Um Interessante Problema de Vestibular Envolvendo
a N~ao-Conserva~ao da Energia Me^ania
em um Referenial Aelerado
Aninterestingaademiprobleminvolvingthenon-onservationofmehanialenergyinanaeleratedreferenesystem
JairC. C. Freitas
Departamento deFsia,UniversidadeFederaldoEspritoSanto,
Vitoria-ES,29060-900, Brasil
Reebidoem8demaro,2002. Aeitoem23deabril,2002.
Disutimos detalhadamente a solu~ao de um problema originalmente proposto para um exame
vestibular,envolvendoaosila~aodeumsistemamassa-molanumreferenialaeleradoe a
deter-mina~aodaamplitudedeosila~ao apartirdoinstanteemqueessa aaelera~ao doreferenial.
Mostramosqueovalordessa amplitudedependeessenialmentedarela~aoentreotempodurante
oqualpermanee aaelera~aodoreferenialeoperododeosila~ao. Na situa~aolimiteemque
operododeosila~aoemuitomaiordoqueotempodeaelera~ao, osistemaaproxima-sedeum
sistemaonservativoe aamplitudedeosila~aopodeserdeterminada poronserva~aodaenergia
me^ania. Oproblemaapresentadoonstituiuminteressanteexerioparaadisuss~ao(emnvel
medioouuniversitario)detemasomoforastias,mudanasdeoordenadasen~ao-onserva~ao
deenergiame^aniaemrefereniaisn~ao-ineriais.
Thedetailedsolutionofa problemoriginally proposed for aollege-admission examisdisussed.
Theprobleminvolvestheosillation ofamass-springsysteminaninitiallyaeleratedreferential
and the determination of the amplitude of vibration after the referential has reahed the rest.
We show that the value of this amplitude depends essentially onthe relation between the time
of aeleration and the periodof osillation. In the limit ase when the period of osillation is
muhlongerthan thetimeof aeleration, thesystem approahes aonservativesystem and the
answeranbefoundbyapplyingtheprinipleofonservationofmehanialenergy.Thepresented
problemonstitutesaninterestingexeriseforthedisussion(ateitherhigh-shoolorollegelevel)
of subjetsliketitiousfores,oordinateshange,andnon-onservationofmehanialenergyin
non-inertialreferenesystems.
I Introdu~ao
A seguinte quest~ao foi proposta na primeira etapa
(aquela prestada por todos os andidatos,
indepen-dente da area de onheimento do urso pretendido)
dovestibularde2002deumaoneituadauniversidade
brasileira: 1
Um vag~ao ferroviario move-se em um treho
re-tilneo de uma linha ferroviaria, om veloidade
ons-tante de modulo v
o
. No seu interior, ha um bloo de
massa m preso a extremidade de uma mola ideal de
onstanteelastia k. Aoutraextremidadedamolaesta
presaao vag~ao,onforme aguraabaixo:
m
k
0
v
&
Nesse estado de movimento, a mola esta relaxada
(n~aoestaomprimidanemdistendida). Apartirdeum
erto instante, o vag~ao e freado om aelera~ao
ons-tante a,ateatingirorepouso. Desprezando-se oatrito
doblooomopisodo vag~ao,aamplitudede osila~ao
1
dosistemamassa-mola,aposovag~aoatingirorepouso,
e:
A)0
B) q
k
m
C) ma
k
D) q
mv 2
0
k
E) mv0
k
O gabarito oial da universidade indiava omo
orreta aalternativa\C".Aposadivulga~aodo
gaba-rito,aquest~aofoi resolvidademaneiraaparentemente
simplespelosprofessoresdeursinho,queapresentaram
nos jornais aseguinte solu~ao(exatamente omo aqui
vaiesrito,semnenhumaexplia~aoadiional):
F =F
e
ma=kx
x= ma
k
logo: A= ma
k
E os omentarios apresentados pelos mesmos
pro-fessores de ursinho nos jornais foram que a referida
quest~aoeradenvel\normal".
