Wavelet Transform

A an´alise de sinais baseada em Wavelets pode ser uma alternativa a m´etodos tra- dicionais de an´alise de sinais por janela, como a STFT. O uso da STFT pretende identificar frequˆencias em diferentes locais do sinal, em contraste a Wavelet Trans-

form consiste na compara¸c˜ao de v´arias amplia¸c˜oes e resolu¸c˜oes do sinal atrav´es de janelas que s˜ao oscilat´orias. Estas ondas s˜ao transladadas e dilatadas de modo a ge- rar as restantes ondas que constituem os blocos de uma an´alise baseada em Wavelets.

A Wavelet Transform ´e uma transformada tempo–escala que utiliza m´ultiplas Wa-

velets de modo a converter sinais de uma dimens˜ao, e que variam no tempo, em sinais de duas dimens˜oes: escala e interpreta¸c˜ao. Mapeia sinais do dom´ınio unidi- mensional do tempo para sinais bidimensionais no dom´ınio da escala [75]. A escala corresponde ao inverso da frequˆencia, consequentemente escalas baixas correspon- dem a frequˆencias altas. A an´alise com base em Wavelets pode ser vista como uma tentativa de obter uma grande precis˜ao ao n´ıvel da frequˆencia, atrav´es da mani- pula¸c˜ao do alcance da escala.

4.7.3

Hilbert Transform

A Hilbert Transform cria uma fun¸c˜ao complexa complementar y(t) `a uma fun¸c˜ao real de entrada x(t), de modo a que o resultado da soma das duas z(t) = x(t) + iy(t) possa ser analiticamente alargada para o dom´ınio complexo. No campo de proces- samento de sinais, transformada de Hilbert pode ser calculada nas seguintes etapas:

primeiro, calcula-se a transformada de Fourier do sinal x(t). Em segundo lugar, rejeitam-se as frequˆencias negativas.

Finalmente, calcula-se a transformada de Fourier inversa, obtendo como resultado um sinal de valor complexo em que as partes reais e imagin´arias formam o par usado na transformada de Hilbert. Este m´etodo cria uma transla¸c˜ao de fase de 90o, alte- rando cossenos para senos e vice-versa [81]. Esta transformada ´e ´util no c´alculo de atributos instantˆaneos.

4.8

Modos de Aplica¸c˜ao de Algoritmos de Dete¸c˜ao

de Frequˆencia

No cap´ıtulo anterior foram apresentados m´etodos que utilizam a frequˆencia para de- tetar passos, ou estimar os seus comprimentos. Em sistemas de navega¸c˜ao pedestre, ´

e usual que o c´alculo da frequˆencia de um conjunto de dados seja realizado de um modo global ou por subconjuntos de dados (janelas).

4.8.1

Determina¸c˜ao N˜ao Peri´odica da Frequˆencia

Este modo n˜ao peri´odico consiste na obten¸c˜ao total dos dados e na posterior aplica¸c˜ao dos algoritmos de determina¸c˜ao da frequˆencia. A aplica¸c˜ao destes algoritmos pode ser a subconjuntos de dados ou `a sua totalidade. Ao longo da subsec¸c˜ao s˜ao apre- sentados problemas associados `a abordagem da aplica¸c˜ao `a totalidade dos dados. No caso de o conjunto de dados conter apenas uma frequˆencia, esta abordagem pode ser uma boa op¸c˜ao. Como o algoritmo ´e aplicado apenas uma vez, o resul- tado da frequˆencia detetada ´e apenas um conjunto de dados denominado espetro de frequˆencia. Com a informa¸c˜ao espetral, ´e usual utilizar o maior valor de frequˆencia mais forte denominado frequˆencia fundamental, Figura 4.4.

Figura 4.4 – Sinal sinusoidal de frequˆencia 1 Hz amostrado a 200 Hz (esquerda); espetro de frequˆencias obtido atrav´es da DFT (direita)

No caso de o conjunto de dados conter duas ou mais frequˆencias, esta t´ecnica tem de ser melhorada. N˜ao ´e poss´ıvel determinar estas duas frequˆencias se apenas ´e identificado um valor m´aximo (pico), no conjunto de dados do espetro, Figura 4.5.

Figura 4.5 – Dois sinais sinusoidais de frequˆencias 1 Hz e 5 Hz amostrados a 200 Hz (esquerda); espetro de frequˆencias obtido atrav´es da DFT (direita)

De modo a detetar duas ou mais frequˆencias fundamentais, ´e necess´ario detetar dois valores m´aximos. Isto pode ser obtido atrav´es de algoritmos de dete¸c˜ao de picos e vales do conjunto de dados, por exemplo. Esta t´ecnica consiste em detetar um valor m´aximo, que representa um pico e posteriormente, encontrar os vales desse pico.

