírito Santo.
sic. ─ sic erat scriptum (assim estava escrito).
𝑺𝟑𝟑(𝒏) ─ n-ésimo termo de uma sequência de números figurados espaciais tetraédricos.
TCC ─ Trabalho de Conclusão de Curso. TP ─ Triângulo de Pascal.
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 13 2 PANORAMA DA PESQUISA ... 16 2.1 TRAJETÓRIA PESSOAL ... 16 2.2 O PORQUÊ DA PESQUISA ... 17 2.3 OBJETIVO GERAL ... 21 2.4 PERGUNTA-DIRETRIZ ... 22 2.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 22 3 METODOLOGIA ... 23
3.1 NATUREZA, MODALIDADE E PROCEDIMENTOS DA PESQUISA ... 23
3.2 UM PANORAMA A RESPEITO DO ESTUDO DE CASO ... 23
3.2.1 Pesquisas que abordaram MCS e estudo de caso ... 25
3.3 INSTRUMENTOS DE PRODUÇÃO DE DADOS ... 26
3.4 LEITURA PLAUSÍVEL ... 27
3.5 HABITAT DA PESQUISA ... 29
3.5.1 Cenário e atores ... 29
3.5.2 Práticas, ações e operações ... 29
4 REVISÃO DE LITERATURA, APORTE TEÓRICO E DOCUMENTOS OFICIAIS 33 4.1 MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS (MCS) ... 33
4.1.1 A gênese ... 33
4.1.2 Algumas ideias elementares ... 33
4.1.3 Produções que adotaram o MCS ... 35
4.2 NÚMEROS PARA PITÁGORAS ... 37
4.2.1 História dos números figurados... 39
4.2.2 Pesquisas que abordaram números figurados e MCS ... 42
4.3 DOCUMENTOS OFICIAIS... 45
4.3.1 PCNs ... 45
4.3.2 BNCC ... 46
5 ANÁLISES A PARTIR DAS LEITURAS ... 49
5.1 PRÁTICAS, AÇÕES E OPERAÇÕES DESENVOLVIDAS ... 49
5.2 LEITURAS GLOBAIS ... 93
5.3 LEITURAS LOCAIS ... 101
13 1 INTRODUÇÃO
A presente pesquisa foi motivada por inquietações a respeito do ensino da Matemática, partindo de experiências vivenciadas, na Educação Básica, no Ensino Superior e no cenário de pesquisa em Educação Matemática.
Essa é uma pesquisa qualitativa, realizada a partir de um estudo de caso em um curso de extensão (figura 1), ministrado para alunos do curso de Licenciatura em Matemática (Limat) do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes), campus Vitória. Assim, para fazer uma análise mais detalhada dos dados levantados, utilizamos o método de leitura plausível, pertinente ao Modelo dos Campos Semânticos (MCS), com vistas à análise dos significados produzidos com atores da pesquisa, participantes desse curso de extensão.
Para tais análises contamos com o apoio do Grupo de Estudo e Pesquisas em Modelo dos Campos Semânticos e Educação Matemática (Gepemem), vinculado ao Ifes, campus Vitória. Esse grupo é parte fundamental de nossa pesquisa, uma vez que, foi a partir do Projeto de Pesquisa, intitulado “Pitágoras: em (e além do) Teorema”, cadastrado junto ao Instituto Federal do Espírito Santo - campus Vitória, PJ00004234, em setembro de 2017, no âmbito do Gepemem, da qual participamos, que produzimos conhecimento à base teórica para realização do referido curso de extensão (figura 1) Algumas sequências numéricas com representações geométricas na Aritmética pitagórica: números figurados bidimensionais e tetraédricos – Edital 007/2020-Direx, campus Vitória, Ifes – cenário de nossa pesquisa.
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Figura 1: Curso de extensão que constituiu o cenário da pesquisa
Fonte: Chaves (2020)
Nesse curso de extensão, contamos com a participação de 19 (dezenove) pessoas assim distribuídas: 2 (dois) professores do Limat/Ifes ministrantes; 6 (seis) monitores – alunos do Limat e integrantes do Gepemem; 4 (quatro) participantes ouvintes, sendo 2 (dois) professores da rede estadual de ensino e 2 (dois) licenciandos em Matemática; 7 (sete) participantes matriculados, sendo 1 (uma) licencianda em Matemática, 6 (seis) professores das redes públicas de ensino da Grande Vitória. A abordagem que demos no curso foi sobre os números figurados planos (segunda dimensão) e tetraédricos (terceira dimensão) fazendo uso do Binômio de Newton e suas inter-relações.
Para o desenvolvimento das práticas educativas, utilizamos materiais didático-pedagógico (MDP), adaptados para Atividades Pedagógicas Não Presenciais (APNPs) síncronas e assíncronas, inicialmente, produzidos a partir tampinha de garrafas PET, nas representações das sequências dos números figurados planos e bastões e esferas imantadas (e/ou palitos e gomas – balas) para representação dos números tetraédricos.
No capítulo 2, trazemos o panorama da nossa pesquisa. Nele abordamos uma breve trajetória pessoal do autor, os porquês que despertaram a pesquisa, o objetivo geral que consequentemente acarretou na pergunta-diretriz “Quais os significados produzidos com os atores da pesquisa, em um processo formativo, envolvendo triângulo de Pascal, números
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tetraédricos e figurados triangulares, a partir da dinâmica proposta?” e para atendermos a essa pergunta, elencamos os objetivos específicos.
No capítulo 3 abordamos a metodologia realizada na pesquisa e tratamos da natureza, modalidade e procedimentos realizados. Trazemos um panorama a respeito do estudo de caso, que foi o nosso referencial metodológico escolhido e também apresentamos algumas pesquisas que abordaram esse referencial. Apresentamos também os instrumentos para produção de dados e tratamos do método de análise de leitura plausível. E ainda, nesse capítulo abordaremos o habitat da pesquisa, em que é relatado a respeito do cenário e atores da pesquisa, e também é realizamos um apanhado das práticas, ações e operações que foram desenvolvidas no decorrer do processo.
No capítulo 4, da revisão de literatura, discutimos o aporte teórico e alguns documentos oficiais. Discutimos a respeito do MCS. Abordamos sua gênese, algumas ideias elementares e trazemos três produções que adotaram o MCS. Continuando, falamos sobre os números para Pitágoras, na qual trazemos um pouco sobre a escola pitagórica e algumas de suas contribuições. Também falamos a respeito da história dos números figurados, que vão desde os de segunda dimensão, até o os primeiros estudos dos números figurados de terceira dimensão com o neopitagórico Nicômaco de Gerasa. Ainda discutimos três pesquisas que abordaram o tema dos números figurados, duas dessas que também se baseiam no MCS para produção e análise de dados.
No capítulo 5, tratamos das análises a partir das leituras. Nesse capítulo detalhamos as práticas, ações e operações que foram desenvolvidas durante os encontros do curso de extensão realizado (figura 1). Com esse detalhamento, trazemos as análises dessas práticas a partir de leituras globais e locais balizadas pelo MCS para ir ao encontro de nossos objetivos estipulados na pesquisa.