Umaanalisemaisdetalhadadoproblemarevela
la-ramente que a quest~ao, em primeiro lugar, n~ao e de
failsolu~ao,sendo,aoontrario,deumnvelbastante
elevado para o onteudo de Fsia ministrado no
en-sino medio. Trata-se de um problema que envolve a
aplia~aodasegundaleideNewtonemrefereniais
ae-lerados eaobten~aodaequa~aodemovimentode um
osiladorharm^oniosubmetidoaumaforaonstante.
Oaspetoquetornaoproblemaompliado,laro,e
ofatodequeobloon~aosemoveemgeralomamesma
aelera~ao do vag~ao, o que invalida ompletamente a
solu~aoapresentadaaima. Emboran~aotenhamos
ob-tidoaessoasestatstiasdasrespostasobjetivas
apre-sentadaspelosalunos,imaginamosque,dentre aqueles
alunos que se detiveram em analisar o problema om
algum uidado,grandepartedeveterpartidopara
so-luiona-loapliandoaonserva~aodaenergiame^ania
ao sistema massa-mola, hegando portanto a
alterna-tiva\D".Osalunosmenosatentosdevemtermarado
aalternativa\B",devidoabemonheidaformulapara
a frequ^enia de osila~ao de um sistema massa-mola
tpio, sem se apereberem do problema dimensional
om essa alternativa (assim omo om a alternativa
\E").
Os alunos que \aertaram" a quest~ao, de aordo
om o gabarito oial, devem ter inorretamente
ra-ioinadoomoseoblooestivessesempreemrepouso
om rela~ao ao vag~ao. Essa hipotese paree razoavel
lidaromsistemasondeexistedissipa~aodeenergiaea
aelera~aovariasempresuavementedezeroateseu
va-lormaximo. Assim, duranteaaelera~aooufrenagem
deumtrem(ouautomovel,avi~ao,et),seobservarmos
omovimentodeumsistemaosilatorio,omoosistema
massa-molaaima ouum p^endulo simples,
perebere-mosqueosistematemsuaposi~aodeequilbrio
deslo-adamas, apos umurto intervalo de tempo, passa a
aompanharsolidariamenteomovimentodotrem. Sea
aelera~aoforretiradasubitamentenoinstanteemque
otrematingir orepouso, osistema osilara(deforma
amorteida) omamplitude iniialmente igual ao
des-loamentodasuaposi~aodeequilbrio. Esseraionio
leva asolu~ao\oial" da quest~ao de vestibular
apre-sentada(elaroque,omdissipa~aodeenergia,a
am-plitude de osila~ao do bloo deve diminuir ate zero
aposaretiradadaaelera~ao,de formaquea
alterna-tiva \A" seria amais apropriada nesse aso). O
pro-blemaequenesta quest~ao(i)n~aohaatrito,(ii)a
ae-lera~aoeapliadabrusamentee(iii) n~aohaqualquer
informa~aoa respeito da rela~aoentre otempoque o
vag~ao leva para atingir o repouso e o perodo de
os-ila~ao. Assim, n~ao ha omo supormos que o bloo
hegueasemovimentarsolidariamenteaovag~ao. Para
que aquest~ao tivesse a solu~ao simples desejada pela
equipe quea prop^os,seria neessario queo enuniado
deixasse laro que o bloo estava em movimento
so-lidario ao vag~ao durante a frenagem e antes de este
atingirorepouso. (Conformeveremosmais adiante,a
mesmarepostaseriaobtidaseaquest~aosereferisse
so-menteao intervalo detempodurante oqualovag~aoe
desaelerado,sementrarnadisuss~aodoque aontee
apos ovag~aoatingirorepouso.)
