TÓPICO 1 - JUROS SIMPLES
4.2 TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.
Exemplo :
Calcule o juro produzido pelo capital de R$ 2.000,00 aplicado:
a) à taxa de 4% ao mês durante 06 meses;
b) à taxa de 12% ao trimestre durante 2 trimestres.
Solução a:
J = C • i • n J = 2.000 • 0,04 • 6 J = 480,0
Solução b:
J = C • i • n J = 2.000 • 0,12 • 2 J = 480,0
Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que a taxa de 4%
ao mês e a taxa de 12% ao trimestre são taxas equivalentes. Logo mais você terá alguns exercícios para resolver, nos quais, primeiramente, você deverá achar a taxa proporcional para depois aplicar na fórmula de juros simples para resolver o problema.
Quando calculamos na fórmula, utilizamos a taxa proporcional com todas as casas decimais.
UNI
DICAS
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
Exemplo:
1 Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses a uma taxa de 25%
ao ano. Determine o juro obtido.
Solução pela fórmula:
Primeiro vamos descobrir a taxa proporcional mensal, pois o problema nos forneceu o dado em ano.
Taxa ano ÷ 12 = taxa mensal proporcional 25 ÷ 12 = 2,083333333% ao mês
Legal, achamos a taxa proporcional ao mês e agora temos que dividi-la por 100 para colocá-la na fórmula.
2,083333333 ÷ 100 = 0,020833333
Agora vamos aplicar os valores na fórmula:
J = C • i • n
J = 2.400 • 0,020833333 • 10 J = 499,9999999 ou 500,00
Solução pela calculadora HP 12C utilizando as teclas financeiras da calculadora:
F CLX 2400 CHS PV 25 i
300 n
f int visor 500,00
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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Na calculadora financeira deve-se digitar primeiro as teclas F e em seguida CLX para limpar as memórias da calculadora. Em seguida deve-se digitar o valor do capital, pressionar a tecla CHS para inserir o sinal negativo no valor e pressionar a tecla PV . Através desses comandos a máquina entende e armazena o capital. Digitamos em seguida a taxa em ano e pressionamos a tecla i e em seguida digitamos o tempo em dias e pressionamos a tecla n . A máquina vai armazenar a taxa e o tempo nas respectivas teclas. No final pressionamos a tecla f (segunda função) e em seguida a tecla i .
Através desses comandos a máquina calcula o valor dos juros simples comerciais. Importante citar que não é preciso seguir essa sequência para a máquina efetuar os cálculos. Primeiro poderia ser digitada a taxa, o tempo e depois o capital para a máquina calcular o valor dos juros. Essas teclas financeiras são independentes e não precisam ser digitadas sequencialmente.
Solução pela calculadora HP 12C utilizando a fórmula:
25 enter 12 ÷ 100 ÷ 2.400 X
10 x
Ao comandar na calculadora 25 enter 12 ÷ 100 ÷ , a calculadora acha a taxa proporcional ao mês e a divide por 100, encontrando o resultado 0,020833333. Em seguida, ao comandar 2.400 x , a calculadora multiplica o resultado anterior por 2.400, encontrando e deixando no visor o valor 49,99999999. Por fim, digitamos na calculadora 10 x e a calculadora multiplica o resultado anterior por primeiro, encontrando, por fim, o valor 499,9999999 ou arredondando para duas casas após a vírgula 500,00.
Lembre-se de que, ao calcular na calculadora financeira utilizando a função financeira, deve-se lançar a taxa em mês e o tempo em dia. Como utilizamos o calendário comercial => 10 meses · 30 dias = 300 dias.
Nos exercícios a seguir você perceberá que o tempo nos problemas pode estar em períodos, como, por exemplo: anos, meses e dias. Sugerimos que altere o tempo total e a taxa para dias, pois fica mais fácil para resolver. Lembre-se, estamos trabalhando com o calendário comercial (mês = 30 dias e ano = 360 dias).
DICAS
IMPORTANTE
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
Mais um exemplo para você entender melhor!!!
1 Calcule o valor do juro correspondente se aplicarmos um capital de R$
18.500,00 durante 2 anos, 4 meses e 10 dias a uma taxa de 36% ao ano.
Solução pela fórmula:
Primeiro deve-se passar a taxa anual para diária, ou seja, achar a taxa proporcional ao dia.
36
÷
360 = 0,10% ao diaAgora que a taxa proporcional diária foi encontrada é preciso dividir essa taxa por 100 para passar a taxa de percentual para decimal.
0,10
÷
100 = 0,001 Total de dias 850 diasAgora vamos aplicar os valores na fórmula:
J = C • i • n
Solução pela calculadora HP 12C utilizando a fórmula:
36 enter 360 ÷ 100 ÷ 18.500 x
850 x
Como você pode perceber, em 2 anos, 4 meses e 10 dias o capital de R$
18.500,00 rende somente de juros 15.725,00.