Por fim, no capítulo 6, temos as considerações finais a respeito de todo o processo realizado no decorrer de nossa pesquisa.
16 2 PANORAMA DA PESQUISA
2.1 TRAJETÓRIA PESSOAL1
Quando dei início à graduação de Licenciatura em Matemática, em fevereiro de 2017, trazia comigo muitas motivações. Sempre gostei das aulas de Matemática e sempre tive facilidade nas aulas, mas até aí não era nada demais. Quando comecei a ajudar meus colegas a sanar suas dúvidas, me sentia recompensado e motivado, daí vem a origem das minhas várias inspirações.
Logo após ingressar no curso de Licenciatura em Matemática, não sabia muito bem o que esperar, eu não tinha o mínimo de ideia do que seria um Ensino Superior. A única coisa que eu imaginava era que iria "aprender a dar aula". Cheguei em estado criticamente bruto, com o mínimo de base matemática e, por isso mesmo, agradeço aos meus professores por toda a paciência que tiveram. Aos poucos fui me adaptando e, aos poucos fui percebendo que ser professor é muito além de dar aulas.
Além de “dar aulas", trabalhando como monitor – isso me marcou muito – surgiu uma oportunidade de participar de um grupo de pesquisa logo no segundo semestre da graduação. No começo fiquei meio receoso, pois eu não sabia nada a respeito de pesquisa. Fiquei inseguro, como aquele sentimento de não conseguir contribuir as expectativas, mas apesar disso, resolvi tentar ver até onde poderia seguir e foi assim que me envolvi com o Projeto “Pitágoras: em (e além do) teorema”, desenvolvido pelo Gepemem. Nesse projeto atuei como pesquisador em treinamento, monitor de oficinas e minicursos, intervindo em aulas com os respectivos professores, em cursos técnicos do Ifes, campus Vitória, confeccionando MDP e apresentando relatos e comunicações científicas em congressos e similares. Essa foi uma experiência muito enriquecedora, pude participar de discussões sobre a Educação Matemática, planejar e organizar oficinas, participar de projetos de extensão e também participar de eventos, além de ter conhecido muitas pessoas que me ajudaram muito. Todas essas relações tenho como parte fundamental nesse processo de formação como professor.
Durante esse período também pude navegar por outros mares, com a devida licença poética. Participei de programas de iniciação à docência – Programa Institucional de Bolsa e Iniciação
1 Especificamente, neste item, utilizarei a 1ª pessoa do singular (eu), por se tratar de experiências de vida; entretanto, nos demais itens, utilizarei a 1ª pessoa do plural (nós), por entender que a pesquisa é um processo coletivo, por envolver pesquisador, orientador e atores da pesquisa.
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à Docência (Pibid) –, do programa do estágio da Secretaria de Estado da Educação (Sedu), de oficinas, de curso de extensão etc. Cada uma dessas etapas me permitiu agregar visões diferentes a respeito dos processos de Educação, bem como de mundo. Essas experiências, juntamente com outras vividas, formaram a minha base de entendimentos a respeito do papel do professor e contribuíram para pensar que o papel do professor vai muito além do “dar aulas”.
Toda essa bagagem, principalmente a construída a partir do grupo de pesquisa, me ajudou muito e me levou a despertar algumas inquietações. Por que o ensino da Matemática tem que ser sempre de forma linear? Por que que eu tenho que fazer uma leitura pela falta do meu aluno? O que leva um aluno a dizer o que diz em relação a uma certa ideia ou processo?
A trajetória apresentada, bem como as inquietações relatadas, me levou a constituir um objeto de pesquisa que apresentarei a seguir.
2.2 O PORQUÊ DA PESQUISA
Por dois anos e meio, tempo de nossa participação no Projeto “Pitágoras: em (e além do) teorema”, desenvolvemos estudos, pesquisas e atividades de ensino e extensão a partir de três frentes: (i) História da Matemática envolvendo as realizações pitagóricas; (ii) demonstrações históricas do teorema; (iii) Aritmética pitagórica com ênfase nas sequências de números figurados. Nós participamos da terceira frente.
Nesse intervalo de tempo, estudamos, planejamos e desenvolvemos práticas educativas e MDP para trabalharmos em cursos de formação (inicial e continuada) de professores de Matemática, bem como com alunos de Ensino Médio. Esses MDP e práticas que podem ser vistos detalhadamente em Dutra (2020) e Dutra e Chaves (2020).
Nessas práticas, utilizamos materiais concretos e manipulativos e focamos especificamente no trânsito de modos de produção de significados (MPS) geométrico, aritmético e algébrico. A ideia era construir geometricamente polígonos (figura 2), tal como foram construídos pelos pitagóricos na formação de números figurados poligonais ou planos (triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais), pela observação preencher tabelas (figuras 3) para analisar quantidades de pontos na formação de cada número, obedecendo a ordem, para que, em seguida,
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usando recursividade, encontrássemos os respectivos termos gerais dessas sequências numéricas (figuras 2 e 3).
Figura 2: Formação de uma sequência de números triangulares com seixos e números figurados poligonais
19 Fonte: Bonatto, Chaves, Zocolotti e Dutra (2019)
Figura 3: Tabela para análise de formação de números quadrados
Fonte: Dutra e Chaves (2020, p. 40)
Como consequência das práticas desenvolvidas, nós, integrantes da frente Aritmética pitagórica com ênfase nas sequências de números figurados, resolvemos realizar uma prática piloto com integrantes do Projeto Pitágoras, envolvendo sequências de tetraédricos utilizando como material manipulativo barras e esferas imantadas (figuras 4 e 5).
20
Figura 4: Representação de números tetraédricos de ordens de 1 a 4
1 2 3 4
1 4 10 20
Fonte: Elaborado pelo autor (2021)
Na realização dessa prática piloto, constatamos a possibilidade de relacionarmos números triangulares planos com números tetraédricos (figuras 4 e 5) e com Triângulo de Pascal (TP) (figura 6).
Figura 5: Relação entre números triangulares planos e números tetraédricos
21
Figura 6: Triângulo de Pascal (TP) e distribuição por números binomiais
Fonte: Chaves (2020)
Tal constatação, acompanhada das inquietações apresentadas no item 2.1 (TRAJETÓRIA PESSOAL) nos levaram a pensar em organizar e desenvolver um curso de formação, na modalidade de minicurso ou oficina, para tratarmos do tema, título de nossa pesquisa. Assim, como objeto de pesquisa que nos levou à confecção de Trabalho de Conclusão de Curso (TCC), chegamos à: produção de significado a respeito de vieses entre triângulo de pascal, números tetraédricos e figurados triangulares em um processo de formação de professores de Matemática.