Oobjetivodesta notaeapresentar asolu~ao
om-pleta da quest~ao na forma omo ela foi proposta,
utilizando-se reursos matematios ertamente aima
donveldeensinomedio,masquepermitemum
enten-dimento larodo problema. Veremos que na verdade
havariassolu~oespossveis,sendoaeitaveisquaisquer
dasalternativasdimensionalmente orretas(\A", \C"
ou\D").Ointeresseemdisutiremdetalheessasolu~ao
n~aoemotivadosimplesmentepelointuitode\orrigir"
umproblemadevestibularmalformulado,mastambem
e prinipalmente pela possibilidade de apresentar um
exemplobastante rio de uma situa~ao que envolvea
onserva~ao(oun~ao)daenergiame^aniaem
refereni-aisn~ao-ineriais,assuntoarespeitodoqualperebemos
umaertaar^eniadedisuss~oesaprofundadasnos
tex-toslassiosde Fsia,tanto donvelmedioomo
uni-versitario[1-4℄. Aposenontrarmosasolu~aoompleta
doproblema,podemosexaminar algunsasos
partiu-larese assimganhar uma ompreens~ao maisprofunda
arespeitodesse aspeto.
Antes deprosseguir, quero ressaltarqueem minha
opini~aooproblema, aindaquesotivesseuma
alterna-tivaorreta,n~aoseriadeformaalgumaadequadopara
umaquest~aodevestibular,prinipalmenteemprimeira
apre-sino medio [1,2℄, ea onserva~ao de energiame^ania
nessessistemasn~aoetratadaomdetalhenemem
tex-tos de nveluniversitario [3,4℄. N~ao e demodoalgum
justo para om os estudantes de ensino medio propor
uma quest~ao que aparentemente tem todos os
ingre-dientes deum sistema onservativotpio(mola ideal,
aus^eniadeatritoentreoblooeopiso),masondena
verdadeoorretrabalhon~aoonservativorealizadopela
fora exerida pela mola sobre o bloo. Tenho serias
duvidas se estudantes de ensino medio teriam a
per-ep~ao neessaria para ompreender esse aspeto; por
issoaquest~aoapresentadan~aoserveparaavaliaro
o-nheimento dosandidatosaovestibular. Talfato a
tantomaisevidentenamedidaemqueosproprios
pro-fessoresdeursinhon~aoseapereberamdadiuldade
doproblemae resolveramaquest~ao deforma
omple-tamenteinorreta,emboraoerenteomogabarito
o-ial.
II Solu~ao do problema
en-quanto o vag~ao e desaelerado
II.1 Referenial inerial
Consideremos um referenialinerial S emrela~ao
ao qual o vag~ao e o bloo se movem, iniialmente,
om veloidade onstante de modulo v
o
ao longo da
dire~aox. Tomemosomo origemaposi~ao emque o
blooseenontravaemt=0,instanteemqueovag~ao
omeou a ser desaelerado om aelera~ao onstante
a
x
= a. O movimento desaelerado iradurar ate o
instante t
o = v
o
/a. A posi~ao do bloo num instante
qualquer entre t = 0 e t = t
o
sera representada por
x
B=S
(t), o omprimento da mola relaxada sera
deno-minado L e o movimento do vag~ao seradesrito pela
oordenadax
V=S
(t)querepresentaaposi~aodoponto
emqueamolaexaaovag~ao(verFig.1). Aelonga~ao
Æx da mola em qualquer instante, que interessa para
aplia~aodaleideHooke,seraent~aodadapor:
Æx=x
B=S x
V=S
+L (1)
(Comessadeni~ao Æx enegativopara amola
dis-tendidaepositivoparaamolaomprimida.)
