3.4 Modelagem Matem´ atica
3.4.2 Trocadores de Calor
Para os trocadores de calor considerou-se a ausˆencia de holdup molar, o que implica que a vaz˜ao que entra no trocador ´e idˆentica a vaz˜ao que sai, n˜ao havendo ac´umulo. A dinˆamica foi inclu´ıda atrav´es da aplica¸c˜ao da conserva¸c˜ao de energia tanto na regi˜ao do fluido quente como na por¸c˜ao onde escoa o fluido frio. A Figura 3.6 ilustra os volumes de controle utilizados para o caso de um arranjo paralelo. Os ´ındices e e s referem-se `as correntes de entrada e sa´ıda respectivamente. J´a os ´ındices f e q referem-se `as corrente fria e quente.
O fluido quente entra no trocador de calor com vaz˜ao molar Fq,e e entalpia Hq,e.
Ao longo do escoamento, devido `a diferen¸ca de temperatura entre os lados quente (Tq) e frio (Tf), ocorre uma transferˆencia de energia entre os volumes de controle,
fazendo com que seja criado um perfil de temperatura em cada um deles. A corrente do fluido quente deixa o trocador de calor com vaz˜ao molar Fq,s e entalpia Hq,s. No lado do fluido quente o perfil de temperatura ´e decrescente enquanto que no lado do fluido frio o perfil de temperatura ´e crescente e consequentemente a entalpia Hf,s na sa´ıda ´e maior.
Figura 3.6: Configura¸c˜ao do trocador de calor.
A taxa de ac´umulo de energia dE©dt ´e determinada pela diferen¸ca entre as taxas de energia que entram e saem de cada um dos volumes de controle e pela taxa de calor transferido por condu¸c˜ao e convec¸c˜ao entre o lado quente e o lado frio do trocador:
dEf
dt Ff,eHf,eFf,sHf,sQ (3.92) dEq
dt Fq,eHq,eFf,sHq,sQ (3.93) Como o ac´umulo de mat´eria no interior do trocador foi desprezado, as vaz˜oes de entrada e sa´ıda em cada um dos lados do trocador s˜ao idˆenticas:
Ff,e Ff,s Ff (3.94)
Fq,e Fq,s Fq (3.95)
A taxa de transferˆencia de energia Q pode ser determinada a partir do coeficiente de transferˆencia de calor U , da ´area de troca t´ermica A e do diferencial de tempe- ratura entre os lados do trocador de calor. Ao longo do escoamentos a temperatura do fluido quente tende a diminuir enquanto a temperatura do fluido frio se aquece, gerando um perfil de temperatura em ambos os lados do trocador e consequente- mente, uma taxa de calor Qxdistinta para cada posi¸c˜ao do trocador definida atrav´es
da Eq. 3.96.
Qx U A Tq Tfx (3.96)
a taxa de calor global Q pode ent˜ao ser obtida pela integral na Eq. 3.97:
Q U A
L E
L
0
Tq Tfdx (3.97)
Geralmente no projeto de trocadores de calor ´e considerada uma taxa de calor m´edia obtida a partir do teorema integral do valor m´edio. Essa an´alise ´e feita sob hip´otese estacion´aria, com propriedades f´ısicas constantes e despreza os efeitos difusivos. Os perfis de temperatura s˜ao utilizados para se encontrar uma express˜ao para a taxa de calor m´edia. O resultado ´e uma express˜ao similar a Eq. 3.96, por´em
com um diferencial de temperatura m´edio (∆Tln) ao longo do trocador. Q UA ∆Tln (3.98) ∆Tln ∆T1 ∆T2 ln∆T1 ∆T2 (3.99)
As diferen¸cas de temperatura ∆T1 e ∆T2 s˜ao definidas de acordo com a configura¸c˜ao
do trocador de calor: ∆T1 ~ Tq,e Tf,s se contracorrente
Tq,e Tf,e se cocorrente
(3.100) e ∆T2 ~ Tq,s Tf,e se contracorrente Tq,s Tf,s se cocorrente (3.101)
