Suponha que temos definido uma quantidade física por uma seqüência de inequívocas operações. Como se sabe, esta seqüência não é única necessariamente, já que muitas seqüências de operações podem definir uma mesma quantidade física. Por exemplo, a distância pode ser medida por uma trena, por um radar ou por triangulação óptica, e com alguns ajustes nas unidades de medição, podemos obter, a partir de todos esses procedimentos, essencialmente o mesmo resultado. Todavia, segundo o ponto de vista tradicional da definição operacional que apresentamos acima, cada conjunto de
procedimentos diferentes deveria definir uma quantidade física diferente, as quais, em princípio, deveriam ter, cada uma, um nome diferente.
Teoricamente, esta atitude parece ser perfeitamente correta. Porém, isto é extremamente inconveniente e impraticável. Esta visão, que não é muito popular entre os físicos, de forma nenhuma representa o modo pelo qual esses cientistas usualmente falam de quantidades físicas.
Segundo os autores supra citados, um modo mais usual de se definir quantidade física é identificá-la, grosso modo, com a classe de todos os procedimentos de medição diferentes, os quais resultam em um e o mesmo resultado para todas as medições, ou seja, uma quantidade física é definida pela classe de todas as suas possíveis definições operativas. Assim, é muito mais útil nos referirmos a uma definição operativa generalizada, que é o ponto de vista de quase todos os físicos, do que à idéia anterior de que cada forma de se medir algo produz, para o mesmo objeto, uma quantidade física diferente.
Desta forma (ibid., p. 151), um sistema físico 1será representado por todas as entidades físicas existindo e uma região espacial r = VT, na qual V é o ‘volume espacial’, onde existem tais entidades e T o intervalo de tempo considerado durante a existência dessas entidades físicas. Um procedimento LUá ser representado por uma seqüência de operações de medição realizadas sobre 14XDQGRé aplicado à 1WHPRV XPUHVXOWDGR 1 0DLVJHUDOPHQWHXPSURFHGLPHQWRGHPHGLGDSRGHVHUDSOLFDGRD diversas partes diferentes de um mesmo sistema físico 1 TXDQGRWHPRVSRUH[HPSORD medição de diferentes massas ou cargas em 1 UHVXOWDQGRDVVLPHPXPQúmero n de resultado diferentes, os quais serão indicados por (1) 1 (n) 1 8P
SURFHGLPHQWRé, assim, definido com UHVSHLWRD1TXDQGRHOHSRGHVHUDSOLFDGRHP1 resultando em um conjunto não vazio de resultados (1) 1 (n) 1
6XSRQKDTXHUHSUHVHQWHDFODVVHGHVLVWHPDVIísicos. Iremos chamar D classe de todos os procedimentos que são definidos sobre toGRVRVHOHPHQWRV1GH 6HMDPH¶GRLVSURFHGLPHQWRVGH H¶Vão equivalentes com respeito a VHH somente se:
D SDUDWRGR1SHUWHQFHQWHDDDSOLFDção de H¶SDUDDVPHVPDVSDUWHVGH1 resulta no mesmo número n GH UHVXOWDGRV (1) 1 (n) 1 H ¶(1) 1 ¶(n) 1
E 3DUD WRGRSDUGHHOHPHQWRV11, 12SHUWHQFHQWHVDSDUDRVTXDLV(i) 11) e (i) 12) representam resultados iguais (para todos os valores de i), também ¶(i) 11) e ¶(i) 12) representam resultados iguais.21
Assim, como é fácil ver, a relação acima definida é de equivalência sobre o conjunto dos procedimentos de medição. Ou seja, tal relação é reflexiva, simétrica e transitiva, de forma que chamando essa relação de R, para quaisquer ¶ ¶¶ pertHQFHQWHVD Wêm-se que:
5
5¶Æ¶5
5¶H¶5¶¶Æ5¶¶
Desta forma, tal relação especifica um conjunto de classes de equivalência Ca, CbFRQWLGDVHP RXVHMDREWHPRVRFRQMXQWRTXRFLHQWHGHSHODUHODção R, (5 ^&a, Cb, ...}. Por abstração, Ca, Cb definirão as quantidades físicas Qa, Qb, ... . ,QWXLWLYDPHQWHLVWRVLJQLILFDRVHJXLQWHé a classe dos sistemas físicos e DFODVVH dos procedimentos de medição sobre os elementos de $UHODção R, definida sobre VHQGRXPDUHODção de equivalência, particiona o conjunto HPVXEFRQMXQWRV Ca, Cb WDLV TXH GRLV HOHPHQWRV TXDLVTXHU H ¶ GH XPD PHVPD FODVVH GH equivalência Ci ‘fornecem’ os mesmos resultados na medição de um sistema físico de .
Segundo os autores (ibid., p. 151), podemos tomar como exemplo de procedimentos equivalentes a medição de temperatura da água por um termômetro de mercúrio ( H XP WHUPômetro de álcool (¶ “A water thermometer is instead not equivalent to (or ’) in this range, for the volume of water increases both above and below 4 oC; hence, one and the same result obtained with a water thermometer can correspond to two different results of the mercury (or alcohol) thermometer”.
Não obstante, uma observação se faz aqui importante. Como se sabe, em matemática, classes de equivalência distintas não têm elementos em comum. No entanto, em se tratando de nossas classes de experimentos de medição (às quais, segundo os autores que estamos acompanhando, tratamos como se fossem classes de equivalência stricto sensu), isso pode acontecer. Toraldo di Francia e Dalla Chiara ilustram o caso (ibid., p. 152): suponha que C1 inclua todos os procedimentos que
21 A noção de “resultado igual” é entendida aqui de um modo intuitivo. Por simplicidade, a distinção entre
podem dar iguais resultados para o comprimento L1 de um objeto no intervalo de 1m a 1km. A classe C2 inclui todos os procedimentos que podem ser aplicados e que dão iguais resultados para a distância L2 da Terra a qualquer objeto do sistema solar entre 105 e 1010km. É evidente que, apesar de C1 e C2 não coincidirem, uma vez que, por exemplo, a distância Terra-Lua não pode ser medida com uma fita métrica, a sua intersecção não é nula, já que ambas as distâncias podem ser medidas por triangulação óptica. Assim, é preciso um pouco de cautela para interpretar as ‘classes de equivalência’ do modo definido acima, e lembrar que estamos no domínio experimental, no qual a matemática se configura como sendo apenas uma ‘aproximação’. É, portanto, neste sentido que falaremos de intersecção não vazia no item a) da definição abaixo. (Veremos com mais detalhes este problema na próxima seção).
Podemos agora formular uma definição operacional generalizada de quantidade física (ibid.). Uma quantidade física Q é definida pela união C = ∪ {Ck} sobre o conjunto {Ck} de classes de equivalência dos procedimentos de medição, tal que:
a) o conjunto {Ck} é conexo, isto é, se {Ck} = F ∪ G e F, G Ø, então ∪ F ∩ ∪ G Ø;
b) cada Ck é definido sobre todas as bem determinadas classes k de sistemas físicos e kl para k l.
Desta forma, para os autores citados, uma quantidade física Q é definida com respeito a um sistema físico 1TXDndo a definição operacional de Q inclui a classe Ck de procedimentos associados à classe k de sistemas físicos e 1SHUWHQFHDk&RPR1 SHUWHQFHDXPk somente, e todos os procedimentos são equivalentes em Ck, podemos definir, de um modo formal e inequívoco, o resultadoGH4VREUH1FRPRVHQGRGDGR SRU4 1 1 RQGHUHSUHVHQWDTXDOTXHUXPGRVSURFHGLPHQWRVGH&k, associados à FODVVHk de sistemas físicos.