No referenial S, a fora resultante sobre o bloo
e igual afora elastia exerida pela mola, a qual, se
assumirmosomovalidaaleideHooke,seradadapor:
F (e)
x
= kÆx=k(x
V=S x
B=S
L) (2)
A equa~ao de movimento do vag~ao entre t = 0 e
t=t
0 sera:
x
V=S
(t)=L+v
o t
1
2 at
2
(3)
Jaomovimentodoblooseradesritopelaequa~ao
diferenial abaixo, obtidaaposaplia~ao direta da
se-gundaleideNewton:
d 2
x
B=S
dt 2
+ k
m (x
B=S x
V=S
+L)=0; (4)
omasondi~oesiniiais:
x
B=S
(0)=0 (5)
dx
B=S
dt
0 =v
0
(6)
Asubstitui~aode(3)em(4)levaaequa~ao
diferen-ial:
d 2
x
B=S
dt 2
+ k
m x
B=S =
k
m (v
0 t
at 2
2
) (7)
A solu~ao dessa equa~ao (linear, de segunda
or-dem e om oeientes onstantes) e enontrada sem
maiores diuldades por meio dos metodos
tradiio-nais de alulo [5℄. Resolve-se iniialmente aequa~ao
homog^enea, que tem solu~ao harm^onia, e a seguir
enontra-seumasolu~aopartiulardaequa~ao
inomo-g^enea,aqualefailmentedeterminadajaqueomembro
direito da Eq. 7eum polin^omio de segundograu na
variavelt. Comasondi~oesiniiais(5)e(6),asolu~ao
exatadaEq. 7a:
x
B=S (t)=
ma
k
(1 os!t)+v
0 t
at 2
2
; (8)
onde!= p
k=meafrequ^enianaturaldeosila~aodo
sistemamassa-mola. Aveloidadedoblooemrela~ao
aSeimediatamenteobtidaporderiva~aodaEq. 8:
v
B=S (t)=
!ma
k
sen!t+v
0
at (9)
Fialarodessasduasultimasexpress~oesqueo
mo-vimentodoblooonsisteemummovimentoharm^onio
simples(MHS)superpostoaomovimentoaeleradodo
vag~ao (responsavel pelos doisultimos termos dasEqs.
8 e 9). Essa desri~ao a mais evidente atraves da
analise do problema do ponto de vista do referenial
aeleradodovag~ao,omodisutidonase~aoseguinte.
II.2 Referenial aelerado
Apassagemparaoreferenialaeleradosolidarioao
vag~ao, om origem no ponto em que a molae xaao
vag~ao(verFig. 1),efeitademaneiraimediata:
x
B=V (t)=x
B=S (t) x
V=S
(t) (10)
Usando(3)e(8):
x
B=V (t)=
ma
k
(1 os!t) L (11)
Assim,omovimentodo bloo em rela~ao aovag~ao
e um MHS, om posi~ao de \equilbrio"desloada de
ma=kparaadireita,similaraomovimentodeosila~ao
de um sistema massa-mola xo numa posi~ao
verti-al sob a~ao da fora da gravidade [6℄. O bloo
a posi~ao de equilbrio antes de o vag~ao ser
aele-rado) e x
B=V
= L+2ma=k . A amplitude do
mo-vimento e, portanto, igual a ma=k e a nova posi~ao
de \equilbrio",ou seja, oponto em que a aelera~ao
do bloo em rela~ao ao vag~ao e nula, loaliza-se em
x
B=V
= L+ma=k. Estaseria exatamente aposi~ao
emqueoblooentrariaemrepousoemrela~aoaovag~ao
(eonsequentementeemmovimentosolidarioaovag~ao)
sehouvessedissipa~aodeenergianosistema.
Figura1.Coordenadasusadasparadesreveromovimento
doblooemrela~aoaorefereialS (x
B=S
)eemrela~aoao
vag~ao(x
B=V
). OS representa aorigemdoreferenialS, a
qualoinideomaposi~aodobloonoinstanteemqueo
vag~aoomeouaserdesaelerado(t=0).
Asolu~aodoproblemanoreferenialdovag~ao,dada
pelaEq. 11,poderiaserobtidademaneiramaisdireta
(e elegante)sem aneessidadede seusaroreferenial
S. Bastaria para tanto empregar o oneito de fora
tia [3,4℄ no referenial aelerado do vag~ao. Neste
referenial o bloo estaria portanto sujeito a a~ao de
duasforasnadire~aohorizontal: aforaelastiadada
por(2) eaforatia dadapor:
F (f)
x
= ma
x
=ma (12)
O movimento do bloo no referenial aelerado e
ent~ao desrito omo um MHS forado e a solu~ao da
equa~aodiferenialquesurgeaoseempregarasegunda
lei deNewtonomasforasdadaspor(2) e(12),
jun-tamente omas ondi~oes iniiais (5) e(6) adaptadas
para oreferenial do vag~ao,eexatamente aexpress~ao
indiadaem(11).