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Agora é a sua vez de praticar. Que tal fazer alguns exercícios?
AUTOATIVIDADE
1 Calcule o valor do juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00 a uma taxa de 18% ao ano durante 1 ano, 3 meses e 2 dias.
2 Calcule o valor do juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juros simples aplicados durante 2 anos e 4 meses e à taxa de 24% ao ano.
3 Calcule os juros produzidos por um capital de R$ 15.000,00 se aplicado à taxa anual de 3,75% ao bimestre durante 6 meses.
4 Uma aplicação de R$ 300,00 gerou juros de R$ 68,00 quando aplicada à taxa de 3% ao mês. Calcule por quantos dias esse recurso ficou aplicado.
5 Se Alberto investir R$ 4.000,00 durante 1 ano e 20 dias ele receberá somente de juros R$ 3.200,00. Sabendo essas informações, calcule a taxa diária dessa aplicação.
6 Calcule qual o capital que produz juros no valor de R$ 15.000,00 se aplicado à taxa trimestral de 3,25% durante 2 anos e 4 meses.
7 Calcule qual a taxa mensal necessária para que um capital de R$ 50.000,00 produza juros no valor de R$ 3.940,00 aplicados durante 2 anos e 43 dias.
8 Calcule por quantos dias deve ser aplicado o capital de R$ 100.000,00 para formar juros de R$ 10.800,00 se aplicado à taxa de 1,99% ao bimestre.
Muito bem!!! Agora que você já resolveu os exercícios, vamos continuar a matéria.
UNI
UNI
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
5 MONTANTE
O montante é a soma do capital inicial (PV) com o juro relativo ao período de capitalização, ou seja, é o capital aplicado somado ao juro acumulado do período em que o recurso foi aplicado.
MONTANTE = CAPITAL + JURO
Porém, existe uma fórmula para chegarmos direto ao resultado do montante.
Fórmula:
M = C (1 + i • n) Exemplos resolvidos:
Exemplo 1:
Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses e à taxa de 3% ao mês em juros simples?
Solução 1: fórmula do montante:
Observe que a taxa de juros foi informada mensal. Assim, basta apenas dividir por 100 e inserir o resultado encontrado na fórmula, pois o tempo está em meses.
M = C • (1 + i • n)
M = 28.000 • (1 + 0,03 • 15) M = 28.000 • (1 + 0,45) M = 28.000 • 1,45 M = 40.600,00
Solução 2: fórmula dos juros simples:
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Solução pela HP 12C. Fórmula dos juros simples:
3 enter
100
÷28000 x
15 x Visor 12.600,00
Após, é só somar o valor encontrado com o capital, ou seja, 12.600 enter
28.000 + Visor 40.600,00
Exemplo 2:
Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples?
Primeiro é preciso encontrar a taxa proporcional mensal, pois o problema informou a taxa anual e o tempo em meses. Então, o correto é dividir a taxa de 48%
por 12 meses e encontramos a taxa mensal proporcional.
48 ÷ 12 = 4% ao mês Essa é a taxa proporcional em mês.
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
4 ÷ 100 = 0,04 Essa é a taxa mensal dividida por 100 para inserir na fórmula.
Agora, aplicando os dados na fórmula, M = C • (1 + i • n)
14.800 = C • (1 + 0,04 • 18) 14.800 = C • (1 + 0,72) 14.800 = C • 1,72
Não foi utilizada a fórmula dos juros simples (J = C · i · n), pois não foi informado o valor do capital e também não foi informado o valor dos juros. Portanto, existiriam duas variáveis em aberto.
ERRO COMUM Note que na fórmula o valor que estava multiplicando dentro dos parênteses passou para o outro lado com a função inversa, ou seja, dividindo. Muitas pessoas erram esse cálculo por não saber utilizar direito o que aprenderam na matemática básica: “Se um valor está multiplicando de um lado, ele passará para o outro lado dividindo”.
Nesse caso, pela HP só podemos resolver pela fórmula, ou seja:
4 enter 100 ÷ 18 x1 + enter 14800 X ><Y
÷ IMPORTANTE
IMPORTANTE
14.800
C 8.604,65
= 1,72 =
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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Primeiro é preciso dividir a taxa 4% por 100 e em seguida resolver o que está dentro dos parênteses, ou seja, multiplicar 0,04 por 18 e em seguida somar 1 ao resultado da multiplicação anterior. Posteriormente deve-se pressionar a tecla enter para separar esse resultado anterior do próximo valor digitado a ser 14.800. Em seguida deve-se pressionar a tecla para a troca da posição de valores digitado, pois, caso contrário, seria dividido1,725 por 14.800. Ao pressionar a tecla x><Y a calculadora altera a ordem dos valores digitados e, por fim, deve-se pressionar a tecla de divisão para obter o resultado final da operação.