Então, procuraremos analisar os significados produzidos pelos atores de pesquisa (participantes do curso de formação que aplicaremos) ao serem apresentados à dinâmica (trânsito entre os MPS geométrico, aritmético e algébrico) proposta em nosso processo de formação.
2.3 OBJETIVO GERAL
Balizados por nossas inquietações, tendo claro nosso objeto de pesquisa, apresentadas no item antecedente, estabelecemos como objetivo geral:
22
Analisar os significados produzidos com os atores da pesquisa, em um processo formativo, envolvendo triângulo de pascal, números tetraédricos e figurados triangulares, a partir da dinâmica proposta.
2.4 PERGUNTA-DIRETRIZ
A partir de tal objetivo desencadeamos a seguinte pergunta-diretriz:
Quais os significados produzidos com os atores da pesquisa, em um processo formativo, envolvendo triângulo de pascal, números tetraédricos e figurados triangulares, a partir da dinâmica proposta?
2.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Para darmos conta de responder nossa pergunta-diretriz, estabelecemos os seguintes objetivos específicos:
(1) Evidenciar modos de produção de significados, legitimidades e objetos a partir dos resíduos de enunciação, apresentados pelos atores da pesquisa, participantes das práticas educativas desenvolvidas.
(2) Elencar significados produzidos pelos atores da pesquisa nas práticas educativas propostas, a partir de resíduos de suas enunciações em processos de leitura local e global.
(3) Analisar, a partir dos resíduos de enunciação, o trânsito entre os modos de produção de significado, dos atores envolvendo as práticas educativas propostas.
(4) Identificar e discutir possíveis limites epistemológicos e impermeabilizações identificadas durante as práticas propostas, a partir dos significados produzidos pelos atores da pesquisa.
23 3 METODOLOGIA
3.1 NATUREZA, MODALIDADE E PROCEDIMENTOS DA PESQUISA
Nossa pesquisa, de abordagem qualitativa, portanto, de modalidade descritiva, tem base na leitura plausível de resíduos de enunciações que está relacionada à dinâmica de produção de significados que podemos encontrar em Silva (2003), Henriques e Silva (2019) e Chaves, Cezar e Teixeira (2021), na qual são estabelecidas algumas características gerais desse processo:
i) A análise é desenvolvida considerando o processo de comunicação proposto pelo MTCS2, constituído pela tríade: autor-texto-leitor;
ii) A atividade, no sentido proposto por Leontiev, é tomada como unidade de análise; iii) A análise toma como premissa uma “leitura positiva” da produção de significados dos sujeitos de pesquisa. (SILVA, 2003, p. 48).
A partir dessas características gerais, pudemos realizar análises mais refinadas a respeito do processo da nossa investigação em nosso cenário de pesquisa, sempre partindo da dialogicidade durante o processo, pois é a partir dos resíduos de enunciação que foram feitas nossas análises, uma vez que, quando os diálogos entre pesquisador e atores ou entres os próprios atores não são priorizados, a clareza das análises pode ficar comprometida. Logo, a dinâmica do processo proposta é interativa e de forma inclusiva a todas ideias externadas para que assim pudéssemos produzir dados suficientemente satisfatórios para nossas análises.
3.2 UM PANORAMA A RESPEITO DO ESTUDO DE CASO
Para atender os objetivos da nossa pesquisa buscamos em Yin (2004) a proposta de estudo de caso para balizar nossas ações de intervenção no processo de interação com os atores. O estudo de caso é apenas uma de muitas outras formas para pesquisas na área de ciências sociais. Entendemos que, para analisarmos significados produzidos, precisamos de ações que estimulem a interação dos atores e também a realização de uma situação de investigação empírica.
Um estudo de caso é uma investigação empírica que investiga um fenômeno contemporâneo dentro de seu contexto de vida real especialmente quando os limites entre o fenômeno e o contexto não são claramente definidos. Em outras palavras, você poderia utilizar o método de estudo de caso quando deliberadamente quiser lidar com
2 MTCS – Modelo Teórico dos Campos Semânticos – era a designação dada ao Modelo dos Campos Semânticos (MCS) na época em que o educador matemático Amarildo Melchiades da Silva defendera sua tese de doutoramento.
24 condições contextuais – acreditando que elas poderiam ser altamente pertinentes ao seu fenômeno de estudo. (YIN, 2004, p. 32).
Mesmo que a proposta de aplicação da pesquisa não seja necessariamente uma investigação empírica, sempre existirá alguns resquícios da mesma, em qualquer outra metodologia que tenha como foco significados e legitimidades. Então ao adotarmos o estudo de caso, podemos estabelecer recursos de análises para saber de onde o aluno está falando, ou seja, buscamos saber o “porquê” e o “como” enunciações, com vistas ao compartilhamento de espaços comunicativos, se desenvolvem no interior de uma atividade, fenômeno esse que, em nossa pesquisa, seria o processo de produção de significados.
No sentido mais elementar, o projeto é a sequência lógica que conecta os dados empíricos às questões de pesquisa iniciais do estudo e, em última análise, às suas conclusões. Coloquialmente, um projeto de pesquisa é um plano de ação para se sair daqui e chegar lá, onde aqui pode ser definido como o conjunto inicial de questões que podem ser respondidas, e lá é um conjunto de conclusões (respostas) sobre essas questões. Entre “aqui” e “lá” pode-se encontrar um grande número de etapas principais, incluindo a coleta e a análise de dados relevantes. (YIN, 2004, p. 41).
Como buscamos analisar significados produzidos, buscamos estabelecer um determinado espaço de comunicação entre o pesquisar e os atores e, segundo o MCS, temos assim o denominado espaço comunicativo, que seria um processo de interação e compartilhamento de interlocutores e que nos ajuda a entender o porquê alguém diz o que diz.
Quando falamos de estabelecer interação vamos ao encontro do propósito de estudo de casos que visa estabelecer um debate entre os que estão inseridos no processo da atividade, sempre valorizando discussões mesmo que não seja possível ter uma interpretação completa de todas as informações produzidas, por isso analisaremos resíduos de enunciação, que à luz do MCS implica em “algo que me deparo e acredito ter sido dito por alguém” (LINS, 2012, p. 27). A tal respeito estabelecemos um viés com o que fora apresentado em Yin (2004), ao lembrar que:
Não existem mecanismos como esses para avaliar as habilidades necessárias a um estudo de caso. No entanto, uma lista básica de habilidades comumente exigidas incluiria o seguinte:
• Uma pessoa deve ser capaz de fazer boas perguntas - e interpretar as respostas. • Uma pessoa deve ser uma boa ouvinte e não ser enganada por suas próprias
ideologias e preconceitos.
• Uma pessoa deve ser capaz de ser adaptável e flexível, de forma que as situações
recentemente encontradas possam ser vistas como oportunidades, não ameaças.
• Uma pessoa deve ter uma noção clara das questões que estão sendo estudadas,
25 exploratório. Essa noção tem como foco os eventos e as informações relevantes que devem ser buscadas a proporções administráveis.