III Solu~ao do problema om o
vag~ao em repouso
Apos o vag~ao atingir o repouso, o movimento do
bloolaramenteeumMHS omamesmaposi~ao de
equilbrio original (deantes de o vag~aoomear aser
desaelerado). Podemosaharaamplitudedeosila~ao
do sistema nessa situa~ao onsiderando que a energia
me^ania e onservada a partir do instante em que o
vag~ao deixa de ser aelerado. Basta assimenontrara
energiainetiadoblooeaenergiapotenialelastia
dosistemamassa-molanoinstantet=t
0 =v
0
=a,oque
podeserfeitotantonoreferenialSomonoreferenial
dovag~ao,jaquenesseinstanteambososrefereniaiss~ao
ineriaiseest~aoemrepousorelativo.Aenergiainetia
mv 2 B=S (t 0 ) 2 = ! 2 m 3 a 2 2k 2 sen 2 !v 0 a = m 2 a 2 2k sen 2 !v 0 a (13)
A energia potenial elastiae enontrada a partir
daelonga~aodamolaemt
o
,aqualpodeserobtidade
(8)ou(11):
kÆx 2 (t 0 ) 2 = m 2 a 2 2k (1 os !v 0 a ) 2 (14)
Apliandoaonserva~aodaenergiame^ania para
t > t
o : mv 2 B=S (t 0 ) 2 + kÆx 2 (t 0 ) 2 = kA 2 2 ; (15)
ondeAeaamplitudedesejada. Resolvendo,hegamos
a: A= ma k h 2 1 os !v 0 a i 1=2 (16)
Esta nalmente seria a resposta ao problema
pro-posto. Como era de se esperar, o valor da amplitude
depende da rela~aoentre operododo movimento
os-ilatorio T =2=! eo tempo deparada t
o
do vag~ao,
jaque!v
0
=a=2t
0
=T. Emprinpio,qualquervalor
desde0 ate2ma=k epossvel, dependendo da posi~ao
e da veloidade do bloo no exato instante em que a
veloidadedo vag~aohegaazero easua aelera~aoe
subitamenteretirada. Fialaro,ent~ao,queas
respos-tas\A" e\C"s~ao admissveisomo situa~oes
partiu-lares. Aamplitudeseriaiguala0(resposta\A"),seno
instantet
o
oblooestivesseexatamentenaposi~aoem
queamolaseenontrarelaxada(queeamesmaposi~ao
em que obloo estavaquando ovag~aoomeouaser
freado,omveloidade nulaem rela~aoao vag~ao). Ja
aresposta\C" seria admissvelna situa~ao partiular
emqueos(!v
0
=a)=1=2.
Equantoaalternativa\D"?Elaedimensionalmente
orreta,mashaveriaumasitua~aopartiularem quea
amplitudedadapor(16)fosseiguala p
mv 2
0
=k? A
res-posta a essa quest~ao depende fundamentalmente dos
valorespartiularesde m, a, k e v
o
. Consideremosos
seguintesvaloresarbitrarios(talvezrealistas)paraesses
par^ametros: m = 1kg,v
o
= 20m/s, k = 10N/m e
a=0,2m/s 2
. Obtemos, ent~ao,t
o
=100s,T =0,2 s,
ma=k= 0,2mme p
mv 2
0
=k=0,6 m.
E laroque,
nes-sas ondi~oes, a resposta \D" estaria muito aima da
amplitude orreta (em torno de 0,24 mm). Com tais
valoresnumerios, obloo efetuaria muitas osila~oes
ompletasantesdeovag~aoatingir orepouso.
A alternativa\D" seria a orretase houvesse
on-serva~aodaenergiame^aniaentret=0et=t
o .
Em-bora o bloo n~ao sofra a a~ao de nenhuma fora de
atrito, o fato de a fora resultante atuando sobre ele
depender expliitamente dotemponoreferenial
iner-ialS(verEqs. 2e3)tornaosisteman~ao-onservativo.
de-sistemas onservativos[3℄, mastambem daposi~aodo
pontoemqueamolaexaaovag~ao,sendoesteultimo
aelerado. Assim, a energia me^ania n~ao e
onser-vada. Uma forma mais direta para se pereber que
a energia me^ania n~ao e onservada numa situa~ao
omoessaonsisteemexaminarmosasitua~aoemque
obloosemovimentasolidariamenteaovag~ao
desaele-rado. Nesseasoaenergiainetiadoblooemrela~ao
ao referenial S diminui ontinuamente, mas a
ener-giapotenialelastiaarmazenadanamolaeonstante.
