Topologia ´e um ramo antigo na matem´atica. Pelo teorema de Gauss-Bonnet existe uma rela¸c˜ao entre a integral de superf´ıcie da curvatura gaussiana K, feita sobre a su- perf´ıcie geometrica de um objeto M , e o chamado g de genus conhecido como n´umero de enrolamento, dada pela equa¸c˜ao (3.1) que classifica as superf´ıcies por sua topologia. Desta forma como visto na figura 3uma rosca e uma esfera possuem g = 1 e g = 0 e n˜ao existe uma transforma¸c˜ao que leve de uma at´e a outra sem que se rompa a superf´ıcie.
Z
MKdA = 2 − 2g.
(3.1)
Analogamente nos TIs suas fun¸c˜oes de onda descrevendo os estados eletrˆonicos que geram o espa¸co de Hilbert tem uma topologia n˜ao trivial tamb´em descrita por um invariante. Esta ´ultima caracter´ıstica ´e um atributo de sistemas com gap, e para que a topologia mude, o gap tem que fechar. Uma importante consequˆencia de uma topologia n˜ao tri- vial associada `as fun¸c˜oes de onda de um isolante ´e que estados met´alicos de interface necessariamente ir˜ao surgir.
(a)Esfera com genus = 0. (b)Rosca com genus = 1.
Figura 3: (a)-(b) Representam duas superf´ıcies que diferem topologicamente por seu genus, sendo 0 para a esfera e 1 para a rosca. Imagem da referˆencia [62].
Nesta tese e neste cap´ıtulo o interesse ´e voltado para os isolantes topol´ogicos do tipo Z2, ou seja descritos por um invariante chamado Z2, cuja topologia n˜ao trivial adv´em da forte intera¸c˜ao spin ´orbita. Tal invers˜ao de bandas no material devido a intera¸c˜ao spin ´orbita n˜ao existe no v´acuo, logo um estado met´alico caracterizando a invers˜ao deve ocorrer na superf´ıcie ou borda deste material. Al´em disso nestes materiais na borda ou superf´ıcie a TRS (Time Reversal Symmetry) proporciona uma textura ´unica de spin vista na figura 4, na qual a f´ısica relativ´ıstica de f´ermions de Dirac torna-se importante. Para
(a)QSHE em 2D. (b)QSHE em 3D.
Figura 4: (a) Representa¸c˜ao esquem´atica do espa¸co real (painel acima) e do espa¸co rec´ıproco (painel abaixo) de (a) um isolante topol´ogico em 2D e (b) um isolante topol´ogico em 3D. Imagem da referˆencia [63].
o entendimento desta nova ´area topol´ogica Z2 e seus invariantes ´e importante estudar o papel da simetria de revers˜ao temporal para part´ıculas de spin 1
2.
3.1.1 Operador revers˜ao temporal e Teorema de Kramer
A aplica¸c˜ao do operador do TRS ´e uma opera¸c˜ao que representa mais especificamente invers˜ao de movimento. Classicamente uma part´ıcula sujeita a uma for¸ca que fa¸ca com que ela caminhe para direita, ao reverter o movimento ou seja t′ → −t′ temos que a mesma part´ıcula se mover´a para a esquerda ou seja ~p|t=t′ → −~p|t=−t′ sendo ~p momento
linear da part´ıcula.
Quanticamente para part´ıculas de spin 12 temos que o operador Time-Reversal, Θ ´e antiunit´ario e representado por:
Θ = e−iπSy~ K = −iσyK. (3.2)
Aqui K ´e um operador que aplicado em um n´umero complexo retorna o complexo conju- gado, e Sy o operador momento angular de spin na dire¸c˜ao ˆy e σy ´e a matriz de Pauli na dire¸c˜ao ˆy. Nesta simetria alguns operadores podem ser par ou ´ımpar. Aqui analisaremos dois deles, o operador de momento e o de spin. O momento ´e impar sob revers˜ao temporal como descrito na seguinte equa¸c˜ao:
Θ~p Ψ1 Ψ2 ! Θ−1 = iσyK~p Ψ1 Ψ2 ! iσ−1 y K−1, = 0 1 −1 0 ! −~ i∇Ψ1 0 0 ~ i∇Ψ2 ! 0 −1 1 0 ! , = − ~ i∇Ψ1 0 0 −~ i∇Ψ2 ! = −~p Ψ1 Ψ2 ! . (3.3)
Para o spin vamos olhar apenas o caso de Sx, pois o tratamento ´e an´alogo nas outras dire¸c˜oes. E assim como visto na equa¸c˜ao (3.4) o spin ´e ´ımpar sob esta simetria.