• Uma pessoa deve ser imparcial em relação a noções preconcebidas, incluindo
aquelas que se originam de uma teoria. Assim, uma pessoa deve ser sensível e estar atenta a provas contraditórias. (YIN, 2004, p. 81, grifos do autor).
Quando, no desenvolvimento de uma pesquisa, atentamos para tais habilidades, segundo o texto em questão, estamos aptos à aplicação de um estudo de caso, estando assim preparados para o processo de produção e análise dos dados.
3.2.1 Pesquisas que abordaram MCS e estudo de caso
Em Novais (2017), Dinâmica da Produção de Significados de construções Pataxó por alunos de Ensino Médio em aula de campo, temos uma pesquisa qualitativa que utilizou o estudo de caso para desenvolver uma análise da dinâmica da produção de significados. Essa pesquisa deu origem a uma dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, defendida em 2017. O objetivo central desse trabalho foi o de analisar os significados matemáticos produzidos pelos atores da pesquisa sobre o processo de construções de edificações Pataxó. Para tal foram estabelecidas ações de pesquisas a serem analisadas com base na Teoria da Atividade, no MCS no que diz respeito a dinâmica da produção de significados e também na História Oral para a análise das enunciações no decorrer da atividade.
O enfoque no estudo de caso se deu pela característica empírica da pesquisa, num habitat de aula de campo, pautado no princípio da dialogicidade e da troca de ideias, necessárias a uma análise mais fina da produção de significados.
Outra pesquisa que aborda o uso do MCS e de um estudo de caso encontramos em Marcarini (2017). Tal pesquisa deu origem ao texto intitulado Dinâmica da Produção de Significado com números com representação decimal a partir de ações do Pibid no Ensino Fundamental e faz parte de um Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Coordenadoria do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo.
Marcarini (2017) nos apresenta uma pesquisa de natureza qualitativa tendo em sua metodologia o estudo de caso como base à análise dos significados produzidos por alunos de 6º e 7º ano do Ensino Fundamental. O objetivo central desse trabalho foi o de analisar alguns dos significados
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produzidos por esses alunos no estudo de números com representação decimal. Para isso foram adotados a Teoria da Atividade, o MCS e a Análise de Similaridades e Convergências das enunciações. O estudo de caso teve um enfoque nessa pesquisa uma vez que o habitat em questão foi uma sala de aula e a necessidade de interação entre os participantes e também uma organização que permitisse analisar aquele momento de atividade podendo assim realizar as etapas de produção e de análise dos dados.
Além das duas pesquisas supracitadas, Vitória (2015) – um texto intitulado Produção de Significado matemático em cálculos de área de figuras planas: (des)caminhos entre processos hegemônicos e não-hegemônicos de matematizar – um Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Coordenadoria do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, assimilou o MCS e o estudo de caso. Neste trabalho buscou-se apresentar, analisar e discutir possíveis vieses dos chamados processos hegemônicos e não-hegemônicos, tomando uma visão socioambiental de cálculo de área.
Foram tomados como bases as concepções de Patrick Geddes que fala a respeito do desenvolvimento dos alunos em relação ao ambiente e ao professor. Para atingir essa concepção estabelecida, professores e alunos do curso de Licenciatura de Matemática do Ifes discutiram a obra Moretti & Grando (1995) que compara os modelos clássicos de cálculos áreas de polígonos com outros modelos, que no caso seria o de esquadrejamento e cubação. A escolha pelo estudo de caso se deu pelo caráter qualitativo da pesquisa, no qual se buscava atingir o objetivo geral para a análise e discussão, num ambiente de sala de aula. Sendo assim, foi entendido que o estudo de caso se configurava como uma ferramenta relevante para uma análise, à luz do MCS, em uma pesquisa com características empíricas.
3.3 INSTRUMENTOS DE PRODUÇÃO DE DADOS
No que é relativo à produção de dados optamos em fazer uso das tarefas de campos e dos resíduos de enunciações, durante as conversas dos atores da pesquisa no decorrer do processo. Para isso, será necessário reforçar o diálogo dos atores entre si e com o pesquisador para tomarmos os resíduos de enunciação em nossas leituras. Quanto maior a interação entre os participantes do processo, mais resíduos de enunciação serão tomados e mais dados estarão disponíveis à análise e, para tal, utilizamos como recursos de produção, gravação de áudios,
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anotações em cadernos de campo, entrevistas semiestruturadas e textos escritos que venham a ser produzidos pelos atores do processo, que como vimos anteriormente coadunam com a proposta apresenta por Yin (2004), no que diz respeito a atributos de produção em um estudo de caso.
3.4 LEITURA PLAUSÍVEL
No objetivo de fazer uma análise ampla do processo de produção de significados partiremos do método de análise de leitura plausível que está em Silva (2003), Henriques e Sila (2019), Chaves, Cezar e Teixeira (2021) e Lins (2012). Esse método encontra-se diametralmente oposto ao que consideramos como método piagetiano de análise de estágios de desenvolvimento cognitivo, em que se o indivíduo não atingiu um determinado nível ele está em falta, ou seja, se caracteriza por ser uma leitura pela falta (LINS, 1999; 2012).
Assim, em sua origem, o que estamos chamando de leitura positiva (para nós plausível) é uma oposição a esse ponto de vista de leitura do outro pela falta. O objetivo da leitura que propomos não é olhar para o erro quando as pessoas enfrentam uma tarefa, ou para o que lhes falta para resolvê-la corretamente. Nosso foco esta em entender por que ela fez o que fez. Com isso estamos também dizendo que leitura positiva não é juízo de valor. (SILVA, 2003, p. 54, ipsis litteris, grifo nosso).
Quando falamos de leitura plausível temos em mente que o objetivo não será recorrer a alguma possível ideia de erro, ou seja, não desconsideraremos um pensamento porque não atendeu nossas expectativas, até porque se isso acontecesse estaríamos caminhando para uma leitura do sujeito, não por onde ele chegou e sim pelo que faltou para ele chegar, no qual imaginamos que ele chegaria, ou seja estaríamos realizando uma leitura piagetiana pela falta e com isso negando suas legitimidades. Então o método de leitura plausível se configura como dispositivo fundamental em processos de interação e é indispensável em análises de processos de produção de significados, pois nos permite ler o indivíduo para tentar saber de onde ele está falando.
A leitura positiva (para nós, plausível) tem por objetivo, por assim dizer, mapear o terreno ao mesmo tempo que trata de saber onde o outro está. Em contraste, as teorias piagetianas dão o mapa e só nos resta saber onde, naquele mapa, o outro está; se a localização que ele nos dá não se encaixa, estamos perdidos. (LINS, 2012, p. 24, grifos
nosso).
Em nossa pesquisa procuramos realizar esse método de leitura tanto de forma geral, explorando o processo como um todo – leitura global –, e também de forma individual – leitura local –,
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quando analisamos pontualmente alguns resíduos de enunciação de alguns atores da pesquisa. Os atores foram orientados, durante todo momento a externar suas ideias. Dos resíduos de enunciação, advindos dessas falas, realizamos duas leituras, pertinentes ao método da leitura plausível: (i) uma leitura local, com abordagem êmica, realizada ator por ator – os insiders – com visão local, no face a face (SILVA, 2003), apresentando transcrições culturais; (ii) uma leitura global, com abordagem analítica, realizada pelos pesquisadores – os outsiders –, com perspectiva de quem está de fora, com visão global, apresentando transcrição acadêmica do processo.
Evidenciamos que, segundo nosso referencial teórico e nosso entendimento, todo o tipo de pensamento, relativo às práticas tem sua importância à pesquisa. Através de questionamentos, de conversas, entrevistas e das tarefas de campo procuramos saber de onde esses atores estavam falando e, assim, nos propusemos a analisar significados produzidos nesse processo. Mas, para tal, vale destacarmos que a ideia que trazemos de pensamento, buscamos em Sad (1999).
[...] pensamentos são proporcionados por “percepções e funções mentais básicas – capacidade de atenção, de formação de imagens e de conexões – cuja atuação consideramos sempre em um meio psíquico-social (aqui o hífen é para lembrar o quanto estão imbricados) [...] Entendemos pensamento como relações e combinações, conscientes, das funções mentais básicas – associação, atenção, formação de imagens e conexões. Concordamos com Vygotsky, quando diz que ‘o pensamento não é algo
acabado, pronto para ser expresso. O pensamento se precipita, realiza função, como trabalho. Este trabalho do pensamento é a transição desde as sensações da tarefa – através da construção do significado – ao desenvolvimento do próprio pensamento’.
(VYGOTSKI, 1991, p. 125 apud SAD, 1999, p. 77, grifos do autor).
Por esse foco, e em sintonia com o que Silva (2003) – ao assumir que no MCS, colocamo-nos em direção diametralmente oposta ao modelo piagetiano que considera o pensamento estruturado por conceitos –, assumimos que trabalhamos com a ideia de que o sujeito, no caso o ator de pesquisa, estrutura o pensamento a partir de objetos. Assim, no decorrer de uma atividade, quando o indivíduo se propõe a produzir significado para determinada enunciação, podemos observar o desencadeamento do processo de produção de significados que envolve cinco principais elementos bases para esse processo, as chamadas noções categorias.
i) A constituição de objetos – coisas sobre as quais sabemos dizer algo e dizemos – que nos permite observar tanto os novos objetos que estão sendo constituídos quanto os significados produzidos para esses objetos;
ii) A formação de um núcleo: as estipulações locais, as operações e sua lógica; iii) A produção de conhecimento;
29 v) As legitimidades, isto é, o que é legítimo ou não dizer no interior de uma atividade. (SILVA, 2003, p. 65).
Em uma proposta de leitura, aos moldes propostos pelo MCS, busca-se atingir todas essas cincos noções categorias sem a necessidade de se estabelecer uma ordem de precedência de cada uma, mas sim a realização de todas elas. “Isto se constitui no que é dado para nossa investigação, sendo o nosso ponto de partida. O novo, o que queremos entender, o movimento na produção de significados é o que chamamos a dinâmica do processo.” (SILVA, 2003, p. 57).
3.5 HABITAT DA PESQUISA
3.5.1 Cenário e atores
O cenário de nossa pesquisa foi formado a partir do curso de extensão (figura 1) Algumas sequências numéricas com representações geométricas na Aritmética pitagórica: números figurados bidimensionais e tetraédricos – Edital 007/2020-Direx, campus Vitória, Ifes. Devido à pandemia de Covid-19 o curso deixou de ser presencial – como havíamos planejado inicialmente – e passou a ser ministrado na modalidade remota (48h de práticas educativas), com APNPs síncronas (doze encontros de 2h cada, totalizando 24h de práticas) (quadro 1) e assíncronas (doze atividades programadas para 2h cada, totalizando 24h de práticas).
As identidades dos atores foram preservadas e por isso adotamos pseudônimos para nos referirmos aos mesmos, quando da análise de seus respectivos resíduos de enunciação ([REn]).
3.5.2 Práticas, ações e operações
As práticas educativas desenvolvidas aconteceram a partir do Projeto de Extensão denominado Algumas sequências numéricas com representações geométricas na Aritmética pitagórica: números figurados bidimensionais e tetraédricos, cadastrado junto à diretoria de extensão do Ifes, campus Vitória (Edital 007/2020 – Direx), envolvendo tarefas planejadas pelos componentes do Projeto de Pesquisa “Pitágoras: em (e além do) teorema”.
Quando da época do Projeto de Pesquisa “Pitágoras: em (e além do) teorema”, oportunizamos desenvolver duas oficinas (figuras 7 e 8) que tomamos como base para planejarmos as práticas e tarefas de nosso Projeto de Extensão.
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Figura 7: Oficina de Números figurados na VI EIEMAT/XIII EGEM
Fonte: Chaves et al. (2018)
Figura 8: Oficina de Números figurados na 8ª SEMAT
Fonte: Chaves et al. (2019)
Nessas oficinas, tomamos como referencial os textos Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI (LINS; GIMÉNEZ, 1997) e Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), pois os mesmos sugerem que o desenvolvimento do pensamento algébrico ocorra em todos os anos da Educação Básica. Assim, entendemos que seja recomendável, desde os primeiros anos de escolarização, a observância e a investigação de padrões aritméticos e geométricos para obtermos, a partir da técnica de recorrência, o termo geral de cada sequência estudada.
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Dessa forma, propusemos apresentar, discutir e determinar termos gerais de sequências de números figurados planos sem a utilização de fórmulas prontas, mas analisando padrões geométrico-aritmético-algébricos por técnicas de recorrência, comparando modos de produção de significados (geométricos, aritméticos, geométricos, algébricos e aritmético-algébricos), bem como o trânsito entre eles, para a produção de conhecimento algébrico. Para isso, utilizamos sequências numéricas da Aritmética pitagórica, construídas a partir de materiais didático-pedagógicos (MDP) produzido pelo Gepemem.
Contudo, nas duas oficinas supracitadas limitamo-nos ao estudo dos números figurados planos, ou de duas dimensões. Em nosso TCC, estendemos introduzindo os números figurados tridimensionais, a partir do estudo dos números tetraédricos, mas obedecendo a mesma dinâmica utilizada nos figurados planos.
Participaram, na condição de monitores, alunos e professores da Limat, membros do Gepemem, integrantes do Projeto “Pitágoras: em (e além do) teorema”: Alexandre Krüger Zocolotti, Bruna Moll Fernandes, Davi Magalhães Vieira, Esthefany Rabello Macedo, Filyppe Neves de Andrade, Ian Neto Bonfim, Lucca Jeveaux Oliveira Bonatto e Rodolfo Chaves. Também participou, na condição de elaborador e integrante do projeto, membro do Gepemem, o professor Tiago Magno de Souza Dutra, docente da Secretaria Municipal de Educação de Serra e da Secretaria de Estado de Educação do Espírito Santo.