Fia ent~ao laroque afora exeridapela molan~aoe
onservativaquandoapropriamolaestaemmovimento
aelerado.
Masexisteumasitua~aolimiteparaoproblema
ori-ginal em que nos aproximamos muito de um sistema
idealmente onservativo: equando otempodeparada
dovag~aoemuitomaisurtoqueoperododeosila~ao
dosistemamassa-mola. Nesseaso,pratiamentetoda
a energiainetia queo bloo tinha em rela~ao a S e
transferidapara amola naformade energiapotenial
elastia. Dito demaneiraintuitivae informal,obloo
n~ao \perebe" a desaelera~ao do vag~ao porquanto o
tempo de frenagem e muito reduzido. Essa situa~ao
poderia ser veriada na pratia se o vag~ao sofresse
uma desaelera~ao muito intensa e/ou se a mola
ti-vesseumaonstanteelastiamuitopequena(umamola
muitoomprida, por exemplo[6℄). Emqualquer aso,
teramost
o
<< T. Tomandoportanto!v
o
=a << 1,
podemos expandir a Eq. 16 em serie de pot^enias e,
retendootermodemaisbaixaordemnaserie,obtemos
oresultado:
A
= ma
k
2
1
1 !
2
v 2
0
2a 2
1=2
= r
mv 2
0
k
(17)
Isso mostra que mesmo a alternativa \D", que a
prinpio pareia ser ompletamente desabida, e
ad-missvel omo um aso extremamente partiular. Na
medida em que oenuniado do problema n~ao
estabe-leeu restri~aoalguma sobre os valoresnumerios dos
par^ametros envolvidos, ate essa solu~ao passa a ser
possvel.
IV Conlus~ao
Conforme havamos anteipado, qualquer uma
den-tre as tr^es alternativas dimensionalmente orretas
apresentadas na quest~ao de vestibular pode ser
ad-missvel, dependendo das rela~oes partiulares entre
os par^ametrosenvolvidos no problema. Essa
indeter-mina~ao, alem do grau de diuldade elevado para
o nvel do ensino medio, inviabiliza ompletamente a
quest~ao apresentada omo uma quest~ao objetiva de
vestibular. Por outro lado, o problema mostra-se
ex-tremamente rio para uma disuss~ao aprofundada a
respeito da n~ao-onserva~ao da energia me^ania em
refereniais n~ao-ineriais. Numa disuss~ao em nvel
universitario, o problema pode ser apresentado omo
um exeriode grau dediuldade medio envolvendo
oneitos omo solu~ao de equa~oes difereniais n~
ao-homog^eneas, foras tias, mudanas de refereniais
e aproxima~oes por series de pot^enias. No nvel
do onteudo de me^ania do ensino medio, o
proble-ma pode ser abordado sem uso das ferramentas
ma-tematias de alulo diferenial, desde que seja
apre-sentado ooneito defora tia esejam usados
ar-gumentosqualitativosousemiquantitativos paraa
ob-ten~ao daequa~aoquedesreveomovimentodobloo
no referenial do vag~ao (Eq. 11). Quanto a quest~ao
da onserva~ao da energia, tanto em nvel de ensino
medioquanto universitario,a reupera~aodasitua~ao
onservativanoasolimiteem queotempodeparada
epequeno em ompara~ao omoperodode osila~ao
torna oproblemareonfortantee permite aaquisi~ao,
por parte do aluno, de uma intui~ao fsia a respeito
das raz~oes que levam o problema a serem geral n~
ao-onservativo.
Agradeimentos
AoProf. RiardoC.deBerredo,pelasvaliosas
dis-uss~oesiniiaissobre oproblema, eaos olegasque
le-ramomanusritoeapresentaramsugest~oes
enriquee-doras.
Refer^enias
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