Com os valores dos vales, ´e poss´ıvel encontrar os outros picos no restante conjunto de dados [82].

Na Figura 4.6, est´a ilustrado o espetro obtido atrav´es da aplica¸c˜ao da DFT ao sinal da Figura 4.5. O valor m´aximo (pico 1) ´e encontrado atrav´es de fun¸c˜oes de descoberta de m´aximos no conjunto total de dados. De seguida, s˜ao encontrados m´ınimos `a direita e `a esquerda do pico 1, determinando os vales 1 e 2. Este conjunto de dados delimitado na imagem por um retˆangulo vermelho n˜ao ´e usado posterior- mente. No conjunto de dados restante, ´e novamente invocada a fun¸c˜ao de dete¸c˜ao de m´aximos, de modo a obter o valor do pico 2. De modo a encontra mais picos, este processo deve ser aplicado sucessivamente.

Figura 4.6 – Espetro de frequˆencias obtido atrav´es da aplica¸c˜ao da DFT e respetivos picos

A precis˜ao da estima¸c˜ao do n´umero de passos est´a diretamente relacionada com a precis˜ao da determina¸c˜ao da frequˆencia. No caso de os dados conterem duas frequˆencia diferentes, a abordagem global necessita de mais informa¸c˜oes. Neste caso, a amplitude de cada frequˆencia detetada deve ser usada, de modo a estimar quanto tempo durou o sinal em cada uma das frequˆencias. A an´alise de dados aplicando o m´etodo de pico e vale de 10 segundos de informa¸c˜ao retornou duas frequˆencias de- tetadas, uma de 2 Hz de amplitude 0,5 e outra de 1 Hz de amplitude 0,5, conclui-se que os dados representam um sinal onde a frequˆencia altera a dura¸c˜ao de cada sinal estima-se ser metade do tempo total, ou seja, 5 segundos. Nos primeiros 5 segundos do sinal, este cont´em uma das frequˆencias fundamentais, e nos restantes 5 segundos

cont´em a outra, n˜ao sendo poss´ıvel obter informa¸c˜ao sobre esta ordem no espetro de frequˆencias.

A amplitude de cada frequˆencia representa a for¸ca de presen¸ca de cada uma de- las no sinal analisado, sendo que quanto maior for a amplitude maior ser´a o tempo em que esse valor de frequˆencia se encontra no sinal do conjunto de dados. Esta metodologia de an´alise apenas deve ser aplicada em casos onde cada um dos sinais cont´em apenas uma frequˆencia, e.g. cada uma das ondas n˜ao ´e a soma de duas ou mais frequˆencias. Este facto deve ser considerado e ser´a abordado mais `a frente nesta disserta¸c˜ao.

Determina¸c˜ao Peri´odica da Frequˆencia

A determina¸c˜ao peri´odica consiste em an´alises peri´odicas do conjunto de dados. Este modo ´e usado em sistemas que estimam a localiza¸c˜ao do seu utilizador periodica- mente, e possui problemas na jun¸c˜ao dos processos de aquisi¸c˜ao de dados e deter- mina¸c˜ao da frequˆencia. O processo de capta¸c˜ao de dados n˜ao deve ser interrompido e esperar pelo t´ermino do c´alculo da frequˆencia, caso aconte¸ca o per´ıodo entre amos- tras capturadas ser´a aumentado. Isto cria uma diminui¸c˜ao da precis˜ao dos dados e consequente diminui¸c˜ao da precis˜ao da determina¸c˜ao da frequˆencia fundamental desses dados. Se os processos s˜ao independentes permitindo que a capta¸c˜ao de da- dos n˜ao seja interferida pelo c´alculo da frequˆencia, este problema ´e ultrapassado, no entanto podem surgir outros problemas, em casos de falta de sincronismo entre os processos. O resultado desta t´ecnica permite an´alises no dom´ınio tempo–frequˆencia [83].

A abordagem de an´alise de dados atrav´es de janelas como a STFT, consiste em dividir o conjunto de dados em subconjuntos iguais e de tamanho fixo, e realizar a an´alise de frequˆencia em cada um deles. Assim, a probabilidade de analisar uma janela cujo sinal contenha mais de uma frequˆencia diminui significativamente, para dados utilizados ao longo desta disserta¸c˜ao. O n´umero de pontos a analisar, ou seja,

o tamanho da janela ´e o fator com mais influˆencia deste m´etodo. A janela min´ıma poss´ıvel usada numa an´alise conclusiva de um sinal com 200 Hz ´e duzentas vezes mais curta do que a janela min´ıma usada na an´alise de um sinal com 1 Hz, pelo que a janela deve conter pelo menos um ciclo completo do sinal.