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Quadro 1: Práticas realizadas
Encontros Componente curricular Data
E1 ─ Apresentação da proposta da proposta do curso 1°/dez./2020
E2 ─ Números figurados na História da Matemática 08/dez./2020
E3 ─ Números figurados quadrados e triangulares e distribuição gnomônica 15/dez./2020
E4 ─ Revisão das práticas desenvolvidas até o 3º encontro e discussão da
continuidade do curso a partir de janeiro de 2021 26/jan./2021
E5 ─ Sequências de números tetraédricos (uso de MDP manipulativos na
construção) 02/fev./2021
E6 ─ Sequências de números tetraédricos e números binomiais – Triângulo de
Pascal usando recursividade para obtenção do termo geral 09/fev./2021
E7 ─ Sequências de números tetraédricos e números binomiais – usando
Princípio da indução finita para comprovação do termo geral 23/fev.2021
E8 ─ Números pentagonais e hexagonais 02/mar./2021
E9 ─ Relações entre números figurados planos 09/mar./2021
E10 ─ Uso do Princípio da indução finita para provar a generalização da relações
entre números figurados planos 16/mar./2021
E11 ─ Discussão dos procedimentos metodológicos utilizados para construção
dos números figurados planos 23/mar./2021
E12 ─ Avaliação do curso. Encontro final. Roda de conversa 30/mar./2021 Fonte: Elaborado pelo autor (2021)
33 4 REVISÃO DE LITERATURA, APORTE TEÓRICO E DOCUMENTOS OFICIAIS
4.1 MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS (MCS)
4.1.1 A gênese
O MCS foi desenvolvido Romulo Campos Lins, professor da Universidade Estadual Paulista (UNESP), campus Rio Claro, após apresentação de sua tese “A framework for understanding what algebric thinking is”, que foi defendida na University of Nottingham (UK), no ano de 1992.
As primeiras ideias do MCS são de 1986 ou 1987. Eu tinha muitas inquietações e perguntas relacionadas à sala de aula, sempre coisas de professor mesmo, e que os autores que eu lia não me ajudavam a tratar. Em particular, queria dar conta de caracterizar o que os alunos estavam pensando quando “erravam”, mas sem recorrer a esta ideia do erro. (LINS, 2012, p. 11).
As primeiras ideias publicadas, que tivemos acesso, relativas ao MCS, encontram-se em Silva (1993). Segundo seu criador, o MCS só existe no campo da ação e o intuito dele não é ser tomado como uma teoria e sim ser uma teorização, um modelo epistemológico a ser usado (LINS, 2012), que possa alicerçar práticas docentes e políticas educacionais (LINS, 1999). A partir dele é possível se fazer leituras das situações de produção de significados e da valorização do pensamento de cada um. Por isso, à luz do MCS, não nos preocupamos em recorrer a ideia do erro, mas procuramos tentar entender o que o outro fala, porquê fala e de onde ele fala e assim buscar entender o que o leva a dizer o que diz.
4.1.2 Algumas ideias elementares
O MCS têm em sua base algumas ideias principais como a de conhecimento, campo semântico (CS), processo de impermeabilização, limite epistemológico, significado, espaço comunicativo etc. A partir dessas ideias elementares é possível desenvolver, à luz desse modelo epistemológico, efetuar análises de diversas situações, a partir do que dizem, quando estabelecemos um espaço comunicativo.
Para o MCS “Um conhecimento consiste em uma crença-afirmação (o sujeito enuncia algo que acredita) junto com um justificação (aquilo que o sujeito entende como lhe autorizando a dizer o que diz).” (LINS, 2012, p. 12). Então o conhecimento é algo momentâneo, só existe em sua enunciação e deixa de existir quando essa enunciação finda, por isso a importância de se falar,
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se expressar. Por isso que a concepção de qualquer conhecimento é inerente de algum interlocutor, não existe conhecimento sem uma direção na qual se fala. Todo conhecimento é legítimo por isso tem que ser valorizado, sendo assim não cabe nenhum juízo de valor sobre a importância ou não de determinado conhecimento, pois ao se fazer isso estaríamos negando legitimidade o que não convém quando estamos falando do MCS ou de qualquer outra teoria do conhecimento que não tenha algum interesse político em seu interior.
A ideia de campo semântico está relacionada à produção de significados. Um campo semântico é um processo, que acontece no interior de uma atividade, e assim tem suas dinâmicas relativas: ao núcleo desse processo; aos processos de impermeabilizações; limites epistemológicos e também, por que não, o silêncio. Durante esse processo é que conhecimentos e significados são produzidos e que se constituem objetos. “Do ponto de vista da teorização, ‘campo semântico’ serve para articular ‘produção de conhecimento’, ‘significado’, ‘produção de significado’ e ‘objeto’.” (LINS, 2012, p. 18, grifos do autor).
Quando nos referimos à limite epistemológico utilizamos o que defendera Silva (2012), que relata esse processo como “[...] a impossibilidade do sujeito produzir significados para o resíduo de uma enunciação numa certa direção devido a sua maneira de operar. Sendo assim, se ela não mudasse sua maneira de operar, ela não resolveria o problema proposto.” (SILVA, 2012, p. 88). Esse limite epistemológico pode ser considerado uma barreira onde o sujeito chega, mas não consegue ultrapassar e, ao menos que não mude o modo como está agindo, no decorrer da atividade, este poderá paralisar qualquer produção de significado.
E ao nos referirmos a um processo de impermeabilização buscamos o entendimento apresentado em Silva (2012): “Chamaremos de impermeabilização ao processo que leva os alunos a não compartilharem novos interlocutores em situação de interação face a face, diferente daqueles para o qual eles estavam voltados; de não se propor a produzir significados numa outra direção.” (SILVA, 2012, p. 79). Sendo assim, quando o sujeito não consegue falar em outra direção diferente daquela que ele está ou simplesmente quando ele não se propõe a produzir significado dizemos que existe um processo de impermeabilização.
Ainda nessas ideias bases do MCS temos a ideia de significado, que depende do contexto de onde se fala. “Significado de um objeto é aquilo que efetivamente se diz a respeito de um objeto,
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no interior de uma atividade. Objeto é aquilo para que se produz significado.” (LINS, 2012, p. 28). A partir disso pode dar-se-á a produção de significado que é o centro de toda aprendizagem “Produzir significado é, então, falar a respeito de um objeto.” (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p.145-146). Com isso, vale ressaltar que um significado é sempre local, pois ele sempre precisa de um contexto a ser atribuído para o objeto. Nesse princípio podemos entender o porquê da necessidade da enunciação. No momento em que algo não é dito não existe significado, ou seja, não existirá objeto, conhecimento nem aprendizagem. Por isso que, ao falarmos em modo de produção de significado não buscamos falar apenas de campos semânticos, e sim de campos semânticos idealizados, pois com isso temos a possibilidade de antecipar de “onde” e “o que” o outro está falando.