Exemplo 3:
Calcule por quantos meses deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00 a uma taxa de juros de 16% ao ano para obter um montante de R$ 8.320,00.
Solução pela fórmula do montante:
Como o problema pede para calcular o tempo em meses, é recomendável que você divida a taxa fornecida em ano por 12, pois assim é encontrada a taxa mensal proporcional.
16 ÷ 12 = 1,333333333% ao mês.
1,333333333 ÷ 100 = 0,013333333
Ou seja, 3 meses.
TÓPICO 1 | JUROS SIMPLES
Solução do mesmo exemplo pela fórmula dos juros simples:
Como o valor dos juros é a diferença entre o capital aplicado e o montante, e neste exercício são informados esses dois valores (Capital e Montante), ao fazer a subtração (8.320 – 8.000), pode-se obter o valor dos juros. Achando o valor dos juros (320) pode-se, assim, utilizar a fórmula dos juros simples para resolver esse cálculo, pois é mais fácil. Veja a seguir:
Calculando o valor dos juros:
J = M – C J = 8320 – 8000 J = 320
Em seguida deve-se aplicar os dados na fórmula dos juros simples:
Caso fosse inserida na fórmula a taxa anual, a resposta do tempo sairia também em anos (0,25) e no final do cálculo seria preciso multiplicar esta resposta de 0,25 por 12 para encontrar o tempo em meses correspondentes, ou seja, 0,25 anos x 12 = 3 meses.
Note que o valor do capital 8.000 estava multiplicando e foi passado para o outro lado dividindo. Depois o número 1, que estava somando, passou também para o outro lado subtraindo e, por fim, o valor 0,013333333, que estava multiplicando, passou para o outro lado dividindo, onde foi encontrado, no final, o valor de 3 meses.
IMPORTANTE
DICAS
J C i n
320 8.000 0,01333333 n 320 106,6666666 n
n 320 3
106,6666666
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= = meses
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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Como sugestão indicamos a leitura das páginas 19 a 31 do Livro MATEMÁTICA FINANCEIRA FUNDAMENTAL, escrito por Udibert Reinoldo Bauer, Editora Atlas, Edição 2003 . Acredito que ajudará a solidificar mais o conhecimento adquirido.
DICAS
RESUMO DO TÓPICO 1
Parabéns, acadêmico/a!
Você avançou mais uma etapa do Caderno de Estudos. Nesse tópico você aprendeu que os Juros Simples, como o nome diz, são realmente simples para calcular. Você estudou que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incidindo sobre os juros. Também apresentamos maneiras de como calcular o capital, a taxa e o tempo, exercitando bastante os conhecimentos adquiridos.
Em seguida exercitamos cálculos envolvendo o montante, que nada mais é do que a soma do capital com os juros do período de aplicação.
Enfim, você está uma “fera” em juros simples!
Parabéns mais uma vez !!!
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AUTOATIVIDADE
Faça os exercícios a seguir. São atividades que envolvem todo o conteúdo desse tópico.
1 Calcule durante quantos meses uma aplicação de R$ 200.000,00 rende um montante de R$ 240.000,00 se aplicada em juros simples e a taxa for 2,5% ao mês.
2 Calcule em quantos meses uma aplicação de R$ 26.250,00 pode gerar um montante de R$ 44.031,00 considerando uma taxa de 30% ao ano, em juros simples.
3 Determine o valor do capital inicial que, aplicado a uma taxa de 27 % ao ano em juros simples, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00.
4 Determine qual o capital que, aplicado durante 20 trimestres e a uma taxa de 3% ao mês em juros simples, rende R$ 62.640,00 de juros.
5 Calcule a que taxa anual deve ser aplicado o capital de R$ 48.500,00 para que acumule em 1 ano e 2 meses um montante de R$ 65.475,00, em juros simples.
6 Uma pessoa aplicou o capital de R$ 21.000,00 em um banco; em 3 meses retirou o montante de R$ 22.575,00. Sabendo essas informações, calcule qual a taxa de juro mensal dessa aplicação, em juros simples.
7 Calcule qual a quantidade de dias necessários para que um capital de R$
96.480,00 renda juros de R$ 79.375.00 se aplicado à taxa de 25% ao ano, em juros simples.
8 Calcule qual é a taxa mensal que faz com que um capital de R$ 6.600,00 renda juros simples de R$ 1.090,32 durante 7 meses.
9 Calcule qual capital produz R$ 18.000,00 de juros simples se for aplicado a uma taxa de 3% ao mês durante 60 dias.
10 Calcule a taxa semestral que faz com que um capital de R$ 8.225,00 produza um montante de R$ 10.495,00 durante 240 dias.