Generalizando, uma janela mais larga proporciona uma melhor resolu¸c˜ao de frequˆencia, mas uma pior resolu¸c˜ao de tempo. O sinal analisado na Figura 4.7 altera a sua frequˆencia ao longo do tempo.

A aplica¸c˜ao da STFT com uma janela de 2,56 segundos e sobreposi¸c˜ao de 75%, retorna v´arios espetros de frequˆencia como nesta Figura, cada um por cada janela analisada. O agrupamento de todos os espectros resulta num gr´afico denominado espetrograma. A nova carater´ıstica neste exemplo, em rela¸c˜ao a anteriores, consiste no facto de podermos observar o espetro de frequˆencia ao longo do tempo. Isto ´e poss´ıvel porque a STFT divide o sinal em subconjuntos de dados ordenados e analisa cada um deles.

Figura 4.7 – Aplica¸c˜ao da STFT a um sinal com frequˆencia vari´avel

Na Figura 4.8 est´a ilustrada a an´alise do mesmo sinal usando a Wavelet Transform, e na Figura 4.10 usando a Hilbert Transform. Relativamente `a Wavelet Transform, o resultado ´e apresentado no dom´ınio da escala, que corresponde inversamente `a

frequˆencia de acordo com a precis˜ao e com os limites da escala. A correspondˆencia entre a escala e a frequˆencia usada nesta aplica¸c˜ao da Wavelet Transform, est´a apre- sentada na Figura 4.9.

Figura 4.8 – Aplica¸c˜ao da Wavelet Transform a um sinal com frequˆencia vari´avel

Figura 4.9 – Rela¸c˜ao de correspondˆencia entre a frequˆencia e a escala usando a Wavelet m˜ae morl

Outra aplica¸c˜ao destes algoritmos ´e apresentada de seguida, a aplica¸c˜ao STFT apresenta-se na Figura 4.11, o sinal analisado aumenta a sua frequˆencia ao longo do tempo, de modo linear. Neste exemplo ´e usada uma janela de 2,56 segundos e sobreposi¸c˜ao de 75%. ´E poss´ıvel concluir que a frequˆencia do sinal aumenta line- armente atrav´es do espetro, mas este n˜ao representa uma reta linear como seria o caso ideal. A an´alise do mesmo sinal usando a Wavelet Transform est´a apresentada na Figura 4.12 e usando a Hilbert Transform na Figura 4.13.

Figura 4.11 – Resultado da Short-Time Fourier Transform aplicada a um sinal cuja frequˆencia est´a a aumentar linearmente

Figura 4.12 – Resultado da Wavelet Transform aplicada a um sinal cuja frequˆencia est´a a aumentar linearmente

Figura 4.13 – Resultado da Hilbert Transform aplicada a um sinal cuja frequˆencia est´a a aumentar linearmente

5

de M´etodos de Navega¸c˜ao

Pedestre

Neste cap´ıtulo s˜ao apresentados todos os m´etodos e t´ecnicas utilizadas no estudo e elabora¸c˜ao do projeto proposto, bem como modos de otimiz´a-los. O objetivo princi- pal deste trabalho consiste no estudo de metodologias de uso poss´ıvel na constru¸c˜ao de sistema de localiza¸c˜ao baseado em sensores IMU.

A crescente utiliza¸c˜ao de smartphones, nos quais s˜ao usados sensores IMU, pro- porciona uma motiva¸c˜ao complementar no estudo de uma poss´ıvel implementa¸c˜ao de um sistema de localiza¸c˜ao, usando unicamente este dispositivo. Este tipo de dispositivos ou outros semelhantes como tablets, possuem componentes de hardware essenciais do ponto de vista deste tipo de sistema, e. g. aceler´ometro, girosc´opio e b´ussola digital, e v´arias capacidade e.g. multithreading.

A capacidade de multithreading permite um aumento significativo no poder com- putacional de an´alise de dados, permitindo assim um aumento da efic´acia das es- tima¸c˜oes retornadas pelos processos. Com base nestes dispositivos e respetivas cara- ter´ısticas, ´e poss´ıvel implementar uma plataforma capaz de operar nestes dispositivos de forma a usufruir de todas as suas vantagens.