Temos também o que em LINS (2012) é chamado de espaço comunicativo que substitui a noção de comunicação clássica onde duas ou mais pessoas falam uma na direção da outra. No espaço comunicativo, no entanto, a comunicação só acontece quando duas pessoas falam numa mesma direção, ou seja, estão compartilhando de um mesmo interlocutor. De modo geral temos que a noção de espaço comunicativo é um processo de interação que existe, de fato, o compartilhamento de interlocutores.
4.1.3 Produções que adotaram o MCS
Em 1997 foi publicado a obra Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI (LINS; GIMÉNEZ, 1997) que trata da importância de trabalhar o pensamento algébrico durante todos os anos da Educação Básica e também destaca o tratamento da Álgebra como uma forma generalizada da Aritmética pela escola. O referido texto defende que o ensino da Álgebra e da Aritmética se desenvolva de forma conjunta. Trabalhar a Aritmética antes da Álgebra pelo motivo de ser “mais fácil” não é um argumento aceitável e prejudicial. “Nossa leitura da produção de significados para a álgebra e para a aritmética sugere exatamente o contrário: é preciso começar mais cedo o trabalho com álgebra, e de modo que esta e a aritmética desenvolvam-se juntas, uma implicada no desenvolvimento da outra.” (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p. 11).
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A partir dessas dificuldades citadas, relativas à Educação Básica, busca-se entender qual seria o objetivo a ser atendido sobre esse tal tratamento da Aritmética e da Álgebra. Assim, os autores defendem que
O grande objetivo da educação aritmética e algébrica, hoje, deve ser o de encontrar um equilíbrio entre três frentes: i) o desenvolvimento da capacidade de pôr em jogo nossas habilidades de resolver problemas e de investigar e explorar situações; ii) o desenvolvimento de diferentes modos de produzir significado (pensar), o que poderíamos chamar de atividades de inserção e tematização; e, iii) o aprimoramento das habilidades técnicas, isto é, da capacidade de usar as ferramentas desenvolvidas com maior facilidade. (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p. 165).
Então, podemos estabelecer a relevância de trabalharmos a Aritmética e Álgebra concomitantemente. Nesse intuito, não podemos separá-las, as tratando como generalização uma da outra, pois são estratégias limitadas à finalidade da Educação Matemática. A forma tradicional prioriza técnicas de cálculos ao invés do desenvolvimento numérico limitando a reflexão dos alunos as estruturas matemáticas.
Em Cezar (2014) temos uma dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, que também aborda o MCS. Trata-se de uma pesquisa de cunho qualitativo que tem como intuito a análise da produção de significados matemáticos para a construção dos números reais, num processo de ensino e de aprendizagem. As ações desenvolvidas tiveram base na pesquisa-ação buscando desenvolver discussões, reflexões e intervenções entre todos os participantes do processo. Com uma pretensão de levar uma reflexão sobre os paradigmas que rodam a construção dos números reais, numa visão voltada para a formação de professores. Para tal, foi adotado o MCS na perspectiva da produção de analisar a produção de significados pelos professores e professores em formação dentro de uma abordagem de pesquisa-ação.
Em Marcarini (2017), a pesquisa se deu a partir da análise da produção de significados das enunciações dos atores dessa pesquisa, envolvidos nas práticas educativas desenvolvidas como atividade de campo. Essas práticas foram fundamentadas na Teoria da Atividade de Leontiev e foram direcionadas ao ensino de números com representação decimal.
Nesse processo foram estabelecidas três ações principais. São elas: (A1) uso de panfletos de supermercado; (A2) realizar medições com uso de fitilho; (A3) leitura e utilização de tabela
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nutricional. Sendo que, para cada uma dessas etapas, foram estabelecidas algumas ações e realizadas algumas operações.
A análise de cada uma dessas ações e operações se deu tomando como base os resíduos de enunciação dos atores da pesquisa no interior de cada uma das atividades. O procedimento adotado para as referidas análises, tomou como base o método de leitura local e de leitura global, tal como preconizado pelo MCS, analisando cada operação e cada ação desenvolvida nas práticas elaboradas e executadas. Esse processo de análise foi discutido e analisado em rodas de conversa, durante algumas plenárias do Gepemem.
Mesmo que o objeto de investigação em Marcarini (2017) não seja o mesmo de nossa pesquisa, indubitavelmente os procedimentos adotados, principalmente no que se refere ao uso do MCS e do estudo de caso como metodologia de pesquisa, foram de grande valia para pesarmos nas práticas que desenvolvemos e nos caminhos que trilhamos ao longo da produção de nosso texto.
Vale informar que as pesquisas que trouxemos neste item caracterizam-se como aporte teórico para a elaboração de nossas práticas.
4.2 NÚMEROS PARA PITÁGORAS
Pelo senso comum Pitágoras está associado à Geometria; todavia, a produção deste – que não se sabe ao certo se foi um ser biológico, mito ou lenda – vai além das formas e teoremas. Por exemplo, Santos (2010d [2000]), a gênese da Teoria dos Números está nos estudos aritméticos de Pitágoras (ou da Escola Pitagórica, ou dos pitagóricos, ou do Pitagorismo). Segundo Santos (2010b [2000]), para Pitágoras os números são, por assim dizer, o princípio, a fonte, a raiz de todas as coisas.
Os membros da Escola Pitagórica foram responsáveis por diversas contribuições, dentre elas, destacamos o desenvolvimento da Matemática, principalmente no que se refere às bases da chamada ciência moderna, segundo Santos (2010d [2000]), possibilitando consideráveis avanços em muitas outras áreas do conhecimento. Ainda Santos (2010d [2000]), destaca contribuições relativas às estruturas de pensamentos, pautadas nos postulados pitagóricos. “No entanto, o de que se não poderá duvidar é que a ciência, em geral, tende mais para os postulados
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pitagóricos do que se julga, desde que tenha uma visão reta e real do pensamento do grande filósofo de Samos.” (SANTOS, 2010d [2000], p. 206). Além disso, a obra em análise destaca que as contribuições do Pitagorismo, para nossa cultura, são muitas outras, enfatizando o tratamento sagrado para Matemática desde a perfeição das formas à harmonia dos ritmos e músicas e das relações geométricas do mundo.
Do espírito grego, vieram até nós essas contribuições que são genuinamente pitagóricas:
Espírito de Síntese e clareza na síntese;
realização, na obra de arte, da Beleza formal perfeita;
desenvolvimento e acabamento da Geometria como o modelo ideal de uma síntese fundada sobre axiomas e sobre o encadeamento de deduções lógicas inatacáveis (axiomáticas);
o estabelecimento da teoria dos "números", sendo todo o Universo "regido pelo" ou "arranjado" segundo os Números;
conceitos de proporção e de ritmo, derivados das duas disciplinas submencionadas (teoria das formas e teoria dos números e aplicadas à pesquisa da Beleza);
teoria da harmonia musical;
concepção harmônica dos Cosmos. (SANTOS, 2010d [2000], p. 210, grifos do autor).