Nada impede o desenvolvimento de um modelo dinˆamico capaz de prever o perfil de temperatura. Isso poderia ser realizado a partir de uma express˜ao diferencial da taxa de calor ao longo da dire¸c˜ao de escoamento. O modelo obtido nesse caso, seria uma equa¸c˜ao diferencial parcial e para resolvˆe-la bastaria discretizar espacialmente o volume de controle em n elementos para se obter 2n (lado quente e frio) equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias. Por´em optou-se por evitar a investiga¸c˜ao dos perfis de tem- peratura e focar em um equacionamento macrosc´opico. Essa escolha foi considerada adequada para as avalia¸c˜oes propostas neste trabalho. Portanto, em analogia `a taxa m´edia proveniente da an´alise estacion´aria, no modelo dinˆamico tamb´em foi ado- tada uma taxa de transferˆencia de calor m´edia baseada na m´edia logar´ıtmica das temperaturas nos extremos do trocador de calor. Mesmo oriunda de uma an´alise de projeto estacion´ario a defini¸c˜ao de taxa m´edia adotada n˜ao implica em perfis de temperatura estacion´arios j´a que as temperaturas nos limites do trocador s˜ao vari´aveis dinˆamicas. Essa simplifica¸c˜ao apenas imp˜oe que a forma funcional dos perfis temperatura seja semelhante `aquelas encontradas em condi¸c˜oes estacion´arias. As quantidades Ef e Eq representam os holdups t´ermicos e podem ser expressos
em termos do volume Vi, da densidade molar ρi e da entalpia que saem de cada
regi˜ao i do trocador de calor. Nesse caso a hip´otese de mistura perfeita est´a sendo considerada. Uma outra alternativa seria considerar uma condi¸c˜ao m´edia () que represente adequadamente a energia acumulada em cada envolt´oria. Essas duas
possibilidades est˜ao representadas na Eq. 3.102. Ei ~
Viρi,sHi,s para i" rq, fx e mitura perfeita
Vi ρiHi para i" rq, fx e condi¸c˜ao m´edia
(3.102)
A abordagem adotada neste trabalho foi considerar a condi¸c˜ao m´edia como a m´edia aritm´etica das condi¸c˜oes de entrada e sa´ıda, isto ´e:
Ei Vi
ρi,e ρi,s
2
Hi,e Hi,s
2 (3.103)
O modelo final obtido ´e constitu´ıdo pelas Eqs. 3.104 e 3.105 com os holdups dados pela Eq.3.103
dEf
dt Ff Hf,e Hf,s UA∆Tln (3.104) dEq
dt FqHq,e Hq,s UA∆Tln (3.105) Para os trocadores de calor no qual apenas um fluido ´e conhecido (quente ou frio), o modelo se reduz a apenas uma equa¸c˜ao diferencial e a taxa de calor Q ´e fornecida independentemente da temperatura das correntes, similarmente a um aquecedor el´etrico por exemplo. A mudan¸ca de fase ao longo do trocador de calor foi levada em considera¸c˜ao e as propriedades das correntes foram determinadas apenas ap´os aplica¸c˜ao do c´alculo de flash trif´asico,βx, βw, xi, yi, wi Flash3P T, P, zi. A
entalpia de cada fase presente na corrente ´e fun¸c˜ao da temperatura, press˜ao e da sua composi¸c˜ao e pˆode ser determinada atrav´es do plug-in CO2Therm. A entalpia final da corrente foi obtida pelo somat´orio da entalpia de cada fase π (Eq. 3.106). Um procedimento an´alogo foi utilizado para se determinar a densidade molar (Eq. 3.107).
H π = j βjHj para j " rx, y, w . . . πx (3.106) 1 ρ π = j βj ρj para j " rx, y, w . . . πx (3.107) A perda de carga ao longo de cada lado do trocador foi modelada com uma especifica¸c˜ao independente, isto ´e, n˜ao foi modelada a perda de carga atrav´es do fator de atrito e sim por:
Pf,s Pf,e ∆Pf (3.108)
Em termos pr´aticos nas an´alises realizadas ao longo do trabalho considerou-se nula a diferen¸ca de press˜ao.