Método numérico
4.4 Discretização do problema 1 Equação do movimento
4.4.2 Sequência de cálculo: motor engatado
A discretização no tempo da equação do movimento (Eq. 4.90) foi realizada pelo método de Euler, explícito de primeira ordem, com incremento fixo 24. Outros autores (Lan e Menendez, 2003; Huang, 2010) recorrem à discretização espacial do movimento (ver Equação 1.6), por ser de compatibilização mais fácil com o traçado. Contudo, essa abordagem aumenta a incerteza numérica a baixas velocidades 25. A discretização temporal referida é utilizada também nos códigos comerciais CarSim e TruckSim, desenvolvidos por Mechanical Simulation Corporation. Outros esquemas numéricos formam testados, designadamente de Runge-Kutta de Ralston de segunda ordem (ver Capítulo 3) e Euler adaptativo, com incremento no tempo proporcional ao produto da velocidade pelo inverso da aceleração { ∝ }. Este último procedimento otimiza a discretização da velocidade do motor (incremento de rotação uniforme).
As vantagens dos métodos de ordem superior, ao nível da incerteza numérica e ritmo de convergência, são bem conhecidas. De facto, são possíveis níveis de incerteza inferiores a 0,1% para avanços em posição da ordem do hectómetro. Porém, o efeito combinado da sobreelevação e da sinuosidade do traçado determinam uma flutuação do declive numa escala bem menor. O estudo deste aspeto obriga assim a uma discretização mais fina, com avanços no tempo da escala do segundo. Mas, nestas condições, os níveis de incerteza possíveis pelo método de Euler, quanto ao trabalho de propulsão ou velocidade média, são já inferiores a 0,1%. O benefício potencial decorrente da utilização de métodos de ordem superior revelou-se por isso escasso, face ao volume de cálculo acrescido. Quanto ao método adaptativo de Euler, constatou-se que o seu uso resulta numa taxa de convergência não uniforme, o que inviabiliza o recurso a técnicas de extrapolação, como a de Richardson (Lether,1966), para estimar o erro e assim prever os resultados finais. A causa parece dever-se à significativa não uniformidade do avanço em posição que resulta desta abordagem.
24 Excetuando naturalmente os períodos de passagem de caixa. 25
Note-se que por esta via o avanço no tempo é inversamente proporcional à velocidade. Por outro lado, quando esta é pequena, a aceleração é usualmente maior e as relações de transmissão mais curtas. A combinação destes aspetos produz incrementos desmesurados da velocidade do motor. A discretização da força de propulsão (não uniforme) resulta assim muito pobre. Repare-se que no arranque o gradiente longitudinal de velocidades é infinito, qualquer que seja a aceleração (não nula).
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Dito isto, a técnica mais simples foi aquela retida. A discretização da equação do movimento é assim, para o passo numérico j e velocidade de caixa n,
[ ] +1 +1 +1 √
Relembra-se que a parametrização do traçado se fez com base na posição escalar em planta. Consequentemente o incremento desta posição x vem afetado pelo cosseno da inclinação da via, definido a partir do seu declive na Equação (4.94). As expressões acima retratam fielmente um movimento uniformemente variado (com aceleração longitudinal , constante no intervalo ).
Assim, e em traços gerais, a sequência de cálculo pode assumir-se como subordinada apenas à velocidade de caixa a engrenar, ou manter, e à carga do motor a utilizar em cada instante, isto de acordo com um dado modelo de condução; adaptado a partir daquele descrito no relatório COST 346, páginas 50 a 52 (Sturm e Hausberger, 2005). Este modelo será detalhado na secção seguinte. Quanto ao binário de operação do motor , este definiu-se de modo a garantir uma determinada aceleração, dita de controlo . Sem prejuízo de outras condicionantes, decorrentes do modelo de condução ou de restrições de velocidade impostas pelo traçado, esta aceleração definiu-se em função da velocidade do veículo e do declive/posição (ver Secção 4.4.4). Importa ainda referir que o binário de operação está limitado superiormente, ou pela capacidade do motor, afeta do fator de carga { }, ou pelo binário de controlo , isto é,
I com,
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Repare-se que a sequência de cálculo descrita, patente na Figura 4.23, é um procedimento duplamente iterativo, no tempo e no escorregamento. Efetivamente, a aceleração em cada instante j depende do binário de operação e das perdas mecânicas na transmissão, logo da velocidade de rotação. Esta porém só fica definida uma vez estabelecido o valor do escorregamento (Equação 4.45). Mas este, por sua vez, depende também da aceleração (Equação 4.91).
Figura 4.23 – Sequência de cálculo das diferentes grandezas apresentadas. O modelo de condução MC
será discutido na Secção 4.4.4. Por conveniência de escrita, o subscrito k está omisso.