ΘSxΘ−1 = ~
2(−i)σyKσx(−i)σ −1 y K−1 = ~ 2(−i) 2σyσxσ−1∗ y = − ~ 2σx = −Sx. (3.4) Desta forma a corre¸c˜ao devido a intera¸c˜ao spin ´orbita 2m2c21 S · (∇V × ˆp), que possui~ dois operadores cujos autovalores s˜ao ´ımpares sob revers˜ao temporal, ´e invariante sob
esta simetria. Sabendo disso vamos olhar qual v´ınculo criamos em uma hamiltoniana peri´odica (com spin ´orbita) invariante sobre simetria de revers˜ao temporal. Vimos que em um sistema peri´odico podemos reescrever a equa¸c˜ao energ´etica de autovalores da seguinte forma:
H|φn~ki = en~k|φn~ki, (3.5)
no qual pelo teorema de Bloch temos:
|φn~ki = ei~k·~r|un~ki, (3.6) onde |un~ki s˜ao autoestados da hamiltoniana de Bloch (Hamiltoniana no espa¸co de mo- mentos), vista na equa¸c˜ao (3.7).
H(~k) = e−i~k·~rHei~k·~r. (3.7) Agora se [Θ, H] = 0, o que n˜ao ´e verdade se H cont´em termos magn´eticos, H(~k) satisfaz a seguinte condi¸c˜ao:
H(−~k) = ΘH(~k)Θ−1. (3.8)
Esta identidade significa que as bandas de um sistema que obede¸ca a TRS vem em pares, chamados de pares de Kramer. Esta simetria tamb´em ´e respons´avel pela ausˆencia de retroespalhamento nestes materiais como visto no apˆendiceE. Um elemento importante ´e a existˆencia de pontos especiais ~k = Γi na borda da zona de Brillouin onde −Γi = Γi+ ~G, sendo ~G um vetor da rede rec´ıproca. Nestes pontos chamados de TRIM (Time Reversal Invariant Momenta), os autoestados s˜ao Kramer degenerados como visto na figura 5. Existem duas maneiras poss´ıveis de conectar na estrutura de banda os TRIMs, nos quais a degenerescˆencia de Kramer ocorre. O primeiro chamado de STI (Strong Topological Insulator ), e o outro de WTI (Weak Topological Insulator ). Isso porque no WTI podemos dop´a-lo de maneira que seu n´ıvel de Fermi fique em uma regi˜ao sem estados, o que corresponderia a um isolante trivial, o que n˜ao seria poss´ıvel no caso do STW.
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E a mudan¸ca na polariza¸c˜ao de “revers˜ao temporal”, definida por Kane e Mele [5] e descrita na forma de um invariante Z2 em se¸c˜oes posteriores, entre cada TRIM da zona de Brillouin que determina de que maneira os estados degenerados de Kramer se conectam.
(a)Isolante trivial. (b)Isolante topol´ogico.
Figura 5: Degenerescˆencia de Kramer, onde ambas as figuras possuem uma dupla degene- rescˆencia em Γa e Γb. Na figura da esquerda a banda intercepta um n´umero par de vezes o n´ıvel de Fermi formando um WTI (Weak Topological Insulator). Na figura da direita a banda intercepta um n´umero ´ımpar de vezes o n´ıvel de Fermi formando um STI (Strong Topological Insulator). Imagem da referˆencia [62].