ARPES ´e o m´etodo para se estudar a estrutura eletrˆonica de s´olidos usando o efeito fotoel´etrico [182,183]. Um raio de luz monocrom´atico de energia hν, proveniente de uma fonte de radia¸c˜ao sincrotrˆonica, incide na amostra e fotoexcita os el´etrons para o v´acuo. Este fotoel´etrons s˜ao coletados em um analisador eletrost´atico que mede sua energia cin´etica em fun¸c˜ao dos angulos (ϑ, ϕ) relativos a superf´ıcie da amostra como visto na figura 49. Desta maneira o vetor de onda ( ~K = ~p~) dos fotoel´etrons no v´acuo s˜ao determinados via:
Kx = 1 ~
√
2mEkinsin(ϑ) cos(ϕ) Ky = 1
~ √
2mEkinsin(ϑ) sin(ϕ) Kz = 1~
√
2mEkincos(ϑ).
Figura 49: Geometria de um experimento de ARPES. A emiss˜ao de el´etrons pela fonte ´e especificada pelos ˆangulos polar ϑ e azimutal ϕ, em seguida os fotoel´etrons emitidos da amostra s˜ao coletados em um analisador eletrost´atico.
Pela conserva¸c˜ao de energia podemos relacionar a energia cin´etica com a energia de liga¸c˜ao EB:
Ekin= hν − W − |EB|, (C.2)
onde W ´e a fun¸c˜ao trabalho do material. Sabe-se que devido `a simetria translacional na superf´ıcie da amostra, a componente paralela do momento ´e conservada num processo de fotoemiss˜ao logo para Kk = (Kx, Ky, 0) temos:
|Kk| = ~1p2mEkinsin(ϑ). (C.3)
Por outro lado, a componente do momento perpendicular K⊥ n˜ao ´e conservada, por´em pode ser obtida por m´etodos mais finos apesar da t´ecnica ser mais utilizada para su- perf´ıcies.
C.1.1 Arpes com spin
Devido ao acoplamento spin ´orbita, a distribui¸c˜ao do espalhamento de el´etrons por n´ucleos pesados ´e anisotr´opica, o que ´e chamado de espalhamento Mott. O design do detector de spin Mott ´e baseado neste efeito [184].
Para raios de el´etrons com polariza¸c˜ao ~P = (2
~)(hSxi, hSyi, hSzi), a se¸c˜ao de choque ´e dada pela equa¸c˜ao:
Com ˆangulo de espalhamento Θ, intensidade de el´etrons I(Θ), fun¸c˜ao de Sherman S(Θ) que ´e determinada pelo n´umero atˆomico Z, ˆangulo de espalhamento e energia do raio incidente, e o vetor unit´ario ˆn perpendicular ao plano de espalhamento definido por:
ˆ
n = ~ki× ~kf |~ki× ~kf|
, (C.5)
onde ~ki e ~kf s˜ao vetores de onda dos el´etrons iniciais e finais, e a dire¸c˜ao ˆn depende do fato do espalhamento ser para a direita ou esquerda. A medida da componente de polariza¸c˜ao de spin acontece da seguinte maneira. Incide-se um raio de N el´etrons com N↑ polarizados em +ˆz e N↓ polarizados em −ˆz cuja polariza¸c˜ao ´e dada por Pz =
N↑−N↓ N↑+N↓. Quando o espalhamento deste raio acontece devido a um n´ucleo no plano xy, haver´a uma assimetria de espalhamento esquerda-direita Az(Θ) vista na equa¸c˜ao:
Az(Θ) = NL− NR
NL+ NR, (C.6)
onde NL e NR s˜ao os n´umeros de el´etrons espalhados para a direita ou esquerda atrav´es de um ˆangulo Θ. Substituindo as rela¸c˜oes NL ∝ N↑[1 + S(Θ)] + N↓[1 − S(Θ)] e NR ∝ N↑[1 − S(Θ)] + N↓[1 + S(Θ)] obtemos a rela¸c˜ao:
Pz = Az(Θ)
S(Θ) . (C.7)
Esta ´ultima equa¸c˜ao mostra que dada a fun¸c˜ao de Sherman, a medida de Az(Θ) nos pro- porciona Pz. Em um polar´ımetro, ´e poss´ıvel medir duas componentes de spin ortogonais de um raio de el´etrons se arranjarmos quatro detetores em dois planos de espalhamento ortogonais de frente ao alvo.
Ap ˆendice
D
C´alculo de Z2
no formalismo de ondas planas
A maneira mais simples de se saber se um isolante topol´ogico ´e do tipo Z2, ´e calculando seu invariante topol´ogico. A formula¸c˜ao do invariante Z2 ´e muito similar ao n´umero de Chern visto no corpo da tese, o qual descreve o QHE pela teoria de polariza¸c˜ao proposto por Resta [185]. Aqui a diferen¸ca ´e que a SOC ter´a o mesmo papel que o campo magn´etico no QHE. Antes de abordar os detalhes dos c´alculos ´e necess´ario lembrar que existem algumas regras para que o Z2 tenha sentido e possa ser calculado.
• O material tem que possuir TRS, caso contr´ario as opera¸c˜oes matem´aticas para elabora¸c˜ao do Z2 n˜ao podem ser feitas. Logo, termos magn´eticos na Hamiltoniana s˜ao proibidos.
• Devido a abordagem adiab´atica, no sentido que n˜ao pode haver mudan¸cas bruscas da fun¸c˜ao de onda ao longo da zona de Brillouin, o material tem que possuir gap. Isto significa que um TI com gap em 3D (2D), apresentar´a um estado met´alico topologicamente protegido na superf´ıcie 2D (borda 1D).
• ´E uma propriedade de bulk, ou seja todos os c´alculos s˜ao feitos para apenas estados ocupados.
Nesta se¸c˜ao iremos mostrar duas maneiras diferentes de se calcular este invariante no formalismo de ondas planas. Iremos focar na avalia¸c˜ao do invariante, e n˜ao na f´ısica por tr´as deste que est´a descrita no corpo da tese.
D.1
Metodologia
Para a avalia¸c˜ao do invariante Z2 nosso c´alculos foram baseados em DFT [32,34], usando o m´etodo do pseudopotencial, como PAW [59,60], para descrever as intera¸c˜oes entre ion e el´etron. A fun¸c˜ao de troca-correla¸c˜ao foi calculada na aproxima¸c˜ao PBE [46] como implementado no c´odigo computacional VASP [30]. Os orbitais de Kohn-Sham foram expandidos em uma base de ondas planas com um corte em energia de 30% superior ao valor m´aximo recomendado de forma a ter uma boa descri¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda. A zona de Brillouin deve conter todos TRIM, ou seja pontos no qual existe um vetor da rede rec´ıproca que leva ele a ele mesmo. Incluindo a SOC podemos escrever as fun¸c˜oes de onda de Bloch como:
Ψn,~k(~r) ="ψ ↑ n,~k(~r) ψn,~↓k(~r) # , (D.1)
onde cada entrada tem o formato da equa¸c˜ao: ψn,~σk(~r) = √1 Ω X j Cn, ~σK je i(~k+ ~Kj)·~r. (D.2)
Sendo Ω o volume da c´elula unit´aria, Cσ
n,~k, ~Kj s˜ao os coeficientes da expans˜ao, σ e n s˜ao
os ´ındices de spin e banda, ~k ´e o ponto da rede rec´ıproca e ~Kj ´e j-´esimo vetor da rede rec´ıproca com j um loop sobre todos os termos da expans˜ao at´e |~k + ~Kj| ≤ Kmax onde Kmax ´e o vetor de corte consistente com a energia de corte.