Essas contribuições deram-se pela forma de como escola pitagórica se organizava. As chamadas Artes Liberais eram compostas por quatro principais matérias: a Aritmética, a Música, a Geometria e a Astronomia, que passaram a constituir o quadrivium que, em composição como trivium (Gramática, Lógica e Retórica), se tornaram as conhecidas Sete Artes Liberais.
Os pitagóricos dividiam os assuntos matemáticos em quatro seções: os números absolutos ou a Aritmética; os números aplicados ou a Música; as grandezas no estado de repouso ou a Geometria, as grandezas em movimento ou a Astronomia. Êsse “quadrivium” foi durante muito tempo considerado como constituindo um curso mínimo para uma instrução liberal3. (TAHAN, 1967 [1959], p. 78-79, grifos do texto,
ipsis litteris).
Segundo Boyer (1978 [1974]), a Matemática deu um salto qualitativo, no que diz respeito à sua posição enquanto ciência dedutiva, na época de grandes matemáticos como, por exemplo, Thales e Pitágoras. Até hoje existe os debates quanto à existência ou não do matemático e filósofo Pitágoras de Samos, o que não diferencia em nada as contribuições da Escola Pitagórica e do Pitagorismo para a evolução da Matemática.
3 Cf. BALL, H. Acrescenta F. A. Vasconcellos: “A Pitágoras deve-se também o conceito geométrico de espaço, como ente contínuo, ilimitado, o estudo e construção dos poliedros regulares e dos polígonos. Além disso, pelo estudo das propriedades das figuras, traduzindo-se por meio das relações entre números em relação com a Geometria, chegou à noção de número irracional e às grandezas incomensuráveis.” (VASCONCELLOS, H., 158) (Nota do autor).
39 Os pitagóricos constituíam-se como uma fraternidade religiosa e mística, uma escola iniciática onde os neófitos dividiam-se em esotéricos e exotéricos e, nessa fraternidade, atribuía-se toda existência como originada e mantida a partir dos números. Foram responsáveis por terem criado a definição dos números pares e ímpares, bem como teoremas envolvendo esses números. (DUTRA, 2020, p. 45).
A escola Pitagórica contribuiu de muitas formas para a transformação da Matemática, destacando, dentre outros trabalhos, o famoso teorema de Pitágoras, onde, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Contudo, existem muitos outros estudos que foram desenvolvidos por eles, dos quais destacamos suas contribuições para o desenvolvimento da escala musical e da teoria das harmonias (PICKOVER, 2009; GUNDLACH, 1992), da Teoria dos Números (DOMINIGUES, 2017 [1991]; DUTRA, 2020) e, no que se refere ao foco do nosso trabalho, à Aritmética Pitagórica, especificamente no que diz respeito aos números figurados ou números poligonais (DUTRA, 2020).
Os números figurados são sequências numéricas que se formam a partir da sucessão de polígonos, ou seja, as sequências teriam por base uma formação poligonal (Figura 1). Nesse contexto, a Aritmética e a Geometria estão se relacionando de forma direta. Fazendo uso dessa ideia, de sequências numéricas, podemos estabelecer relações, não só com polígonos, mas também com poliedros, ou seja, podemos ter sequências numéricas que têm por base figuras de terceira dimensão (Figura 3). Nessa perspectiva, podemos estabelecer relações sequenciais entre os números figurados de segunda e de terceira dimensão (Figura 4). Tomando como o foco da nossa pesquisa os números triangulares (segunda dimensão) e os números tetraédricos (terceira dimensão).
4.2.1 História dos números figurados
Como já mencionado, a Escola Pitagórica foi responsável por muitas contribuições. A crença no misticismo dos números foi responsável pela observância e análise do desenvolvimento de demasiados padrões numéricos, tais como, números pares e ímpares, números amigáveis, números felizes, números defeituosos e também os números figurados (TAHAN, 1972 [1965]; MELLO E SOUZA, 1939).
Utilizando-se de relações aritméticas e geométricas, sequências numéricas foram sendo formadas.
40 Todos os números, ou seres, teriam evoluído a partir do Um. Os números divididos em tipos associados a diferentes tipos de coisas. Para cada tipo, havia um primeiro, ou menor número, considerando sua “raiz”. As relações entre os números não representavam, portanto, uma cadeia linear na qual todas as relações internas eram semelhantes. Casa arranjo designava uma ordem distinta, com ligações próprias. Daí o papel dos números figurados na matemática pitagórica. Esses números eram, de fato, figuras formadas por pontos, como as que encontramos em um dado. Não é uma cifra, como 3, que serve de representação pictórica para um número, mas a delimitação de uma área constituída de pontos, como uma constelação. (ROQUE, 2014 [2012], p. 105).
Ao analisarmos os padrões dos diversos números figurados podemos observar que, em todos os casos, o termo de primeira ordem é sempre o número um (1). Isso era motivado pelo misticismo que a Escola Pitagórica cultuava nas relações entre os números e o mundo. Nessa relação o número um (1) era tido como o princípio criador, a mônada4, de tal maneira, que todas
as sequências de números figurados tinham como princípio o primeiro termo sendo um (1) e a partir dele as sequências são formadas de acordo com o padrão geométrico analisado. (DUTRA, 2020; ROQUE, 2014 [2012]; MELLO E SOUZA, 1939; TAHAN, 1972 [1965]).
No livro, A Teoria dos Números Figurados na Ciência Antiga & Moderna (ALMEIDA, 2002), temos acesso a muita informação sobre a origem das ideias a respeito desses números. A partir de nossas leituras desse texto, observamos que os primeiros números figurados a serem discutidos foram os de segunda dimensão; dentre esses, o primeiro foi os números triangulares (Figura 2). Esses números, como todos os outros, se caracterizam pelo seu crescimento gnomônico, que seria nesse caso, a unidade geradora, ou seja, o padrão que mantém a forma do polígono de um termo para o seu sucessor.
Como uma prova...os pitagóricos se referem ao que acontece com a adição de números; pois quando números ímpares são adicionados a um número quadrado eles o mantém quadrado e eqüilateral....Números ímpares são, de acordo, chamados gnômons porque, quando adicionados aos que são já quadrados, eles preservam a forma quadrada... Alexandre [Alexandre de Afrodisias, viveu no século III] tinha magnificamente dito, quando explicando a frase "quando gnômons são colocados ao redor", que [isso] significava "fazendo uma figura" com os números ímpares"... pois isso é a prática dos pitagóricos para representar coisas em figuras. (HEATH, 1956, vol. I, p. 359, – ipsis litteris, apud ALMEIDA, 2002, p. 80).
As primeiras ideias sobre números figurados de terceira dimensão, ou simplesmente números poliedrais, podem ser encontradas no capítulo XIII da obra intitulada Introdução à Aritmética,
