Propagação de Erros (Medições Indiretas)

Aprendemos até agora como estimar o erro de uma grandeza obtida através de uma medição direta. Mas como faremos para estimar os erros de grandezas obtidas indiretamente?

Por exemplo, no capítulo anterior vimos que a Largura L e a altura H de uma folha de papel são obtidas diretamente. Mas se perguntarmos a área A ou o semiperímetro P, essas grandezas terão que ser obtidas indiretamente através de cálculos matemáticos:

A = L .H P = A +L

Nesses casos como estimaremos o erro da área e do semiperímetro?

8.3.6.1. Propagação do Erro através de Produto e Divisão.

Iremos então estimar o erro da Área. Sabemos que tanto a largura quanto o comprimento possuem suas estimativas de erro e um valor médio:

∆ e ∆ Mas também sabemos que

.

E queremos encontrar o valor médio da área ( ̅) e a estimativa do seu erro (_{∆ ):} ̅ ∆

Então,

.

∆ . ∆ . ∆ . ∆ ∆ . ∆

Sabemos que tanto o ∆ quanto o ∆ devem ser muito pequenos. Quanto multiplicamos dois números pequenos o resultado é ainda menor. Assim, podemos desprezar o termo ∆ . ∆ e considerar que a área será:

Portanto, . ∆ . ∆

.

( .

. )

A

L H

L H

H L



   _{}

Vamos agora analisar o erro relativo da área:

. . A L H H L A A  _    . . . A L H H L A L H  _    A L H A L H  _ _

Assim, percebemos que o erro relativo do resultado é a soma dos erros relativos dos fatores. E essa será a regra que utilizaremos para fazer propagação de incertezas que envolvam operações de produto e divisão.

Assim, se uma grandeza N é definida por:

. . … . . … Então o seu valor médio será:

. . … . . …

E a estimativa do erro poderá ser obtida por:

∆ ∆ ∆ ∆

⋯ ∆ ∆ ∆ ⋯

Agora, vamos aplicar estes conceitos no exemplo do cálculo da Área com os dados do Tópico 8.2.3 (Seria interessante ler rapidamente novamente este tópico para comparar com o que faremos agora).

Lado Medição Instrumento Utilizado Erro da Medição Largura (L) 20,95 cm Régua Milimetrada 0,05 cm

Altura (H) 29,8 cm Régua Centimetrada 0,5 cm

Observemos que neste experimento como as medidas da Largura e da Altura não apresentaram dispersão significativa, o erro de cada medida é igual ao erro do instrumento, ou seja, igual a metade da menor divisão.

̅ _{, . , ,}

Vamos agora calcular a estimativa do erro:

∆ ∆ ∆ ∆ , , , , , ∆ ,

Mas como o erro só pode ter um algarismo significativo

∆

Logo,

Escrevendo em notação científica,

, , .

Notemos que o resultado obtido possui apenas 2 algarismos significativos, e essa quantidade foi determinado pelo erro. Mas, alguns autores afirmam que quando o algarismo do erro é 1 ou 2, é aceitável que o erro seja representado com dois algarismos significativos. Nesse caso o erro seria igual a 12 e não 10, e o valor médio seria escrito com três algarismos significativos (624). Porém, não iremos adotar este critério com o objetivo de simplificar as regras.

Também devemos perceber que para determinar a quantidade de algarismos significativos da resposta final não utilizamos a regra de usar a quantidade do fator mais pobre como fizemos no Tópico 8.2.3, pois essa regra só deve ser utilizada quando não formos efetuar a estimativa dos erros. Ou seja, quando fizermos a análise dos erros, será o erro que irá determinar com quantos significativos o valor médio deverá ser representado.