11 Um capital de R$ 300.000,00 é aplicado por 66 dias à taxa de 19% ao ano.
Calcule o valor do juro exato e do juro comercial resultante dessa aplicação.
12 Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de 36% ao ano.
13 Calcule qual o capital inicial que gera um montante de R$ 123.400,00 se aplicado durante 24 meses a uma taxa trimestral de 5,3%, em juros simples.
14 Se aplicarmos um capital de R$ 6.800,00 durante 12,5 meses, retiramos o montante de R$ 7.645,30. Calcule a taxa bimestral de juros.
15 Calcule qual será o montante se aplicarmos o capital de R$ 27.650,00 a uma taxa de 1,45% ao trimestre durante 300 dias.
16 Calcule qual será o capital necessário para formar o montante de R$
227.000,00 se for aplicado a uma taxa de 1,90% ao mês e durante 2 anos e 7 meses.
17 Calcule por quantos meses deverá ficar aplicado o capital de R$ 55.000,00 para produzir juros de R$ 6.100,00 se aplicado a uma taxa de 1,25% ao mês.
18 Calcule qual será o montante se aplicarmos o capital de R$ 39.900,00 a uma taxa de 2,02% ao bimestre durante 9 meses.
Assista ao vídeo de resolução da questão 1
70
TÓPICO 2
DESCONTO SIMPLES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
A ideia de desconto normalmente está associada a algum abatimento dado a um valor monetário, em determinadas situações. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade, é comum o vendedor conceder algum desconto no preço do produto.
No comércio também é comum o vendedor conceder um prazo para o pagamento. Caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é concedido um desconto sobre o preço oferecido.
Mas, nesse Caderno de Estudos, você vai estudar uma outra situação envolvendo o desconto, pois, quando uma empresa vende um produto a prazo, ela pode emitir uma duplicata contra o comprador, o que lhe dará o direito de receber do comprador em data futura, porém determinada, o valor combinado. Caso a empresa vendedora necessite de dinheiro antes da data do recebimento do título, poderá procurar uma instituição financeira e fazer uma operação de desconto, ou seja, de antecipação do valor que receberia no futuro.
Exemplificando de uma maneira mais fácil, uma outra situação de desconto seria a seguinte:
Carlos vai até uma loja comprar um aparelho de som e, como não tem dinheiro à vista para a compra do bem, emite um cheque pré-datado para 30 dias.
A loja que vendeu o produto precisaria esperar os 30 dias para depositar o cheque e receber o valor referente à venda do aparelho de som. Mas, caso a loja precise do dinheiro antes dos 30 dias, ela pode levar esse cheque até um banco ou factoring e efetuar uma operação de desconto. O banco ou a factoring fica com o “cheque pré”
e desconta algum valor (juro) do valor do cheque e repassa um valor menor para a loja. A esse juro cobrado pelo banco ou factoring chamamos de desconto. Portanto, esse é um exemplo de uma operação de desconto.
UNIDADE 2 | CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
72
2 CONCEITUANDO O DESCONTO SIMPLES
3 CONCEITOS E SIMBOLOGIAS COMUNS NAS OPERAÇÕES DE DESCONTO
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal (do título no vencimento) e o valor atual. Portanto, o desconto é igual ao valor futuro do título menos o valor líquido recebido.
Atualmente as empresas recorrem às instituições financeiras para efetuar operações de desconto de duplicatas, notas promissórias, cheques (pré-datados) e ainda ocorrem muitas operações de desconto de valores a receber em cartões de crédito.
Logo a seguir você aprenderá as principais palavras envolvidas nas operações de desconto e seus conceitos.
• Valor nominal (valor futuro ou de face): valor de face é o valor que consta no documento, representando o valor que deve ser pago na data de seu vencimento.
É representado nas fórmulas pela letra “N”.
• Dia de vencimento: é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento).
• Valor líquido (valor atual): é o valor recebido pelo cliente após a operação de desconto ser realizada. Corresponde à diferença entre o valor do título menos o valor descontado. É representado nas fórmulas pelas letras “VL”.
• Tempo ou prazo: é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento. É representado nas fórmulas pela letra “n”.
4 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU BANCÁRIO
Ao falarmos em desconto, há livros que trazem o desconto comercial e o desconto racional, mas em nosso Caderno de Estudos vamos tratar apenas do desconto bancário, pois é o mais utilizado.
Chamamos de desconto comercial o desconto equivalente aos juros simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a uma taxa fixada.
Você vai ver que o cálculo do desconto é bem parecido com o cálculo dos juros simples visto anteriormente.
Fórmula principal do desconto comercial simples: