Nesta seção, vamos estudar mais uma vez o processo de radiação emitida por um circuito elétrico. Desta vez, entretanto, ao invés do circuito da Fig. (3.1), vamos considerar um circuito RLC com uma resistência R pequena [veja a Fig. (3.6)].
Figura 3.6: Nesta figura temos a representação de um circuito RLC circular de raio a, onde mostramos o capacitor radiando como um dipolo elétrico. O circuito como um todo e o indutor também emitem radiação (não mostrada) como dipolos magnéticos.
Nosso enfoque aqui será distinto. Vamos discutir a inclusão de um termo dissipativo na chamada Lei das Malhas, relativo à perda de energia na forma de radiação. Mais uma vez, obtemos em função dos parâmetros do circuito um valor para a resistência de radiação Rrad. É
interessante notar que a presente discussão, embora se restrinja ao circuito circular apresentado, pode ser estendida para o estudo de antenas, onde a manipulação da geometria da antena e da corrente que flui pela mesma é capaz de produzir circunstâncias onde a resistência de radiação Rrad predomina sobre a resistência ôhmica da antena [39]. Indicamos também nosso trabalho
original, onde a presente discussão é feita em maiores detalhes [52]. É importante destacar que os efeitos que discutimos aqui são conhecidos pelos engenheiros há um bom tempo, mas acreditamos que a discussão é enriquecedora para os físicos.
Antes de começarmos, vale à pena lembrar que a Lei das Malhas de Kirchhoff estabelece que, quando percorremos uma volta completa em um circuito, voltamos a encontrar o mesmo potencial elétrico, isto é,
X
Vi = 0 , (3.55)
onde Vi é a diferença de potencial entre os terminais de cada um dos elementos do circuito.
Deste modo, a evolução temporal da corrente I(t) que se estabelece num circuito pode ser determinada através da equação diferencial que surge da Eq. (3.55).
Para o caso do circuito RLC, a Eq. diferencial leva à uma corrente que Exibe um decai- mento temporal exponencial. Um circuito LC, por outro lado, apresenta uma corrente oscilante, que não decai.
Conforme veremos, se adicionamos na Lei das malhas um termo correspondente à perda de energia via radiação, conseguimos obter um pequeno decaimento em I(t) para um circuito LC, o que se observaria mesmo se utilizássemos fios supercondutores.
3.3.1
Mecanismos de dissipação
Além do efeito Joule, há diferentes mecanismos de dissipação que podem ser incluídos no circuito RLC, tais como as radiações de dipolos elétrico e magnético. Novamente o termo de dipolo elétrico está associado ao capacitor, enquanto que o termo de dipolo elétrico depende tanto do circuito como um todo quanto do indutor.
O termo de efeito Joule é velho conhecido. Este efeito estabelece que quando um condutor é atravessado por uma corrente I, há uma transferência de energia irreversível que flui do condutor para o meio onde o condutor se encontra. A potência dissipada por um resistor de corrente R atravessado por uma corrente I é dada por [15]
PR= RI2 . (3.56)
Para que possamos estudar o termo de dipolo elétrico, primeiramente escrevemos o valor do dipolo elétrico correspondente à carga separada entre as placas do capacitor,
~
p(t) = q(t) ~d , (3.57)
onde d é a distância entre as placas do capacitor (consideraremos por simplicidade um capacitor de placas paralelas novamente).
À medida que a corrente I(t) varia, o momento de dipolo elétrico p(t) também se altera, de modo que podemos incluir um termo de potência dissipada por este dipolo elétrico na zona de radiação (r a, onde a é o raio do circuito RLC), que é dada pela fórmula de Larmor.
PE =
µ0
6πc
h ¨p(t)~ i2
. (3.58)
Como ~p(t) oscila harmonicamente, esta quantidade pode ser facilmente calculada.
Por fim, estudando as contribuições de radiação de dipolo magnético, consideremos pri- meiro o circuito circular. Sabemos que um circuito circular gera um campo magnético corres- pondente ao campo de um dipolo magnético ~mM(t). A intensidade de ~mM(t) é dada por
mM = I(t)A , (3.59)
onde A = πa2é a área do circuito circular.
Já o termo associado ao indutor é dado por
mI = N I(t)A
0
, (3.60)
onde N é o número de voltas do indutor e A0 é a área de cada uma das voltas. Dependendo da razão entre , alteramos as importâncias das contribuições de ambos os termos. Mas em ambos os casos, a potência emitida pode ser calculada mais uma vez utilizando a fórmula de Larmor [15] PM = µ0 6πc3 ¨ ~ m(t)2 . (3.61)
De posse das Eqs. (3.58) e (3.61), nós podemos estender a Lei das Malhas de Kirchhoff, o que faremos na próxima seção.
3.3.2
Generalização da Lei das Malhas
Conforme discutimos anteriormente, o circuito RLC convencional leva à uma corrente que decai exponencialmente. Por outro lado, se consideramos um circuito LC, obtemos uma cor- rente que oscila eternamente, um resultado um tanto quanto artificial.
De modo a clarear esta questão, iremos considerar um circuito RLC circular de raio a (e área A = πa2), e com um pequeno valor para a resistência R. Associado à este circuito, temos
uma taxa de dissipação de energia devida às radiações de dipolo elétrico e magnético, dadas pelas Eqs (3.58) e (3.61) (esta última possui dois termos, veja a Eq. (3.59),
Prad = µ0 6πc3 ¨ ~ mI(t) 2 + µ0 6πc3 ¨ ~ mM(t) 2 + µ0 6πc h ¨p(t)~ i2 (3.62) nas unidade do S.I..
Se impusermos mais uma vez a conservação da energia acrescentando desta vez a fórmula da potência da Eq. (3.62) obtemos
RI2+ d dt LI2 2 + d dt Q2 2C = E I − Prad. (3.63)
É importante ressaltar que nós estamos negligenciando o efeito de retardação do campo emitido sobre a corrente elétrica que flui no circuito. Essa suposição é razoável, uma vez que o circuito é bem maior que o comprimento de onda da radiação emitida, conforme dissemos anteriormente.
Assim, se assumirmos que a corrente no circuito oscila na forma I(t) = I0e−γtcos ωt, onde
ω é a frequência da força eletromotriz externa, e γ é o termo de perda, todos os termos na Eq. (3.62) ficam na forma
Prad ∝
¨
I(t)2 ∝ I2. (3.64)
Isto nos permite concluir mais uma vez que os termos elétrico e magnéticos responsáveis pela radiação emitida pelo circuito são bastante similares à potencîa dissipada via efeito Joule (3.56), de modo que podemos mais uma vez obter a chamada resistência de radiação Rrad.
Para encerrar esta discussão, apresentamos na Fig. (3.7) o espectro de potência da radiação emitida pelo circuito RLC como função da frequência ω e a sua dependência com a resistência total do circuito RT = R + Rrad.
Caso o leitor interessado queira ver a comparação entre as diferentes contribuições dissipati- vas, bem como a derivação do espectro de potência mostrado na Fig. (3.7) indicamos novamente [52].
Figura 3.7: Aqui temos o espectro de potência como função da frequência ω.