8.3.6.2. _{Propagação do Erro através de Soma e Subtração.}

Iremos agora estimar o erro do semiperímetro P. Sabemos que tanto a largura L quanto a altura H possuem suas estimativas de erro e um valor médio:

∆ e ∆ Mas também sabemos que

Queremos encontrar o valor médio do Semiperímetro ( ) e a estimativa do seu erro (∆ ): ∆ Então, ∆ ∆ ∆ ∆

Então teremos 4 possibilidades, vamos listá-las em ordem decrescente

∆ ∆ (1ª)

∆ ∆ (2ª)

∆ ∆ (3ª)

∆ ∆ (4ª)

Para ser exato não temos como saber se a 2ª realmente é maior do que a 3ª, mas com certeza a primeira é a maior e quarta é a menor. Assim, podemos assumir que o erro será a metade da diferença entre a maior e a menor possibilidade:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

E o valor médio será a média aritmética dos 4 valores possíveis:

∆ ∆ ⋯ ∆ ∆

Assim,

∆ ∆ ∆

Assim, podemos generalizar: o erro do resultado de somas ou diferenças sempre será a soma dos erros.

Assim, se uma grandeza N é definida por:

⋯ ⋯

Então o seu valor médio será:

E a estimativa do erro poderá ser obtida por:

∆ ∆ ∆ ∆ ⋯ ∆ ∆ ∆ ⋯

Agora, vamos aplicar estes conceitos no exemplo do cálculo do Semiperímetro com os dados do Tópico 8.2.3.

Lado Medição Instrumento Utilizado Erro da Medição Largura (L) 20,95 cm Régua Milimetrada 0,05 cm

Altura (H) 29,8 cm Régua Centimetrada 0,5 cm

Observemos que, neste experimento, como as medidas da Largura e da Altura não apresentaram dispersão significativa, o erro de cada medida é igual ao erro do instrumento, ou seja, igual a metade da menor divisão.

, , ,

Vamos agora calcular a estimativa do erro:

∆ ∆ ∆

∆ , ,

∆ ,

Mas como o erro só pode ter um algarismo significativo. Nesse caso devemos aproximar para 0.5 ou 0.6. O valor 0.55 está exatamente no meio. Sempre que isso ocorrer iremos adotar a regra de aproximar para cima. Portanto,

∆ ,

Logo,

Também há um erro na representação acima pois o erro precisa incidir no último algarismo do valor médio. Assim, devemos aproximar 50,75 para 50,8 ou 50,7. Como novamente está bem no meio, aproximaremos para cima:

, ,

Escrevendo em notação científica,

, , .

Notemos que o resultado obtido possui apenas 3 algarismos significativos, e essa quantidade foi determinado pelo erro. Mas, devemos notar que esse resultado está coerente com a regra dos algarismos significativos que vimos no Tópico 8.2.4.2. Por essa regra, ao efetuarmos a soma, os algarismos sublinhados 5 e 8 são duvidosos. Como o 5 é duvidoso, o 5 da resposta final será também Como o 8 é duvidoso, o 7 da resposta final também será.

20,95 29,8 50,75   

Assim, percebemos que o 7 e o 5 na resposta final são duvidosos. Como só pode haver um, temos que aproximar este resultado para que fique apenas com um duvidoso.

50,75cm50,8cm

Portanto percebemos que as duas abordagens estão em coerência. Mas é importante lembrar que as regras dos algarismos significativos só devem ser utilizadas quando não for feita a estimativa dos erros, tendo em vista que o erro já determinará a quantidade de algarismos significativos que o resultado deverá ter.

8.3.6.3. Propagação do Erro Utilizando o Gráfico

Em funções mais complicadas, podemos estimar a propagação do erro através do gráfico. Por exemplo, imaginemos que temos uma função f(x) que depende apenas de x. Se já tivermos o erro ∆ de um ponto x0, poderemos estimar o erro ∆ .

Conhecendo a curva da função, podemos graficamente expressar o erro do x no gráfico e através da curva ver a sua projeção no eixo vertical, conforme ilustrado na figura acima.

Em linhas gerais, para estimarmos a propagação de erro de funções mais complexas é necessário a utilização de cálculo diferencial, o que foge do escopo deste trabalho.

8.4.

O Terceiro Passo: Gráficos e Linearização de Dados