𝑎𝑐 𝑎 𝑣𝑎 𝑥 𝐹𝑅𝐺 𝐹 𝑣 𝑥 𝑚𝑟 𝑚 𝑛 𝜔 𝜔 𝑛 𝑣 𝑖𝑅𝐺 𝐹𝑅𝐺 𝐶𝑟𝑙 Iteração 𝑗, valores iniciais: {𝑛 𝜑 𝑖 𝑣 𝑣𝑎 𝑥}𝑗
𝐵𝑐 𝐵 𝑎𝑐 𝑠 𝑛 𝑣 𝜔 𝜔 𝜔 𝑖 Binário de controlo 𝐵𝑐 𝜑𝐵𝑒 𝐹𝑃𝐸 𝐹 𝜑 𝜔 𝑛 𝑎 𝐹𝑃𝐸 𝐹𝑅𝐺 𝑚𝑟 Aceleração efetiva 𝑖 𝑖𝑅𝐺 𝑚 𝑚𝑅𝐿 𝐶𝑟𝑙 𝑎 Atualização do escorregamento 𝑎 𝑎𝑐 Aceleração efetiva 𝐵𝑐 > 𝜑𝐵𝑒 |𝑖 𝑖| > Δ𝑖 𝑖𝑗+1 𝑖 𝑣𝑗+1 𝑣𝑗 𝑎𝑗 𝑡 𝑥𝑗+1 𝑥𝑗 𝑣𝑗 𝑣𝑗+1 Δ𝑡 √ 𝑠𝑗 𝑣𝑎 𝑗+1 𝑣𝑗+1 𝑖𝑗+1 {𝑛 𝜑}𝑗+1 𝑣𝑎 𝑥 𝑗+1 Atualização das variáveis: |𝑖 𝑖| Δ𝑖
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Esta sequência pode fazer-se mais expedita calculando diretamente a aceleração a plena carga 1 e limitando-a posteriormente à aceleração de controlo. Esta abordagem porém não reflete a realidade, não tendo sido implementada. Repare-se que esta preconiza uma ação direta sobre o efeito, a aceleração, em vez de sobre a causa, o binário, a força motriz do fenómeno físico. Esta questão será aprofundada na Secção 4.4. De um modo mais explícito, partindo da Equação (4.80) e seguintes, a aceleração do veículo para o binário operacional (Equação 4.95) e velocidade de caixa n, na iteração j e passo de cálculo k (relativo ao escorregamento longitudinal), é dada por,
[ ( )] com, ̇ ]
A grandeza retrata o momento resistente imposto pela carga auxiliar ̇ e pelas perdas por óleo na caixa , sendo a força resistente equivalente a essas mesmas perdas no diferencial, neste caso independentes da velocidade (Carlsson, 2008). Substituindo por na Equação (4.96), obtém-se o binário de controlo, com, ] ]
As perdas por óleo no diferencial e as forças resistentes atuantes no veículo, quando em movimento uniforme, impõem ao motor a carga . Por sua vez, a exigência de
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aceleração impõe a carga inercial { }, sendo que a constante de proporcionalidade mais não é do que um binário específico, por unidade de aceleração.
Neste ponto importa referir que a inclusão do binário resistente (Equação 4.96b) no ciclo secundário “k”, interno à iteração j, se deve apenas ao facto de a carga auxiliar e de as perdas por óleo na caixa dependerem da velocidade do motor, logo do escorregamento longitudinal. Esta dependência é no entanto muito ténue, uma vez que este binário é pequeno e resulta do produto de duas funções que evoluem em sentidos opostos (Equações 4.96b e 4.76) 26. Mais, em movimentos de estrada, a variação do escorregamento, a cada iteração j, é também muito pequena 27. Consequentemente, a velocidade de rotação a usar no cálculo dessas perdas pode ser obtida a partir do escorregamento determinado no passo anterior, sem que daí resulte um efeito mensurável nos resultados pretendidos, de velocidade média ou consumo quilométrico, por exemplo. A atualização do binário de controlo no seio do ciclo “k” pode assim ser evitada, agilizando-se deste modo o cálculo.
26
Tomando com exemplo a motorização média do camião pesado referido na Secção 4.3, é possível concluir (pelas equações 4.96b e 4.76) que a variação deste binário resistente é de -0,25 Nm por ponto percentual de flutuação da velocidade do motor, quando às 1500 rpm. Este valor cai para -0,18 Nm às 1900 rpm. Em ambos os casos a um erro em velocidade de 1% corresponde num desvio de apenas 0,01% do binário efetivo disponível (!).
27
De facto a variação do escorregamento à velocidade de cruzeiro ( 0), para cada iteração j, é ditada apenas pelo declive (s). Assim, pela Equação (4.91) obtém-se,
1 1 1 0
Já numa situação de arranque, por exemplo em patamar, com aceleração de partida, , limitada pelo coeficiente de atrito, , e pela fração de aderência, , esta escala depende essencialmente da taxa de variação da aceleração, uma vez que . Assim, substituindo a Equação (4.50) na (4.91), e desprezando a massa das rodas livres,
≅ 1 e 1 1 0
Os valores de referência assumidos acima, de escorregamento, coeficiente de atrito, fração de aderência, velocidade máxima e de raio vertical mínimo, são respetivamente: 0 0 0 000 .
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